Primera clase Introducción Admitiendo que la ejecución de un proyecto o elaboración se puede subdividir en planear, programar y controlar, hablando de manera clásica (ya hablaremos del componente dinámico de un proyecto o su simulación dinámica), podemos considerar las técnicas llamadas PERT (Program Evaluation and Review Technique) y CMP (Critical Path Method), que son las más usuales para un primer cometido. En general estas técnicas resultan útiles para una variedad de proyectos que contemplen: 1. Investigación y desarrollo de nuevos productos y procesos 2. Construcción de plantas, edificios y carreteras 3. Mantenimiento de equipo grande y complejo 4. Diseño e instalación de sistemas nuevos 5. Diseño y control de epidemias 6. En proyectos como estos, los administradores deben programar y coordinar las diversas tareas o actividades, de manera que se pueda terminar a tiempo el proyecto completo. Ahora bien, por lo general las actividades a desarrollar un proyecto no necesariamente son secuenciales (una tras la otra), y aún en ese caso estas actividades son interdependientes. Si bien es cierto, que algunas actividades dependen de la terminación de otras para su inicio, se puede dar el caso de actividades en paralelo que originan el inicio de una tercera. Las preguntas esenciales en la elaboración de un proyecto son: 1. Cuál es el tiempo total que se requiere para terminar el proyecto? 2. Cuáles son las fechas programadas de inicio y de terminación para cada actividad específica? 3. Qué actividades son "críticas" y deben terminarse exactamente según lo programado para poder mantener el proyecto dentro del programa? 4. Cuánto se pueden demorar las actividades "no críticas" antes de que ocasionen demoras en el proyecto total? Ahora bien, la técnica en elaboración de proyectos, conocida como CPM/PERT, ayudan a responder las preguntas anteriores. Aunque PERT y CPM tienen el mismo propósito general y utilizan en buena medida la misma terminología, las técnicas se desarrollaron en forma independiente. Se presentó el método PERT a finales de los años 1950 para específica tarea de planear, programar y controlar el proyecto de los misiles Polaris. Como muchas de las tareas o actividades relacionadas con el proyecto nunca se habían considerado antes, resultaba difícil pronosticar el tiempo necesario para terminar las diversas tareas o actividades. En consecuencia, se desarrolló la técnica PERT con el objeto de permitir manejar las incertidumbres en los tiempos de terminación de las actividades. Por otro lado, el CPM se ideó para desarrollar y controlar proyectos industriales en donde se consideraba que se conocían los tiempos de las tareas o actividades. El CPM ofrecía la posobilidad de reducir los tiempos de las actividades añadiendo trabajadores y/o recursos, por lo general con mayores costos. Por ello, una característica distintiva de CPM era que permitía realizar intercambios entre tiempos y costos para las diversas actividades de los proyectos. En los usos que se les dan actualmente, ya ha desaparecido en gran medida la diferencia entre PERT y CPM como dos técnicas distintas. Con frecuencia, las versiones computacionales del método PERT/CPM contienen opciones para considerar la incertidumbre en los tiempos de las actividades, así como también intercambios entre los tiempos y costos de las actividades. A este respecto, los procedimientos modernos y de planeación, programación y control de proyectos han combinado en esencia las características de CPM, de manera que la Primera clase 1
diferenciación entre las dos técnicas ya no es necesaria. Nota 1: Una excelente introducción a la Técnica CPM/PERT en Internet se puede encontrar aquí.. Pert Nota 2: El software que utilizaremos en este parte del curso será el Project de la Microsoft. Para bajar éste con tiempo de duración de 60 días haga clic aquí. Volver al menu Próxima clase Segunda Clase Redes CMP/PERT La primera fase del proceso de programación de proyectos con CPM/PERT consiste en determinar las tareas, o actividades, específicas que conforman el proyecto. A manera de ilustración nos vamos a referir a un proceso de compras en un negocio pequeño. Consideremos la lista de cuatro actividades que se muestran en la tabla siguiente: Actividad Descripción Antecedente inmediato A Elaboración de una lista de fuentes de financiamiento B Análisis de los historiales financieros del negocio C Elaboración de un plan de negocios B D Presentación de una propuesta a la instalación crediticia A, C Los antecedentes inmediatos de una actividad específica son las actividades que, cuando terminan, permiten el inicio de la actividad en cuestión. Por ejemplo, la información de la tabla anterior señala que se puede comenzar el trabajo correspondiente a las actividades A y B en cualquier momento, puesto que ninguna depende de la terminación de las actividades anteriores. Sin embargo, no puede iniciarse la actividad C hasta que haya terminado la actividad B, y no puede iniciarse la actividad D hasta que hayan concluido las actividades A y C. Como se verá, es necesario conocer la información sobre los antecedentes inmediatos de cada actividad, con objeto de describir las interdependencias entre las actividades del proyecto. A continuación se dibuja una red que no sólo ilustra las actividades que se listan en la tabla anterior, sino que también ilustra las relaciones de precedencia entre las actividades. A esta representación gráfica se le denomina RED PERT/CPM para el proyecto. Las actividades se muestran sobre los arcos de la red. Los círculos o nodos, de la red, corresponden al inicio o terminación de las actividades. La terminación de todas las actividades que conducen a un nodo se denomina evento. Por ejemplo, el nodo 2, corresponde al evento de la terminación de la actividad B; y el nodo 3 corresponde al evento de la terminación de la actividad A y C. Introducción 2
Vamos ahora a elaborar una red para un proyecto que tiene las siguientes actividades, con sus respectivos antecedentes: Pert Actividad A B C D E F G Antecedente inmediato B A,C C C D,E,F Una porción de la red PERT/CPM que podría utilizarse para las primeras cuatro actividades es la siguiente: Esta porción de red no ocasiona ningún problema específico para la actividad D puesto que muestra, correctamente, que las actividades A y C son los antecedentes inmediatos. Sin embargo, cuando se intenta añadir la actividad E a la red, se presenta un problema. En primer lugar, se podría intentar incluir la actividad E comenzando en el nodo 3. Sin embargo, esto significaría que las actividades A y C son antecedentes inmediatos para la actividad E, lo cual es incorrecto. Con referencia al programa original de actividades para el proyecto, se observa que el único antecedente inmediato de la actividad E es la actividad C. SE puede evitar el problema anterior incluyendo una actividad ficticia la cual, como su nombre lo indica, no es una actividad real, sino una actividad supuesta que sirve para asegurar que se ilustra en la red las relaciones adecuadas de preferencia entre las actividades. Por ejemplo, puede añadirse el nodo 5 e insertar una actividad ficticia, señalada mediante línea punteada del nodo 5 al nodo 3, lo cual conforma la red que se muestra a continuación: Redes CMP/PERT 3
Haciendo este cambio en la red, comenzando la actividad E en el nodo 5, se tiene que su única actividad antecedente es la C, lo cual es correcto. La actividad ficticia no tiene requisito de tiempo, porque sólo se utiliza para conservar las relaciones adecuadas de antecedencia o precedencia en la red. Obsérvese que la inclusión de la actividad ficticia muestra también correctamente que las actividades A y C son antecedentes inmediatos de la actividad D. La terminación de la red de siete actividades se puede ilustrar de la siguiente manera: Nótese la forma en que la red identifica correctamente que las actividades D, E y F son los antecedentes inmediatos de la actividad G. Sin embargo, las actividades E y F comienzan, ambas, en el nodo 5 y terminan en el nodo 4. Esta situación ocasiona problemas para ciertos programas de computación que utilizan nodos inicial y final para identificar las actividades de una red PERT/CPM. En estos programas, el procedimiento computacional consideraría que las actividades E y F son la misma, puesto que tienen los mismos nodos inicial y final. Cuando se presenta esta condición, pueden añadirse actividades ficticias a la red para asegurarse de que ningún par de actividades tiene los mismos nodos inicial y final. Utilizando el nodo 7 y una actividad ficticia, como se muestra en seguida, se elimina este problema para las actividades E y F. Redes CMP/PERT 4
Se pueden identificar actividades ficticias para identificar en forma correcta las relaciones de precedencia así como también eliminar la posible confusión que pudiera ocasionar el que dos o más actividades tengan los mismos nodos inicial y final. Aunque es posible que no se requieran actividades ficticias para todas las redes PERT/CPM, los proyectos más grandes o más complejos pueden requerir de muchas actividades ficticias para poder esquematizar o trazar en forma apropiada la red. Volver al menu Clase anterior Próxima clase Tercera Clase La Ruta Crítica Lo que aprenderemos en esta sección se hará sobre la base del siguiente proyecto que a continuación se describe Actividad La red de este proyecto se presenta a continuación: Pert Antecedente inmediato Tiempo de terminación (semanas) A 5 B 6 C A 4 D A 3 E A 1 F E 4 G D, F 14 H B, C 12 I G, H 2 Lo que sin duda nos interesa es saber el tiempo de duración del proyecto, para eso debemos hacer unos determinados cálculos, además que utilizaremos estos cálculos para elaborar un programa detallado de inicio Tercera Clase 5
y terminación de actividades: Es necesario, por lo tanto, proceder con los cálculos necesarios para determinar el tiempo total que se requiere para terminar el proyecto. Para evaluar el tiempo de terminación del proyecto será necesario analizar la red e identificar la "Ruta Crítica". Una Ruta es una secuencia o sucesión de actividades conectadas desde el nodo de inicio hasta el nodo terminal. Como es necesario pasar por todas las rutas para terminar el proyecto, se requiere analizar el tiempo que tomarán las diversas rutas. En particular, lo que interesa es el camino mas largo a través de la red. La ruta más larga determina el tiempo total que se requiere para terminar el proyecto. Si se demoran las actividades que están en la ruta más larga, se demorará la totalidad del proyecto. Por eso, las actividades que se encuentren en la ruta más larga serán llamadas actividades de la ruta crítica del proyecto, y a tal camino más largo se le denominará ruta crítica. Si los administradores desean reducir el tiempo total del proyecto, tendrán que reducir la longitud de la ruta crítica, disminuyendo (en tiempo) las actividades sobre la citada ruta. Por lo anterior, vamos a presentar el algoritmo para determinar la Ruta Crítica. Este método consta de dos etapas, la primera, llamada FORWARD, o de avance, se detalla a continuación. Se definen los siguientes tiempos: CI = Tiempo más cercano de inicio para una actividad determinada CT = Tiempo más cercano de terminación para una actividad determinada T = tiempo esperado para la actividad determinada Si consideramos, por definición, que el tiempo más cercano de inicio para el nodo inicial es 0, se tiene la siguiente expresión para el cálculo del tiempo más cercano de terminación de una actividad determinada: CT = CI + T Por ejemplo, para la actividad A, se tiene que CI = 0, y T = 5; por lo tanto, el tiempo más cercano de terminación para la actividad A es CT = 0 + 5 = 5. La anotación de estos cálculos en la red se hará conforme se indica en la siguiente figura: La Ruta Crítica 6
Como no es posible empezar las actividades que salen de un nodo hasta que finalizan todas las actividades inmediatamente precedentes, se utiliza la siguiente regla para evaluar los tiempos más próximos o cercanos de inicio para las actividades: Regla del tiempo más próximo de inicio El tiempo más próximo de comienzo para una actividad que sale de un nodo determinado es igual al mayor de los tiempos de terminación de todas las actividades que entran en ese nodo Al aplicar esta regla a una porción de la red que incluye las actividades A, B, C y H, se obtiene el siguiente diagrama: La Ruta Crítica 7
Observemos que al aplicar la regla del tiempo más próximo de inicio para la actividad que sale del nodo 2, se identifica primero que la actividad A es la única que llega al nodo 2. Como el tiempo más próximo de terminación para la actividad A es 5, el más cercano de iniciación para la actividad C es también 5. Por ello, el tiempo más próximo de terminación para la actividad C debe ser CT = CI + T = 5 + 4 = 9. El diagrama anterior muestra también que es 6 el tiempo más próximo de terminación para la actividad B. Aplicando la regla del tiempo más próximo de inicio para la actividad H, se observa que el tiempo más próximo de comienzo para esta actividad debe ser igual al tiempo más próximo de terminación que sea mayor para las dos actividades que llegan o entran al nodo 3: B y C. Así que el tiempo más próximo de iniciación para la actividad H es 9, y el tiempo más próximo de terminación es CT = CI + T = 9 + 12 = 21. Procediendo en esta etapa de avance, se establece el tiempo más próximo de inicio y el tiempo más próximo de término para cada actividad. En el diagrama siguiente se muestran los cálculos: La Ruta Crítica 8
Observemos que el tiempo más próximo de terminación para la actividad I, la última, es 26 semanas. Por ello, el tiempo total que se requiere para terminar el proyecto es también 26 semanas. Vamos ahora a la segunda etapa, que llamaremos BAKCWARD, o de retroceso, y que consistirá en la definición de los siguientes tiempos: LI = tiempo más lejano de inicio para una actividad específica LT = tiempo más lejano de terminación para una actividad específica Considerando que el tiempo más lejano de terminación para el nodo terminal como el tiempo más cercano de terminación en la etapa forward para este nodo (en nuestro caso de 26), podemos utilizar la siguiente expresión: LI = LT T De modo que para la actividad I, se tiene que LT = 26 y T = 2, entonces el tiempo más lejano de iniciación para esta actividad es LI = 26 2 = 24. Se requiere la siguiente regla para determinar el tiempo más lejano de terminación para cualquier actividad de la red: Regla del tiempo más lejano de terminación El tiempo más lejano de terminación para una actividad que llega a un nodo específico es igual al menor de los tiempos más lejanos de inicio para todas las actividades que salen de ese nodo. La regla anterior establece que el tiempo más lejano en que se puede terminar una actividad es igual al valor más cercano (menor) para el tiempo más lejano de inicio de las actividades siguientes. En el siguiente diagrama se muestra la red completa incluyendo los pasos hacia atrás para LI y LT (en ese orden): La Ruta Crítica 9
Observemos la aplicación de la regla del tiempo más lejano de terminación para la actividad A, que llega al nodo 2. El tiempo más lejano de terminación para la actividad A (LT = 5) es el menor de los tiempos más remotos de iniciación que salen del nodo 2; es decir, el menor valor LI para las actividades C (LI = 8), E (LI = 5) y D (LI = 7) es 5. Volver al menu Clase anterior Próxima clase Cuarta Clase Después de obtener los tiempos de inicio y de terminación de las actividades que se resumen en la red siguiente: La Ruta Crítica 10
se puede determinar el tiempo libre, u holgura, correspondiente a cada una de las actividades. Se define la holgura o margen como el tiempo que se puede demorar una actividad sin afectar el tiempo total que se requiere para terminar el proyecto. La holgura para cada actividad se calcula de la siguiente manera: Holgura = LI CI = LT CT Por ejemplo, la holgura de la actividad C es LI CI = 8 5 = 3 semanas. Esto significa que puede demorarse la actividad C hasta 3 semanas (iniciándola en cualquier momento entre las semanas 5 y 8) y aún así es posible terminar todo el proyecto en 26 semanas. Por ello, la actividad C no es una actividad de la ruta crítica. También se puede observar que, la holgura correspondiente a la actividad E es LI CI = 5 5 = 0. Por ello, la actividad E no tiene holgura y no se le puede retrasar sin afectar el proyecto completo. En general, las actividades de la ruta crítica son aquellas que tienen holgura nula o cero. Los tiempos de inicio y de terminación que se muestran en el diagrama anterior, proporcionan un programa detallado para todas las actividades. Es decir, se puede saber, a partir de este diagrama, cuáles son los tiempos más cercanos y más lejanos de comienzo y de terminación para las actividades. Poniendo tal información en forma tabular se obtiene el programa de actividades, como se indica a continuación: Actividad Inicio más cercano CI Inicio más lejano LI Término más cercano CT Pert Término más lejano LT Holgura LI CI Ruta Crítica? A 0 0 5 5 0 Sí B 0 6 6 12 6 C 5 8 9 12 3 D 5 7 8 10 2 E 5 5 6 6 0 Sí F 6 6 10 10 0 Sí G 10 10 24 24 0 Sí H 9 12 21 24 3 I 24 24 26 26 0 Sí Observemos que al evaluar la holgura correspondiente a cada actividad, se puede notar que las actividades A, E, F, G e I tienen holgura 0; por tanto, esas actividades conforman la ruta crítica en el ejemplo que nos acompaña desde la tercera clase. Notemos también, como lo indica la tabla anterior, que se entrega la holgura o demora que se puede tolerar para las actividades no críticas, antes de que otras actividades ocasionen retardos en el proyecto. Finalmente, este cuadro nos permite responder las interrogantes que sus respuestas permitirán la planeación, programación y control del proyecto. Estas son: 1. Cuál es el tiempo total para terminar el proyecto? Resp.: Puede finalizar el proyecto en 26 semanas, si se terminan las actividades individuales según lo programado. 2. Cuáles son los tiempos programados de iniciación y de terminación de cada actividad? Resp.: En el programa de actividades de la tabla anterior se muestran los tiempos más cercanos y más lejanos de inicio, y más cercano y más lejano de terminación para cada actividad. 3. Qué actividades son "críticas" y deben finalizar exactamente según lo programado para mantener el proyecto dentro del programa? Resp.: Las actividades A, B, F, G e I son las de la ruta crítica. 4. Cuánto se pueden demorar las actividades "no críticas" antes que ocasionen retrasos en la terminación del proyecto? Resp.: El programa de actividades de la tabla anterior muestra el tiempo de holgura correspondiente a cada actividad. La Ruta Crítica 11
Volver al menu Clase anterior Próxima clase Quinta Clase Programación de Proyectos con Tiempos inciertos de las Actividades Para la elaboración de un proyecto que implica la instalación de un sistema nuevo, o la puesta en marcha de un producto en el cual no se tiene antecedentes referenciales, resulta complicado saber con certeza saber el tiempo a ocupar por las actividades del proyecto, puesto que éstas nunca se han realizado antes. Pues bien, en este escenario es que se entregaran las técnicas para este tipo de proyectos. Como es usual, trabajaremos con un determinado ejemplo "académico" de proyecto, a fin de visualizar los fundamentos de la técnica PERT/CPM. Supongamos que tenemos la siguiente lista de actividades para un determinado proyecto, que llamaremos Proyecto TTT: Actividad Descripción Precedentes A Elaborar el diseño del producto en investigación y desarrollo B Investigación del plan de mercado C Ingeniería de manufactura A D Construir el modelo prototipo A E Preparar el folleto de mercadotecnia A F Preparar las estimaciones de costo C G Realizar pruebas preliminares D H Terminar la Investigación de mercado B, E I Pert Preparar la determinación de precios y el reporte sobre pronósticos J Preparar el reporte final F, G, I La red PER/CPM para este proyecto es la que se presenta a continuación: H Quinta Clase 12
Ahora bien, se requiere información sobre el tiempo necesario para terminar cada actividad. Esta información se utiliza en el cálculo del tiempo total requerido para terminar el proyecto y en la programación de las actividades específicas. Para proyectos que se repiten, tales como proyectos de construcción y mantenimiento, o ambos, los administradores pueden tener experiencia y los datos históricos necesarios para proporcionar estimaciones precisas de los tiempos de las actividades. Sin embargo, en el caso de proyectos nuevos o únicos, la estimación de los tiempos de las actividades puede ser considerablemente más difícil. De hecho, los tiempos de las actividades son inciertos en muchos casos y la mejor manera de describirlos es mediante un intervalo de valores posibles, y no mediante una estimación específica del tiempo de la actividad. En estos casos, los tiempos inciertos de las actividades sev tratan como variables aleatorias con distribuciones de probabilidad asociadas. Como resultado, se hacen afirmaciones probabilísticas con respecto a la capacidad de satisfacer una fecha específica del proyecto. Para incluir los tiempos inciertos de las actividades en el análisis de la red, es necesario obtener tres estimaciones de tiempo para cada actividad. Las tres estimaciones son Pert Tiempo optimista (a): El tiempo de actividad si todo marcha de manera ideal Tiempo más probable (m): El tiempo con más probabilidad de una actividad en condiciones normales Tiempo pesimista (b): Tiempo de actividad cuando se afrontan demoras considerables Estas tres estimaciones de tiempo permiten al administrador desarrollar una mejor apreciación del tiempo más probable para la actividad, de modo que después se pueda expresar la incertidumbre haciendo estimaciones de tiempos que varían desde el mejor tiempo posible (el óptimo) hasta el peor tiempo posible (el pesimista) Como ilustración del proyecto TTT con tiempos inciertos de las actividades se considerarán las estimaciones de tiempos optimistas, más probables y pesimistas para las actividades del proyecto TTT que se presenta en la siguiente tabla Actividad Optimista (a) Más probable (m) Pesimista (b) A 4 5 12 B 1 1.5 5 C 2 3 4 D 3 4 11 E 2 3 4 F 1.5 2 2.5 G 1.5 3 4.5 H 2.5 3.5 7.5 I 1.5 2 2.5 J 1 2 3 Utilizando la actividad A como ejemplo. Podemos observar que los administradores estiman que esa actividad requerirá entre 4 semanas (optimista) hasta 12 semanas (pesimista), siendo el tiempo más probable de 5 semanas. Si se pudiera repetir muchas veces la actividad cuál sería el tiempo promedio? Se puede determinar este promedio, o tiempo esperado (t), mediante la siguiente fórmula Programación de Proyectos con Tiempos inciertos de las Actividades 13
Se obtiene un tiempo promedio de terminación para la actividad A de Con tiempos inciertos en las actividades, puede utilizarse la medida estadística común conocida como varianza para describir la dispersión o variabilidad en los valores de tiempo de actividad. La varianza del tiempo de actividad está dada por la siguiente fórmula: Como podemos ver, la diferencia entre la estimación pesimista (b) y la optimista (a) afecta en gran medida el valor de la varianza. Una diferencia grande entre estos valores reflejará un alto grado de incertidumbre en el tiempo de actividad. Para el caso que tratamos en este ejemplo para la actividad A, la medida de incertidumbre es El cálculo de los tiempos de actividad tanto como su varianza se basan en la suposición de que es posible describir la incertidumbre en los tiempos de actividad mediante una distribución beta de probabilidad. Volver al menu Clase anterior Próxima clase Sexta Clase Con la suposición de que los tiempos de actividad siguen una distribución beta, se tiene que los tiempos esperados y las varianzas para las actividades del proyecto TTT, se entregan en la siguiente tabla: Actividad Tiempo esperado Varianza (semanas) A 6 1.78 B 2 0.44 C 3 0.11 D 5 1.78 E 3 0.11 F 2 0.03 G 3 0.25 H 4 0.69 I 2 0.03 J 2 0.11 Total 32 Programación de Proyectos con Tiempos inciertos de las Actividades 14
Se puede ilustrar el proyecto TTT y los tiempos esperados de las actividades. La Ruta Crítica Una vez que se tiene la red y los tiempos esperados de las actividades, se procede a realizar los cálculos necesarios de la ruta crítica para determinar el tiempo esperado que se requiere para acabar el proyecto, así como también el programa de actividades. En este caso se manejan los tiempos esperados de actividad como de duración conocida o fija. Con esto en mente, se utilizan los algoritmos Forward y Backward. La siguiente red ilustra el procedimiento Forward con los valores CI y CT Programación de Proyectos con Tiempos inciertos de las Actividades 15
Observemos que el tiempo más próximo de terminación para el proyecto completo es de 17 semanas. Por lo tanto, el tiempo esperado de terminación para el proyecto completo es de 17 semanas. En seguida se continúa con el procedimiento para encontrar la ruta crítica efectuando el algoritmo Backward, con el cálculo de los tiempos LI (tiempos lejanos de iniciación) y LT (tiempos lejanos de terminación). Aquí se presenta la red final: De manera que la ruta crítica está dada por la trayectoria A E H I J, con un tiempo esperado de ejecución de la obra de 17 semanas. Recordemos estos cálculos que los volveremos a ocupar en la séptima sesión. Volver al menu Próxima clase Clase anterior Séptima Clase Estamos considerando que los tiempos de actividad y los valores deducidos para los PI, PT, LI y LT fuesen deterministas. Esto no tiene que ser necesariamente correcto, puesto que a veces, y así lo hemos considerado en el capítulo anterior, los tiempos de ejecución son aleatorios, y pueden ser estimados toda vez que asumamos que estos tiempos aleatorios siguen una distribución conocida. Por lo general se supone que siguen una distribución beta. El método PERT, para poder estimar el tiempo de actividad requiere tres tipos de estimación, como se dijo en la clase quinta, y los volvemos a recordar: 1. Tiempo optimista (a): es el tiempo mínimo. Todo tiene que marchar a la perfección para lograr este tiempo. 2. Tiempo más probable (m): es el tiempo normal. El que se necesita en circunstancias normales. 3. Tiempo pesimista (b): es el tiempo máximo. Es el tiempo que se ocupa en cada actividad toda vez que "las cosas no salen como uno quisiera". Ahora bien, con estas tres estimaciones, más la fuerte suposición de que "el tiempo de duración en la ejecución de una actividad es una variable aleatoria que tiene una distribución de probabilidad unimodal beta", entonces los tiempos a, m y b juegan el siguiente papel como se ve en la siguiente gráfica. Séptima Clase 16
Ahora bien, el tiempo de actividad esperado para una actividad específica en función de estos tres tiempos se obtiene de la siguiente forma: La desviación estandar de un tiempo de actividad se estima de la siguiente forma: Recordemos que la varianza es el cuadrado de la desviación estándar. En el siguiente cuadro se presentan una serie de actividades con los tiempos optimista, normal y pesimista, de manera que se realizan los cálculos de los tiempos esperados, desviaciones y varianzas: Actividad a m b tiempo esperado desv. estándar varianza A 1 3 5 3 2/3 4/9 B 3 4.5 9 5 1 1 C 2 3 4 3 1/3 1/9 D 2 4 6 4 2/3 4/9 E 4 7 16 8 2 4 F 1 1.5 5 2 2/3 4/9 G 2.5 3.5 7.5 4 5/6 25/36 H 1 2 3 2 1/3 1/9 I 4 5 6 5 1/3 1/9 J 1.5 3 4.5 3 1/2 1/4 K 1 3 5 3 2/3 4/9 El hecho de que los tiempos de actividad sean variables aleatorias implica que el tiempo de conclusión del proyecto sea también una variable aleatoria. Es decir, hay una variabilidad en el tiempo de conclusión final del proyecto, de manera que nuestro interés es el cálcuo de "incertidumbre" de que un determinado proyecto termine en el tiempo presupuetado. Para erste cálculo procedemos de la siguiente forma: 1. Sea T el tiempo total que durarán las actividades de la Ruta Crítica. 2. Encuéntrese la probabilidad de que el valor T resulte menor o igual que cualquier valor específico de interés. Para el cálculo de esta probabilidad se consideran dos supuestos a. Los tiempos de actividad son variables aleatorias independientes b. La variable aleatoria T tiene una distribución aproximadamente normal Supongamos que deseamos encontrar Pr{T<n}. Se procede de la siguiente manera. Al admitir que T es una variable normalmente distribuida, se considera como media de esta distribución normal al tiempo esperado entregado por la ruta crítica; y la varianza de esta distribución normal es la suma de las varianzas de las actividades de la ruta crítica. Veamos esta aplicación con el ejemplo de la Sexta Clase. Séptima Clase 17
Para el cálculo de la varianza de T, consideramos la suma de las varianzas de cada actividad que constituye la Ruta Crítica (por ser independientes los tiempos de las actividades): Var (T) = Var(Act. A)+Var(Act. E)+Var(Act. H)+Var(Act. I)+Var(Act. J) Var (T) = 1.78+0.11+0.69+0.03+0.11 = 2.73 de modo que la desviación estándar es de 1.6523. La media de esta variable aleatoria T es el tiempo esperado otorgado por la ruta crítica, en nuestro caso de 17 semanas. De manera que T sigue una distribución normal con media 17 y varianza 2.73. Al normalizar esta variable, tenemos que Consultando una tabla de probabilidad normal, nos encontramos que Pr{T<22}=Pr{Z<3.0261} = 0.99874 Y esto significa que con probabilidad casi 1 el proyecto se terminará antes de las 22 semanas. Volver al menú Clase anterior Próxima clase Octava clase PERT/COSTO La técnica PERT/Costo fue desarrollada en 1962 como una natural extensión de la programación PERT/Tiempo, donde se integran los datos de tiempo con los datos de costo. De manera que al incluir tanto el tiempo como el costo en la red, se pueden calcular los intercambios entre ambos. Esto trae como consecuencia que cambia el enfoque del volumen, en el sentido de que ya no solo se considera el costo por pieza producida (que es por lo general lo primero que se calcula en un proyecto que está marchando ), sino que debemos agregar el costo por cada actividad. Y es así como un proyecto PERT/Costo atraviesa los límites tradicionales de contabilidad y requiere una gran coordinación de las actividades de ingeniería, cálculo, control y contabilidad. Relación Tiempo Costo. Necesitamos algunos conceptos nuevos. En una red PERT hay dos tiempos de cálculo de tiempo y costo para cada actividad. Una de ellas es la estimación normal y otra la de emergencia o de terminación acelerada. La estimación normal del tiempo es análoga al cálculo del tiempo esperado. Corresponde al costo normal asociado con la terminación del proyecto en el tiempo normal. Mientas que la estimación del tiempo de emergencia o de terminación acelerada es el tiempo que se requeriría si no se ahorraran costos para tratar de reducir el tiempo del proyecto. Por lo general, quien está a cargo del proyecto haría todo lo que fuese necesario para acelerar el trabajo (bajo ciertas condiciones obvias de sustentabilidad, se entiende). Elcosto de emergencia o de terminación acelerada es el costo asociado con la realización de las obras en base a la terminación acelerada para minimizar el plazo de terminación (o a veces, para ganar la holgura en prevención a futuras detenciones en el proyecto). Las relaciones tiempo costo pueden tomar muchas formas, como por ejemplo lo ilustra la transparencia de la figura 1. El caso A es una relación de tiempo costo en el cual puede efectuarse una reducción de tiempo con un moderado incremento de costo. En cambio, para el caso B se tiene una relación de tiempo costo en el cual se puede lograr una reducción de tiempo con un gran incremento de costo. El tipo más común de relación de tiempo costo es la línea recta trazada entre ambos casos, y que pasa a ser una aproximación lineal entre ambos casos extremos. para mostrar el incremento moderado en el costo para el caso A y el incremento Octava clase 18
grande en el costo para el caso B, se consideran los siguientes segmentos de líneas de la figura 1. Las líneas D, E, F y H son aplicables al cado A, mientras que las líneas C, E, G y H están relacionadas con el caso B. La principal razón de que se usen aproximaciones lineales, en vez de las curvas reales de tiempo costo, es que así se determinan rápidamente el costo que representa acelerar cualquiera de las actividades de una red sin que se pierda en conceptos contables complicados, como los que se representaría al redistribuir los costos sobre alguna base contable. Sin embargo, la curva real de tiempo costo se puede determinar y emplearse. la experiencia con esta técnica de programación ha demostrado que el gasto extra necesario no se justifica para determinar cuáles son estas relaciones precisas. Como ya se ha enfatizado, la razón para tratar a una relación de tiempo costo como una línea recta. es que cada reducción unitaria en el tiempo produce un incremento igual en el costo. Definiremos el costo incremental como la diferencia entre los costos asociados a los respectivos tiempos de terminación normal y normal, dividido por la diferencia entre estos tiempos respectivos. Analíticamente Veamos una aplicación de lo aprendido en un problema... Volver al menú Clase anterior Próxima clase Novena Clase Vamos a mostrar cómo se pueden usar los costos incrementales para cada actividad, a fin de reducir el tiempo total del proyecto al costo adicional más bajo. la siguiente tabla muestra el tiempo y el costo para cada acticidad, sobre una base normal, y sobre una base de terminación acelerada. también aparecen los costos incrementales para cada actividad, calculados según la última ecuación de la clase anterior. Actividad antecedentes Tiempo normal Tiempo terminación. acelerada Costo directo normal Costo directo acelerado Incremento semanal A 1 1 $5000 $5000 no aplicable B A 3 2 5000 12000 $7000 C A 7 4 11000 17000 2000 D B 5 3 10000 12000 1000 PERT/COSTO 19
E B 8 6 8500 12500 2000 F C, D 4 2 8500 16500 4000 G E, F 1 1 5000 5000 no aplicable Veamos la red asociada a este problema Novena Clase 20