Indicadores ECUACIONES Determina el conjunto solución de una ecuación. Resuelve ecuaciones de primer y segundo grado, así como sistemas de ecuaciones Contenido Ecuaciones De primer grado Sistemas de ecuaciones De segundo grado Con valor absoluto ECUACIÓN Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas de por lo menos una variable y que se verifica para un determinado conjunto de valores asignados a sus variables. Ejemplos: x 3 5x + 3 = 0 5 = 0 x x x 3 x = 0 Solución de una ecuación Es aquel valor que toma la incógnita de una ecuación y verifica la igualdad. Conjunto solución de una ecuación (C.S.) Es la reunión de todas las soluciones particulares que presenta la ecuación. x 3 = x Entonces: C.S. = { } Clasificación de las ecuaciones según sus soluciones Ecuación Compatible Es aquella que tiene al menos un elemento en su conjunto solución. Se subdivide en: A. Ecuación compatible determinada Es aquella que tiene un número limitado de elementos en su conjunto solución. x = 0 C.S. = {, } B. Ecuación compatible indeterminada Es aquella que tiene un número ilimitado de elementos en su conjunto solución. Ejemplos: 0x = 0 x = x x + = x + Ecuación Incompatible Es aquella que no tiene ningún elemento en su conjunto solución, es decir su conjunto solución es vacío. Profesor: Javier Trigoso Página
Ejemplos: 0x = 5 = 0 x ECUACIONES LINEALES (Ecuación de er grado) Es aquella ecuación polinomial de la forma: ax + b = 0 ; a 0 5. 6. 7. x x 0 5 5 5 5 3 5x 3 x x x x 4 x 4 Ejemplos: 3x + 9 = 0 C.S. = { 3} 7x 5 = 0 C.S. = {5/7} PARA LA CLASE Resolver:. 7(8 x) 6 (3 5x) = (7x + 9) 3(x + 5). 3x(x 3) + 5(x + 7) x(x + ) (x + 7) + 4 = 0 8. Resolver: x 5 x 6 9. Resolver: x 6x 9 x 3 0. Hallar x en: PARA LA CASA 5 x 5 x 0 5 x 5 x 3. 4. 7 7 7 x x x 0 3 3 4 4 5 x 5 (x ) 3 3(x 5) x 6 x 3 8 4x. Resolver: 5[x + 0 (x + )] = 3(x ) 4 (x + 5) A) / B) /4 C) /6 D) E) Absurdo. Resolver: (x+) (x+5) = (x+3) (x 4) + 5 A) B) C) D) E) /a Profesor: Javier Trigoso Página
x 3 x x 3x 4 3. Resolver: 5 3 6 A) B) /3 C) 3/ D) ¾ E) 4/3 7x 5 x 4x 3 4x 4. Resolver: 3 x 4 3x A) B) C) 3 D) absurdo E) indeterminado 5. Resolver: x 4 x 3x 8 x 3 x x x 3 A) B) C) 3 D) cero E) incompatible 3 6x 5 5 6. Resolver: x 4 x A) 5 B) 3 C) D) 4 E) N.A. x x 7. Resolver: x x x x A) 0, B) 0,5 C) 0,5 D) 0,5 E) 0,6 0. Resolver: x x A) / B) /4 C) 5 D) E) N.A.. Resolver: x 4 x A) 6 B) 3 C) 8 D) 4 E) N.A.. Resolver: x 5 x 7 A) B) 7 C) 9 D) E) 5 3. Resolver: 4x 3 x 9x A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) N.A. 4. Hallar el conjunto solución de: x x 7 x 5 x 0 A) 7 B) 8 C) 6 D) 9 E) vacío 5. Resolver: x x x x A) / B) C) 3 D) 4/5 E) N.A. 8. Resolver: x x 6 x 5 x x x 7 x 6 x 3 A) 4 B) 9/ C) 5 D) / E) 3/ 3 9. Resolver: x 3x 8 x x 35 x x 0 A) 4 B) 3 C) 3 D) E) 4 Profesor: Javier Trigoso Página 3
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Es un conjunto formado por dos o más ecuaciones donde intervienen dos o más incógnitas. xy x 0 x y 5 0 El sistema que se ha formado es con dos ecuaciones polinomiales de incógnitas x é y. Solución de un sistema Es aquella colección numérica que verifica cada una de las ecuaciones en forma simultánea. xy 6 x y 5 La colección numérica que verifica a las ecuaciones en forma simultánea son: (; 3), (3; ) ya que: 3 6 3 5 y 3 6 3 5 Entonces decimos que hay dos soluciones: (; 3), (3; ) PARA LA CLASE x 4y 0. Dado el sistema de ecuaciones: calcula: (x + y) 5x 3y 6 0. Resuelve: 3 x y y dar el valor de: x + y y 5 7x 3x y 03. Luego de resolver:, proporcionar el valor de: x/y y x 7 x 5 4 y 4x 04. Resuelve: y da como respuesta: x y 0 y x y x 3 x y 05. Luego de resolver:, el valor de x + y será: 5 3 x y x y 9 06. Siendo: y z 5. Calcula: z (x y) x z 6 Conjunto solución (C.S.) La agrupación de todas las soluciones se denomina conjunto solución del sistema. Así en el ejemplo anterior se tiene: C.S. = {(; 3), (3; )} x.y 0 07. Siendo: y.z 0 x.z 8. Calcula: x + y + z (x, y, z > 0) Profesor: Javier Trigoso Página 4
0 9 8 x y 08. Resuelve el sistema: e indicar: y x 4 3 3 x y 09. Resolver: 5 x 3 y 3. Calcula x y 5x 9y 8 xy x y 5 yz 0. Siendo:, Calcula: y (x + z) y z 7 xz x z 6 PARA LA CASA. Resuelve: x y. Da como respuesta el producto de las x y soluciones. A) 5 B) C) 7 D) 35 E) 0 x y 5 u v. Resuelve:. Hallar el valor de u. y z 8 z u 9 A) B) C) 3 D) 4 E) 4 3x 4y 4 3. Dado el sistema:. Halla x + y x 3y 6 A) 06 B) 76 C) 8 D) 8 E) 67 0x 9y 8 4. Del sistema: Calcular y. 8x 5y A) / B) /3 C) /4 D) E) /5 5. Encontrar el valor de y en el sistema de ecuaciones simultáneas: 7y x 7y 5 x A) /7 B) C) D) / E) /4 3 x y x y 3 6. Resolver: e indicar: x + y 5 x y 3 x 3y 9 A) B) C) 3 D) 4 E) 5 7. Resolver y dar como respuesta x.y: y 3x y 3x 4 3 x y x x 8 7 4 A) 4 B) 30 C) 45 D) 56 E) N.A. Profesor: Javier Trigoso Página 5
4 7 x y 4 8. Al resolver el sistema: hallar xy. 3 5 x y 4 A) B) C) 3 D) 6 E) N.A. 0 0 9 x 3 y 9. Resolver el sistema: e indicar x + y 0 x 3 y A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 9 5x 3y 3 x y 7 0. Dado el sistema: ; obtener x y x y 4 4 x y A) B) C) 5 D) 5 E) N.A. x y 6. Siendo: y z 8 ; Calcular: x y z (x, y, z > 0) x z A) B) 3 C) 6 D) 8 E) x y. Hallar x en: y z 0 x z 5 A) 5 B) 0 C) 5 D) 0 E) 5 5xy x y 3. Resolver 5yz 8 y z y dar el valor de x. 3xz 36 x z A) B) C) 3 D) 4 E) 5 x y 7 xy 4. Resolver el sistema: y calcular: P x y y x xy A) B) 3 C) 4 D) 5 E) N.A. x y 8xy 9 x 5. Resolver: = e indicar: M x y y A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) N.A. Profesor: Javier Trigoso Página 6
ECUACIONES CUADRÁTICAS (Ecuación de do grado) 3. 5 x x Es aquella ecuación polinomial de la forma: ax + bx + c = 0 a 0 Resolución:. Por factorización Resolver: 6x 7x + = 0. Por Fórmula Sea P(x) = ax + bx + c / a 0 Fórmula general de la ecuación cuadrática 4. 4x 3x 5 x x 3 x x 3 5 5. Halla el mayor valor de x: x 3 x / / x x 3 6. Halla la menor raíz: x x 6 7. Hallar la menor raíz: 3 3 ( x) (3 x) ( x) (3 x) A) 3 B) C) D) 6 E) N.A. = 5 x, a Resolver: x x + = 0 PARA LA CLASE Resolver las siguientes ecuaciones:. x(x + 3) = 5x + 3 b b 4ac 8. Resolver x x 5 x 3 x 5 7 9. Siendo n la raíz positiva de la ecuación: x x 6x 6 4 x, calcula el valor de E = 3n n + 5n 0. Al resolver la ecuación: x x x x x x x x el número de soluciones que se obtiene es: 8x x 3x. 3(3x ) = (x + 4) (4 x) Profesor: Javier Trigoso Página 7
PARA LA CASA. (x 3) (x + ) + 9x = 3(x 5) A) {, 3} B) { 3, 4} C) {, 5} D) {3, 4} E) {, 5} x x. Resolver: 3 e indicar la mayor raíz. x x A) 5 B) 6 C) 5 D) 6 E) N.A. 3. Resolver: x x x 6 x 6 6 6 x A) {3, 9} B) { 8, 3} C) { 9, 3} D) {8, 3} E) {8, 3} x x 3 4. Resolver:, e indicar una raíz. x 5x 3 A) B) 4 C) 4 D) E) 5. Resolver: x x 5 A) 44 B) 4 C) 44 4 D) 4 E) No tiene solución 6. Determinar la menor de las raíces de: x 5x x 5x x 5x A) 6 B) C) D) E) 6 3 8. Resolver: x x 3 A) B) C) 3 D) E) 3 x 6x 0 x 3 9. La solución de la ecuación:, es: x 8x 7 x 4 A) B) C) D) E) 0. Resolver: 3x 4x 34 3x 4x 9 A) 3 y 5/3 B) 3 y 5/3 C) 3 y D) 3 y 5/3 E) 3 y 5/3. x 5x + 5x 3 = x A) B) 3 C) 5 D) 6 E). La menor raíz de la ecuación: x 6x x, es: A) 0 B) C) D) 4 E) 4 3. Resolver: (3 x) (4 x) 3 3 (3 x) (4 x) 7 e indicar una raíz. A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 4. Resolver: 5 A) 3 x 5 x 5 4 x 5 x 5 5 B)- y 6 C) y 7 D) 6 E) 7 3 7. Resolver: 5 x 5 x 5 x A) 4 B) C) D) 5 E) 6 5. Resolver: x x 3 x x 6 Profesor: Javier Trigoso Página 8
A) {3, 4} B) {-, } C) {/9, /3} D) {4/3, 9/3} E) {3/5, 6} ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO: Ejemplos: Si a 0 x a x a x a PARA LA CASA Resuelve el siguiente grupo de ecuaciones e inecuaciones:. 3x 4 = 0 A. 0 B. 3/4 C. 4/3 D.. 4 x = 3 A. {, 7} B. {, 7} C. {, 7} D. {, 7} x = x = x = x - 3 = 5 x - 3 = 5 x - 3 = 5 x = 8 x = PARA LA CLASE Resuelve las siguientes ecuaciones:. 5 x = 7. x = 3 3. x 3 4. x 6 4 5. 3x 6 5x 0 6 6. x 7. x x 4 = 0 8. x + x = 3 x 9. x + 3 = x 0. x 5 + 3 = 3. x 3 = 7 A. {, 5} B. {, 5} C. {, 5} D. {, 5} 4. 3x = A. {/3, } B. {, /3} C. { /3, } D. {, /3} 5. x + 6 = x + 6 A. [ 3, +[ B. {-3} C. R D. {0} 6. x + = x A. { } B. {, /} C. { /3} D. {, /3} 7. x + 4 = x 0 A. { } B. { 4, } C. { 4} D. { 4, } 8. Luego de resolver: 3 x -5 5 x -9 indicar la mayor de las raíces encontradas. A. B. 7 C. 6 D. 9. En la ecuación: 5x 0 x 4 7, hallar la diferencia de las Profesor: Javier Trigoso Página 9
raíces. A. 8 B. 0 C. 8 D. A o C 0. Si: x 4 5 x 4 + 6 = 0, halla la suma de los posibles valores de x que satisface la ecuación. A. 3 B. 6 C. D. 5. Si: x + x = 4, halla la suma de los posibles valores de x que satisface la ecuación. A. B. C. D.. Las soluciones de la ecuación: 8 3x x = 3 x son: A. 5 y 3 B. 5, 7 y 3 C. 7 y 5 D. 5, 6 y 3 3. Resolver : 3x x x 3 6 A. {, } B. {0, /3} C. {, } D. { /3, 0} 7 4. Resolver la ecuación mostrada: x x 4 4 4 e indica la suma de sus raíces. A. 3 B. C. D. 0 5. Resuelve la ecuación: 3 3 5 5 x x x x e indica la menor solución : A. 4 B. 4 C. D. Profesor: Javier Trigoso Página 0