PRÁCTCA NÚMERO 6. ESTUDO DE UN CRCUTO RLC EN CORRENTE ALTERNA. 6.. Análisis Teórico del Circuito. En las prácticas anteriores se ha analizado el comportamiento del circuito RLC cuando este es alimentado mediante una corriente continua. En esos casos analizábamos el régimen transitorio, concluyendo que en el régimen estacionario un condensador se asemeja a un circuito abierto mientras que una bobina lo hace a un cortocircuito. Sin embargo, en corriente alterna, en la que los valores de las señales cambian constantemente con el tiempo, el comportamiento del condensador y de la bobina en el régimen permanente deja de ser el comentado con anterioridad. En esta práctica analizaremos el comportamiento de un circuito RLC en corriente alterna senoidal como se ilustra en la figura 6., de amplitud y frecuencia angular ω: Figura 6.. Circuito RLC en corriente alterna La ecuación diferencial que rige este circuito es la siguiente: d sen( ωt) = L + dt + R (6.) dt C Aunque los circuitos de corriente alterna también tienen transitorio, en nuestro caso estamos interesados en el régimen estacionario de este circuito. La resolución de circuitos de corriente alterna en régimen estacionario se hace a través del método denominado de las impedancias complejas. La impedancia compleja, que como su propio nombre indica es una magnitud compleja, se denota como Z y se define a partir de la ley de Ohm generalizada para magnitudes complejas que se escribe como: 36
= Z (6.) en donde tanto como son magnitudes complejas (las denotaremos con esa barra para distinguirlas de sus correspondientes magnitudes en el espacio temporal). Por otro lado, de la expresión de Euler para números complejos: α e j = cosα + jsenα (6.3) se concluye que cualquier función coseno se puede expresar como la parte real de la exponencial y cualquier función seno como la parte imaginaria de la exponencial. De acuerdo con esto, podemos expresar la tensión senoidal proporcionada por la fuente de la siguiente forma: jωt sen ωt = e (6.4) donde se sobreentiende que nos quedamos con la parte imaginaria de dicha exponencial. Teniendo todo esto en cuenta, analicemos cuál es el comportamiento de cada uno de los elementos pasivos del circuito. Supongamos que conectamos una resistencia R a dicha fuente de alimentación. La corriente eléctrica que atravesará la resistencia generada por la fuente de alterna será: en la resistencia será: jωt = sen ωt = e, con lo que la tensión R = ω = R [ ] j ω e t Rsen t m (6.5) y como se desprende de la expresión anterior, la tensión en la resistencia está en fase con la corriente que la atraviesa. Considerando la expresión (6.) y teniendo en cuenta la ecuación (6.5) se tiene que la impedancia asociada a una resistencia (impedancia resistiva) Z R es igual a R y por tanto se trata de un número real. Esto nos lleva a concluir que el comportamiento de una resistencia en corriente alterna es el mismo que en el caso de corriente continua. Supongamos que lo que conectamos ahora a la fuente es un condensador con capacidad C. La tensión en los bornes del condensador será igual a la fuerza 37
electromotriz proporcionada por la fuente de corriente alterna. La carga almacenada en el condensador será entonces: q jωt ( t) = Csenωt q = Ce (6.6) La intensidad de corriente por el circuito será igual a la derivada temporal de la carga, esto es: = jωt jωc e = jωc (6.7) con lo que el cociente entre la tensión compleja y la intensidad compleja en (6.7) es igual a ( jω C) y de acuerdo con (6.) se define la impedancia capacitiva como Z C = ( jωc). Si pasamos la expresión (6.7) al dominio del tiempo, podemos escribir la intensidad de corriente como: t) = ωc sen( ωt + π ) = sen( ωt + ) (6.8) ( π Esto implica que el condensador provoca que la intensidad de corriente esté adelantada 9º con respecto a la tensión en el condensador. Analicemos por último qué ocurre cuando lo que conectamos a la batería es una bobina o inductor. Supongamos nuevamente que la corriente que atraviesa a la bobina debido a la fuente es por: = senωt. La tensión en los extremos de la bobina viene dado L d = L = jωl (6.9) dt con lo que de acuerdo con (6.) se define la impedancia inductiva Z L como Z L = jωl. Si escritos la tensión en la bobina en el dominio del tiempo, esta viene dada como: t) = jωl sen( ωt + π ) = sen( ωt + ) (6.) ( π lo que significa que la bobina provoca que la corriente que circula a través de ella vaya retrasada 9º con respecto a la tensión entre sus extremos. 38
Las impedancias en un circuito pueden asociarse en serie y en paralelo de igual forma que las resistencias y al ser dimensionalmente iguales a estas su unidad en el S.. es también el ohmio. Teniendo todo esto en cuenta, la ecuación del circuito (6.) puede ser escrita en el plano complejo como: j t e = jωl + + R (6.) jωc ω en donde = e j( ωt +ϕ). Al resolver la ecuación (6.) el objetivo es determinar la amplitud la intensidad,, y la fase inicial de la misma, ϕ. En el plano real, la solución es: = sen( ωt + ) (6.) ϕ y la tensión en los extremos de la resistencia será: [ ω( + ϕ/ )] R = R sen( ωt + ϕ) = sen t ω R (6.3) donde, de la solución de (6.) se ha obtenido: R Lω /( Cω) R = ; ϕ = arctg (6.4) R + ( Lω /( Cω)) R 5.. Desarrollo Experimental. Esta Práctica ha sido dividida en tres apartados. Para todos ellos hemos tomado unos parámetros fijos que son: R=,5kΩ, L= mh, C= 3nF, =.5. Lógicamente, el primer paso antes de comenzar con la práctica en sí se deberá medir los valores reales de la inducción, capacidad y resistencia que se les proporcione con ayuda del polímetro así como comprobar que la amplitud de la onda senoidal proporcionada por el generador de frecuencias es de.5 voltios. Esto último se hará, como siempre, con ayuda del osciloscopio. Una vez hecho esto se rellena la tabla 6. 39
Tabla 6.. Datos reales de los elementos pasivos. Magnitud Escala alor ncertidumbre Resistencia nducción Capacidad Amplitud de la señal 6... Estudio temporal para una frecuencia f=5 khz. Con esta frecuencia y con los datos teóricos proporcionados anteriormente, se tiene a partir de (6.4) que la amplitud de la tensión medida en la resistencia es de.38 y el desfase medido en el osciloscopio es t =ϕ/ω =.3 µs; es decir: ϕ =.3x -6 πf =.3 x -6 π5 x 3 =.7 rad. En la figura 6. se representa lo que se observaría en el osciloscopio. Figura 6.. Tensión en la resistencia, fuerza electromotriz y desfase temporal entre ambas. El procedimiento a seguir en este primer apartado será el siguiente:. Con ayuda del MATLAB y con los valores reales de la resistencia, inducción y capacidad se calcularán numéricamente la amplitud de la tensión en la resistencia y el desfase de esta con respecto a la fuerza electromotriz del generador. 4
. A continuación se procederá al montaje del circuito y a la medida con ayuda del osciloscopio de esas dos magnitudes. Se compararán los resultados con los obtenidos numéricamente: Tabla 6.. Contrastación de resultados Magnitud alor Numérico alor Experimental Error Relativo Amplitud Desfase 6... Estudio frecuencial. En este segundo apartado vamos a analizar el comportamiento del circuito con la frecuencia. Para eso variaremos la frecuencia de la señal en el generador de señales desde khz hasta khz. Para los valores teóricos dados en esta práctica se tiene la siguiente tabla: Tabla 6.3. Resultados Teóricos Frecuencia de la fuente Tensión en la resistencia Frecuencia Pulsación Amplitud Desfase Desfase (khz) (rad/s) () (µs) (rad) 55. 345.6x 3.44.4.5 65. 48.4x 3.5.. 75. 47.x 3.45 -.9 -.44 La representación gráfica de ambas magnitudes en función de la frecuencia viene dada en la figura 6.3 4
Figura 6.3. Amplitud y desfase de la tensión en la resistencia en función de la frecuencia El procedimiento a seguir en este segundo apartado es el siguiente:. Con ayuda del MATLAB y con los valores reales de la resistencia, inducción y capacidad se calcularán numéricamente la amplitud de la tensión en la resistencia y el desfase de esta para todas las frecuencias que se señalan en la tabla 6.4. Tabla 6.4. Resultados numéricos Frecuencia de la fuente Tensión en la resistencia Frecuencia (khz) ω (rad/s) Amplitud () Desfase (µs) Desfase (rad). 4. 6. 8... A continuación se realiza el montaje del circuito y con ayuda del osciloscopio se determina experimentalmente la amplitud y el desfase para todas las frecuencias anteriores, rellenando así la tabla 6.5. 4
Tabla 6.5. Resultados experimentales Frecuencia de la fuente Tensión en la resistencia Frecuencia (khz) ω (rad/s) Amplitud () Desfase (µs) Desfase (rad). 4. 6. 8.. 3. Finalmente se realiza una comparación entre los resultados obtenidos experimentalmente y los obtenidos numéricamente, determinando así los errores relativos obtenidos. Tabla 6.6. Errores cometidos Frecuencia (khz). 4. 6. 8.. Error en Amplitud Error en Desfase 5..3.- Frecuencia de resonancia. La potencia media suministrada por la fuente es: P media = cosϕ (6.5) Tal y como se desprende de la ecuación anterior, cuando la corriente y la tensión de la fuente están en fase, la potencia media suministrada por la fuente es máxima. Esta condición implica que ϕ=, con lo que la frecuencia para esa situación a partir de (6.4) viene dada por: ω = (6.6) LC 43
Esta frecuencia se denomina de resonancia y para los datos teóricos de nuestro circuito es: ω = 48, x 3 rad/s; es decir, f 65 khz. Nota : el comportamiento de este circuito, a bornes de la resistencia, es el de un filtro pasa-banda; es decir, deja pasar las señales en el entorno a la frecuencia de resonancia. Sin embargo, señales de frecuencias (bajas o altas) lejanas a la frecuencia de resonancia son amortiguadas (tal y como se puede observar en la figura 6.3 para la amplitud de la tensión en la resistencia). En este último apartado se procederá a calcular con ayuda del MATLAB el valor numérico de la frecuencia de resonancia para los valores reales de nuestros componentes pasivos. Posteriormente y con ayuda del osciloscopio determinaremos el valor de la misma de forma experimental. Finalmente calcularemos el error relativo. Tabla 6.7. Frecuencia de resonancia numérica y experimental y error relativo Frecuencia (khz) alor Numérico alor Experimental Error Nota. La potencia media suministrada por una fuente puede ser también escrita en función de los valores eficaces (r.m.s.) de la tensión y de la corriente a través de la expresión: P media = e e cosϕ = e e cosϕ ya que el valor eficaz de la tensión y de la corriente se definen como: e = e = 44