Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 3- Sistemas de Ecuaciones Lineales 1. Introducción Consideremos el siguiente sistema, en él tenemos k ecuaciones y n incógnitas. Los coeficientes a ij son números reales cualesquiera, las incógnitas están representadas por x i (están todas elevadas a la primera potencia, de aquí el calificativo de lineales para estos sistemas) y los b i son los términos independientes de cada ecuación. a 11 x 1 + a 1 x +... + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x +... + a n x n = b. a k1 x 1 + a k x +... + a kn x n = Llamaremos solución del sistema a todo conjunto de números (s 1, s,..., s n ) que reemplazados en (x 1, x,..., x n ) haga verdaderas las k ecuaciones simultáneamente. Nos interesa estudiar dos cuestiones, una se refiere a la existencia de estas soluciones y otra a los métodos para hallarlas. Consideremos los siguientes ejemplos sencillos de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas: Primer caso, solución única: Resolvemos por sustitución. x1 + 3x = 1 4x 1 3x = 6 De la primera ecuación: x 1 = 1 3x ( ) ( ) 1 3x Sustituyendo en la segunda ecuación se tiene: 4 3x = 6 Luego 4 6x 3x = 6 entonces x = y con este valor en ( ) resulta x 1 = 3. La solución es (, 3). Segundo caso, infinitas soluciones: Resolvemos por sustitución. x1 + 3x = 1 4x 1 6x = 4 De la primera ecuación: x 1 = 1 3x ( ) ( ) 1 3x Sustituyendo en la segunda ecuación se tiene: 4 6x = 4 Luego 4 6x + 6x = 4 entonces 0 = 0 o mejor dicho cualquier valor de x satisface la ecuación, tomando x = α (donde α es cualquier real) y sustituyendo ( ) 1 3α 1 3α en ( ) resulta x 1 =. Las soluciones son, α para cualquier α que tomemos.. b k
Nivelación de Matemática MTHA UNLP Tercer caso, ninguna solución: Intentemos resolver por sustitución. x1 + 3x = 1 4x 1 + 6x = 6 De la primera ecuación: x 1 = 1 3x ( ) 1 3x Sustituyendo en la segunda ecuación se tiene: 4 + 6x = 6 Luego 4 6x +6x = 6 entonces 4 = 6 evidentemente esto es una contradicción no existe ningún valor de x que satisfaga la igualdad. Concluimos que no existe ninguna solución para el sistema. 1.1. Sistemas y matrices Antes de emprender el estudio sobre la existencia de las soluciones para un sistema dado introduciremos el formalismo de las matrices en este tema. 1.1.1. Notación matricial Dado un sistema de k ecuaciones con n incógnitas como el que escribimos en la introducción. Llamaremos matriz del sistema a la que se obtiene escribiendo como elementos los coeficientes del mismo (a esto se debe la notación que usamos): a 11 a 1 a 1n a 1 a a n A =.. a k1 a k a kn La matriz columna de las incógnitas y la matriz columna de los términos independientes son: x 1 x X =. x n b 1 b B =. b k Recordando el producto y la igualdad entre matrices, el sistema se escribe como: AX = B Llamaremos matriz ampliada del sistema A a: a 11 a 1 a 1n b 1 A a 1 a a n b =.. a k1 a k a kn b k
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 3 1.1.. Rango de una matriz Dada una matriz de k n, de ella pueden extraerse submatrices y en particular submatrices cuadradas con sus respectivos determinantes, estos podrán ser de órdenes 1,,.. hasta el menor de los números k o n. Si todos los determinantes de un cierto orden r extraídos de la matriz son nulos, también lo serán los determinantes de todos los órdenes mayores que r (recordar el desarrollo por fila o columna de un determinante). Existirá un orden máximo r 1 tal que alguno de los determinantes de las submatrices de (r 1) (r 1) será distinto de cero, llamaremos rango de la matriz a este número; escribiremos: Ejemplo 1: Dada la matriz: rango(a) = r 1 A = ( 5 4 ) 1 0 Consideremos las tres submatrices de de A: ( 5 4 0 ) ( 4 1 ) ( 5 ) 1 0 El determinante de la primera submatriz es 10. Como es distinto de cero, esto basta para decir que rango(a) = (no hace falta calcular los demás determinantes). Ejemplo : Dada la matriz: ( ) 5 4 1 A = 10 8 Consideremos las tres submatrices de de A: ( 5 4 10 8 ) ( 4 1 8 ) ( 5 ) 1 10 Los determinantes de las tres submatrices valen cero. Tomemos las submatrices de 1 1, cualquiera de ellas tiene determinante distinto de cero, esto basta para decir que rango(a) = 1 (notar que una matriz tiene rango cero si, y solamente si, es la matriz nula).. Existencia de soluciones En los ejemplos de la sección 1.1 vimos que un sistema de ecuaciones lineales puede tener una solución única, puede tener infinitas soluciones, o puede no tener ninguna solución. El siguiente teorema nos permitirá estudiar un sistema para saber en cual de los tres casos nos encontramos.1. Teorema de Rouché-Frobenius Es condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales tenga al menos una solución que el rango de la matriz del sistema sea igual al rango de la matriz ampliada del mismo.
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 4.. Corolarios Resumimos a continuación una serie de corolarios, que se desprenden del teorema anterior, para que nos sirvan de guía en el análisis de las soluciones de un sistema dado. Sea un sistema de k ecuaciones con n incógnitas, A la matriz y A la matriz ampliada del mismo, entonces: 1. Si rango(a) = rango(a ) = n el sistema tiene solución única. Se dice también que el sistema es compatible determinado.. Si rango(a) = rango(a ) < n el sistema tiene infinitas soluciones. Se dice también que el sistema es compatible indeterminado. 3. Si rango(a) rango(a ) el sistema no tiene solución. Se dice también que el sistema es incompatible. 3. Métodos de resolución 3.1. Reducción del número de ecuaciones por sustitución Este método es muy simple, y como ya es conocido, lo resumiremos del siguiente modo: dado un sistema de k ecuaciones con n incógnitas. Se despeja de una de las ecuaciones una de las incógnitas. Se sustituye esta incógnita en todas las demás ecuaciones, resultando un sistema de k 1 ecuaciones con n 1 incógnitas. Se continúa repitiendo el método hasta que quede una sola ecuación, se resuelve esta, de ser posible, y se vuelve sobre los pasos anteriores para calcular el valor de las demás incógnitas. Tomemos como ejemplos los dados en la introducción. 3.. Regla de Cramer Dado un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, si el A = 0 (el sistema es compatible determinado) la solución está dada por: x j = A(j) A (j = 1,,..., n) donde A (j) es el determinante de la matriz que se obtiene de la matriz A del sistema reemplazando la columna j por la columna de los términos independientes b i. Ejemplo: x 1 3x + 7x 3 = 13 x 1 + x + x 3 = 1 x 1 x + 3x 3 = 4 1 3 7 13 3 7 A = 1 1 1 = 10 A (1) = 1 1 1 = 0 1 3 4 3 1 13 7 1 3 13 A () = 1 1 1 = 6 A (3) = 1 1 1 = 4 1 4 3 1 4
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 5 x 1 = A(1) = 0 A 10 = x = A() A ( La solución es, 3 5, 1 ). 5 = 6 10 = 3 5 x 3 = A(3) A = 4 10 = 1 5 3.3. Método de eliminación de Gauss-Jordan Introducción: Dado un sistema de n ecuaciones con n incógnitas: a 11 x 1 + a 1 x +... + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x +... + a n x n = b. a n1 x 1 + a n x +... + a nn x n =. b n La matriz ampliada del sistema es : a 11 a 1 a 1n b 1 a 1 a a n b. a n1 a n a nn b n Donde la línea vertical que separa la columna de los términos independientes no tiene ningún significado matemático, es para ordenar los cálculos, pudiendo prescindirse de ella. Antes de considerar el metodo haremos algunas aclaraciones. Operaciones elementales: Diremos que un sistema es equivalente a otro cuando tienen la misma solución. Para obtener un sistema equivalente a otro dado se pueden realizar las siguientes operaciones: 1. Multiplicar una ecuación (ambos miembros) por un número distinto de cero.. Intercambiar la posición de una ecuación en el sistema. 3. Sumar (miembro a miembro) a una ecuación otra ecuación multiplicada por un número. estas operaciones con las ecuaciones de un sistema son equivalentes, respectivamente, a las siguientes operaciones elementales con las filas en la matriz ampliada: 1. Multiplicar una fila por un número distinto de cero.. Intercambiar dos filas cualesquiera. 3. Sumar (o restar) a una fila otra fila multiplicada por un número.
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 6 Método de eliminación: El método consiste en realizar operaciones elementales sobre la matriz ampliada del sistema hasta que los elementos a ii de la matriz A valgan todos uno y los demás sean cero: 1 0 0 S 1 0 1 0 S. 0 0 1 S n En estas condiciones la columna de los S i es la solución del sistema. A continuación daremos una de las tantas estrategias que hay para lograrlo: 1. Conseguiremos ceros en la primera columna a 11 a 1 a 1n b 1 a 11 a 1 a 1n b 1 a 1 a a n b. 0 a a n b. a n1 a n a nn b n 0 a n a nn b n El primer cero se obtiene restando a la segunda fila multiplicada por a 11 la primera multiplicada por a 1 (se cruzan los coeficientes y se resta). El segundo cero se obtiene restando a la tercera fila multiplicada por a 11 la primera multiplicada por a 31. Se sigue hasta terminar.. Conseguiremos ceros en la segunda columna a 11 a 1 a 1n b 1 a 11 a 1 a 1n b 1 0 a a n b. 0 a a n b. 0 a n a nn b n 0 0 a nn b n Se hace lo mismo que en 1) pero a partir de la fila dos. El primer cero se obtiene restando a la tercera fila multiplicada por a la segunda multiplicada por a 3. El segundo cero se obtiene restando a la cuarta fila multiplicada por a la segunda multiplicada por a 4. Se sigue hasta terminar. 3. Se continúa con los ceros de las siguientes columnas hasta que todos los elementos por debajo de la diagonal sean ceros (a esta matriz se la llama triangular superior). 4. Nos tocan los ceros por arriba de la diagonal:. a 11 a 1 a 1n b 1 0 a a n b 0 0 a nn b n a 11 0 0 c 1 0 a 0 c. 0 0 a nn c n Para esto repetimos los pasos anteriores pero empezando desde la ultima fila hacia arriba.
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 7 5. Por último dividimos cada fila por el correspondiente a ii Ejemplo, consideremos el sistema del ejemplo anterior: La matriz ampliada del sistema es: x 1 3x + 7x 3 = 13 x 1 + x + x 3 = 1 x 1 x + 3x 3 = 4 1 1 1 1 1 3 4 Dejamos la primera fila sin modificar. A la segunda fila le restamos la primera. A la tercera también le restamos la primera fila. 1 1 1 1 1 3 4 0 4 6 1 0 1 4 9 Dejamos la primera y la segunda fila sin modificar. A la tercera multiplicada por cuatro le restamos la segunda fila. 0 4 6 1 0 1 4 9 0 4 6 1 0 0 10 4 Trabajamos de abajo hacia arriba. Dejamos la tercera fila sin modificar. A la segunda multiplicada por -10 le restamos la tercera fila multiplicada por -6. A la primera multiplicada por -10 le restamos la tercera multiplicada por 7. 0 4 6 1 0 0 10 4 10 30 0 38 0 40 0 4 0 0 10 4 Dejamos la tercera fila y la segunda filas sin modificar. A la segunda multiplicada por 30 le restamos la primera fila multiplicada por -40. 10 30 0 38 0 40 0 4 0 0 10 4 400 0 0 800 0 40 0 4 0 0 10 4 Por último, dividimos cada fila por los términos de la diagonal. 400 0 0 800 0 40 0 4 0 0 10 4 1 0 0 0 1 0 3/5 0 0 1 1/5 Donde se obtiene directamente x 1 = x = 3/5 x 3 = 1/5.
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 8 3.4. Método de la matriz inversa Sea el sistema de n ecuaciones con n incógnitas, y A 0. Consideremoslo escrito como en la sección 1..1 AX = B Como A 0 sabemos que existe A 1, multipliquemos a izquierda ambos miembros de la igualdad: A 1 AX = A 1 B Recordando que A 1 A = I y que IX = X tenemos: X = A 1 B Donde A 1 B es un matriz columna de n 1 que da la solución del sistema: x 1 s 1 x. = s. x n s n Ejemplo, consideremos el sistema del ejemplo anterior: Su matriz es: x 1 3x + 7x 3 = 13 x 1 + x + x 3 = 1 x 1 x + 3x 3 = 4 1 3 7 A = 1 1 1 1 3 Por ser A = 10, la inversa seguro existe, calculándola obtenemos: A 1 = 1/ 1/ 1 1/5 /5 3/5 3/10 1/10 /5 Luego: x 1 x x n = 1/ 1/ 1 1/5 /5 3/5 3/10 1/10 /5 13 1 4 x 1 x x n = 3/5 1/5 Donde se obtiene directamente x 1 = x = 3/5 x 3 = 1/5.
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 9 4. Ejercicios Consideremos los sistemas: x 3y = 8 a) 5x + 5y = 1 x 3y + 7z = 8 c) 7x + y + 9z = 1 5x y + 3z = 4 g) e) t 3 3t 4 = 6 t 1 4t 4 = 8 t 1 t = t 3t 3 = 4 x 3y + z = 8 7x + y z = 1 b) s 3t = 6s + 10t = 1 + t 5x 1 3x + 7x 3 = 3 d) x 1 + x + x 3 = 14 4x 1 4x + 6x 3 = 4 x y + w = 3 x + y + w = 1 f) y + z + w = x y + z = 4 x h) 1 3x + x 3 = 3 x 1 6x + x 3 = 14 1. Analizar la existencia o no de soluciones para los sistemas dados.. Resolver a) y c) utilizando la regla de Cramer. 3. Resolver g) por sustitución tomando a z como parámetro(es decir, despejando a z para que quede formando parte de la columna de los términos independientes). 4. Resolver g) utilizando la regla de Cramer, con la misma aclaración del ejercicio anterior. 5. Resolver a), f) y c) utilizando el método de Gauss-Jordan. 6. Llevar a la matriz ampliada del sistema d) a la forma triangular superior. Analizar la última fila, y comparar con el resultado del ejercicio 1. 7. Resolver a), c) y e) utilizando el método de la matriz inversa. 8. Verificar que las soluciones obtenidas en el ejercicio anterior son correctas. 9. El fertilizante de marca F F F contiene una unidad de nitratos y tres unidades de fosfato; el de marca HH contiene cinco unidades de nitratos y dos unidades de fosfato. Un horticultor debe preparar un fertilizante que contenga 0 unidades de nitratos y 4 unidades de fosfatos, cuántas unidades de cada fertilizante debe mezclar? 10. Un farmaceútico dispone de alcohol al 9 %. Cuánta agua debe agregarle para obtener alcohol al 70 %? 11. Un tipo de café cuesta $ 6 el kilo y otro cuesta $ 8 el kilo. Se han obtenido 0 kilos de una mezcla de ambos tipos. Si el costo por kilo de la mezcla es de $ 6, 80. Cuántos kilos empleó de cada uno?
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 10 1. Tres sierras A, B, y C pueden, trabajando a su capacidad máxima, cortan 7400 metros cuadrados de tabla de cedro en un día. A y B juntas pueden cortar 4700 metros cuadrados, mientras que B y C juntas pueden cortar 500 metros cuadrados. Calcular cuantos metros cuadrados puede cortar cada una por día. 13. En el alimento para pollos el maíz proporciona unidades de hierro, 3 unidades de vitamina A y unidades de vitamina D; el alimento a base de harina de huesos proporciona 3 unidades de hierro, 1 unidad de vitamina A y 1 unidad de vitamina D y un alimento mezcla proporciona 1 unidad de hierro, 1 unidad de vitamina A y 1 unidad de vitamina D. Los pollos deben recibir 0 unidades de hierro; 15 unidades de vitamina A y 1 unidades de vitamina D, cuántas unidades de cada alimento se deben mezclar? 14. Una ciclista quiere determinar, su velocidad media cuesta arriba, su velocidad media en terreno llano, su velocidad media cuesta abajo. Para ello dispone de la siguiente información de sus últimos tres recorridos: km. cuesta arriba km. terreno llano km. cuesta abajo tiempo total 15 5 1,5 horas 6 9 1 1,4 horas 8 3 8 1,6 horas Indicaciones: recordar que la velocidad media es el cociente del espacio sobre el tiempo. Tomar como incógnitas a las inversas de las velocidades medias para que el sistema sea lineal. Prestar atención a las unidades.