Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo

Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo Facultad de Contaduría y Ciencias Administrativas Cuaderno de trabajo de la materia de MATEMÁTICAS FINANCIERAS M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA FEBRERO 2009

INDICE I. Interés Simple 1.1 Concepto 1.2 Monto, Capital, Tasa de interés y tiempo 1.3 Tipos de interés 1.4 Descuento bancario 1.5 Ecuaciones de valor equivalentes II. Interés Compuesto 2.1 Concepto 2.2 Monto 2.3 Tasa nominal y tasa efectiva 2.4 Ecuaciones de valor equivalente III. Anualidades 3.1 Concepto 3.2 Anualidades vencidas 3.3 Anualidades anticipadas 3.4 Anualidades diferidas IV. Amortización 4.1 Amortización de una deuda 4.2 Tablas de amortización 4.3 Fondos de amortización 4.4 Tablas de fondos de amortización V. Depreciación 5.1 Concepto 5.2 Método de línea recta 5.3 Método de unidades de producción o de servicio 5.4 Método de suma de dígitos

JUSTIFICACIÓN Los presentes apuntes son el resultado de un esfuerzo que pretende integralmente apuntalar los objetivos de aprendizaje de la materia logrando este fin con el apoyo de la bibliografía oficial contemplada en el programa de esta materia por lo que se espera sea una herramienta útil para el alumno para poder resolver cualquier problema de carácter técnico que la materia presente. Se logra presentar la solución de problemas de esta materia con un enfoque contable administrativo del cual frecuentemente adolecen los textos que abordan estos temas con ello se facilita la comprensión de cada uno de los temas que están integrados en el programa oficial de la materia, esperamos la colaboración tanto de alumnos como profesores para enriquecer este texto y se asume la posibilidad de cualquier equivocación que pudiera aparecer en el mismo.

CAPÍTULO I. INTERÉS SIMPLE 1.1 Introducción El interés tiene una importancia fundamental en la administración de los recursos financieros de una empresa y de la sociedad. Toda la vasta maquinaria financiera y crediticia descansa sobre este concepto básico de pagar por el dinero tomado en préstamo, lo cual nos lleva al concepto central de las finanzas de que el capital aumenta su valor en el tiempo, producto del interés que tiene derecho a percibir: Interés Capital Tiempo 1.2 Interés Interés: El dinero, como cualquier bien, tiene un precio, que es el interés y éste es el pago por el uso del dinero ajeno o el rendimiento que obtiene un capital y se expresa con I. 1

1.3 Interés simple Interés simple: es aquel que se calcula siempre sobre el capital original, es decir, siempre sobre el mismo capital. Ejemplo de comprensión inicial: Se solicita un préstamo por $10,000 que se acuerda en pagar en tres meses, y al término del período se entregan. $ 10,900. Así los $900 son la ganancia para quien prestó el dinero, o el costo para quien recibió el préstamo. $ 10,000 Capital C 3 meses tiempo n $ 900 interés I $ 10,900 monto M = capital + interés 0.09 tasa de int. i Trimestral 900 = 0.09 tasa trimestral 10,000 0.09 X 4= 0.36 tasa anual 0.36 / 12 = 0.03 tasa mensual La tasa de interés refleja la relación que existe entre el interés y el capital. La tasa y el tipo de interés son dos expresiones distintas del mismo concepto. 2

Tasa 0.36; tipo 36% Así tenemos que los elementos que intervienen en una operación de interés simple son, de acuerdo con el ejemplo anterior: Capital: es la suma prestada o invertida, también se le denomina principal y en otros contextos conocido como valor presente o valor actual Tiempo: es la duración del lapso para el que se calcula el interés y que se mide de la fecha inicial de recepción del préstamo ( o inversión), y hasta la fecha de pago final y puede estar expresada en días o distintas unidades de tiempo Tasa: sea el número de unidades pagadas, por cada 100 unidades de la suma prestada, en la unidad de tiempo, cuando se expresa en decimales se le denomina tasa y cuando se expresa en porcentaje se le llama tipo. Monto: es la suma del capital más los intereses, también se le denomina valor futuro o valor acumulado. Relación tiempo- tasa: es aquella vinculación de correspondencia que existe entre la unidad de tiempo utilizada años, meses, días, etc., y la tasa expresada precisamente en la unidad de tiempo utilizada en el problema matemático, es decir, para una plazo en años, corresponde tasa en años, para plazo en meses corresponde tasa en meses y así sucesivamente. 1.4 Diferencia entre interés simple y compuesto. En algunos casos, el interés no sólo se paga sobre el capital, sino sobre el capital más los intereses vencidos no pagados o sea el monto. A este procedimiento se le llama interés compuesto. El interés simple se calcula sobre el capital primitivo que permanece invariable, en consecuencia, el interés de cada período de tiempo simple es el mismo. 3

Diferencia entre el Interés compuesto el interés simple: el interés en el interés compuesto se calcula sobre el monto y en el interés simple se calcula sobre el capital original Es común expresar la tasa de interés en períodos que no son anuales. Cuando se trata de interés simple, sencillamente divida éste entre el número de períodos por año. Por Ejemplo: Para obtener la tasa de interés mensual, sólo divida entre 12. Se puede encontrar la tasa, quincenal, diaria, semanal, etc. 1.3.1. Fórmula para calcular el interés simple Donde: I= interés C= capital N= tiempo i= tasa de interés I= Cni de la fórmula del interés se extraen las que ayudan a encontrar el capital (C), el tiempo (n) y la tasa de interés (i). C = I n = I i = I ni Ci Cn 1.3.1.1. Aplicación fórmula de interés simple para determinar interés en base a tiempo anual Ejemplo 1.3.1.1 El señor López deposita en un banco que paga el 13% de interés simple anual sobre los depósitos a plazo. Cuál es el pago anual por interés sobre un depósito de $ 350,000? Datos: Formula: I = Cni C = 350,000 n = 1 I =(350,000)(1)(0.13) i = 0.13 I =? I = $ 45,500 4

1.3.1.2. Aplicación fórmula de interés simple para determinar interés en base a tiempo mensual Ejemplo 1.3.1.1 Caso a) Se adquiere un lote con valor de $ 23,500 que acuerda liquidar realizando un pago de inmediato por $ 3,500 y un pago final 7 meses después. Acepta pagar el 36% de interés simple anual. A cuánto ascenderá la cantidad a pagar por concepto de interés, resuélvalo expresando la relación tasa y tiempo en forma anual? Datos: Fórmula: I = Cni C= 23,500 3,500= 20,000 I = 20,000 (7/12) (0.36) n= 7/12 I = $ 4, 199.99 i = 0.36 I = incógnita Caso b) Para resolverlo en relación tasa y tiempo en forma mensual C= 23,500 3,500= 20,000 I = 20,000 (7) (0.36/12) n= 7 I = $ 4, 199.99 i = 0.36/12 I = incógnita 1.3.1.3. Aplicación fórmula de interés simple para determinar capital 3.-Un banquero toma dinero prestado al 5% de interés simple anual y lo presta a unos panaderos al 10%. Si su utilidad anual neta ascendió a $ 3,600 cuánto dinero prestó? Datos: Fórmula: C = I n = 1 ni i = 0.10 0.05 = 0.05 C= 3,600 I = 3,600 (1) (0.05) C = $72,000 5

1.3.1.4. Aplicación fórmula de interés simple para determinar tiempo 4.-Una Asociación Civil, invirtió $ 80,000 al 7 1/2% en un depósito a plazos y obtuvo por intereses $3,000 Durante cuánto tiempo estuvo invertido el dinero? Datos: Fórmula: I = Cni C= 80,000 n= I n= incógnita C i i = 0.075 I = 3000 n= 3000 (80,000) (0.075) n= 0.50 1.3.1.4. Aplicación fórmula de interés simple para determinar tasa de interés 5.- El gobierno municipal tiene invertidos $ 200,000 durante 3 1/2 años a interés simple y obtiene en total $ 25,000 de intereses, cuál es el tipo y tasa de de interés? Datos: Fórmula: I = Cni n = 3.5 i = Incógnita i = I C= 200,000 Cn I= 25,000 i = 25,000 (200,000) (3.5) i = 0.0357 Ejercicios de reforzamiento 6.- Una persona deposita $ 15,000 en un banco y lo retira 8 meses después, recibiendo $6,000 de interés. Cuál es la tasa de rendimiento que le dieron? 6

7.- Por un crédito de $ 50,000 pactado al 15 % de interés simple anual y a plazo de 10 meses Cuál será la cantidad a pagar por concepto de interés? 8.- Por un depósito a plazo por $ 36,000 pagan $ 750 de interés mensual. Cuál será la tasa de interés simple anual? 9.- Al comprar en una tienda de departamentos varios artículos, se pagaron $ 1,125 por concepto de interés por un mes, que corresponden al 1.5 % de interés mensual. A cuánto asciende la deuda? 10.- Se obtiene un crédito por $ 60,000 y se pagaron $ 7,200 de interés. Si la hipotecaria cobra el 24% de int. Simple anual. dicha cantidad a cuántos meses corresponden? 7

1.3.2 Fórmula para calcular el monto a interés simple Monto: El monto es la suma obtenida de interés más capital. Interés Capital Con tiempo y tasa se convierte en: e + Capital MONTO 8

M = C (1+ ni) Fórmula del monto a Interés simple Ejemplo de comprensión inicial: 1.3.2.1 El contador Pérez deposita en un banco a plazos $10,000 y recibe 1 año después un total de $15,000 (incluyendo capital más interés), encuentre monto, capital, intereses y tipo de interés: a) Intereses si: M = C+ I entonces: 15,000 = 10,000 + I ; 15,000-10,000 = I, por lo tanto es 5000 = I b) Capital ya que la inversión inicial es de $10,000 por lo tanto este es el importe del capital c) Monto ya que es igual a la suma del capital más los intereses su importe es $15,000 d) Tipo de interés M = 15,000 M = C (1+ ni) sustituyendo: C = 10,000 M = (1+ ni) i = (15,000/10,000) - 1 n = 1 C 1 M - 1 = ni i =.5 es decir 50 % C M - 1 = i C n 11.- Una persona toma prestados $ 500 a interés simple, durante 3 años, al 10% ( se conviene en pagar el interés cada año) Cuánto recibirá en total el acreedor? Datos: C = 400 M = C(1+ ni) n = 2 M = (500) [ 1+(3) (0.10) ] i = 0.05 M =? M = $ 650 9

12.- Se obtiene un crédito por $ 18,000 a 6 años con el 24% de int. Simple anual. Qué cantidad debe pagar al vencerse su deuda? 13.- Si se desea adquirir un inmueble dentro de 2 años, y suponemos que el enganche que habrá que pagar en esa fecha será de $ 35,000 Qué cantidad debe invertir ahora en su depósito que rinde 2.9% de interés simple mensual? 13 - a.- Cuál es la tasa de interés simple mensual equivalente a una tasa del 0.34 anual? 14.- Cuánto tiempo tardarán $ 5,000 en convertirse en $ 8,750 al 25% de interés simple anual? 10

15.-Se depositan en una cuenta de inversión $ 17,000 al cobro en 1 1/2 años nos entregan $21,590 al realizar el retiro. Cuál fue el tipo de interés que otorgó el Banco? 16.- Un comerciante adquiere un lote de mcía. Con valor de $ 3,500 que acuerda en liquidar, haciendo un pago inmediato por $ 1,500 y un pago final 4 meses después, Acepta pagar 5% de interés simple mensual sobre su saldo Cuánto deberá pagar? 17.- Cuál es el tipo de interés mensual equivalente a una tasa del 0.165 semestral? 18.- Una persona deposita $ 15,000 en un fondo de inversiones bursátiles, que garantiza un rendimiento del 2.8% de int. Simple mensual. Si la persona retira su depósito 24 días después. Cuánto recibe? 19) Un banquero desea saber el capital cuyo monto ascenderá a $ 84,000 en 4 años, al 5% de int. simple anual. 11

20.- Cuánto tiempo tardarán $ 8,048 en convertirse en $ 10,462.40 al 5% de int. simple anual? 21.- Un señor pasa 2 años en Europa, y deja en bonos $ 96,000. A su vuelta vende los bonos y recibe por ellos $ 104,160. Si la diferencia representa el valor de los cupones acumulados Cuál fue el tipo de interés? 1.3 Interés simple por menos de un año: En la práctica, casi todos los problemas de interés, implican alguna fracción de año. El interés es un pago que se hace por el uso de dinero tomado en préstamo; para que el deudor pueda usar el préstamo, es preciso que trascurra tiempo. Para determinar la duración del período de un préstamo, excluye el primer día y se incluye el último Así para un préstamo hecho el 6 de enero y que vence el 29 del mismo mes, se cargaría interés por 23 días. Fijación de la fecha del vencimiento La fecha en que vence un préstamo se fija basándose en la forma en que esté redactada la obligación 12

Por ejemplo; si en una transacción de fecha 5 de septiembre, un deudor se compromete a devolver el préstamo a los 4 meses, había que entregar el dinero el 5 de enero. Por otro lado, si otro préstamo contratado el 5 de septiembre ha de durar por acuerdo mutuo 120 días, la devolución habla de hacerse el 3 de enero. En este segundo ejemplo se cuenta el número exacto de días, porque el tiempo se ha expresado en días. Tiempo real y tiempo aproximado Existen situaciones en las que el plazo de una operación se especifica mediante fechas, en lugar de mencionar un número de días, meses o años. El tiempo se puede calcular de dos maneras: Tiempo real: contando los días transcurridos (días naturales) 365 o 366 días si es bisiesto, es también llamado exacto. Días inicial y terminal: para llevar las cuentas de los días se recomienda excluir el primer día e incluir el último. Así para un préstamo contraído el 10 de enero y pagado el 25 del mismo mes, el tiempo comercial transcurrido es de 15 días. Ejemplo: Calcule los días transcurridos entre el 3 de septiembre de un año y el 15 de enero del siguiente año. 30 3 = 27 días de septiembre + 31 octubre 30 noviembre 31 diciembre 15 enero Total: 134 días Tiempo aproximado: Se considera un año teórico de 360 días, con 12 meses de 30 días cada uno. Este tiempo es el utilizado generalmente por los bancos (año comercial). Ejemplo: 13

Calcule los días transcurridos entre el 20 de junio y el 24 de agosto del 2006. 24 de agosto de 2006 24 08 2006 20 de junio de 2006 20 06 2006 4 2 0 días meses años Así el tiempo transcurrido aproximado es de 2 meses 4 días, es decir 64 días ya que hemos supuesto cada mes de 30 días. Ejercicios de reforzamiento: Hallar el número real y aproximado de días: 1.- el 4 de enero al 4 de septiembre... 2.- el 9 de marzo al 19 de agosto... 3.- el 17 de febrero al 13 de mayo... 4.- el 11 de noviembre al 13 de marzo... 5.- el 5 de octubre al 29 de diciembre... Real Aproximado * 13 de marzo 13 15 2006 11 de noviembre 11 11 2005 2 4 días meses Años * Esta es la solución del ejercicio No. 4 son 4 meses X 30 días = 120 + 2 días = 122 días En meses, al mes de marzo se le considera como 15 porque el mes de diciembre es el mes 12 más 3 porque el mes de marzo es el tercero del año, y es del año siguiente. 22. Se obtiene un crédito por $180 000 a 160 días, con 30% de interés anual. Qué cantidad debe pagar al vencerse su deuda? 23. Qué cantidad por concepto de interés simple mensual produce un capital de $ 4 000 al 33% anual? 14

24. Una persona adquiere en esta fecha un automóvil que cuesta $220 000 si suponemos que el vehículo aumenta su valor en forma constante y a razón del 2% mensual. Cuál será su valor después de 2 meses? 25. A una persona que es despedida por problemas financieros de la empresa, se le entrega una indemnización que incluye 3 meses de sueldo, días de antigüedad y descuentos por impuestos, arroja un saldo neto de $45 000 Qué ingreso fijo mensual le representaría al ahora desempleado depositar su liquidación en una inversión que paga el 18% de interés simple anual? 26. Una joven tiene 2 deudas: 1. le debe $80 000 a un banco que cobra 3.5% mensual 2. compró a crédito un auto en $125 000 que comenzará a pagar dentro de 8 meses; mientras tanto debe pagar 24% anual durante ese lapso. Cuánto pagará en los próximos 6 meses por concepto de intereses? 27. Una compañía de seguros compra $1 000 000 de obligaciones de teléfonos el día 15 de junio y las vende el 3 de agosto del mismo año. Si cobra un interés simple del 6% anual. Qué cantidad recibirá por concepto de interés al momento de la venta? (tiempo real). 15

28. El día 12 de septiembre se toman prestados $715 al 6% de interés anual y vencen el 12 de enero del siguiente año. Cuánto pagará al vencimiento? (tiempo aproximado). 29.- Una sociedad compró el 17 de junio $1,000 en bonos con interés del 4 1/4 % y los vendió el 26 de Septiembre del mismo año. Qué interés obtuvo? (tiempo real) 30. Cuál será el monto al 24 de diciembre de un capital de $10 000 depositado el 15 de mayo del mismo año, en una cuenta de ahorros que paga el 19% anual? (calcular el monto con el tiempo real y el tiempo aproximado). 31. Una Cía. de maderas tiene en su poder, el pagaré de un cliente por $ 3,470 a 90 días. Si el pago hecho al vencimiento del mismo para su liquidación asciende a $ 3,522.05 Cuál es la tasa del interés? (año comercial o aproximado) 16

32.- Un señor entrega al Bco. el día 27 de junio un cheque por $ 14,158.28 para liquidar un préstamo de $ 14,000.00 que obtuvo el 14 de mayo. Cuál fue el tipo de interés anual? (tiempo real ) 33.- Una empresa tiene un pagaré de fecha 21 de agosto, que vence el 12 de marzo. Si el interés, calculado a razón del 6% de int. simple anual, asciende a $ 2,182.80 Cuál es el valor nominal del pagaré? (tiempo real). 34.- Una Sociedad pagó $ 2,500.20 al liquidar totalmente su pagaré a la vista por $ 2,400 al 4 1/2% Cuánto tiempo habrá estado en circulación el pagaré? 35.- El Bco. prestó $1,400 al 5% de interés simple anual, el día 14 de mayo. Si no se quiere pagar más de $ 50 de intereses Cuándo tendrá que liquidar el préstamo? ( tiempo real ). 17

Valor actual o valor presente. El capital y el valor actual, representa lo mismo, sólo que en contextos diferentes; el capital es una cantidad que se invierte ahora, para obtener después un monto superior, y el valor actual es, precisamente el que tiene en este momento, una cantidad cuyo valor se ha planteado en una fecha futura. Se puede usar indistintamente C o A para designar un valor presente o valor actual. Ejemplo: C = M Fórmula para el valor 1 + ni actual a interés simple Se desea adquirir un auto dentro de 8 meses. El enganche que se supone debe entregar es de $ 7,000 qué cantidad se debe invertir ahora en un depósito de renta fija que rinde el 3.1 % de interés mensual? DATOS: i = 0.031 M =7,000 C =? C =? M = $ 7,000 n =8 8 Meses i =0.031 C = C = M 1 + ni 7,000 1 + (8)(.031) C = $ 5,608.97 36.- Encontrar el valor actual de $12 000 a pagar dentro de un año, si la tasa es del 14% de interés simple anual. 37.- Una persona participa en una "tanda" y le toca el décimo octavo mes para cobrar. Si dentro de 18 meses recibirá $ 3,000. Cual es el valor actual de la tanda, con un interés simple del 19 % anual? 18

38.- Cuál de las siguientes opciones de gratificación conviene más a los intereses de un empleado? a) Recibir ahora $3 850 b) Recibir $2 000 ahora y otros $2 000 en 2 meses c) Recibir 3 pagos de $1 400 cada uno a 30, 60 y 90 días. Suponga que al invertir el dinero se gana un interés simple del 31.4% anual 39. Una persona compró un automóvil el 1 de enero del 2004 en $90 000 Lo vende el 1 de junio del mismo año, por la cantidad de $96 500. Considerando exclusivamente los valores de compra y venta, y si la tasa de inflación promedio durante el año pasado fue de 24.5% determine si fue conveniente para esta persona comprar o vender dicho automóvil. 40. El señor Díaz planea llevar a cabo la fiesta de XV años de su hija. Para lo cual requiere la cantidad de $150 000 dentro de 18 meses. Cuánto deberá depositar en una cuenta de valores que rinde el 18% de interés para garantizar los gastos de la fiesta? 19

Valor actual de una deuda que devenga interés Si lo que se busca es el valor actual de una deuda que devenga interés, en ese caso, el monto total a pagar, es igual al valor nominal de la deuda más el interés acumulado. Ejemplo: Una Cía. Tiene un pagaré de $ 600 que vence a los 3 meses, que devenga un interés del 1% mensual. Hállese su valor actual a la tasa del 8.5 de int. Simple anual. DATOS: C =600 M = C ( 1 + ni ) n =3 i =0.01 M= 600 ( 1+3(.01)) M =? M = $ 618.00 DATOS: M =618 C = 618 n =3/12 (1+(3/12)(.085) i =0.085 C =? C = $ 605.14 41.- Cuál será el valor el valor actual de $ 29,000 a pagar dentro de 6 meses, si devenga un interés del 1% mensual, y el banco cobra el 18% de int. simple anual? 42.- Una empresa tiene la suma de $ 10,000 en cupones de obligaciones que vencen dentro de 39 días. Ganan un interés del 13% anual simple. Cuál es su valor actual al 14 1/2%? (tiempo real) 20

1.4 Descuento bancario El descuento es una operación de crédito que se lleva a cabo principalmente en instituciones bancarias y consiste en que éstas adquieren letras de cambio o pagarés de cuyo valor nominal descuentan una suma equivalente a los intereses que devengaría el documento entre la fecha en que se recibe y la fecha del vencimiento. Con esto se anticipa el valor actual del documento. Existen básicamente dos formas de calcular el descuento: a) el descuento comercial y b) el descuento real o justo para estas operaciones, se usan ciertas expresiones que es necesario conocer: Valor nominal de un pagaré: es el que está inscrito en el documento, para el comercio, se trata del capital. Si el pagaré no gana intereses, el valor nominal indica la cantidad que debe pagarse en la fecha de vencimiento especificada. Descontar un pagaré: es la acción de recibir o pagar un dinero, a cambio de una suma mayor comprometida para la fecha a futuro, bajo las condiciones convenidas en el pagaré. Al referirse a la operación, el término descontar lo usan tanto el prestatario como el prestamista. Descuento: es la diferencia establecida entre el valor nominal y el valor que se recibe, al momento de descontar el pagaré. Valor efectivo o líquido de un pagaré: es el valor nominal menos el descuento. Es el valor en dinero que se recibe en el momento de descontar la obligación o, en otras palabras, el valor actual o presente con descuento bancario. Tipo o tasa de descuento: es el tanto por ciento de descuento, o sea, un porcentaje del valor nominal que deduce el prestamista, al descontar el pagaré. Plazo: es el término que se utiliza para expresar el período de duración del préstamo. Los pagarés son obligaciones a corto plazo y el descuento bancario simple nunca se efectúa para períodos mayores a un año. Fórmula para el descuento comercial Fórmula para calcular el valor líquido de un pagaré con descuento comercial Fórmula para calcular la tasa de descuento Fórmula para calcular el tiempo o plazo de descuento D = Mnd C = M(1-nd) d = 1 - C/M n n = 1 C/M d 21

Ejemplo: Encontrar el descuento comercial de un documento con valor nominal de $6 500 tres meses antes de su vencimiento, con un tipo de descuento del 22.4% anual. Datos: C =? M = 6 500 D = Mnd D = (6 500)(.25)(0.224) = $ 364.00 n = 3/12 i = 0.224 43. Cuál es el valor comercial de un pagaré con valor nominal de $7 500 si se descuenta con el 33.5% anual, 3 meses antes del vencimiento? (encontrar el descuento comercial ). 44. Una persona tiene a su favor un documento suscrito el 1 de enero de este año con un valor nominal de $185 000 con fecha de vencimiento a 10 meses después. Esta persona quiere descontar el documento en una institución bancaria que aplica una tasa de descuento del 23% de interés el cual quiere descontar 4 meses antes de su vencimiento. Cuánto recibiría esta persona si se le aplica el descuento bancario? 45.- Una empresa descontó en una institución bancaria un pagaré con un valor nominal de $50 000 aplicándole una tasa de descuento comercial 3 meses antes de su vencimiento, recibiendo la cantidad de $46 935 Determine el importe del descuento comercial. 46.- En qué fecha se descontó un documento con valor nominal de $30 000 si su fecha de vencimiento era el día 29 de noviembre de este año, el tipo de descuento fue del 41% y el descuento comercial fue de $ 2 125 22

47.- Una empresa descontó en un banco un documento por el cual recibió $167 000 Si el tipo de descuento comercial fue del 30% anual y el vencimiento de este era 4 meses después de su descuento. Cuál era el valor nominal del documento en la fecha de vencimiento? 48.- En cuánto se negocia el 15 de marzo un documento con valor nominal de $350 000 vencimiento al 15 de agosto y descuento del 37% anual? 49- Cuántos días antes de su vencimiento se comercializa un pagaré en $4 750 si su valor nominal es de $ 5 200 y el descuento es del 26.4% simple anual? 50.- Obtenga la tasa de descuento simple anual de un documento cuyo valor nominal es de $2 240 tres meses antes de vencer. 51.- A qué tasa de descuento se aplicó un documento con valor nominal de $60,000, si se descontó faltando 5 meses para su vencimiento, y por el cual se obtuvo un valor descontado de $53,500 23

Descuento de una deuda que devenga interés Cuando hay que descontar un pagaré que devenga interés, es preciso hallar primero el monto total a pagar y aplicar después el descuento. Ejemplo: El banco descontó el 3 abril, un pagaré de $ 6,300 que tenía esta misma fecha, devengaba el 5% de interés y vencía el día 3 de mayo: puesto que el tipo del descuento es del 15% anual. Cuál fue el descuento retenido por el Bco.? (año comercial) DATOS: C = 6,300 M = C ( 1 + ni ) n = 30/360 i = 0.05 M = 6,300 ( 1+(30/360) (.05)) M =? M = $6 326.25 S = 6,326.25 D = S n d n = 30/360 d = 0.15 D = ( 6,300 )(30/360)(0.015) D = D = $79.07 51.- Cuál es el valor comercial el 12 de mayo de un documento que ampara un préstamo de $6 500 recibido el 25 de enero pasado con intereses del 2% mensual y cuyo vencimiento es el 30 de julio? Suponga que la tasa de descuento anual es del 25% (utilizar descuento comercial y tiempo aproximado) 52.- Una compañía tiene un pagaré de $6 000 que vence a los 4 meses, que devenga un interés del 2.1% mensual. Hallar su valor líquido si se descuenta en el banco 3 meses antes de su vencimiento y el banco cobra el 25% de descuento anual. 24

Descuento por pronto pago El descuento por pronto pago es una rebaja concedida sobre el precio de una mercancía como un incentivo para pagarla inmediatamente, o dentro de un plazo especificado. Entre los más frecuentes se expresan en la forma de los siguientes ejem: al contado: 5%; neto 60 días, 3/10 significa 3% en 10 días. Ejemplo: Una Cía. Compra el 18 de mayo enseres de oficina por valor de $ 28,000 y la factura lleva el siguiente encabezado: Condiciones de pagar 3 meses neto, 2/60, 3/30, 4/10, 5 al contado. Si la Cía. Paga el 18 de junio, Cuál será la cantidad pagada? ( 360 ) 28,000 X 0.03 = 840 28,000 840 = $ 27,160.00 53.- Se compran mercancías por $17 900 el día 1º de Julio, con las siguientes condiciones de pago: 15% al contado, 12/15, 10/30 5/60 y neto en 90 días. Si la factura se liquida el día 8 de agosto, cuál será la cantidad a pagar? 53(A).- Al comprar mercancías el día 2 de febrero, por $9 750 nos ofrecen las siguientes condiciones de pago: neto, 60 días, 5/30 8/10 10% al contado. Si se liquida la factura el día 25 de febrero, qué cantidad se pagará? Descuentos en serie o en cadena A veces se dan varios descuentos sobre un mismo precio. En cada caso se realiza un descuento después de haber deducido el descuento anterior. El orden en que se deduzcan los descuentos no afecta el resultado. Así un precio de venta anunciado como precio de lista " menos el 10%, 20% y 5% es idéntico al precio presentado como precio de lista menos: 5%, 10% y 20%. Ejemplo: 10,000 x 0.10 = 1, 000 10,000 x 0.05 = 500 10, 000 1, 000 = 9, 000 10,000 500 = 9,500 9,000 x 0.20 = 1,800 9,500 x 0.10 = 950 9,000 1,800 = 7,200 9,500 950 = 8,550 7,200 x 0.05 = 360 8,550 x 0.20 = 1,710 7,200 360 = $ 6,840 8,550 1,710 = $ 6,840 25

Descuento único equivalente a una serie de descuentos Cuál es el descuento único equivalente a la serie 5%, 10% y 20% 1.00 1.00 1.00 0.95 X 0.90 X 0.80= 0.684-0.05-0.10-0.20 0.95 0.90 0.80 1.00-0.684= 0.316 10,000 X 0.684= $ 6,840 Precio neto 10,000 X 0.316= $ 3,160 Descuento único Porcentaje neto a pagar 0.684 X 100 = 68.4% Porcentaje único equivalente a los tres descuentos: 0.316 X 100 = 31.6% 54.- Cuál será el precio neto de una máquina cuyo precio de lista es $ 35,000 si se ofrecen los descuentos comerciales 20%, 12 1/2, 5% y 2%? y cuál será el tipo de descuento único? 55.- Encontrar el precio neto de una mercancía si su precio de lista es de $ 51,000, y se ofrecen los descuentos del 8%, 3% Cuál es el porcentaje de descuento que corresponde a los dos descuentos? 56.- Encontrar el descuento que se obtendrá por una mercancía cuyo precio de lista el de $34,500 si se ofrecen los descuentos del 20%, 10% y 5% y qué porcentaje neto de descuento corresponde? 26

Unos almacenes compran el 2 de enero mercancías por valor de $ 10,000 en las siguientes condiciones: 3 meses neto, 3/60,5/30,8/10,10 al contado. Hállese cuál de las a ofertas de descuento pago es la más ventajosa para el comprador. Fecha Precio Razón del periodo Tipo de int. de pago pagado Desc. descuento de Desc simp.anual equiv. 2 de abril 10,000 ---- ---- ---- ---- ---- 2 de marzo 9,700 300 300/9700=.030927 30 días (.03092)(360/30)= 0.371124=37.11% 2 de febrero 9,500 500 500/9500=.052631 60 días (0.052631)(360/60)= 0.315786=31.57% 12 de enero 9,200 800 800/9200=.086956 80 días (0.086956)(360/80)= 0.391302=39.13% 2 de enero 9,000 1,000 1,000/9000=.111111 90 días (0.111111)(360/90)= 0.4444=44.44% Conviene pagar al contado, porque corresponde al tipo de interés anual más alto 57.- Una empresa compro el 1 de septiembre una máquina con valor de $ 70,000 y le ofrecen los siguientes descuentos: 2 meses neto, 5/45, 6/30, 7/15, si la empresa paga el 17 de septiembre Qué cantidad paga la empresa y en cuál fecha le hubiera convenido pagar? 27

1.5 Ecuaciones de valor equivalentes Un problema básico y muy frecuente en las operaciones financieras es que existan operaciones diferentes que deban replantearse para expresarlas en una operación única. Un mismo valor situado en fechas diferentes es, desde el punto de vista financiero, un valor distinto. No se debe olvidar que sólo se pueden sumar, restar o igualar dineros ubicados en una misma fecha. La fecha que se escoge para la equivalencia se denomina fecha focal. La fijación de la fecha focal debe corresponder a lo pactado en los pagarés. Los cambios de fecha focal producen variaciones en la determinación de las cantidades. Ejemplo: Se firma un pagaré por $10 000 a 90 días al 6% anual; 30 días después se firma otro pagaré por $25 000 a 60 días sin interés. Dos meses después de la primera fecha, acordó con el acreedor pagar $20 000 en ese momento y recoger los dos pagarés firmados reemplazándolos por uno solo a 3 meses, con un rendimiento del 8% anual. Determinar el pago único convenido. Para plantear la ecuación, se dibuja primero el diagrama de tiempo - valor. A $10 000 X 0 30 60 90 120 150 180 B $25 000 I $20 000 Se escoge como fecha focal a 150 días. Y se calculan los distintos valores y se plantea la ecuación de valores equivalentes entre los nuevos valores y los antiguos. Solución: Son 4 las operaciones implicadas: 2 de contratación de deuda y 2 de pago Contratación de deuda: Primero encontramos el monto de este capital de $10 000 con el interés pactado de la deuda A. Datos: C= 10 000 M = C(1+ni) n = 90/360 = 3/12 i = 0.06 M = 10 000(1+ (0.25)(0.06) M =? M = $10 150 Valor al vencimiento Para este valor encontrado se calcula el monto al final del nuevo plazo considerando el nuevo interés pactado A. Datos: C = 10 150 n = 60/360 = 2/12 M = 10 150 (1+ (0.1666) (0.08) ) i = 0.08 M = $10 285.33 Valor al final del nuevo plazo 28