Tema 4: Electrocinética 4.1 Corriente eléctrica y densidad de corriente 4.2 Conductividad, resistividad, resistencia y Ley de Ohm 4.3 Potencia disipada y Ley de Joule 4.4 Fuerza electromotriz y baterías 4.5 Leyes de Kirchhoff 4.6 Circuito RC: carga y descarga de un condensador
4.1 Corriente eléctrica y densidad de corriente Consideramos un segmento de un hilo conductor que transporta una corriente. Q es la cantidad de carga que atraviesa un área A en un tiempo t La intensidad de la corriente es: Q t Unidad de corriente: 1 Ampere = 1 C/s Q q i n: densidad de partículas = número de partículas por unidad de volumen (la densidad de carga es =qn) Q i q nv vol q n A( v d t) donde v d es la velocidad media de desplazamiento de las cargas (<< que la velocidad instantánea media). q n Av A V vol d v d A( v d t)
Ejemplo Un cable de cobre tiene radio 0.815 mm y transporta una corriente de 1 A. a) Calcular la carga de los electrones de 1 m de cable. Asumir que cada átomo aporta un electrón libre (densidad de masa m : 8.93 g/cm 3, masa molecular M= 63.5 g/mol, NA=6.02x10 23 atomos/mol) b) Calcular la velocidad media de desplazamiento de los electrones libres. c) Asumiendo el teorema de equi-partición de la energía (la energía cinética media de un electrón es 3k B T/2, k B =1.38 x10-23 J/K) calcular la velocidad media instantánea de los electrones libres a T=300K. Q e n AL e n Av Q / L m e 2 v 2 d 3k BT 2 n v d v M m v d N A 3k BT m e Q / L Q / L 2.8 10 3.510 1.17 10 5 m/s 2 4 mm/s C/m
Densidad de corriente Av d Densidad de corriente = corriente por unidad de área (A/m 2 ) J vd A J Corriente (carga por unidad de tiempo) que atraviesa una superficie: es el flujo de la densidad de corriente a través de la superficie. J nˆ da v d J Densidad de corriente superficial (A/m): cuando las cargas se mueven sobre una superficie. K Cuando las cargas se mueven sobre una línea (un cable conductor con densidad de carga ): v d v d
Ecuación de continuidad y conservación de la carga Consideremos una superficie cerrada S que encierra a un volumen V J nˆ da J dv S V Como la carga se conserva, el flujo que carga que sale a través de la superficie tiene que ser igual a la disminución de la carga encerrada. d dq J dv dv dt dt V V Considerando un volumen fijo. J dv dv t V V Ecuación de continuidad: Como se cumple para todo V: J 0 representa la t conservación de la carga Forma integral de la conservación de la carga: dq J nˆ da dt S
4.2 Conductividad, resistividad, resistencia y Ley de Ohm En un conductor la densidad de corriente es proporcional a la fuerza eléctrica por unidad de carga (F/q=E) J E donde es la conductividad del material (no confundir con densidad de carga!) La resistividad del material es (no confundir con densidad de carga!) 1/ E J Ley de Ohm (forma diferencial): J E E J La conductividad (y la resistividad) de una sustancia dependen de la temperatura. Para un conductor perfecto: 0 Unidad: 1 ohm = 1 V/ 1 A Unidad de resistividad : m
J v Modelos de conducción en metales d qn v d en e v d n e es la densidad de electrones libres (número de electrones por unidad de volumen) y -e es la carga del electrón. E E J E en v e d En presencia del campo eléctrico, la ecuación del movimiento de un electrón es ee m e a ee v v 0 t me ee vd m es el tiempo medio entre colisiones e
E en v e d ee vd m e Modelo clásico de Drude me 2 e n e v es la distancia media que un La velocidad de desplazamiento media es: Según el modelo clásico, se relaciona con: El tamaño de los iones de la red cristalina (A) El número de iones por unidad de volumen (n ion ) m e e 2 n v e electrón recorre entre dos colisiones consecutivas 3k BT m 1 n ion A Como y <v> no dependen del campo eléctrico, la resistividad tampoco, lo que esta de acuerdo con la Ley de Ohm. Problema: debería variar con la temperatura, T porque v T Experimentalmente se observa que la resistividad aumenta linealmente con T. El modelo clásico falla porque los electrones no obedecen la mecánica clásica. v e
Ejemplo: tiempo de redistribución de la carga en el interior de un conductor óhmico J J E 0 t J t ( t) e 0 E ( / ) t e 0 t / t Tiempo de relajación: el tiempo que demora en disminuir la densidad de carga a un e -1 (36.7%) del valor inicial. Para el cobre: 10-19 s, para la mica 15 hs
Ejemplo: conductor óhmico homogéneo que transporta una corriente estacionaria J E J 0 E 0 E J 0 t Conductor Corriente homogéneo estacionaria Consecuencias: 1) E 0 E E V 2) 0 E dl 0 0 En el interior del conductor la densidad de carga libre es cero (ya lo sabíamos para cargas en reposo). 0 V 2 V 0 En el interior del conductor podemos calcular el potencial resolviendo la ecuación de Laplace.
J E JA E V L V L A R V EL Resistencia J L L L R A A La resistencia depende de la temperatura / A L La resistencia del filamento de la bombilla (y de todos los metales) aumenta con T
Ejemplo Los dos cilindros están separados por un material dieléctrico de permitividad y resistividad y se mantienen a una diferencia de potencial V. El cilindro interior tiene carga por unidad de longitud. E 1 2r a r b, V s b a Edr J nˆ da s a dr ln 2 b r 2 E nˆ da donde S es una superficie cilíndrica que encierra el cilindro interior. E L 2rL L b a V 2 ln L b a V R R 2L ln b a
Conductores, semiconductores y aislantes / 0 0 T T 0 El carbono es normalmente utilizado para las resistencias de equipos electrónicos. Ejemplo: Un cable de nicrom tiene un radio de 0.65 mm. Qué longitud de cable se necesita para obtener una resistencia de 2? Resp: 2.65 m
Asociaciones de resistencias Serie Paralelo R eq R 1 R2 R3... Ejemplo: 1 1 R eq R1 1 1 R eq R i 1 R 2 1 R 3 eq... R R i
4.3 Potencia disipada y Ley de Joule Cuando por un conductor de resistividad circula corriente eléctrica, parte de la energía cinética de los electrones se transforma en calor debido a los choques que sufren los electrones con los átomos del material, lo que produce un aumento de la temperatura (efecto Joule). Cuando por el conductor circula una corriente estacionaria una parte de la energía se disipa en forma de calor debido a las colisiones de electrones libres con los átomos fijos. W U Q( V ) b Va V b V a V V a V b 0 U QV U Q V V t t 2 V P V R 2 R Potencia disipada en una resistencia
4.4 Fuerza electromotriz y baterías Para mantener una corriente estacionaria en un circuito real (que posee una cierta resistencia) se requiere un suministro de energía. Batería o pila: convierte energía química en energía eléctrica. Motor: convierte energía mecánica en energía eléctrica. Fuente de FEM (motor o batería): realiza trabajo sobre toda carga que pasa a través de la fuente, elevando su energía potencial. Una fuente de FEM ideal es un dispositivo que suministra energía eléctrica (fuente electromotriz) y que mantiene una diferencia de potencial E fem constante entre sus dos terminales. Para una fuente real: E fem
Fuente de fuerza electromotriz En el interior de la fuente las cargas se mueven de una región de bajo potencial a otra de mayor potencial. Cuando un elemento de carga Q atraviesa la fuente su energía aumenta en Q E fem La potencia suministrada por la fuente es P Q E t fem E fem Analogía mecánica:
Energía almacenada en una batería E fem R r r es la resistencia interna de la batería. Las baterías se suelen especificar en Ampere hora, lo que indica la carga total Q que pueden suministrar: E fem 1Ah (1C/s)(3600 s) 3600 C La energía total almacenada es: P E fem de almacenada dt dq dt dq dt E fem P E de fem almacenada dt es constante E Q( t) almacenada E fem La energía almacenada es la carga total multiplicada por la fem y es igual al trabajo total que puede realizar la batería.
Potencia suministrada por una batería E fem R r P E fem 2 R 2 E fem R r R dp dr 0 R r La potencia suministrada por la batería es máxima cuando la resistencia externa es igual a la interna.
4.5 Leyes de Kirchhoff Permiten calcular las corrientes y la diferencia de potencial en cada componente de un circuito en situación estacionaria (corrientes y voltajes constantes en el tiempo). Regla de las mallas E dl 0 La suma algebraica de las variaciones de potencial a lo largo de cualquier bucle o V i 0 i malla cerrada del circuito debe ser igual a cero. Regla de los nudos dq La carga no se acumula (ni se pierde) en ningún J nˆ da 0 dt punto del circuito, por lo que en cada nudo donde S puede dividirse la corriente, la suma de las i 0 corrientes que entran (negativas) debe ser igual a i la suma de las corrientes que salen (positivas).
Circuitos de una sola malla R 1 E1 E2 R R 2 3 r 1 r 2
Circuitos de múltiples mallas Calcular 1, 2 y la energía disipada en 3 s en la resistencia de 4. Resp: 1.5 A, 0.5 A y 27 J
Amperímetros, Voltímetros y Ohmímetros Se conectan en serie (amperímetro) y en paralelo (voltímetro) para poder medir la intensidad (que circula por un cable) y la diferencia de potencial (entre dos puntos) respectivamente. El amperímetro, el voltímetro y el ohmímetro contienen un galvanómetro: la lectura del galvanómetro es proporcional a la corriente que pasa por el galvanómetro. Suele consistir en una bobina de alambre situada en un campo magnético permanente (imán). Cuando una corriente circula por la bobina el campo magnético del imán ejerce un momento que hace girar la bobina y este giro permite medir la corriente.
Amperímetros, Voltímetros y Ohmímetros Amperímetro construido con un Galvanómetro (R p pequeña) Resistencia efectiva del amperímetro R p la corriente que circula por el circuito casi no se modifica. Voltímetro construido con un Galvanómetro (R s grande) Resistencia efectiva del voltímetro R s la corriente que circula por el voltímetro es muy pequeña. Ohmímetro: R s se elije tal que la aguja indica 0 cuando a y b están en cortocircuito
4.6 Circuito RC: carga y descarga de un condensador Descarga de un condensador dq dt Q Q e Q C dq Q 0 t / R dt RC Q RC dq dt Q 0 RC e Q e dq dt t e RC 0 t / t / 0 Constante de tiempo Q RC V0 R 0 Q0 / C R
Carga de un condensador E fem R dq dt Q C dq Q E fem R 0 dt C t RC Q CE fem 1 e dq dt E fem e R t /