MATEMÁTCAS BÁSCAS Comprobemos, a manera de ejemplo, que (a - bxa 2 + ab + b 2 ) = a) - b) : Otra manera de comprobarlo es: NTERVALOS Sean a, b E R con a < b. Entonces (a, b) = { X E R a < x < b } se llama intervalo abierto de extremos a y b. [a, bj = { X E R la::; x ::; b } se llama intervalo cerrado de extremos a y b. También se tienen los siguientes intervalos: [a, b) = { X E R la::; x < b } (a, bj ={X E R a < x ::; b } (- 00, a) = { X E R x < a } (- 00, a] = { X E R x::; a } (a, + (0) = { X E R x> a } [a, + (0) = { X E R x ~ a } Ejemplo: [- 3, 4) = { X E R - 3 ::; x < 4 }. Entonces pertenecen a [- 3, 4), por ejemplo, los números: -3, -2.35, -2, -1, -114, 0,1, 2, e, n, 3.99. No pertenecen a [-3,4),porejemplo, los números: -4, -3.01, 4, 5, 10. 7
MATEMÁTCAS BÁSCAS DESGUALDADES LNEALES EN UNA VARABLE Dados a, b E R con a * O, se vio que la expresión ax + b, = O tiene una única solución en R, a saber, x = - b. Por tanto, para todo x E R, x * - b, se tiene que ax + b * O, o sea a que es ax + b > O o es ax + b < O. Ahora bien, resolver ax + b > O significa hallar el conjunto de números reales x que satisfacen dicha desigualdad. También, resolver ax + b ~ O significa hallar {x E R / ax + b ~ O }. Ejemplo 1: Resolver 2x - 3> O. Solución: Como 2x - 3> O significa 2x > 3, porque lo que está restando en un miembro de la desigualdad pasa a sumar al otro miembro (2x - 3> O<=:> 2x - 3 + 3 > 0+ 3), y como 2x > 3 significa x > 3, porque lo que está multiplicando en un miembro de la 2 desigualdad pasa a dividir y la desigualdad se mantiene S tal factor es positivo 1 1 3 (2x > 3 <=:> (2x) > (3) <=:> x > ), entonces 2 2 2 {x ER / 2x - 3 > O} = {x ER / x > ~ } = (~, + 00) a Lo anterior se puede representar gráficamente como sigue: S>gno de 2x-3: o 3/2 + 3 3 Los signos significan que: 2x - 3 < O si y sólo si x < 2' 2x - 3 = O si y sólo si x = 2' Y 2x - 3 > O si y sólo si x > 3 2 Ejemplo 2: Resolver (3 - xx4x - 5) ::; O. Solución: De acuerdo con el ejemplo 1, anterior, el siguiente esquema gráfico pennitirá resolver la desigualdad (3 - x X4x - 5)::; O: 8
MATEMÁTCAS BÁSCAS + + O Signo de 3-x: R 3, O +, + Signo de 4x-5: R 51,4 Signo de (3-x)(4x-5): Ó + O R 5/4 3 5 De la figura se observa que para x < o para x > 3, los dos factores son de signos 4 5 opuestos y por tanto su producto será negativo, mientras que para < x < 3 los dos 4 factores tienen el mismo signo por lo que su producto será positivo, Así que {x E R / (3 - xx4x - 5) ~ O } = {x E R / (3 - xx4x - 5) < O}u {x E R / (3 - xx4x - 5) = O } = ( - 00,!)U (3, + 00) U {!,3 } =(-00,!]U [3, + (0) Nótese que además se obtiene: {x E R / (3-xX4x-5)< O}=(-00,!)U(3, +00) {x E R / (3 - x X4x - 5) > O} = (!'3) { X E R / (3 - xx4x - 5) ~ O } = [! ' 3]. () (x + 4X2x - 5) Ejemplo 3: Sea p x =, Resolver: 3-4x i) p(x) > O ii) p( x ) ~ O iii) p( x ) < O iv) p(x)~ O Solución: Empezamos' haciendo el siguiente esquema para los signos de cada uno de los f: actores que aparecen en 1 a expreson " (x+4x2x-5) y e l' signo d e p () x : 3-4x 9 (
MATEMÁTCAS BÁSCAS Signo de x+4: Signo de 2x-5: Signo de 3-4x: Signo de p(x) O + + + -4 R O + 5/2 R + + 6 3/4 R * + O + O -4 3/4 5/2 R Por tanto, se tiene: i) {XER / P(X»0}=(- 00,-4)U(!,~) ii) {XER / P(X)~0}=(-00,-4]U (!, ~] iii) {XER / P(X) < 0}=(-4,!)U(~,+OO) iv) {x E R / p(x)~ O}= [-4,!)U[~, +(0) Ejemplo 4: En dos empresas A y B de telefonía móvil tienen las siguientes tarifas por cada celular: Tarifa de la empresa A: Un costo fijo mensual de $45.000 por una hora o menos de telefonía más $700 por minuto adicional. Tarifa de la empresa B: Un costo fijo mensual de $50.000 por una hora o menos de telefonía más $600 por minuto adicional. Se pregunta: a) En qué momento las tarifas coinciden? b) A partir de qué momento es más beneficiosa una tarifa que la otra? Solución: a) Sea t el tiempo en minutos de telefonía utilizados en un celular. De acuerdo con el enunciado del problema, si O ~ t ~ 60, entonces las tarifas no coinciden. Si t> 60, la tarifa que se paga en la empresa A es: 45.000 + (t - 60 )700, y la tarifa que se paga en la empresa Bes: 50.000 + (t - 60 )600. Así que las tarifas coinciden cuando t sea tal que lo
MATEMÁTCAS BÁSCAS 45.000 + (t - 60)700 = 50.000 + (t - 60)600 esto es, cuando 45.000 + 700t - 42.000 = 50000 + 600t - 36.000. Es decir, cuando 100t = 11.000, o sea, cuando t = 110. Por tanto, las tarifas coinciden al cabo de 110 minutos. b) La tarifa de la empresa A será más beneficiosa que la de la empresa B para t tal que O:s; t :s; 60, porque 45.000 < 50.000; pero para t > 60, la tarifa de la empresa A será más beneficiosa para t tal que 45.000+(t-60)700 < 50.000+(t-60)600, o sea, para t tal que t < 110. Y por tanto, para t > 110 será mejor la tarifa de la empresa B, porque a partir de los 111 minutos será 45.000 + (t - 60)700> 50.000 + (t - 60 )600. T =Tarifa Tarifa empresa A / Tarifa empresa B T(110) = 80.000 50.000 1-------<' 45.O O O 1--------=.-4' 60 110 t Ejemplo 5: Supongamos que un laboratorio dispone de dos soluciones: una al 25% de ácido y la otra al 30% del mismo ácido. Entonces: a) Cuántos centímetros cúbicos (c.c.) de cada solución deberá mezclar para obtener 60 c.c. de una nueva solución al 27% del ácido? b) Al menos cuántos c.c. deberá mezclar de la solución al 25% de ácido para obtener 50 c.c. de una nueva solución de a lo más 28% de ácido? c) Cuántos c.c. podrá tomar de la primera solución para obtener 80 c.c. de una nueva solución que sea a lo más del 29%, pero no menor del 27% de ácido? Solución: a) Sea x c.c. de la solución al 25% que euaboratorista toma para hacer la mezcla. Como en total debe obtener 60 c.c., entonces debe mezclarlas con 60 - x c.c. de la solución al 30%. Como la nueva solución debe contener 27% del ácido, entonces debe satisfacerse: 25 x+ 30 (60-x)= 27 (60) 100 100 100 O sea, 25x+30(60-x)=27(60), es decir, -5x+1800=1620. Por tanto, 180=5x. Luego x = 36. En definitiva, debe mezclar 36 c.c. de la solución al 25% con 60-36 = 24 c.c. de la solución al 30% de ácido para obtener 60 c.c. de una nueva solución al 27% de ácido. b) Sea x c.c. de la solución al 25% que ellaboratorista toma para hacer la mezcla. Como en total debe obtener 50 c.c., entonces debe mezclarlos con 50 - x c.c. de la solución al 30%. Como la nueva solución debe ser de a lo más 28% de ácido, debe satisfacerse: