Transformaciones lineales

Semana 8 [1/62] 8 de septiembre de 27

Definiciones básicas Semana 8 [2/62] Definición Transformación lineal U, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo Ã. T : U V es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface: 1. u 1, u 2 U, T(u 1 + u 2 ) = T(u 1 ) + T(u 2 ) 2. u U, λ K, T(λu) = λt(u) La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U, +) y (V, +).

Definiciones básicas Semana 8 [6/62] Ejemplos Cualquier función T : Ê n Ê m, X AX, es lineal. El caso particular, f : Ê Ê, x ax, a Ê es lineal. f : Ê Ê, x x 2, no es lineal. f : P 3 (Ê) Ê 4, p(x) = a + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 f(p) = (a, a 1, a 2, a 3 ), es lineal. F d (Ê, Ê) el conjunto de las funciones reales derivables. es lineal. T : F d (Ê, Ê) F(Ê, Ê) f T(f) = df dx (x)

Definiciones básicas Semana 8 [12/62] Ejemplos Sea V e.v sobre Ã, V = V 1 V 2 y sean: P 1 : V V 1, P 2 : V V 2 v = v 1 + v 2 P 1 (v) = v 1 v = v 1 + v 2 P 2 (v) = v 2. Ambas son lineales y: P i : Proyección de V sobre V i

Propiedades Semana 8 [15/62] Propiedades Propiedades Sea T : U V una transformación lineal. Se tiene entonces: 1 T() = V 2 T( u) = T(u) 3 T es lineal si y sólo si λ 1, λ 2 K, u 1, u 2 U T(λ 1 u 1 + λ 2 u 2 ) = λ 1 T(u 1 ) + λ 2 T(u 2 )

Propiedades Semana 8 [18/62] Caracterización de una T.L. Dada una combinación lineal n λ i x i U i=1 y la transformación lineal, T : U V. Si dim U = n y β = {u i } n i=1 es base de U, u = n α i u i. i=1 α = (α 1,..., α n ): coordenadas de u con respecto a la base β. Aplicando T : n T(u) = T( α i u i ) = i=1 n α i T(u i ) i=1 Basta definir T sobre una base de U!

Propiedades Semana 8 [23/62] Isomorfismos de e.v. s Isomorfismo Sea T : U V una transformación lineal, diremos que es un isomorfismo si T es biyectiva. U y V son isomorfos si existe un isomorfísmo entre U y V, en cuyo caso lo denotaremos como U = V.

Propiedades Semana 8 [24/62] Isomorfismos de e.v. s Isomorfismo Sea T : U V una transformación lineal, diremos que es un isomorfismo si T es biyectiva. U y V son isomorfos si existe un isomorfísmo entre U y V, en cuyo caso lo denotaremos como U = V.

Propiedades Semana 8 [25/62] Ejemplo Consideremos: f : U Ã n u f(u) = α = (α 1,..., α n ). Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {u i } n i=1. Es un isomorfismo. Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se comporta como Ã n. Veamos la imagen de una base {u i } n i=1 del U. f(u i ) = f(u 1 +... + 1u i +... + u n ) = (,..., 1,..., ) = e i Ã n Luego, la base asociada a {u i } n i=1 es la base canónica de Ãn.

Propiedades Semana 8 [3/62] Composición entre T.L. Consideremos U, V, W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo. T : U V y L : V W dos transformaciones lineales, es una función lineal. L T : U W Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo es L T. Si T : U V es un isomorfísmo, entonces T 1 : V U lo es también. = es relación de equivalencia!

Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [36/62] Núcleo Núcleo T : U V transformación lineal. Definimos el núcleo de T como el conjunto: KerT = {x U/T(x) = } KerT φ ya que T() =. KerT es un s.e.v. de U.

Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [4/62] Imagen Imagen T : U V transformación lineal. Definimos la imagen de T como el conjunto: ImT = T(U) = {v V/ u U : v = f(u)} ImT es un s.e.v de V.

Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [43/62] Rango y nulidad Definición dim(imt): rango de la transformación T y se nota r. dim(kert): nulidad y se suele denotar por ν.

Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [44/62] Rango y nulidad Definición dim(imt): rango de la transformación T y se nota r. dim(kert): nulidad y se suele denotar por ν.

Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [45/62] Ejemplo Sea la transformación lineal: T : Ê 4 Ê 3 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) (x 1 + x 2, x 2 x 3, x 1 + x 3 ) o en términos matriciales: T(x) = 1 1 1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4 Determinemos KerT e ImT.

Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [48/62] Ejemplo x KerT T(x) = equivale a 1 1 1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4 = Escalonando: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 = x 3 x 2 = x 3 x 3 = x 3 x 4 = x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 = x 3 1 1 1 + x 4 1

Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [52/62] Ejemplo Luego: KerT = < {( 1, 1, 1, ), (,,, 1)} >. Con dim(kert) = 2. Sea (y 1, y 2, y 3 ) ImT, es decir: y 1 y 2 = y 3 1 1 1 1 1 1 = x 1 1 1 1 + x 2 1 x 1 x 2 x 3 x 4 + x 3 1 1 Luego ImT =< {(1,, 1), (1, 1, ), (, 1, 1)} >=< {(1,, 1), (1, 1, )} >. Y dim(imt) = 2.

Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [57/62] KerT e inyectividad Teorema Sea T : U V una transformación lineal entonces T es inyectiva KerT = {}. Corolario T : U V es un isomorfismo si y sólo si KerT = {} ImT = V, o equivalentemente dim ImT = dim V y dim KerT =.

Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [6/62] Inyectividad y conjuntos l.i. Teorema Si T : U V es inyectiva, entonces {u i } k i=1 es l.i. en U {T(u i)} k i=1 es l.i. en V.

Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [61/62] Inyectividad y conjuntos l.i. Teorema Si T : U V es inyectiva, entonces {u i } k i=1 es l.i. en U {T(u i)} k i=1 es l.i. en V.

Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [62/62] Ejemplo Un ejemplo importante Ê n+1 = Pn (Ê). En efecto, sea T : Ê n+1 P n (Ê) tal que: (a, a 1,..., a n ) n a i x i P n (Ê) i= Es un isomorfismo.