Matrices y Determinantes

Tema 2 Matrices y Determinantes 21 Introducción Presentaremos en este tema las matrices y los determinantes, centrándonos en particualar en el caso de matrices constituidas por números reales 22 Matrices Conceptos Fundamentales Definición: Dado un conjunto C, una matriz A de orden m n de elementos de C es toda colección de mn elementos de C colocados en m filas y n columnas, de la forma: A = a ij = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Donde i = 1,, m, y j = 1,, n La notación usual es por tanto a ij para representar la componente fila-i columna-j de la matriz Al conjunto de las matrices de orden m n con componentes en el conjunto C se le denota por M m n C Consideraremos en este tema esencialmente matrices de número reales, es decir el conjunto M m n R, si bien la mayor parte de las propiedades y definiciones que expondremos serán válidas para cualquier otro tipo de conjunto Definiciones básicas: Sea A una matriz de orden m n de números reales, A M m n R, A = a ij, i = 1,, m, j = 1,, n 1 Si n = 1, entonces A es una matriz columna Si m = 1, A es una matriz fila 2 Si a ij = 0, i, j, entonces A es la matriz nula de orden m n 13

14 MATRICES Y DETERMINANTES 3 Si m = n la matriz A es cuadrada, en caso contrario es una matriz rectangular 4 La matriz opuesta de A = a ij, que denotamos por: A, es la que tiene como componentes a los opuestos de los de A, es decir A = a ij 5 Dada una matriz A de orden m n se llama matriz traspuesta de A a la matriz A t de orden n m en la que se intercambian las filas de A con sus columnas Es decir el elemento que ocupa la posición ij en A pasa ocupar la posición ji en A t De esta forma: si A = a ij, entonces A t = a t ij = a ji Evidentemente A t t = A Para el caso particular de las matrices cuadradas, A M n n R, definiremos a su vez: 1 La diagonal principal de A son los elementos de la forma a ii, con i = 1,, n, es decir: a 11, a 22,, a nn 2 A es triangular superior si a ij = 0 para todas las componentes tales que i > j 3 A es triangular inferior si a ij = 0, i < j 4 A es una matriz diagonal si a ij = 0 para i j Las matrices diagonales a veces se presentan especificando únicamente los elementos no necesariamente nulos, es decir: A = diag {a 11, a 22,, a nn } 5 A es simétrica si para cualquier i, j se verifica que a ij = a ji Equivalentemente, A será simétrica si A t = A 6 A es antisimétrica si para cualquier i, j se verifica que a ij = a ji Equivalentemente: A t = A 7 Se denomina traza de una matriz A a la suma de los elementos de la diagonal principal, es decir: n tr A = 23 El Espacio Vectorial M m n R, +, R El conjunto de matrices de número reales de m filas y n columnas, M m n R, tiene estructura de espacio vectorial real de dimensión m n con las operaciones suma y producto por escalares definidas de la forma siguiente: Suma: Dadas dos matrices A = a ij y B = b ij de orden m n, se define la matriz suma: A + B, como la matriz m n cuyos elemento ij es: a ij + b ij, A + B = a ij + b ij Es decir, la suma se realiza elemento a elemento i=1 a ii

MATRICES Y DETERMINANTES 15 Producto por un escalar: Dados λ R y una matriz A M m n R, A = a ij, se define λa M m n R como la matriz cuyos elementos son: λ A = λa ij, es decir la matriz que se obtiene al multiplicar por λ todos y cada uno de los elementos de A Es trivial comprobar que con estas definiciones M m n R, +, R verifica las ocho propiedades de la definición de espacio vectorial Evidentemente el elemento neutro de la suma será la matriz nula, mientras que el elemento opuesto de una matriz no es más que su matriz opuesta La dimensión del espacio vectorial real M m n R, +, R es obviamente igual a mn Desde otro punto de vista, una matriz A M m n R puede ser interpretada como un sistema de m vectores vectores fila del espacio vectorial R n, o bien como un sistema de n vectores vectores columna, de R m, veamos: A = a ij = a 11 a 1n a m1 a mn = f 1 f m = c 1 c n { siendo S c = { c 1, c 2,, c n } y S f = f1,, f } m los sistemas de vectores columna y de vectores fila de A respectivamente c 1,, c n R m, f 1,, f n R n c j = a 1j, a 2j,, a mj, j = 1,, n f i = a i1, a i2,, a in, i = 1,, m 24 Producto de Matrices Matrices Invertibles En el conjunto de las matrices es posible definir una operación de tipo multiplicación, el producto de matrices, cuando el número de filas de una matriz coincide con el número de columnas de la otra Veamos: Producto de matrices: Sea A una matriz de m filas y p columnas, A M m p R, y sea B con p filas y n columnas, B M p n R, es decir el número de columnas de A coincide con el número de filas de B En tal situación, se define la matriz producto C = A B, con C M m n R, como la matriz C = c ij con elementos: c ij = p a ih b hj = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ip b pj h=1 Desde el punto de vista citado en el apartado anterior, mediante el cual vemos una matriz de números reales como un sistema de vectores fila o de vectores columna, el producto de matrices puede interpretarse de la siguiente forma: para construir el

16 MATRICES Y DETERMINANTES producto A B consideremos A como un sistema de vectores fila y B como un sistema de vectores columna: f A C = A B = 1 c B 1 c B n = c ij f A m Dadas las condiciones del producto, tanto las filas de A como las columnas de B son vectores del espacio vectorial R p Introduciremos ahora el producto escalar estándar en R p, al que nos referiremos con mucho más detalle en un tema próximo Si v 1 = x 1,, x p y v 2 = x 1,, x p son dos vectores del espacio vectorial R p, entonces llamaremos producto escalar estándar o simplemente producto escalar de v 1 y v 2, y lo denotamos por v 1 v 2, o alternativamente: v 1 v 2 al número real: v 1 v 2 = x 1 x 1 + x 2 x 2 + + x p x p De esta forma, concluimos con que el producto de las matrices A y B puede expresarse de la siguiente forma: Ejemplo: Sean A = C = A B = c ij, c ij = f A i c B j 1 2 0 1 y B = 1 2 3 0 1 2 En primer lugar, es fácil concluir que no existe B A, pues el número de columnas de B no coincide con el número de filas de A Sin embargo A B sí que está bien definido y será una matriz de orden 2 3 nótese que: A 2 2 B 2 3 = C 2 3 Aplicando la definición: AB = 1 2 0 1 1 2 3 0 1 2 = 1 4 7 0 1 2 Propiedades del producto de matrices: 1 Asociativa El producto de matrices es asociativo Sean A M m p R, B M p q R y C M q n R, entonces A B C = A B C 2 El producto de matrices no es conmutativo Evidentemente, tal y como se ha definido el producto, no puede ser conmutativo pues puede existir la matriz A B y no hacerlo la correspondiente B A ver el ejemplo anterior donde se presenta esta situación Aunque existieran ambos productos, serán matrices de diferentes tamaños excepto en el caso de tratarse de matrices cuadradas Finalmente, incluso en el caso de matrices cuadradas: A M n n R, B M n n R, entonces existen A B y B A, y ambas son matrices n n, pero no tienen porqué ser iguales

MATRICES Y DETERMINANTES 17 3 Distributiva Se verifica la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma Sean A M m p R, B M p n R, C M p n R, entonces: A B + C = A B + A C Y análogamente para el producto: A + B C = A C + B C, siendo B M m p R 4 Matriz Identidad Se llama matriz identidad I n M n n R a la matriz diagonal I n = diag{1, 1,, 1} Otra notación habitual es I n = δ ij, siendo δ ij la delta de Kronecker, símbolo que representa: δ ij = { 1 si i = j 0 si i j i, j = 1,, n La matriz identidad verifica, para cualquier matriz A M m n R: I m A = A, A I n = A Normalmente se escribe simplemente I para la matriz identidad, sobre-entendiéndose el sub-índice que determina el tamaño en cada caso Teniendo en cuenta las propiedades anteriores, el conjunto de matrices cuadradas M n n R con las operaciones suma y producto de matrices es un anillo unitario no conmutativo 5 Sean A M m p R y B M p n R Entonces: A B t = B t A t 6 Si A y B son dos matrices cuadradas triangulares superiores o inferiores, entonces su producto A B también es triangular superior respectivamente inferior 7 Si A M n n R es una matriz cuadrada, entonces tiene sentido plantear el concepto de potencias de dicha matriz: A 2 = A A, A 3 = A A A, de manera que se verifican trivialmente las propiedades habituales de la exponencianción: A a A b = A a+b, etc Por definición tomaremos: A 0 = I n Matrices Invertibles Definición: Una matriz cuadrada A M n n K es invertible si existe otra matriz de igual tamaño, llamada inversa de A y que denotaremos A 1, que verifica: A A 1 = A 1 A = I n

18 MATRICES Y DETERMINANTES Propiedades de las matrices invertibles: 1 Si A es una matriz invertible, entonces su inversa es única 2 Si A es invertible, entonces A 1 también lo es, y obviamente: A 1 1 = A, es decir la inversa de la matriz inversa de A es la propia matriz A 3 Si A y B son invertibles, entonces su producto A B también es invertible, verificándose: A B 1 = B 1 A 1 4 Si A es invertible, entonces su traspuesta A t también lo es, y además: A t 1 = A 1 t 5 Para las matrices invertibles tiene sentido definir las potencias negativas, de forma evidente: A 2 = A 1 A 1, A 3 = A 1 A 1 A 1 6 El conjunto de las matrices invertibles con la operación producto de matrices tiene estructura de grupo no conmutativo Nota: Es interesante comentar que en la práctica, para comprobar que dos matrices dadas son una inversa de la otra, basta con hacerlo únicamente en uno de las dos ordenaciones posibles Es decir: Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden y además A B = I, entonces necesariamente B = A 1, no es necesario por tanto comprobar que B A = I Bastaría así con definir matriz inversa por la derecha o por la izquierda para que una matriz fuera invertible Existe una demostración ingeniosa de este hecho, partiendo de que existe B tal que A B = I, y dando por demostrado que la inversa por la derecha es única, se define: C = B A I + B, y se calcula A C, concluyéndose que B A = I necesariamente 25 Transformaciones elementales Matrices elementales En el tema anterior se definieron las transformaciones elementales en un sistema de vectores Gracias a ellas podíamos aplicar el método de eliminación Gaussiana en los sistemas de vectores de R n, con los consiguientes resultados prácticos de gran utilidad Las transformaciones elementales por filas o por columnas en una matriz van a ser exactamente las mismas, sin más que interpretar a la matriz A M m n R como un sistema de vectores fila o un sistema de vectores columna, respectivamente Tendremos por tanto que las transformaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes: Intercambiar el orden entre las filas i-ésima y j-ésima de la matriz Se denota por F ij

MATRICES Y DETERMINANTES 19 Multiplicar la fila i-ésima por un número real escalar k 0 F i k Sumar a la fila i-ésima la fila j-ésima multiplicada por k R F ij k y análogamente para las columnas, es decir: C ij, C i k y C ij k Centraremos todo el análisis que viene a continuación en las transformaciones elementales por filas, si bien es completamente equivalente el análisis de las transformaciones elementales por columnas salvo pequeños detalles que se especificarán Definición: Se llama matriz elemental a la que resulta de aplicar una transformación elemental a la matriz identidad Si la transformación es por filas, tendremos una matriz elemental por filas, y análogamente para el caso de columnas Dado que hay tres tipos de transformaciones elementales, tendremos entonces tres diferentes tipos de matrices elementales, que denotaremos: E ij, E i k, E ij k, con notación heredada de la transformación elemental correspondiente Ejemplo: Algunas matrices elementales por filas para el caso de n = 3: 7 0 0 E 23 =, E 1 7 = 0 1 0, E 31 5 = 0 1 0 0 1 0 5 0 1 Proposición: Sea A una matriz A M m n R Sea E una matriz elemental por filas de orden m m Entonces la matriz producto E A es igual a la matriz que se obtiene al realizar en A la transformación elemental por filas correspondiente a la matriz E Nota: Esta proposición es cierta para transformaciones por columnas, pero en ese caso el producto debe realizarse por la derecha, es decir: A E Proposición: Las matrices elementales son invertibles y sus inversas son de nuevo matrices elementales del mismo tipo Es fácil deducir utilizando la proposición anterior cuáles son las inversas de las matrices elementales tal y como se ha especificado antes nos referiremos siempre, salvo que se especifique lo contrario, a matrices elementales por filas - Matrices E ij Si a la matriz E ij se le aplica la transformación elemental F ij se obtiene obviamente la identidad, así tendremos: E ij E ij = I E 1 ij = E ij - Matrices E i k De manera análoga, aplicando F i 1 k a la matriz E ik se obtiene la identidad recordemos que k 0 necesariamente Entonces: E i 1 k E ik = I E i k 1 = E i 1 k

20 MATRICES Y DETERMINANTES - Matrices E ij k Si se aplica F ij k a E ij k resulta nuevamente la identidad E ij k 1 = E ij k Definición: Una matriz A es equivalente por filas a otra matriz A si A se obtiene aplicando un número finito de transformaciones elementales por filas en A De esta forma, si A se obtiene aplicando p transformaciones elementales por filas en A, tendremos que existen p matrices elementales: E 1, E 2,, E p de tal manera que: La matriz: A = E p E p 1 E 1 A P = E p E p 1 E 1 recibe el nombre de matriz de paso de A a A En general, por tanto, una matriz de paso no es más que una matriz producto de matrices elementales evidentemente nos referimos a matrices de paso por filas, de manera análoga se definirían las matrices de paso por columnas Proposición: Si P es una matriz de paso, entonces es invertible, y su inversa es la matriz de paso de la transformación inversa Es decir: A = PA A = P 1 A Teniendo en cuenta las propiedades de las matrices invertibles, se obtiene de manera directa: P = E p E p 1 E 1 P 1 = E1 1 E2 1 Ep 1 La consecuencia inmediata de los razonamientos anteriores es que si A es equivalente por filas a A, entonces A también lo es a A De hecho se trata de una relación de equivalencia como puede comprobarse trivialmente en el conjunto de las matrices de un tamaño dado, y lo denotaremos de la forma: A A Definición: Sea A M m n R una matriz número de filas menor o igual que de columnas, es decir: m n Se dice que A es una matriz escalonada por filas si cada vector fila de A comienza con un número de ceros superior a la fila anterior En el caso de matrices con mayor número de filas que de columnas, m > n, la definición anterior es válida para las primeras n filas, siendo necesariamente nulas las m n filas restantes Para el caso particular de matrices cuadradas, de la definición anterior se deduce que una matriz escalonada por filas es necesariamente triangular superior El concepto de matriz escalonada por filas es completamente análogo al de sistema de vectores escalonado que fue introducido en el tema anterior De hecho una matriz es

MATRICES Y DETERMINANTES 21 escalonada por filas si su sistema de vectores fila es un sistema escalonado Las técnicas de eliminación gaussiana que planteamos entonces para los sistemas de vectores son ahora igualmente válidas, y así, trivialmente, toda matriz del tamaño que sea es equivalente por filas a una matriz escalonada por filas Teorema: Sea A M n n R una matriz cuadrada La condición necesaria y suficiente para que A sea una matriz invertible es que sea equivalente po filas a la matriz identidad Demostración: Como es lógico, separaremos la demostración en dos partes: A es invertible A es equivalente por filas a la matriz identidad Por medio de elimación gaussiana la matriz A es equivalente por filas a una matriz escalonada U dado que es cuadrada, de hecho es triangular superior Demostremos que entonces los elementos diagonales de U deben ser no nulos necesariamente Si alguno de los elementos diagonales fuera nulo, entonces la última fila de U sería completamente nula, dado que está escalonada por filas Pero entonces U no podría ser una matriz invertible una matriz invertible no puede tener una fila nula, pues su producto con otra matriz cualquiera generaría siempre una fila nula en el resultado, lo cual impide la obtención de la matriz identidad Sin embargo, tenemos que: U = E p E p 1 E 1 A y así U es igual al producto de p + 1 matrices invertibles, luego es invertible Concluimos por tanto que u ii 0, i = 1,, n Aplicando enotnces las n transformaciones elementales por filas F i 1 u ii a U, convertiremos la matriz en una cuya diagonal principal sea enteramente de unos A continuación, basta con utilizar la eliminación gaussiana hacia arriba habitualmente llamado remonte, comenzando por la última fila y eligiendo como pivotes los elementos de la diagonal El proceso concluirá al obtenerse la matriz identidad A es equivalente por filas a la matriz identidad A es invertible Si A I, entonces existen r matrices elementales de manera que: I = E r E r 1 E 1 A I = P A, P = E r E r 1 E 1 pero entonces es evidente que la matriz de paso P no es más que la matriz inversa de A, y en consecuencia A es invertible QED Método de Cálculo de la Matriz Inversa: Una posible manera de calcular la matriz inversa de una matriz invertible A se deduce directamente del Teorema anterior La matriz inversa es simplemente la matriz de paso que lleva de A a la identidad mediante transformaciones elementales por filas Si escribimos I A, es decir la matriz identidad y la matriz A como si constituyeran una matriz n 2n, y aplicamos transformaciones elementales a dicha matriz doble hasta llegar a que A se convierta en la identidad, entonces, trivialmente, la matriz identidad original, bajo las mismas transformaciones, se convertirá en la matriz de paso, es decir, la matriz inversa de A I A A 1 I

22 MATRICES Y DETERMINANTES Ejemplo: Obtener la inversa de la matriz: Se tiene que: 1 0 1 1 2 2 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 2 A = 1 0 1 0 1 1 1 2 2 A 1 = 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 2 2 0 1 1 0 1 0 1 1 2 0 1 2 1 1 1 1 1 2 1 0 1 0 1 1 0 2 1 0 1 0 1 1 0 0 1 2 1 1 1 1 1 2 Factorización L U Una interesante aplicación de las matrices elementales es la descomposición L U de una matriz cuadrada A Se trata de encontrar dos matrices, una triangular inferior, L, y otra triangular superior, U, de tal manera que A = L U Esta descomposición tiene especial utilidad en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, que veremos en un tema posterior Como veremos a continuación, no siempre es posible esta descomposición Analicemos el caso A M 3 3 R: buscamos una matriz L = l ij triangular inferior, l ij = 0, i < j, y tal que todos los elementos diagonales sean igual a 1: l ii = 1, i = 1, 2, 3: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = l 21 1 0 l 31 l 32 1 Desarrollando el producto tendremos, para la primera fila: u 11 u 12 u 13 0 u 22 u 23 0 0 u 33 a 11 = u 11 ; a 12 = u 12 ; a 13 = u 13 es decir, la primera fila de U coincide con la primera de A Si observamos ahora la primera columna del producto, y suponemos que a 11 0, tendremos: a 21 = l 21 u 11 l 21 = a 21 a 11 ; a 31 = l 31 u 11 l 31 = a 31 a 11

MATRICES Y DETERMINANTES 23 y así l 21 y l 31 son calculables en términos de los coeficientes a ij a 11 0 Pasemos a la segunda fila: siempre y cuando a 22 = l 21 u 12 + u 22 u 22 = a 22 l 21 u 12 ; a 23 = l 21 u 13 + u 23 u 23 = a 23 l 31 u 13 y conoceremos entonces la segunda fila de U como función de cantidades conocidas Continuando con el razonamiento, para la segunda columna de L y posteriormente para la tercera de U, obtendremos todos los coeficientes de L y U con el único requisito de que a 11 y a 22 sean no nulos Sin embargo, si por ejemplo a 11 = 0 la descomposición ya no será posible En la práctica aplicaremos el siguiente razonamiento: Si la matriz A puede ser convertida en una matriz triangular superior utilizando exclusivamente transformaciones elementales de los tipos: F i λ y F ij λ, siempre con i > j, entonces las matrices elementales involucradas son necesariamente triangulares inferiores, y sus inversas también, de esta manera: U = E p E p 1 E 1 A A = E p E p 1 E 1 1 U y dado que el producto de matrices triangulares inferiores es también triangular inferior, tendremos que L viene dadad directamente por el producto: L = E p E p 1 E 1 1 Para el caso general pueden demostrarse los siguientes resultados interesantes: Proposición 1: Si A es una matriz invertible y factorizable como producto L U con l ii = 1, i, entonces esa factorización es única Proposición 2: Si A es invertible, siempre es posible encontrar una matriz de permutación de filas P tal que P A sea factorizable LU Finalmente, anticiparemos un último resultado importante, que utiliza el concepto de menor principal que será definido en una próxima sección de este tema: Proposición 3: Una condición necesaria y suficiente para que una matriz invertible sea factorizable LU es que todos los menores principales de la matriz sean no nulos Ejemplo: Encontrar la factorización LU de la matriz 1 1 0 A 1 = 1 2 1 0 1 2 A = 1 1 0 1 2 1 0 1 2 F 211 1 1 0 0 1 1 0 1 2 F 321 1 1 0 0 1 1 = U

24 MATRICES Y DETERMINANTES A 1 = F 32 1F 21 1 1 U = F21 1 1 1F32 1U = F 21 1F 32 1U L = F 21 1F 32 1 A = L U = 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 26 Rango de una matriz Definición: Se llama rango por filas de una matriz A M m n R al rango del sistema de vectores fila de A, r f A = rangos f = dim LS f, con S f = { f 1,, f m } Evidentemente, coincide con el número de filas linealmente independientes que aparecen en la matriz A De manera equivalente se define el rango por columnas de A, considerando ahora, lógicamente, el sistema de vectores columna de A: S c = { c 1,, c n } r c A = rangos c = dim LS c Teorema del Rango: primera versión Dada una matriz A M m n R, su rango por filas y su rango por columnas coinciden Demostración Demostraremos que si el rango por filas de una matriz A es r f A = r, y el rango por columnas es r c A = r, entonces se cumple necesariamente que: r r Supongamos que la matriz A está presentada de manera que son precisamente las r primeras filas las que son linealmente independientes intercambiando filas si fuera necesario, lo que obviamente no afecta al rango por filas A = a 11 a 12 a 1r a 1,r+1 a 1n a 21 a 22 a 2r a 2,r+1 a 2n a r1 a r2 a rr a r,r+1 a rn a r+1,1 a r+1,2 a r+1,r a r+1,r+1 a r+1,n a m,1 a m,2 a m,r a m,r+1 a m,n Entonces el resto de filas, m r, son combinación lineal de las anteriores: f i = r k=1 λ i k f k, i = r + 1,, m o equivalentemente, para las componentes de dichas filas: a ij = r k=1 λ i k a kj, i = r + 1,, m ; j = 1,, n

MATRICES Y DETERMINANTES 25 Consideremos ahora un vector columna genérico de A, c j, j = 1,, n Se tiene: c j = a 1j, a 2j,, a rj, a r+1,j,, a mj = = r r a 1j, a 2j,, a rj, λ r+1 k a kj,, λ m k a kj = k=1 = a 1j 1, 0,, 0, λ r+1 1,, λ m 1 + a 2j 0, 1,, 0, λ r+1 2,, λ m 2 + + +a rj 0, 0,, 1, λ r+1 r,, λ m r y por tanto cualquier columna puede expresarse como una combinación lineal de r vectores Esto significa que el rango del sistema de columnas, es decir r, es necesariamente menor o igual que r, puesto que todas las columnas pertenecen a un subespacio generado por r vectores Repitiendo el mismo razonamiento pero comenzando el mismo con las columnas deduciríamos k=1 que r r, y así, en definitiva, tendremos que r = r QED 27 Determinantes Definición Dada una matriz cuadrada M n n R, definiremos su determinante como un número real asociado a ella Para el caso de matrices 2 2, el determinante puede ser definido de una forma muy sencilla: a b a b det = c d c d = a d b c Sin embargo, para tamaños superiores, la definición no es tan trivial, de manera que debemos recordar como paso previo algunos conceptos acerca del conjunto de permutaciones posibles de los elementos de un conjunto dado Grupo Simétrico Denominemos N al conjunto de los n primero número naturales: N = {1, 2,, n} Llamaremos S n al conjunto de todas las permutaciones posibles de dichos números Definición: Llamaremos permutación σ de n elementos a toda aplicación biyectiva del conjunto N = {1, 2,, n} en sí mismo: 1 2 n σ : N N, σ σ1 σ2 σn se trata por tanto de todo reordenamiento posible de los elementos que pertenecen al conjunto N Suele utilizarse una notación abreviada, escribiendo: σ = σ1 σn Ejemplo: El grupo simétrico S 3 tiene los siguientes elementos: σ 1 = 1 2 3 σ 2 = 1 3 2 σ 3 = 2 1 3

26 MATRICES Y DETERMINANTES σ 4 = 2 3 1 σ 5 = 3 1 2 σ 6 = 3 2 1 Recordemos que el número de permutaciones de n elementos, es decir el cardinal de S n, es el factorial de n, n! Composición Producto de permutaciones: Dadas dos permutaciones σ 1 y σ 2 de los elementos del conjunto N, se define el producto de permutaciones, que denotaremos como σ 2 σ 1, como la simple composición de ambas aplicaciones, es decir, la permutación: σ 2 σ 1 = = 1 2 n σ 2 1 σ 2 2 σ 2 n 1 2 n σ 2 σ 1 1 σ 2 σ 1 2 σ 2 σ 1 n 1 2 n σ 1 1 σ 1 2 σ 1 n Obviamente a partir de la operación producto de permutaciones se puede definir la permutación inversa σ 1 como aquella que verifica que σ 1 σ = σ σ 1 = Id, siendo Id la permutación identidad Es fácil dmostrar que el conjunto de las permutaciones S n de un conjunto N con la composición posee estructura de Grupo, el cual recibe el nombre de Grupo simétrico Trasposiciones: Se llama trasposición a la permutación consistente en el intercambio de sólo dos elementos en el conjunto N De forma genérica se tiene que, τ : N N, τ 1 i j n 1 j i n Con cierta frecuencia se utiliza la notación τ ij para denotar la trasposición anterior Proposición: Toda permutación puede escribirse como el producto composición de trasposiciones, esto es, σ S n se verifica que σ = τ p τ p 1 τ 1 Proposición: Si una permutación σ puede descomponerse en el producto de p trasposiciones, con p par, entonces todas las descomposiciones posibles de σ requieren un número par de trasposiciones, y análogamente si p es impar Se dice que una permutación es par si descompone en un número par de trasposiciones En caso de que dicho número sea impar hablaremos de permutaciones impares Definición: El signo de una permutación, que denotaremos por signσ es, signσ = { +1 si σ es par 1 si σ es impar

MATRICES Y DETERMINANTES 27 Definicion de Determinante Definición: Dada una matriz cuadrada A de números reales, A = a ij, se llama determinante de A, A o deta, al número real: deta = A = signσ a 1σ1 a 2σ2 a nσn σ S n En la definición anterior se ha elegido que en cada término de la suma estén fijadas las filas y se permuten los números de columna Es posible definir alternativamente el determinate intercambiando dichos papeles entre filas y columnas Aclararemos esta idea a continuación, en las propiedades de los determinantes En cualquier caso, la definición alternativa sería: deta = A = σ S n signσ a σ11 a σ22 a σnn Determinantes de orden 2: Si A es de orden 2, es evidente que la definición nos conduce a la expresión que ya había sido introducida en el apartado anterior: A = σ S 2 signσ a 1σ1 a 2σ2 = 1 a 11 a 22 + 1 a 12 a 21 = a 11 a 22 a 12 a 21 Determinantes de orden 3: De manera análoga, para el caso 3 3 se tiene: A = signσ a 1σ1 a 2σ2 a 3σ3 = σ S 3 = 1a 11 a 22 a 33 1a 11 a 23 a 32 1a 12 a 21 a 32 + 1a 12 a 23 a 31 1a 13 a 22 a 31 + 1a 13 a 21 a 32 = = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 21 a 32 + a 12 a 21 a 33 + a 11 a 23 a 32 que frecuentemente es llamada Regla de Sarrus 28 Propiedades de los determinantes Presentaremos a continuación una serie de propiedades básicas de los determinantes, cuyas demostraciones son sencillas aunque no las incluiremos: Sea A una matriz cuadrada de orden n n Denotaremos: f 1 f 2 A = a ij = y así f 1,, f n son los vectores fila de A f n

28 MATRICES Y DETERMINANTES 1 El determinante de la matriz A y el de su traspuesta A t coinciden, es decir: A = A t Esta propiedad tiene como consecuencia que todo lo que se exponga a continuación relativo a las filas de un determinante será válido también para las columnas 2 El determinante es lineal en cada fila y cada columna suele utilizarse entonces el término multilineal Esto significa que se verifican las siguientes relaciones: f 1 + f 1 f 1 f 1 λ f 1 f 1 = +, = λ f n f n f n f n f n y análogamente para cualquiera de las restantes filas 3 Si la matriz A tiene una fila nula, entonces A = 0 4 Si la matriz A se obtiene intercambiando en A el orden de dos filas, entonces A = A, es decir el determinante cambia de signo bajo una transformación elemental por filas de tipo F ij Como consecuencia directa de esta propiedad, si una matriz tiene dos filas iguales automáticamente su determinante es nulo 5 Si la matriz A se obtiene aplicando una transformación elemental por filas de tipo F i k en la matriz A, entonces: A = k A Nótese que esta propiedad está incluida en la anteriormente expuesta Propiedad 2 6 Si la matriz A se obtiene aplicando en A una transformación elemental de tipo F ij k, entonces sus determinantes coinciden, es decir: A = A 7 Si A es una matriz triangular superior o inferior, entonces el determinante de A es igual al producto de los elementos de la diagonal principal de A En particular, evidentemente, esta propiedad se aplica a las matrices diagonales 8 El determinante del producto de dos matrices A y B es igual al producto de los determinantes de cada matriz, es decir: A B = A B 9 Si una de las filas de la matriz A depende linealmente de las demás, entonces A = 0 Entonces evidentemente, si A = 0, el sistema de vectores fila de A es un sistema libre 10 Una matriz A es invertible si y sólo si su determinante es distinto de cero Además, el determinante de la matriz inversa es igual al inverso del determinante de la matriz A 29 Menores, adjuntos y Matriz adjunta Definición: Dada una matriz A de orden m n, llamaremos menor de orden p de A al determinante de cualquier submatriz que se obtenga a partir de A por la intersección de p filas y p columnas

MATRICES Y DETERMINANTES 29 Definición: Dada una matriz cuadrada A se llama menor complementario α ij de la posición ij al menor de orden n 1 que se obtiene al eliminar en A la fila i ésima y la columna j ésima Definición: Sea A una matriz cuadrada de orden n, se llama adjunto del elemento ij al número real: A ij = 1 i+j α ij Definición: Sea A una matriz cuadrada de orden n Se llama matriz adjunta de la matriz A, y de denota por AdA a la matriz que tiene como elementos a los adjuntos de los elementos de la matriz A: AdA = A ij Proposición: Sea A M n n R una matriz invertible, entonces se verifica: A 1 = 1 A AdAt = 1 A AdAt Proposición Desarrollo de un determinante por una fila o columna Sea A M n n R una matriz cuadrada, entonces se verifica: n A = a ij A ij j = 1,, n A = i=1 n a ij A ij j=1 i = 1,, n La primera expresión es lo que se conoce como desarrollo del determinante por la columna j ésima, mientras que la segunda es el desarrollo por la fila i ésima Esta propiedad de los determinantes llamada a veces Desarrollo de Lagrange nos indica que es posible reducir el cálculo de un determinante de orden n a una combinación lineal de determinantes de orden n 1 los que aparecen en los adjuntos correspondientes En particular, una elección adecuada de la fila o columna por la que se va a desarrollar permite simplificar mucho el cálculo final 210 Teorema del Rango En una sección anterior se defició el rango por filas y el rango por columnas de una matriz A M m n R Definiremos ahora una tercera posibilidad, el rango por menores: Definición: Se llama rango por menores de una matriz A M m n R al mayor de los ordenes de los menores no nulos contenidos en dicha matriz Teorema del Rango Dada una matriz A M m n R, su rango por filas, su rango por columnas y su rango por menores coinciden Gracias a este Teorema toda matriz de números reales tiene un único rango definido que puede ser calculado independientemente por filas, por columnas o por menores