UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA FÍSICA MECÁNICA MÓDULO #4: FUERZAS ESPECIALES DE LA MECÁNICA Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H. Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Interacciones fundamentales. Fuerzas especiales en la mecánica. Fuerza gravitacional Fuerzas de contacto o Fuerza en cuerdas. o Fuerza elástica. o Fuerza entre superficies sólidas. o Fuerza de fricción en fluidos. Temas 1 I. Interacciones fundamentales Las interacciones de la naturaleza se pueden agrupar en cuatro grupos: la interacción nuclear fuerte, la interacción nuclear débil, la interacción electromagnética y la interacción gravitacional. La interacción nuclear fuerte es la poderosa fuerza de enlace de corto alcance (10-15 m, es despreciable fuera del núcleo). Opera entre los neutrones y los protones, y controlan la formación de núcleos atómicos (evitan su explosión debido a la repulsión entre los protones). Es la fuerza de enlace a nivel nuclear. La interacción nuclear débil actúa sobre todas las partículas materiales. También son de corto alcance (10-18 m) y es la responsable de definir si un núcleo atómico es radiactivo o no. La interacción electromagnética, es la ejercida entre las partículas cargadas y es de largo alcance (alcance ). Es la responsable de mantener los electrones alrededor del núcleo y de mantener los átomos formando moléculas. Es la responsable de los enlaces de la materia en sus diferentes formas. Por ejemplo, es la responsable de las propiedades elásticas de los resortes, de mantener intacta una cuerda en tensión, del rozamiento entre los cuerpos, de la fuerza normal entre dos cuerpos en contacto, etc... Es la fuerza de enlace a pequeña escala (microscópica). Es la responsable de las propiedades químicas de un elemento. Los cuerpos (mesa, taburetes, mano, pies, carros,...) mantienen su contextura debido a que esta interacción une sus partes microscópicas. La interacción gravitacional es también de largo alcance ( ) y se ejerce entre los cuerpos debido a que poseen masa (ley de gravitación universal). El peso de los cuerpos es un caso de ella. Es la que gobierna a gran escala. Mantiene a los planetas, estrellas y galaxias unidos. Es la fuerza de enlace cósmica. Si se compara sus órdenes de magnitudes, se encuentra que la fuerza electromagnética es 100 veces más débil que la interacción nuclear fuerte. La interacción nuclear débil es 10 11 veces (cien mil millones) más débil que la interacción electromagnética. Esta última es 10 39 veces mayor que la interacción gravitacional.
11 10 10 Nuclear fuerte Electromagnética Nuclear débil F F F F Electromagnética 39 10 F Gravitacional En definitiva cualquier fuerza en la naturaleza se debe poder clasificar dentro de estas cuatro. Las fuerzas en mecánica son de naturaleza electromagnética (las tensiones en las cuerdas, las fuerzas de contacto -normal y de fricción-, las fuerzas elásticas) y gravitacional (el peso). II. Fuerzas especiales en la mecánica Las fueras especiales en mecánica son: La fuerza gravitacional (ejemplo, el peso). Las fuerzas de contacto (son de naturaleza electromagnética): o o o III. Fuerza en cuerdas. Fuerza de contacto entre superficies: fuerza normal y fuerza de fricción. Fuerza elástica (ejemplo, la fuerza en resortes). Fuerza gravitacional En la mayoría de los casos, la gente confunde la masa con el peso. Se dice que algo tiene mucha materia si es muy pesado. Esto se debe a que se está acostumbrado a medir la cantidad de materia que contiene un objeto por medio de la fuerza de atracción gravitacional que la tierra ejerce sobre él. Pero la masa es algo más fundamental que el peso; la masa depende del número y del tipo de átomos que lo componen: es una propiedad intrínseca del cuerpo. En tanto, el peso es una medida de la fuerza gravitacional que actúa sobre el cuerpo y varía dependiendo del lugar donde éste se encuentre (en la Luna, en el planeta Tierra, en el planeta Marte,...). Sin embargo si aplicamos la misma fuerza al objeto en la tierra y en la luna, la aceleración que adquiere éste es la misma concluyéndose que la masa del cuerpo en la Luna y en el planeta Tierra es la misma: esto se analizará con detalle en un módulo más adelante que trate sobre la denominada segunda ley de Newton de movimiento. Masa vs Peso Masa: Cantidad de materia que contiene un cuerpo. Más específicamente, es una medida de la inercia que presenta un cuerpo en respuesta a cualquier intento por ponerlo en movimiento, detenerlo, desviarlo o cambiar en alguna forma su estado de movimiento (o de reposo).
Peso: Fuerza de atracción gravitacional que ejerce el planeta Tierra (o la Luna, o el planeta Marte,...) sobre el cuerpo. La masa y el peso no son lo mismo, pero son proporcionales uno al otro. Los objetos cuya masa es grande son muy pesados. Los objetos con masas pequeñas tienen pesos pequeños. En un mismo lugar, duplicar la masa equivale a duplicar el peso. La masa tiene que ver con la cantidad de materia de un objeto. El peso tiene que ver con la intensidad de la fuerza gravitacional que ejerce el planeta Tierra (la Luna,...) sobre el objeto. Con base en la segunda ley de Newton de movimiento se puede deducir que si un cuerpo de masa m que está sólo bajo la acción del PESO P ( caída libre ) se moverá con una aceleración igual a la aceleración de la gravedad (cuyo valor promedio en la superficie terrestre es g 9,80 m.s ), Figura 1. Es necesario agregar que independientemente de la masa todos los cuerpos caen con esta aceleración. Con base en lo expresado en éste párrafo se puede concluir que, 3 P mg Esta expresión en magnitud es, P mg Figura 1 Cuánto pesa un Kilogramo? Si se deja caer un cuerpo de 1,00 Kg de masa en el planeta Tierra, Figura 1, éste desciende con una aceleración igual a 9.80 m.s - (despreciando los efectos de rozamiento con el aire). Si aplica la segunda ley de Newton, se obtiene: P mg P 1,00 kg 9,80 m.s 9,80 N Es decir el peso en el planeta Tierra, de 1,00 kg de masa es igual a 9,80 N (Newton). En el sistema técnico (ST, que es muy usado en ingeniería) se dice que en el planeta Tierra un cuerpo cuya masa es de 1,00 kg, tiene un peso de 1,00 kgf (kilogramo-fuerza). Esta unidad, obviamente, no es del sistema internacional (SI). En conclusión, otra unidad de fuerza es el kgf que equivale a 9,80 N, 1,00 kgf=9,80 N
En la luna ese mismo cuerpo de 1,00 kilogramo de masa sólo pesaría 1,60 N. La caída Libre Galileo mostró que todos los objetos que caen se mueven con la misma aceleración sin importar su masa (como se comentó en párrafo anterior). Esto es estrictamente cierto sólo si la resistencia del aire es despreciable, es decir, si los objetos están en caída libre. En el vacío, una pluma y una piedra caen con la misma aceleración (igual a 9.80 m.s - aquí en el planeta tierra): esto se debe a que la relación peso-masa ( P g se mantiene constante), es decir, si se divide el valor del peso de la piedra entre su masa se obtiene m el mismo valor que si se divide el peso de la pluma entre su masa, y este valor es g. 4 Ley de Gravitación Universal entre masas puntuales Newton no descubrió la gravedad. Lo que Newton descubrió es que la fuerza de gravedad era universal. Todos los objetos tiran unos de otros (se atraen) por el sólo hecho de poseer masa. La fuerza de atracción de un objeto sobre otro (considerados puntuales, es decir, partículas) es proporcional a la masa de ellos (proporcional al producto de las masas) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa, Figura. Figura Matemáticamente podemos escribir ésta ley así (en términos de proporcionalidad), mm F d 1 La igualdad se obtiene a través de la denominada constante universal G cuyo valor en el SI es igual, G 6,67 10 N.m.kg 11 que es muy pequeña para la escala cotidiana en la que nos movemos. Esta constante fue medida por primera vez por Henry Cavendish en el siglo XVIII. La relación anterior se escribirá entonces así: mm F G d 1 En la Figura se ilustra la fuerza de atracción que ejerce la masa m 1 sobre la masa m. La reacción sería la que ejerce m sobre m 1 y actuaría sobre ésta última (son iguales en magnitud: ley de acción y reacción).
Ejercicio: Calcular la fuera de atracción gravitacional entre dos personas que están separadas 1,50 m y cuyas masas son de 80,0 kg, Figura 3. Para realizar el cálculo considerar que cada persona es una partícula. Solución: 5 Figura 3 11 m.n 80,0 kg 80,0 kg 7 F F' 6, 67 10 1,90 10 N kg 1,50 m Si se compara este valor con el peso de cada una de las personas ( P m1 g 80,0 kg 9,80 m.s 784 N ), se puede concluir que esa fuerza de atracción es despreciable. En la práctica esa fuerza de atracción tiene un valor apreciable cunado al menos uno de los cuerpos es tipo astronómico (ejemplo, un planeta). Ley de Gravitación Universal entre masa puntual y esfera homogénea Si una de las masas es una esfera considerada homogénea, se puede considerar que ésta tiene concentrada su masa en su centro, en cuyo caso la interacción de ésta esfera con una masa puntual es de la misma forma que la atracción entre dos partículas (es decir, se reduce al caso anterior). Este es el caso apr0ximado de la atracción que ejerce el planeta tierra sobre los cuerpos que están en su superficie o por encima de ésta, Figura 4. Figura 4 La fuerza de atracción será,
Mm F G R h R es el radio terrestre (aproximadamente 6400 km), h es la altura del cuerpo sobre la superficie terrestre, M es la masa del planeta Tierra y m la masa del cuerpo. De esta relación se deduce que el peso de un cuerpo debe disminuir a medida que nos alejamos del planeta. Por ejemplo si nos elevamos a una altura sobre la superficie terrestre igual al valor del radio de la tierra, el peso nuestro se hará la cuarta parte. El peso P del cuerpo cerca sobre la superficie terrestre o cerca de ésta es, 6 Mm F P G R Combinando la expresión de gravitación con la deducida para el peso mediante la segunda ley de Newton, P=mg, se obtiene una expresión que permite calcular el valor de la aceleración de la gravedad, Mm F P G mg R M g G R h es decir, la aceleración de la gravedad disminuye también con la distancia a nuestro planeta. A una altura sobre la superficie igual al radio terrestre, su valor será la cuarta parte de su valor sobre la superficie, es decir, será la cuarta parte de 9.80 ms -. Sobre la superficie terrestre en los polos el valor de g es 9,83 m.s - y en el Ecuador es 9,78 m.s - (estos valores son aproximados); en promedio se tomará 9,80 m.s - sobre la superficie terrestre. De la misma expresión se puede estimar la masa del planeta, M gr G Obteniéndose un valor aproximado para nuestro planeta igual a 5.98x10 4 Kg. Ejercicio: Calcular la densidad promedio del planeta Tierra? Rp: 5,5 g.cm -3 Qué pasa con nuestro peso cuando nos vamos acercando hacia el centro de la tierra? Cuando nos acercamos hacia el centro de la tierra nuestro peso disminuye. En este caso, la ley de gravitación se debe emplear usando técnicas matemáticas un poco sofisticadas (que no se tratará aquí) y no la podemos emplear tan simplemente como la enuncia Newton (como está enunciada es suponiendo que los cuerpos se comportan como partículas). El resultado será que nuestro peso aumenta linealmente con la
distancia al centro de la tierra. Es decir nuestro peso va aumentando linealmente a medida que nos acercamos a la superficie terrestre desde su interior: o sea, si duplicamos la distancia al centro de la tierra, se hace el doble nuestro peso (con cuidado: esto se aplica sólo hasta llegar a la superficie terrestre. De ahí en adelante el peso disminuye con el inverso cuadrado de la distancia), Figura 5. 7 Figura 5 IV. Fuerza de contacto 1. Fuerza en cuerdas En el módulo # en donde discutió sobre el concepto de fuerza y sus características se decía que la función de la cuerda es la de "tirar" (hacer tracción) sobre los objetos. Por la experiencia en la vida cotidiana se puede concluir que una cuerda no se puede utilizar para empujar los objetos. Las cuerdas cuando están desempeñando sus funciones físicas fundamentales (halar cuerpos, transmitir ondas) lo hacen en TENSIÓN: ellas no se pueden someter ni a flexión, ni a compresión como una barra sólida (ésta se puede someter a tracción (tensión), flexión y compresión). La observación diaria hace concluir que por más que se trate de mantener una cuerda larga en posición horizontal (tensionándola), esto no es posible. Siempre se curva ("se cuelga") por la acción de la atracción que le ejerce el planeta tierra, es decir, por su peso, y este efecto es más notorio entre más larga sea la cuerda. No sobra decir que esa curva se le conoce con el nombre de catenaria, Figura 6. Sin embargo, para muchas aplicaciones se desprecia la masa (y por ende el peso) de las cuerdas, por lo que se puede obviar este hecho: este será el caso en este curso. Figura
Se denominan cuerdas ideales a aquellas que para la situación física en particular se les pueda despreciar tanto su masa como los efectos de rozamiento. En estos casos se puede asumir que las fuerzas de tensión sobre la cuerda en sus extremos serán iguales en magnitud, Figura 7. Esta afirmación se aplica así se encuentre la cuerda acelerada: esto se demostrará en el módulo de dinámica (en la Figura 8 se adelanta un análisis sobre esto: la cuerda ideal se puede asimilar como un trencito donde sus vagones tienen masa despreciable y están en ausencia de fuerza de fricción, y por lo tanto, la fuerza en el primer vagón se transmite en intensidad íntegramente al último vagón). 8 Figura 7 Figura 8 En la Figura 9 (b) se ilustra el análisis sobre un pedazo de cuerda del sistema físico de la Figura 9 (a): las magnitudes de las fuerzas en los extremos del pedazo de cuerda se pueden considerar iguales bajo la suposición de cuerda ideal. Cabe preguntarse si bajo la suposición de cuerda ideal, se seguirá cumpliendo que las tensiones de la cuerda en sus extremos son iguales en magnitud cuando esta cambia de dirección al pasar por una polea. En la Figura 9 (c) se ilustra esta situación: se puede demostrar que la "propiedad" de transmisión "íntegra" de la magnitud de la fuerza a través de una cuerda se mantiene cuando ésta pasa a través de una polea, si se puede despreciar la fricción en el eje de la polea y ésta se encuentra en equilibrio de rotación: esto se demostrará en el módulo de estática del cuerpo rígido (en la Figura 10 se adelanta un análisis sobre esto). Si la polea está acelerada, la tensión se transmitirá íntegramente si esta se considera polea ideal, es decir, de masa despreciable y fricción en su eje también despreciable: esto se demostrará en el módulo de dinámica del cuerpo rígido.
(a) (b) (c) 9 Figura 9 Figura 10. Fuerza elástica (resortes) Al aplicar una fuerza sobre un resorte, tal y como se ilustra en la Figura 11, el resorte se estira. (a) (b) (c) Figura 10
Experimentalmente se verifica que para alargar el resorte dentro de ciertos límites y sin aceleración, se necesita ejercer sobre él una fuerza F proporcional a dicho alargamiento x (o deformación x, o elongación x): es decir si se duplica la fuerza se duplica la deformación x y así sucesivamente. Esto se puede escribir matemáticamente como sigue: F kx 10 donde F y x son las magnitudes de los vectores fuerza (fuerza que ejerce el señor para estirar el resorte) y elongación (medida a partir de la posición O cuando el resorte poseía su longitud natural) tal y como se ilustran en las Figuras 11 (b) y 11 (c). La constante de proporcionalidad k es la denominada constante de rigidez del resorte y se expresa en el SI en N.m -1. Si el resorte es alargado sin aceleración él reacciona con una fuerza igual y opuesta F, es decir, se cumple la siguiente relación vectorial: F kx el signo MENOS indica que la fuerza que ejerce el resorte sobre la mano del señor se opone a su deformación (desplazamiento medido desde O). Esta ley experimental es conocida como Ley de Hooke y a la fuerza se le denomina fuerza recuperadora. Gráfica F vs X en la deformación de un resorte: En la Figura 1 se ilustra la gráfica F vs x en la deformación de un resorte (F corresponde a la magnitud de la fuerza deformadora y x a la correspondiente deformación, siendo cero cuando el resorte posee la longitud original). Figura 1 El resorte cumple la ley de Hooke en una porción de su deformación (corresponde a la sección rectilínea de la gráfica). Si se sobrepasa este límite entra a la denominada región plástica, en la cual el resorte se queda deformado y no recupera su longitud original cuando cesa la fuerza deformadora. Si se sigue tratando de deformar llega al denominado punto de ruptura (es decir se rompe ). En este curso se trabajaran los resortes en su primera zona, en donde su comportamiento se dice que es lineal, es decir, en la zona que obedece la ley de Hooke.
El dinamómetro Esta propiedad de linealidad entre la fuerza y la deformación del resorte es empleada para diseñar un instrumento que sirve para medir fuerzas, conocido con el nombre de dinamómetro. Para ello se utiliza un resorte y una escala graduada para medir su elongación, Figura 11 (a) y 11 (b). Conocida la constante de rigidez del resorte es posible lograr una calibración de la escala (por eso a la práctica de laboratorio cuyo objetivo es medir la constate de rigidez de un resorte se le conoce con el nombre de calibración del resorte: hay un método estático y otro dinámico). Si por ejemplo, el resorte tiene una constante de rigidez igual a 5.0 N/cm, significa que por cada cm que éste se elongue, debe corresponder a una fuerza de 5.0 N. Así, si el dinamómetro se estira 3.0 cm la fuerza tendrá un valor de 75.0 N. En la Figura 13 un señor está tirando de un bloque y a la vez el dinamómetro está midiendo la fuerza que está ejerciendo: observando la figura con cuidado, se puede afirmar que si la constante de elasticidad es de 10 gf/divsión, la fuerza que está ejerciendo el señor es aproximadamente igual a 50 gf. 11 Figura 13 En la Figura 14 siguiente se ilustran algunos dinamómetros que se usan comúnmente en los laboratorios. (a) (b) (c) Figura 14
3. Fuerza de contacto entre superficies sólidas Cuando las superficies de dos cuerpos están en contacto hay la presencia de dos fuerzas: la fuerza normal (siempre) y la fuerza de rozamiento (en el caso en el que alguno de los cuerpos se le está tratando de desplazar respecto al otro o si hay movimiento de un cuerpo respecto al otro). Este es el tema que se abordará en esta sección. Fuerza Normal 1 Cuando un objeto descansa sobre una mesa, la fuerza de gravedad que le ejerce el planeta tierra (o sea el PESO) no desaparece. Pero por qué el cuerpo no se cae? La razón es que la mesa ejerce una fuerza (N) hacia arriba que equilibra la fuerza de gravedad (P). De alguna manera la mesa se comprime ligeramente bajo el cuerpo y, por su elasticidad, lo empuja hacia arriba, como se indica en la Figura 15. La fuerza que ejerce la mesa es perpendicular a ella y se le denomina fuerza Normal N. Figura 15 La fuerza normal NO necesariamente será igual en magnitud al peso. Por ejemplo, si en el caso de la situación física representada en la Figura 15, un señor se apoya sobre el objeto, Figura 16, la fuerza normal N, tendría que equilibrar a la fuerza de gravedad (peso P del objeto) y a la fuerza que ejerce el señor sobre el objeto (F). La fuerza normal tiene un comportamiento especial: si aumenta F de la situación de la Figura 16, aumenta también N, hasta llegar a un límite donde la mesa (en este caso) llega a un punto de ruptura y se quiebra. Figura 16 Hay situaciones donde representar la fuerza normal puede suscitar algunas dudas para asignarle la dirección. En las Figura 17 (a) y (b) se ilustran dos de estos casos: N 1 y N son las respectivas normales. En 17 (a) las direcciones de las normales son orientadas por la pared y el piso; en 17 (b) las direcciones de éstas son orientadas por los planos inclinados.
13 (a) (b) Figura 17 La fuerza de Fricción Los efectos de fricción en la mayor parte de los casos prácticos tiene mucha importancia. Existe fricción entre dos superficies sólidas debido que aun aquella que parece más lisa es, en escala microscópica, bastante áspera. Las fuerzas de rozamiento (o de fricción), son las fuerzas que dos superficies en contacto ejercen una sobre la otra y que se oponen al deslizamiento de una superficie sobre la otra. Sea por ejemplo un objeto reposando sobre la mesa: en principio las únicas fuerzas que actúan sobre él, son la fuerza de atracción que le ejerce el planeta (peso P) y la fuerza normal que le ejerce la mesa, Figura 18 (a). Supóngase ahora que se trata de deslizarlo, para lo cual se aplica una fuerza F muy leve y no se logra, Figura 18 (b): Qué ha pasado? Se debe concluir que apareció una fuerza opuesta e igual a la fuerza aplicada. Esta fuerza es la fuerza de rozamiento. Si se continúa aumentando esta fuerza F lentamente, el cuerpo continúa aun en reposo, Figura 18 (c), hasta llegar a un valor crítico de la fuerza F, en donde el cuerpo está que comienza a moverse (movimiento inminente): en ese valor crítico de F, la fuerza de fricción adquiere su valor máximo, Figura 18 (d). Cuando el cuerpo comienza a deslizarse, Figura 18 (e), se observa que incluso si se disminuye un poco la fuerza aplicada F se logra mantener el cuerpo en movimiento.
14 A la fuerza de fricción cuando el cuerpo está en reposo, se le denomina fuerza de fricción estática. Mientras que a la fuerza de fricción cuando el cuerpo está en movimiento se le denomina fuerza de fricción dinámica o cinética. Es posible demostrar experimentalmente los siguientes comportamientos de la fuerza de fricción para velocidades no muy altas (en este curso se considerará que siempre se está en este rango): La fuerza de fricción es aproximadamente independiente de la superficie de contacto siempre y cuando no cambien los materiales. Por ejemplo, el bloque ilustrado en la Figura 19 tiene los mimos efectos de fricción en la situación 19 (a) y en la 19 (b).
La fuerza de fricción estática para movimiento inminente (la fuerza de fricción estática máxima) es proporcional a la fuerza Normal (N). Es decir: f rs N s donde s, corresponde al coeficiente de rozamiento estático para los materiales en contacto. La fuerza de fricción dinámica es proporcional a la fuerza Normal. Es decir: 15 f rk N k donde k, corresponde al coeficiente de rozamiento dinámico o cinético para los materiales en contacto. En la Figura 0 se describe el comportamiento de la fuerza de fricción entre sólido: en la primera sección de la gráfica hay reposo relativo entre las superficies en contacto si movimiento inminente; luego se llega a movimiento inminente; luego se pasa a una segunda sección de la gráfica que corresponde a movimiento relativo entre las superficies. Figura 0 En la siguiente tabla se ilustran los coeficientes de rozamiento para diferentes materiales.
MATERIALES Acero sobre acero. 0.74 0.57 Aluminio sobre acero 0.61 0.47 Cobre sobre acero 0.53 0.36 Latón sobre acero 0.51 0.44 Cobre sobre vidrio 0.68 0.53 Goma sobre concreto seco 1.0 0.80 Goma sobre concreto húmedo 0.30 0.5 s k 16 Fuerza de fricción por rodadura: Observar la rueda de la Figura 1. Si ella RUEDA SIN DESLIZAR, el punto de contacto (entre la rueda y el suelo) tiene velocidad instantánea nula. Esto es debido a que en ese punto, la velocidad de traslación de la rueda y su velocidad de rotación son iguales en magnitud y de sentidos opuestos, de tal forma que su suma vectorial se anula (esto se analizará con todo el detalle en el módulo de dinámica de cuerpo rígido). Por tanto la fuerza de fricción que actúa en el punto de contacto A, es una fuerza de fricción estática, y si no hay deslizamiento inminente (es decir, a menos que se insinúe que la rueda va a comenzar a deslizar) no es posible emplear la expresión f rs N s Figura 1 Resumiendo sobre la fuerza de contacto entre sólidos: En la Figura se ilustra un caso general de la fuerza de contacto entre sólidos: esta es la resultante de la fuerza de fricción (que corresponde a la componente tangencial a las superficies en contacto) y la fuerza normal.
17 Figura 4. Fuerza de fricción en los fluidos Un sólido moviéndose en el seno de un líquido experimenta una fuerza de resistencia F como consecuencia del rozamiento, que es proporcional a su rapidez V, siempre que ésta sea pequeña, a la viscosidad del fluido, y al radio r del sólido supuesto esférico: fr 6 r V Figura 3 Esta se conoce como la ley de Stokes. TAREA Resolver el taller sobre fuerzas especiales. FIN