Sobre Propiedades de Convergencia de Operadores Elipticos Fraccionarios No Lineales.

Sobre Propiedades de Convergencia de Operadores Elipticos Fraccionarios No Lineales. Encuentro Anual Sociedad Matemática de Chile. Erwin Topp P. Departamento de Ingenieria Matemática, Universidad de Chile. & Patricio Felmer A. Departamento de Ingenieria Matemática y CMM, Universidad de Chile. Los Andes, Noviembre 2011. 1 / 30

Esquema de la Presentación. 1 Introducción. 2 Aplicaciones y Motivación. 3 Resultados Preliminares. Exponente Fijo. Exponente Variable. 4 Esquemas de las Demostraciones. Estabilidad y Comparación. Prueba de los Teoremas. 2 / 30

1 Introducción. 2 Aplicaciones y Motivación. 3 Resultados Preliminares. Exponente Fijo. Exponente Variable. 4 Esquemas de las Demostraciones. Estabilidad y Comparación. Prueba de los Teoremas. 3 / 30

Operadores Fraccionarios. Sea (K a ) a A una familia de núcleos positivos que satisfacen las condiciones (K1) sup mín( z 2, 1)K a (z)dz < +. a A R n (K2) w L 1 (R n ) L (R n ) tal que C r > 0 satisfaciendo a A, K a (z) C r w(z), si z r, Para cada a A, escribimos L a [u, x] := (u(x + z) u(x) 1 B Du(x) z)k a (z)dz, R n cada vez que la integral esté definida. Esto supone regularidad en x y crecimiento en infinito para u dependiente de K a. Ver [C-S1], [C-S2]. 4 / 30

Ecuación Parabólica. Los tipos de operadores no lineales a considerar son del tipo Isaacs: I[u, x] = ínf sup α A β B L α,β [u, x] con A B A. Si A o B es un singleton, el operador es tipo Bellman. Ecuación a Estudiar. Para T > 0, u 0 BUC(R n ) y f BUC((0, T ) R n ): (P) { ut (t, x) I[u(t, ), x] = f (t, x) x R n, t (0, T ) u(0, x) = u 0 (x) x R n 5 / 30

Solución Viscosa. Una función u s.c.s en [0, T ) R n es subsolución viscosa de (P) si u(0, x) u 0 (x) para todo x R n. (t 0, x 0 ) (0, T ) R n, ϕ C 2 ((0, T ) R n ) tal que u ϕ tiene un máximo en (t 0, x 0 ), entonces para cada δ > 0 ϕ t(t 0, x 0 ) ínf sup L 1,δ α α,β [x 0, ϕ(t 0, )] + L 2,δ α,β [x 0, D x ϕ(t 0, x 0 ), u(t 0, )] f (t 0, x 0 ) β donde, para un núcleo K; x, p R n, ϕ C 2 (R n ), v L (R n ) Z L 1,δ K [x, ϕ] := (ϕ(x + y) ϕ(x) 1 B Dϕ(x) y)k(y)dy B δ Z L 2,δ K [x, p, v] := (v(x + y) v(x) 1 B p y)k(y)dy. B c δ De manera análoga se define supersolución viscosa. Solución es sub y supersolución simultáneamente. Ver [B-I] y sus referencias. 6 / 30

Solución Viscosa. En el dibujo, ϕ es una función test para u en x 0. 7 / 30

Laplaciano Fraccionario. Para σ (0, 1) se define el Laplaciano σ de u : R n R en x R n como Z ( ) σ u(x) = u(x + z) u(x) 1 B Du(x) z z (n+2σ) dz. R n 9 / 30

Laplaciano Fraccionario. Para σ (0, 1) se define el Laplaciano σ de u : R n R en x R n como Z ( ) σ u(x) = u(x + z) u(x) 1 B Du(x) z z (n+2σ) dz. R n Un proceso de Lévy es un proceso estocástico cuyo generador infinitesimal tiene la forma P[u](x) = b u(x)+ 1 Z 2 Tr(σσT D 2 u(x))+ (u(x +z) u(x) 1 B Du(x) z)ν(dz). R n donde b R n es el drift, σ R n n es la difusión y ν es la medida de Lévy asociada al proceso. 9 / 30

Laplaciano Fraccionario. Para σ (0, 1) se define el Laplaciano σ de u : R n R en x R n como Z ( ) σ u(x) = u(x + z) u(x) 1 B Du(x) z z (n+2σ) dz. R n Un proceso de Lévy es un proceso estocástico cuyo generador infinitesimal tiene la forma P[u](x) = b u(x)+ 1 Z 2 Tr(σσT D 2 u(x))+ (u(x +z) u(x) 1 B Du(x) z)ν(dz). R n donde b R n es el drift, σ R n n es la difusión y ν es la medida de Lévy asociada al proceso. Toda medida de Lévy satisface mín(1, z 2 )ν(dz) <. ν(r n ) < : Las trayectorias saltan un no. finito de veces c.s.. ν(r n ) = : Las trayectorias saltan un no. infinito de veces c.s.. 9 / 30

Motivación Estocástica de la Ecuación. Un juego diferencial estocástico consiste de una dinámica X s definida por una condición inicial y un pago Juego: dx s = σ(α s, β s)db s, s [t, T ], Z T J(t, x; α, β) = E t,x X t = x R n, t (B Mov. Browniano) f (s, X s, α s, β s)ds + u 0 (X T ). Jugador 1 controla α y su interés es maximizar J. Jugador 2 controla β y su interés es minimizar J. 10 / 30

Motivación Estocástica de la Ecuación. En [F-S], los autores prueban que la función valor del juego u(t, x) = sup ínf J(t, x; a(β), β) a Γ β es solución viscosa de la ecuación 8 < u t + ínf sup 1 B 2 Tr(σσT (α, β)dx 2u) + f (t, x, α, β) = 0 x R n, t (0, T ) A : u(t, x) = u 0 (x) x R n En [B-H-L] se extiende este resultado a dinámicas con saltos definidas a través de procesos de Lévy. Cuando el proceso es de salto puro, entonces la ecuación que representa el Principio de Programación Dinámica tiene la forma de la ecuación (P). 11 / 30

Algunos Resultados Conocidos de Aproximación. Sea J una función no negativa, radial, continua, con soporte compacto. Para cada ɛ > 0, sea u ɛ solución fuerte de la ecuación 8 >< >: u t(t, x) ɛ (n+2) R J( x y )(u(t, y) u(t, x))dy = 0 x Ω, t > 0 R n ɛ u(x, t) = g(x, t) x Ω c, t > 0 u(0, x) = u 0 (x) x Ω. y sea u solución clásica de 8 < u t(t, x) u(t, x) = 0 x Ω, t > 0 u(x, t) = g(x, t) x Ω, t > 0 : u(0, x) = u 0 (x) x Ω. Suponiendo que existe γ > 0 tal que u C 1+γ/2,2+γ ([0, T ] Ω), Cortázar, Elgueta y Rossi en [C-E-R] prueban que u ɛ u L ((0,T ) Ω) C(T )ɛ γ. Este resultado se extiende a la misma ecuación con condición de borde Neumann en [C-E-R-W]. En [A-M-R-T] se prueba un resultado de convergencia para una ecuación de difusión definida con el p-laplaciano. 12 / 30

Exponente Fijo. Familia de Núcleos a Considerar. Sea σ (0, 1) y 0 < m < M < fijos. Consideremos J(z) := Det(A) 1 (1 + A 1 z (n+2σ) ) 1 con A R n n en una familia tal que todo valor propio de AA t está entre m y M (familia uniformemente eĺıptica). 14 / 30

Exponente Fijo. Familia de Núcleos a Considerar. Sea σ (0, 1) y 0 < m < M < fijos. Consideremos J(z) := Det(A) 1 (1 + A 1 z (n+2σ) ) 1 con A R n n en una familia tal que todo valor propio de AA t está entre m y M (familia uniformemente eĺıptica). Definimos para A como antes y ɛ [0, 1]: j ɛ J ɛ(z) = (n+2σ) J(z/ɛ) si ɛ > 0 Det(A) 1 A 1 z (n+2σ) si ɛ = 0. 14 / 30

Exponente Fijo. Familia de Núcleos a Considerar. Sea σ (0, 1) y 0 < m < M < fijos. Consideremos J(z) := Det(A) 1 (1 + A 1 z (n+2σ) ) 1 con A R n n en una familia tal que todo valor propio de AA t está entre m y M (familia uniformemente eĺıptica). Definimos para A como antes y ɛ [0, 1]: j ɛ J ɛ(z) = (n+2σ) J(z/ɛ) si ɛ > 0 Det(A) 1 A 1 z (n+2σ) si ɛ = 0. Notar que la familia J ɛ cumple las condiciones (K1) y (K2), ésta última respecto al peso w σ(z) = (1 + z n+2σ ) 1. 14 / 30

Exponente Fijo. Teorema 1: Convergencia de Soluciones. Para ɛ 0 y (A α,β ) una familia uniformemente eĺıptica, definimos I ɛ[u, x] := ínf sup L α,β,ɛ [u, x] α β Teorema Sea T > 0, u 0 BUC(R n ), f BUC((0, T ) R n ). Sea u ɛ la solución viscosa acotada de la ecuación j ut(t, x) I ɛ[u(t, ), x] = f (t, x) x R n, t (0, T ) u(0, x) = u 0 (x) x R n Entonces, (u ɛ ) ɛ que converge (cuando ɛ 0) uniforme sobre compactos de [0, T ) R n a la única solución viscosa acotada u de la ecuación j ut(t, x) I 0 [u(t, ), x] = f (t, x) x R n, t (0, T ) u(0, x) = u 0 (x) x R n 15 / 30

Exponente Fijo. Teorema 2: Tasas de Convergencia. Teorema Sean u ɛ, u como en el Teorema 1 y sea γ > 0. Supongamos que u C 1,2σ+γ ((0, T ) R n ). Entonces u u ɛ L ([0,T ) R n ) Cɛ γ. donde la constante C depende de n, m, M, T, [u] 2σ+γ y γ 1. 16 / 30

Exponente Fijo. Sobre los núcleos usados. En esencia, se aproxima cada núcleo del operador Isaacs ĺımite a través del reescale de una función suave, positiva y acotada. 17 / 30

Exponente Fijo. Sobre los kernels usados. Sin embargo, es posible llegar al mismo resultado usando un truncamiento del núcleo original, digamos mín{ɛ (n+2σ), J α,β (z)} 18 / 30

Exponente Fijo. Sobre los kernels usados. También es posible concluir la convergencia usando núcleos suaves con soporte compacto aproximando el núcleo singular. 19 / 30

Exponente Variable. Núcleos de Exponente Variable. Sea s 0 > 0 fijo. Considerando A en una familia de matrices unif. eĺıpticas, vamos a definir para s (s 0, 1) J s(z) := (1 s) Det(A) 1 A 1 z (n+2s) Notar que la familia J s satisface las condiciones (K1) y (K2), ésta última asociada al peso w 1 (z) = (1 + z n+2 ) 1 1 B + z (n+1) 1 B c. 20 / 30

Exponente Variable. Núcleos de Exponente Variable. Sea s 0 > 0 fijo. Considerando A en una familia de matrices unif. eĺıpticas, vamos a definir para s (s 0, 1) J s(z) := (1 s) Det(A) 1 A 1 z (n+2s) Notar que la familia J s satisface las condiciones (K1) y (K2), ésta última asociada al peso w 1 (z) = (1 + z n+2 ) 1 1 B + z (n+1) 1 B c. Definimos para una familia (A αβ ) uniformemente eĺıptica y s (s 0, 1) los operadores: J s[u, x] := ínf sup L α,β,s [u, x] α β En este caso, el operador ĺımite será el operador local: F (M) = ínf sup Tr(A αβ A t α αβ M), M Rn n. β 20 / 30

Exponente Variable. Teorema 3. Teorema Sea f BUC((0, T ) R n ), u 0 BUC(R n ). Para s (s 0, 1), sea u s la solución viscosa acotada de j ut(t, x) J s[u(t, ), x] = f (t, x) x R n, t (0, T ) u(0, x) = u 0 (x) x R n Entonces, u s converge uniforme sobre compactos de [0, T ) R n (cuando s 1 ) a la única solución viscosa acotada del problema j ut(t, x) F (Dx 2 u(t, x)) = f (t, x) x R n, t (0, T ) u(0, x) = u 0 (x) x R n Tasa de Convergencia: Si γ > 0 y u C 1,2+γ ((0, T ) R n ), entonces u u s L ([0,T ) R n ) C 1 s γ. donde C depende de n, m, M, T, u C 2 y [u] 2+γ. 21 / 30

Estabilidad y Comparación. Definiciones. Siguiendo [C-S1], [C-S2], usaremos las siguientes definiciones: Diremos que I es eĺıptico con respecto a la familia de núcleos {K} si para todo x R n y todo par de funciones u, v C 2 (x) se cumple que ínf L K [u v, x] I [u, x] I [v, x] sup L K [u v, x]. K K 23 / 30

Estabilidad y Comparación. Definiciones. Siguiendo [C-S1], [C-S2], usaremos las siguientes definiciones: Diremos que I es eĺıptico con respecto a la familia de núcleos {K} si para todo x R n y todo par de funciones u, v C 2 (x) se cumple que ínf L K [u v, x] I [u, x] I [v, x] sup L K [u v, x]. K Sea w L 1 (R n ) L (R n ). Diremos que una sucesión de operadores (I j ) j converge débil (con respecto a w) a I si para todo ρ > 0, x 0 R n y toda función u L 1 (wdx) de clase C 2 (B ρ (x 0 )), se cumple que I j [u, x] I [u, x], uniformemente en B ρ/2 (x 0 ) K 23 / 30

Estabilidad y Comparación. Lema de Estabilidad Parabólica. Lema Sea {K} una familia de núcleos satisfaciendo (K1) y (K2) (respecto a w). Sea (I j ) j uniformemente eĺıptica con respecto a {K}. Sean u, u j funciones en [0, T ) R n, f UC((0, T ) R n ) y un operador I cumpliendo t u j (t, x) I j [u j (t, ), x] f (t, x) in (0, T ) R n. u j u localmente uniforme en (0, T ) R n. u continua en (0, T ) R n. I j I débil en R n respecto a w. u j L ((0,T ) R n ) C, para todo j. Entonces, t u(t, x) I [u(t, ), x] f (t, x) en (0, T ) R n. La prueba es una adaptación al caso parabólico de resultados estacionarios análogos en [C-S1], [C-S2]. 24 / 30

Estabilidad y Comparación. Principio de Comparación. Proposición Sea f BUC((0, T ) R n ), u 0 BUC(R n ). Sea {K} una familia de núcleos satisfaciendo (K1) y (K2) (relativo a un peso w). Sea I un operador tipo Isaacs asociado a {K}. Sean u, v : [0, T ) R n R sub y supersoluciones viscosas acotadas (respectivamente) de la ecuación { ut (t, x) I[u(t, ), x] = f (t, x) x R n, t (0, T ) u(0, x) = u 0 (x) x R n Entonces, u v in R n. La prueba sigue esquemas clásicos. Ver [B-I] y [C-I-L]. 25 / 30

Prueba de los Teoremas. Esquema de las Demostraciones. Se prueba la equicontinuidad de la sucesión encontrando un módulo de continuidad común para la sucesión que no dependa del parámetro (ɛ o s según el caso). Esto se logra usando el principio de comparación, adaptando al caso no local procedimientos desarrollados en [I], [C-L] para ecuaciones de primer orden. Se aplica el lema de estabilidad para concluir la convergencia de la sucesión a la solución de la ecuación ĺımite. Para encontrar la tasa de convergencia, se encuentran sub y supersoluciones adecuadas para la ecuación que cumple la diferencia entre las soluciones aproximantes y la solución de la ecuación ĺımite. Sea usa la elipticidad para suplir la falta de linealidad de la ecuación. 26 / 30

Prueba de los Teoremas. Comentarios Finales. Siguiendo [A-T], es posible extender los resultados anteriores a soluciones no acotadas, con crecimiento en infinito dependiente del decaimiento de la medida de Lévy considerada. 27 / 30

Prueba de los Teoremas. Comentarios Finales. Siguiendo [A-T], es posible extender los resultados anteriores a soluciones no acotadas, con crecimiento en infinito dependiente del decaimiento de la medida de Lévy considerada. Es posible extender los resultados anteriores a operadores no autónomos dependientes de x y de t, es decir operadores de la forma Z L[u, x] = (u(x + j(t, x, z)) u(x) 1 B Du(x) j(t, x, z))k(z)dz R n bajo ciertas condiciones de integrabilidad de la función j. Ver [B-I]. 27 / 30

Prueba de los Teoremas. Comentarios Finales. Siguiendo [A-T], es posible extender los resultados anteriores a soluciones no acotadas, con crecimiento en infinito dependiente del decaimiento de la medida de Lévy considerada. Es posible extender los resultados anteriores a operadores no autónomos dependientes de x y de t, es decir operadores de la forma Z L[u, x] = (u(x + j(t, x, z)) u(x) 1 B Du(x) j(t, x, z))k(z)dz R n bajo ciertas condiciones de integrabilidad de la función j. Ver [B-I]. El caso s 0 + es un poco más delicado debido a la falta de integrabilidad en infinito del núcleo. Es posible probar que la solución viscosa u s del problema j ut(t, x) + s( ) s u(t, x) = f (t, x) x R n, t (0, T ) u(0, x) = u 0 (x) x R n converge uniforme sobre compactos a la solución de la ecuación j ut(t, x) + C nu(t, x) = f (t, x) x R n, t (0, T ) u(0, x) = u 0 (x) x R n bajo ciertas condiciones de decaimiento en infinito de los datos. 27 / 30

Prueba de los Teoremas. Referencias. Alvarez, O and Tourin, A. Viscosity Solutions of Nonlinear Integro-Differential Equations Annales de L I.H.P., section C, vol.13 (1996), no. 3, 293-317. Andreu, F., Mazón, J.M., Rossi, J.D. and Toledo, J. A Nonlocal p-laplacian Evolution Equation with Neumann Boundary Conditions. Barles, G. and Imbert, C. Second-order Eliptic Integro-Differential Equations: Viscosity Solutions Theory Revisited. IHP Anal. Non Linéare, Vol. 25 (2008) no. 3, 567-585. Buckdahn, R., Hu, Y and Li, J. Integral-Partial Differential Equations of Isaacs Type Related to Stochastic Differential Games with Jumps. Caffarelli, L. and Silvestre, L. Regularity Theory For Nonlocal Integro-Differential Equations. Comm. Pure Appl. Math, Vol. 62 (2009), no. 5, 597-638. 28 / 30

Prueba de los Teoremas. Referencias. Caffarelli, L. and Silvestre, L. Regularity Results for Nonlocal Equation by Approximation. Archive for Rational Mechanics and Analysis, Vol. 200, no. 1, 59-88 Cortázar, C., Elgueta, M. and Rossi, J.D. Nonlocal Diffusion Problems That Approximate the Heat Equation wih Dirichlet Boundary Conditions. Israel J. Math., Vol. 170 (2009), 53-60. Cortázar, C., Elgueta, M. Rossi, J.D. and Wolanski, N. How to Approximate the Heat Equation with Neumann Boundary Condition By Nonlocal Diffusion Problems. Arch. Ration. Mech Anal., Vol. 187 (2008), no. 1, 137-156. M.G. Crandall, H. Ishii and P.-L. Lions. User s Guide to Viscosity Solutions of Second Order Partial Differential Equations. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), Vol. 27 (1992), no. 1, 1-67. 29 / 30

Prueba de los Teoremas. Referencias. M.G. Crandall, H. and P.-L. Lions. On Existence and Uniqueness of Solutions of Hamilton-Jacobi Equations. Nonlinear Anal., Vol. 10, no. 4 (1986), 353-370. Fleming H. and Souganidis, P.E. On the Existence of Value Functions of Two-Player, Zero Sum Stochastic Differential Games. Indiana J., Vol. 38, no. 2 (1989). Ishii, H. Existence and Uniqueness of Solutions of Hamilton-Jacobi Equations. Funkcialaj Ekvacioj, Vol. 29 (1986), 167-188. 30 / 30