EJERCICIOS DE PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIOS DE PRUEBA DE HIPOTESIS Protocolo 1. Identifique la aseveración original que se probará y exprésela en forma simbólica 1. 2. Dar la forma simbólica que debe ser verdad si la aseveración original es falsa. 3. De las dos expresiones simbólicas obtenidas, usar como hipótesis nula H 0 la que contenga la condición de igualdad; H 1 será la otra declaración. 4. Escoger el nivel de significancia a con base en la gravedad de un error tipo I. Hacer a pequeña si las consecuencias de rechazar una H 0 son graves. Los valores de 0.05 y 0.01 son comunes. 5. Identificar la estadística pertinente para esta prueba y determinar su distribución de muestreo. 6. Determinar la estadística de prueba, los valores críticos y la región crítica. Dibujar una gráfica e incluir las estadísticas de prueba, el o los valores críticos y la región crítica. 7. Rechazar H 0 si la estadística de prueba está en la región crítica. No rechazar H 0 si la estadística de prueba no está en la región crítica. 8. Expresar la decisión anterior en términos sencillos, no técnicos. Al abordar la solución de los problemas típicos que siguen, se seguirá los distintos pasos de la secuencia, incluyendo una breve explicación para el primer caso. i. La densidad media de los tableros aglomerados producidos con una técnica tradicional era de 11.20 gr/cm 3 con desviación típica de 1.25 gr/cm 3. Después de realizar ciertas innovaciones en el proceso, se tomó una muestra de 8 tableros, del cual se obtuvo un promedio de la densidad igual a 10.70 gr/cm 3. Contrastar la hipótesis de que la densidad media de los tableros no ha cambiado, con nivel de significación 0.05. El promedio de las medidas de densidad de los tableros producidos viene a ser el parámetro de interés. La aseveración que se ha postulado señala que la densidad de los tableros obtenidos con la nueva técnica no difiere de la densidad original; la situación opuesta a tal aseveración señalará que la nueva técnica realmente da lugar a tableros de distinta densidad. Si la técnica tradicional se representa con una T y la nueva técnica con una N, la aseveración planteada se expresará como µ N = µ T mientras que la situación opuesta se simbolizaría como: µ N µ T. Así, las hipótesis expresadas con la simbología correcta, donde se ha remplazado el valor paramétrico conocido, son: H 0 : µ N = 11.20 H 1 : µ N 11.20 Al diseñar el experimento, hay que tener el máximo cuidado de reducir la posibilidad de cometer uno de los siguientes errores: Decisión errada Denominación Notación de la probabilidad - Rechazar una hipótesis nula verdadera (Error tipo I ) α = P(Error tipo I) - Aceptar una hipótesis nula falsa (Error tipo II ) β = P(Error tipo II) Para un tamaño de muestra dado, una disminución de la probabilidad α tiene como contraparte un aumento en β, y viceversa. Mientras más serias se consideren las consecuencias de cometer un error de tipo I, menor será el valor que se le asigne a α. Valor asignado: α = 0.05 Debe identificar la característica poblacional que se evaluará (el parámetro acerca del cual se ha elaborado una aseveración) y el estadístico pertinente que nos servirá para decidir respecto de lo 1 Cuando el investigador desea aplicar una prueba de hipótesis para apoyar su aseveración, la aseveración debe expresarse de modo tal que se convierta en la hipótesis alternativa, por lo que no debe contener ninguna condición de igualdad. Página 1

expresado en la hipótesis nula. Luego, debe identificarse la estadística de prueba que se empleará y las suposiciones que hay que satisfacer para aplicarla correctamente. Población: las medidas de la densidad de los tableros aglomerados producidos en la fábrica Muestra : una muestra de 8 observaciones colectadas en forma completamente aleatorizada Seleccionar el estadístico pertinente que va a formar parte del procedimiento de verificación de hipótesis. En este caso se trata de verificar una hipótesis sobre la media poblacional, de tal manera que, El parámetro poblacional es µ (la media), mientras que el estadístico pertinente es x (promedio muestral) El estadístico de prueba (EP) es una cantidad numérica calculada con base en los datos de una muestra obtenida de la población de interés. Sirve para tomar la decisión de rechazar o no rechazar la hipótesis nula. El EP se determina teniendo en cuenta el parámetro sobre el que se plantea la hipótesis y la naturaleza de la distribución muestral del estadístico pertinente. Dado que en este caso el muestreo se hace en una población normalmente distribuida con varianza conocida, el estadístico de prueba que se usa para verificar la hipótesis acerca de la media x µ poblacional es z = 0 σ n La región de rechazo consta de todos aquellos valores del estadístico de prueba que son de tal magnitud que en caso de ser el valor observado del estadístico de prueba igual a uno de ellos, la hipótesis nula se rechaza. La región de no-rechazo es el complemento de la región de rechazo. Si el valor observado del EP es igual a alguno de los valores que componen la región de aceptación, la hipótesis nula no se rechaza. 1- /2 /2 µ 0 - Z /2 (σ/ n) x µ 0 µ 0 + Z /2 (σ/ n) En función de x Región de no rechazo -Z α/2 0 Z α/2 En función de Z Como puede observarse en el gráfico, el valor de cada nuevo promedio muestral aleatoriamente extraido fluctuará alrededor del promedio de la población original. La probabilidad de que el valor muestral exceda la cantidad µ 0 +Z α/2 (σ/ n) se reduce a α/2. Igual probabilidad existe de que el valor muestral sea menor que la cantidad µ 0 Z α/2 (σ/ n). Una prueba de hipótesis de este tipo se denomina de dos lados o bilateral. Habiéndose previamente establecido α, la probabilidad de que el promedio muestral caiga en cualquiera de las dos regiones de rechazo es 0.05/2 + 0.05/2 o 0.05, lo que equivale a la fracción 1/20. En el nivel de α especificado, evidentemente la ocurrencia de un valor promedio en la zona de rechazo sólo se presenta en una proporción muy baja de los casos. Por ello, si obtenemos un valor como el señalado podremos afirmar (con riesgo a equivocarnos una vez entre 20, o entre 100) que realmente proviene de una población distinta. Nuestra región de rechazo para el nivel α=0.05, en este caso repartida entre las dos colas, se pueden especificar como como posiciones Z y como valores x, son las siguientes: Z α/2 superior = 1.96; Z α/2 inferior = -1.96 Página 2

x superior: µ 0 +Z α/2 (σ/ n) = 11.20 + 1.96 (1.25/ 8) = 12.066 x inferior: µ 0 -Z α/2 (σ/ n) = 11.20-1.96 (1.25/ 8) = 10.334 Cálculo del estadístico de prueba, a partir de la muestra aleatoria simple, La estimación lograda con los datos de la muestra, x = 10.70, nos permite calcular el estadístico de prueba Z calculado : Z calc = ( x -µ 0 )/ (σ/ n) = (10.70 11.20) / (1.25/ 8) = -1.13 La decisión estadística, después de verificar la localización del valor Z calculado en el eje Z, es: Dado que el valor de Z calc es -1.13 y se encuentra en la región de no rechazo (entre 1.96 y +1.96), no se puede rechazar la H 0. (A igual conclusión llegamos si consideramos el valor promedio en relación a ambos límites de la región de no rehazo, ya que 10.70 se encuentra entre 10.334 y 12.066, la región de no-rechazo) Conclusión. Como no rechazamos H 0, revisamos las aseveraciones originales y las hipótesis que se establecieron, para expresar una conclusión en términos sencillos: Podemos concluir, con base en los datos de la muestra, que, en efecto, la densidad media de los tableros no ha cambiado como resultado de las innovaciones tecnológicas. ii. En el Problema (i), contrastar la hipótesis µ=11.20 gr/cm3 frente a la hipótesis alternativa µ<11.20 gr/cm3, usando nivel de significación 0.01. Dado que se trata de una variante del problema anterior, gran parte de la solución del problema 2 sólo requiere algunos cambios que se podrán verificar en la secuencia que sigue. Nuestro interés, que es comprobar la afirmación de que realmente disminuye la densidad como resultado los cambios tecnológicos, origina la expresión µ N < µ T ; a la expresión complementaria le corresponde la siguiente notación: µ N µ T Puesto que la segunda expresión encierra la igualdad, al expresar simbólicamente las hipótesis estadísticas, pasará a ser la hipótesis nula: H 0 : µ N 11.20 H 1 : µ N < 11.20 Nível de confianza: α = 0.01 Población: las medidas de la densidad de los tableros aglomerados producidos en la fábrica Muestra : una muestra de 8 observaciones colectadas en forma completamente aleatorizada El estadístico pertinente es x (promedio muestral) Dado que se conoce la desviación estándar de la población, y que esta se distribuye en forma normal, el estadístico de prueba que se usa para verificar la hipótesis acerca de la media poblacional es x µ z = 0 σ n Página 3

H 0: µ µ 0 H 1 : µ < µ 0 1- x µ 0 - Z (σ/ n) µ 0 En función de x Región de No rechazo -Z α 0 En función de Z La probabilidad de que el valor muestral (promedio) sea más pequeño que µ 0 Z α (σ/ n) se reduce a α. Una prueba de hipótesis de este tipo es de un lado o unilateral. Al buscar en la tabla el valor de probabilidad α=0.01, si el valor de probabilidad α buscado no se encuentra y difiere en más de 5 diezmilésimas de los valores presentes en ella, podría ser necesario interpolar. En el caso presente, la tabla utilizada muestra probabilidades P centrales, contenidas entre µ (Z=0) y un valor específico Z 1 ubicado a la derecha de µ. Si requerimos conocer la posición Z 1 para la cual la probabilidad α de la cola vale 0.01, debemos restar esta a 0.5 (0.5 0.01 = 0.49) y localizar el valor resultante en la tabla para conocer la posición Z 1. La tabla consigna un valor 0.4901, correspondiente a la marca Z=2.33 (una tabla más precisa mostrará 2.326). Por la condición de simetría que caracteriza a la distribución normal, el valor correcto de Z 1 es -2.33 (negativo pues se halla a la izquierda de µ. Para α=0.01, la región de rechazo es definida por el valor crítico (VC): Valor Z crítico (una cola):z = -2.33. Considerando el promedio muestral x, el valor crítico sería 11.20-2.33 (1.25/ 8) = 10.18 La estimación obtenida con los datos de la muestra, x = 10.70, nos lleva a calcular el estadístico de prueba Z calculado : Z calc = ( x -µ 0 )/ (σ/ n) = (10.70 11.20) / (1.25/ 8) = -1.13 El valor de Z calc es -1.13 y se encuentra en la región de no rechazo para α = 0.01 (para encontrarse en la zona de rechazo, Z calc debería ser menor que 2.33). En forma semejante, con referencia a x, para 0.01 la región de rechazo incluye todos los valores inferiores a 10.18. Ya que el valor x obtenido con la muestra (=10.70), cae en la región de norechazo, no se puede rechazar la H 0. Podemos concluir, con base en los datos de la muestra, que la densidad media de los tableros no ha disminuido como resultado de las innovaciones tecnológicas. iii. Para la fabricación de cierta sustancia preservante de madera se exige un 23.2% de un metal pesado. Una muestra de 12 análisis del producto ha revelado un contenido medio de tal metal pesado de 23.5% con desviación típica de 0.24%. Podemos concluir que el producto cumple las especificaciones al nivel de significación 0.05? A diferencia de los problemas anteriores, en el presente no se conoce la variancia poblacional; por ello, y dado que la muestra está conformada de sólo 12 mediciones, la estadística de prueba no puede ser Z sino t Página 4

Nuestro análisis debe en este caso comprobar la afirmación de que la sustancia preservante analizada no cumple la exigencia que corresponde al producto. La hipótesis alterna que genera esta prueba se traduce en la expresión µ µ 0 ; la hipótesis nula, la opción complementaria, se expresa con la igualdad: µ = µ 0. Reemplazando el valor del parámetro poblacional conocido, las hipótesis estadísticas se escriben: H 0 : µ N = 23.2 H 1 : µ N 23.2 Valor asignado: α = 0.05 Población: Producto preservante de madera compuesto en un 23.2% por el metal pesado XXX Muestra : 12 análisis del producto El estadístico pertinente es x (promedio muestral) Dado que no conocemos σ, el estadístico de prueba que se usa para verificar la hipótesis acerca de x µ la media poblacional es t = 0 s n 1- /2 /2 x µ 0 - t /2, n-1 gl (s/ n) µ 0 µ 0 + t /2, n-1 gl (s/ n) En función de x Región de no rechazo g.l. -t α/2, n-1 0 t α/2, n-1 g.l. En función de t Nuestra región de rechazo, que contiene la probabilidad α=0.05, la cual está constituida por dos sectores, uno en la cola izquierda y otro en la cola derecha, se define en la curva t correspondiente a 11 grados de libertad, a partir de las marcas t = ± 2.201. Los valores críticos (VC) superior e inferior de x son los siguientes: VC sup : µ 0 + t 0.05, 11 (0.24/ 12) = 23.2+2.201 (0.24/ 12) = 23.35 VC inf : µ 0 - t 0.05, 11 (0.24/ 12) = 23.2-2.201 (0.24/ 12) = 23.05 La estimación obtenida con los datos de la muestra, x = 23.5, nos permite calcular el estadístico de prueba t calculado : t calc = ( x -µ 0 )/ (s/ n) = (23.5 23.2) / (0.24// 12) = 4.33 El valor de t calc es 4.33 y se encuentra fuera de los límites de la región de no-rechazo de t 0.05,11 (± 2.2010). De igual manera, x (=23.50) se halla por encima del valor crítico superior VC sup ( 23.35). De tal manera que se rechaza la H 0. Página 5

Podemos concluir, con base en los datos de la muestra, que la sustancia preservante analizada no cumple la exigencia correspondiente al producto. Página 6