Números enteros 1 OBJETIVO 1: Significado de los números enteros TEMA 1: NÚMEROS ENTEROS 1. Expresa las siguientes situaciones con números enteros a) El año 2500 a.c... b) Pasear por la orilla del mar... c) Estar a una temperatura de 10ºC bajo cero.... d) Debe 270 euros.... e) Sumergirse a una profundidad de 83 m.... f) Escalar una montaña de 2.200 m de altitud.... g) Bajar al segundo sótano.... h) Tener un saldo a favor de 6.458 euros... 2. Un edificio tiene cuatro plantas de garaje y seis pisos de altura. Tanto las plantas de garaje como los pisos miden tres metros de altura. Expresa con números enteros y en metros la altura a que se encuentra el suelo de cada planta de garaje y de cada piso. Altura desde el suelo Garaje Plantas -4-3 -2-1 1º 2º 3º 4º 5º 6º 3. Sitúa cada número (entero o natural) en el conjunto que le corresponda: a) 3 5 8 4 2 7 1 3 5 b) 4 6 9 5 3 8 2 4 6 4. A las 8 de la mañana el termómetro marcaba 5ºC; a las 12 del mediodía, la temperatura había subido 8ºC y a las 12 de la noche, había vuelto a bajar 5ºC. Qué temperatura marcará ahora el termómetro? 5. Anaximandro, filósofo y matemático griego, nació en el año 611 a. C. y murió en el año 547 a. C. Qué edad tenía al morir? 6. Salí de mi piso y bajé 3 plantas para buscar a mi amigo Juan. Subimos 4 pisos hasta la casa de Inés, que vive en el 9º. En qué piso vivo? Significado de los números enteros Luisa M.
Números enteros 2 7. En la siguiente tabla se indican las temperaturas que se han registrado en algunas ciudades. Ciudad Praga Amsterdan Francfort Madrid Sevilla Temperatura 8 4 0 7 10 a) En qué ciudad hizo más frío? b) En qué ciudad hizo menos frío? c) Cuál es la diferencia de temperatura entre esas dos ciudades? 8. Jesús y María juegan de la siguiente forma: tiran un dado y anotan el número que sale. Le ponen signo positivo si es par y signo negativo si es impar. Gana el que suma más puntos al final de todas las tiradas. Tiradas de Jesús: 3, 6, 1, 5, 2 Tiradas de María: 5, 2, 6, 5, 4 a) Quién ganó el juego? Razona tu respuesta calculando los puntos obtenidos por cada uno. b) Quién iba ganando en la segunda jugada? 9. Hemos comprado un camión congelador que estaba, al ponerlo en marcha, a 25 C. Al cabo de 4 horas estaba a 7 C. Cuántos grados bajó cada hora? 10. Julio ha consultado en un cajero automático los últimos movimientos de su cuenta corriente y ha obtenido el siguiente resguardo: a) Cuál es el saldo que le queda a 10/07? b) Cuánto ha gastado? Significado de los números enteros Luisa M.
Números enteros 3 OBJETIVO 2: Representar, ordenar y comparar números enteros 1. La siguiente tabla muestra la altura (positiva si es sobre el nivel del mar y negativa si es bajo el nivel del mar) de algunos picos y fosas marinas. Observa el cuadro: PICOS FOSAS Teide Everest Almanzor Marianas Mindanao Java Altura 3.718 8.848 2.592-11.520-11.524-7.450 a) Ordena los nombres de menor a mayor altura. b) Calcula en metros la diferencia de alturas que existe entre: El Everest y la Fosa. de Java.... El Everest y la Fosa de Mindanao.... El Teide y la Fosa de las Marinas... El Teide y la Fosa de Mindanao.... c) Cuál es la mayor diferencia en altura entre estos puntos de la Tierra? d) Y la menor?. 2. Halla los números enteros representados en la siguiente recta y ordénalos de menor a mayor: 3. Halla el valor absoluto de cada número y represéntalo en la recta numérica: +6, - 4, - 11, +15, -14, -5, -1, +9 4. Representa en la recta numérica todos los números enteros cuyo valor absoluto sea: a) Igual a 3 b) Menor que 4 5. Compara los siguientes pares de números enteros. a) 3 y -8 b) -13 y -25 c) -12 y 6 d) -5 y -6 e) 0 y -28 f) -15 y -7 Ordenar y comparar números enteros Luisa M.
Números enteros 4 OBJETIVO 3: Realizar sumas y restas con números enteros Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone el resultado con el mismo signo que tenían. EJEMPLOS: ( 7) + ( 5) = 12 ( + 7) + ( + 2) = + 9 Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto. EJEMPLOS: ( 5) + ( + 8) = + 3 ( 7) + ( + 2) = 5 La resta de dos números enteros es la suma del primero más el opuesto del segundo. EJEMPLOS: ( 5) ( + 8) = 5 8 = 13 ( 7) + ( + 2) = 7+ 2 = 5 1. Haz las siguientes sumas: a) (+10) + (+5) =.. b) ( 7) + ( 6) =.. c) (+10) + ( 25) =.. d) (+7) + (+6) =.. e) (+4) + (+6) =.. f) ( 10) +(+25) =.. g) ( 4) + ( 6) =.. h) (+4) + ( 10) =.. i) (+15) + ( 10) =.. 2. Haz las siguientes restas: a) (+10) (+5) = ( ) + ( ) =.. b) ( 7) ( 6) = ( ) + ( ) =.. c) (+7) (+6) = ( ) + ( ) =.. d) (+4) (+6) = ( ) + ( ) =.. e) ( 4) ( 6) = ( ) + ( ) =.. f) (+4) ( 10) = ( ) + ( ) =.. OPERACIONES COMBINADAS DE SUMAS Y RESTAS Para facilitar las operaciones, cuando en una expresión aparezcan varios números enteros, es conveniente sumar todos los positivos por un lado y los negativos por otro y, a continuación, operar los dos resultados. EJEMPLO 3. Realiza las siguientes operaciones: d)10 15 13+ 8 6= = e)17 12 8 5+ 3= = f) 7 2+ 13 6+ 10= = Suma y resta de números enteros Luisa M.
Números enteros 5 RECUERDA: Regla de los signos con paréntesis: +(+a) = +a +( a) = a (+a) = a ( a) = +a Es muy fácil de recordar: Si tenemos un signo «+» delante del paréntesis, dejamos lo que hay dentro como está. Si tenemos un signo delante del paréntesis, cambiamos de signo lo que hay dentro. EJEMPLOS (+5) + ( 9) ( 3) (+7) = +5 9 + 3 7 = 8 16 = 8 ( 3) (+5) ( 8) = 3 5 + 8 = 8 + 8 = 0 4. Elimina paréntesis y, después, calcula. a) 12 (+5) = 12.. = b) 6 ( 3) = 6.. = c) 8 + ( 2) = 8.. = d) 6 + ( 9) = 6.. = e) 10 + (+7) = 10.. = f) 3 ( 2) = 3.. = 5. Elimina paréntesis y resuelve. a) ( 3) + (+10) ( 5) + (+4) =... b) (+15) ( 7) + ( 10) + (+13) =... c) (+10) + ( 16) ( 3) (+20) =... d) ( 3) + ( 2) + (+18) (13) =... e) ( 5) (+12) + ( 3) + ( 10) =... 6. Realiza las siguientes operaciones, haciendo primero los paréntesis: EJEMPLO: 3 ( 8 + 9) = 3 + 8 9 = 8 12 = 4 a) 5 + (4 11) = 5.. = b) 2 (7 10) = 2.. = c) 15 + (8 4 3 + 9) =. d) 13 (5 + 12 + 4 7) = e) 5 ( 2 7 + 12) =.. 7. Realiza las siguientes operaciones, haciendo primero los paréntesis: EJEMPLO: 10 + ( 12 + 8) (8 15) = 10 + ( 4) ( 7) = 10 4 + 7 = 7 14 = 7 a) 25 (5 8 10) =... b) (10 + 8 3) + 24 =... c) 25 + ( 10 8) + 3 =... d) 10 (5 3) ( 9 + 5) =... e) (3 + 10 4) ( 1 + 5) =... f) 20 + ( 2 3 5) (20 30) =... Suma y resta de números enteros Luisa M.
Números enteros 6 OBJETIVO 4: Realizar multiplicaciones y divisiones con números enteros Para multiplicar números enteros tenemos que: 1. Multiplicar los valores absolutos de los números. 2. Poner el signo resultante de aplicar la regla de los signos: (+) (+) = + (+) ( ) = ( ) ( ) = + ( ) (+) = 1. Opera los siguientes productos de números enteros: a) (+1) (+5) = b) ( 16) ( 2) = c) ( 2) (+9) = d) (+18) (+3) = e) (+6) (+2) = f) ( 5) ( 14) = g) ( 8) (+7) = h) ( 6) ( 9) = i) ( 7) (+8) = Para dividir números enteros tenemos que: 1. Dividir los valores absolutos de los números. 2. Poner el signo resultante de aplicar la regla de los signos: (+) : (+) = + (+) : ( ) = ( ) : ( ) = + ( ) : (+) = 2. Opera las siguientes divisiones de números enteros: a) (+10) : (+5) = b) ( 16) : ( 2) = c) ( 2) : (+2) = d) (+18) : (+3) = e) (+6) : (+2) = f) ( 50) : ( 10) = g) (+56) : (+7) = h) (+24) : ( 3) = i) ( 18) : ( 9) = 3. Realiza las siguientes operaciones: a) (+2) ( 3) (+5) = c) (+27) : ( 3) : (+3) = e) ( 3) (+8) : ( 4) = b) ( 4) (+3) ( 14) = d) ( 40) : (+8) : ( 5) = f) ( 24) : ( 6) (+5) =.. 4. Calcula: a) 72 : (.) = 8 b) 24 : (.) = 4 c) (.) (+7) = 56 d) 21 : (.) = 3 e) (+63) : (.) = 9 f) (.) ( 6) = 54 g) (+56) : (.) = 7 h) (+4) (.) = 28 i) (.) ( 9) = 36 5. Calcula: a) (+2) [( 24) : (+6)] = (+2) (.) =.. b) (+27) : [( 3) (+3)] = (+27) : (.) =.... c) [( 9) (+8)] : ( 6) = (.) : ( 6) =. d) [( 24) : (+8)] ( 2) = (.) ( 2) =.. e) [( 40) : (+8)] : ( 5) = f) ( 72) : [( 6) (+2)] =.... Producto y división de números enteros Luisa M.
Números enteros 7 OBJETIVO 5: Realizar operaciones con números enteros respetando la jerarquía: Las operaciones combinadas se efectúan en el siguiente orden: 1) Primero, se realizan las operaciones que haya dentro de los corchetes o paréntesis, siempre de dentro hacia fuera. ( ) ( ) 6 9 7 15: 8 5 = 6 2 15: 3 2 3 Recuerda que un signo negativo delante de un paréntesis cambia el signo del resultado cuando se elimina dicho paréntesis: 2) Potencias y raíces 3) Multiplicaciones y divisiones 4) Sumas y restas [ ] ( ) ( ) 2 3 ( 4) 3 5 = 2 ( 3 + 4) 2 = 2 7+ 2 3 + 4 7 2 + 2 En el caso de tener el mismo nivel, se efectúan de izquierda a derecha. ( ) 4+ 2 3 = 4 6= 2 1+ 3 5 + (- 4) ( + 3) = 1+ 15 12 = 4 1. Realiza las siguientes operaciones: ( ) ( ) ( ) a) 7 3 + ( 12):( 4) ( + 3) ( 5) = + =... ( ) ( ) ( ) ( ) b) 12 ( 6) : 2 + 5 3 + ( 2) ( + 8) = 12 + + =... ( ) ( ) ( ) c) 5 ( 8) : 2 + ( 3) ( + 4) = 5 + =... 2. Calcula paso a paso: a) 12 4 5 ( 12) : 4 =... b) 12 + ( 3) + 2 2 =... c) 4 3 5 ( 1) + ( 2) 8 =... d) 20 + ( 5) + 6 ( 1) =... 3. Realiza las siguientes operaciones: a) 3 ( 2) + 5 ( 1) =... b) 13 4 ( 5) + ( 2) 3 =... c) ( 7) ( 2) 3 ( 2) + ( 3) 4 =... d) 14 ( 12) : 2 + 4 ( 3) =... Operaciones combinadas de números enteros Luisa M.
Números enteros 8 4. Realiza las siguientes operaciones: ( ) ( ) ( ) a) 5 3 8 6 = 5 3 = 5 =... ( ) ( ) b ) 4 + 3 (7 3 4) = 4 + 3 7 = 4 + 3 =... ( ) ( ) c) 4 ( 3) 12 + 3 (5 8) = 12 + 3 = 12 + =... 5.- Calcula: a) 6 + 4 3 2 =... b) 10 10 : 2 + 15: 3 + 4 4 =... c) 6 + 4 (5 3 + 8) =... d) 5 3 + 8 4 2 6 =... e) (4 + 8 3 + 5) 4 + 2 =... f) (6 + 8) : 2 + 18: (5 + 4) =... 7.- Calcula y compara: a) 5 + 4 3 1 =... b) 5 + 4 (3 1) =... c) (5 + 4) 3 1 =... d) (5 + 4) (3 1) =... 8.- Coloca los paréntesis donde convenga para obtener el resultado que se indica: a) 4 + 2 8 6 8 b) 4 + 2 8 6 14 c) 4 + 2 8 6 42 d) 4 + 2 8 6 12 9.- Realiza las siguientes operaciones: ( ) a) 16 5 9 2 10 7 16 5 9 2 16 5 9 = = = 16 5 = 16 =... ( ) ( ) b) 4 12 3 9 5 3 ( 4) 4 12 3 3 ( 4) 4 12 = = = 4 =... ( ) ( ) ( ) ( ) c) 7 3 5 8 2 9 12 7 3 2 7 = = =... d) [ 3 + 4 4 ( 5 3 2 ) ] 2 [3 (- 2)] =... e) 18 : [(-3) + 9] 2 [(-2) 5 + 3] =... Operaciones combinadas de números enteros Luisa M.
Números enteros 9 OBJETIVO 6: Realizar operaciones con potencias de números enteros. Una potencia es una manera más corta de representar un número multiplicado varias veces. EJEMPLO: 2 3 = 2 2 2 = 8 Dada la potencia a n : La base es el factor que se está multiplicando (a). El exponente es el número de veces que se multiplica el factor (n). Toda potencia de exponente cero vale 1. 1. Calcula el resultado de las siguientes potencias: a) (-7) 2 = (-7) (-7) =... b) (-3) 4 = (-3) (-3) (-3) (-3) =... c) (-2) 5 =... d) (-10) 3 =... e) (-1) 7 =... f) (-2) 6 =... 2. Completa la siguiente frase, teniendo en cuenta los resultados del ejercicio anterior: El resultado de una potencia con base negativa: Es positiva si el exponente de la potencia es Es negativa si el exponente de la potencia es 3. Averigua el resultado de las siguientes potencias: a) (-10) 2 =... b) (-3) 5 =... c) (-4) 3 =... d) (-2) 4 =... e) (-6) 3 =... f) (-1) 68 =... PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON POTENCIAS DE BASE NEGATIVA a) Para multiplicar dos potencias con la misma base, se suman los exponentes manteniendo la misma base. b) Para dividir dos potencias con la misma base, se restan los exponentes manteniendo la misma base. c) Para elevar una potencia a otra, se multiplican los exponentes manteniendo la misma base. EJEMPLOS (-3) 4 (-3) 3 = (-3) 7 (-2) 7 : (-2) 4 = (-2) 3 [(-5) 3 ] 2 = (-5) 6 4. Efectúa las siguientes operaciones aplicando las propiedades de las potencias. Deja el resultado en forma de una sola potencia: a) (-2) 4 (-2) 3 =.. b) (-7) 7 (-7) 3 =. c) (-3) 5 (-3) 4 =. d) (-5) 6 : (-5) 4 =.. e) (-2) 7 : (-2) 3 =. f) (-8) 6 : (-8) 3 =.. g) ((-7) 4 ) 3 =. h) ((-4) 6 ) 3 = i) ((-3) 5 ) 3 =. 5.- Expresa como una potencia: a) (-4) 3 (-4) 3 = b) (-8) 5 : (-8) 3 = c) (-2) 10 : (-2) 2 =... d) (-10) 4 : (-10) = e) ((-3) 2 ) 2 =.. f) (-6) 3 (-6) 5 : (-6) 4 =... Potencias de números enteros Luisa M.
Números enteros 10 OBJETIVO 6: Realizar problemas con números enteros 1. Un avión vuela a 10.000 metros de altura sobre el nivel del mar. Suponiendo que la temperatura descienda 6 grados centígrados en cada kilómetro, y que el nivel del mar es de 20º C. Cuál es la temperatura en el exterior del avión? 2. Un buceador está sumergido a -24 metros del nivel del mar y sube a una velocidad de 3 metros por minuto. A qué profundidad estará al cabo de 5 minutos? 3. Un comerciante debe 24 euros y decide pagar la deuda en cuatro meses. a) Con qué número expresarías la deuda? b) Calcula utilizando números enteros cuántos euros pagará cada mes 4.- El grifo de una bañera está estropeado y pierde 2 litros de agua cada día. Cuando lo arreglaron había perdido 24 litros. Cuántos días estuvo estropeado? 5.- Guillermo se baja del ascensor en la 4ª planta y se sienta a esperar su turno para el dentista. Observa como el ascensor sube 3 pisos, luego baja 8, más tarde sube 3, luego sube 5 más, para después bajar 5 y luego bajar 2 más. a) En qué planta se ha detenido finalmente? b) Si en pasar de un piso al siguiente tarda 5 segundos, cuánto tiempo ha estado en funcionamiento para hacer el recorrido que ha observado Guillermo? Problemas con números enteros Luisa M.