C A P Í T U L O 4 CAJA DE POLINOMIOS Por: Jhon Fredy Saavedra Delgado Licenciatura en Matemáticas Universidad del Tolima jfredymatematico@gmail.com En este capítulo se mostrará el manejo básico del demo digital de la caja de polinomios (sección 4.1), en el cual se enseñará a representar polinomios de grado menor que cuatro y rectángulos o cuadrados cuya longitud de los lados están determinados por polinomios, además en este capítulo se encuentran propuestas cinco guías (sección 4.2), cada una con ejercicios para desarrollar, utilizando el demo de la caja de polinomios para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. El demo digital de la caja de polinomios es un programa gratuito o de licencia libre en formato html desarrollado por el grupo Gescas de la Universidad de Nariño (Colombia), para representar las operaciones básicas de la suma, resta, multiplicación, división y factorización de polinomios en una variable en el plano cartesiano. La caja de polinomios real (en físico) trabaja con dos variables e, además se pueden representar polinomios de mayor grado que en el demo (digital). Un aspecto positivo del demo virtual es que no es tan limitado en su número de fichas, como si lo es la caja de polinomios en físico, además el demo digital en todas sus fichas expresa el valor del área y los valores de lados de la fichas, mientras que en la caja de polinomios en físico expresa solamente el valor del área. Otra ventaja es que en algunas operaciones entre polinomios, el demo digital escribe el valor del polinomio representado, dando una indicación sobre el polinomio a representar. 4.1 MANUAL BÁSICO DE LA CAJA DE POLINOMIOS Cuando se inicia el demo de la caja de polinomios, casi siempre el navegador de internet pregunta (dependiendo de las configuraciones del navegador de internet), si desea desbloquear algunas acciones que el programa necesita para poder funcionar, a esta pregunta se debe responder o
La caja de Polinomios seleccionar permitir contenido bloqueado y luego la imagen que se observa es igual a la imagen de la figura 4.1. Figura 4.1 Menú desplegado del botón Ayuda En esta primera imagen de la ventana del programa (ver figura 4.1) se observa una pequeña descripción del programa, sus autores y la versión del mismo. Existen dos opciones que son Continuar que es un pequeño tutorial en el cual se explica rápidamente cómo se debe trabajar en el programa con las operaciones básicas entre los polinomios (ver figura 4.2), igualmente se puede ingresar al tutorial oprimiendo la tecla T en el teclado. La otra opción es entrar al demo que se encuentra en la parte superior derecha de la imagen mostrada en la figura 4.1; es en esta opción donde se va a trabajar con las operaciones binarias entre polinomios. Figura 4.2 Un pequeño tutorial en la opción continuar El demo de la caja de polinomios está compuesto por fichas rectangulares y cuadradas cuyas áreas están determinadas por la longitud de sus lados y estas longitudes pueden ser de valor unitario o pueden depender de la variable (ver figura 4.2). Observe que el valor del área de cada ficha se indica en el parte central de la misma, e igualmente los valores de los lados de cada ficha se 127
Jhon Fredy Saavedra Delgado indican en cada lado de la ficha respectivamente. También existen fichas que tienen la misma área, pero se diferencian en la posición en la que está ubicada la ficha o dicho de otra manera, se diferencian en el valor de los lados (base y altura), de las mismas. Como la ficha que tiene mayor grado (exponente) es tres, entonces solo se podrá representar polinomios de primer, segundo y tercer grado; esta información será útil para operar los polinomios en este programa ya que no se debe exceder dicho grado en los polinomios, lo cual depende de la operación que se esté realizando. Figura 4.3 Ventana expuesta dando clic en la opción de entrar al demo En la opción entrar al demo, existe una ventana de ayuda, la cual se puede mover en cualquier dirección dentro de la ventana general, también se puede cerrar y si se necesita nuevamente esta ventana de ayuda, se pulsa la tecla A, ver figura 4.3. 4.1.1 HERRAMIENTAS DE TRABAJO En la parte derecha de la pantalla (ver figura 4.3), se encuentran las herramientas con las que se va a trabajar, estas herramientas se dividen en cinco, que son: Las fichas para representar los polinomios, (el grado de estos polinomios no pueden superar el grado 3, aunque esto depende también de la operación con la que se va a trabajar). Las opciones: operaciones y procesos, (son los botones para realizar la suma, resta multiplicación, división y factorización). Las opciones de procedimiento, (son los botones escribir, operar y nueva operación), estos sirven para escribir los polinomios, luego operarlos y si se necesita, se puede realizar una nueva operación. Escala, (es una opción para trabajar con el tamaño de las fichas). Basura, (es una caneca para arrojar las fichas que no se necesitan).
La caja de Polinomios 4.1.2 ESCRIBIR UN POLINOMIO Para representar un polinomio en el programa por primera vez, la forma más sencilla es utilizando la opción de la suma o de resta de polinomios; realmente se puede elegir cualquiera de las dos opciones ya que por el momento solo se va a aprender a representar un polinomio en el demo virtual. Para escribirlo, se debe inicialmente dar clic en el botón nueva operación, seguidamente dar clic en el símbolo de la suma (+) o de la resta (-), luego para escribir el polinomio se debe dar clic en escribir. Figura 4.4 El plano cartesiano Hay que tener en cuenta que el área en el cual se va a representar los polinomios es en el plano cartesiano (ver figura 4.4), este plano se divide en cuatro partes iguales (cuadrantes) el cual las áreas de color azul (primer y tercer cuadrante del plano cartesiano) son áreas positivas y las áreas de color rojo (segundo y cuarto cuadrante del plano) son áreas negativas; es decir que si se coloca una ficha de área en las áreas de color rojo, entonces se tiene la representación y si se coloca en las áreas de color azul, entonces se tiene la representación (ver figura 4.5). Figura 4.5 Representación de x (figura izquierda) y de -x (figura izquierda) 129
Jhon Fredy Saavedra Delgado Ahora para representar un polinomio de grado menor o igual que tres, se debe escribir dicho polinomio con las fichas en la parte izquierda de la pantalla (segundo y tercer cuadrante) o en la parte derecha de la pantalla (primer o cuarto cuadrante); por tanto únicamente se pueden representar dos polinomios por cada operación. Por ejemplo para escribir el polinomio en la parte izquierda de la pantalla, se debe colocar tres fichas de área en el tercer cuadrante del plano cartesiano y dos fichas de área uno en el segundo cuadrante (ver figura 4.6). Observe que en la parte superior izquierda del plano cartesiano aparece la representación algebraica (representación simbólica específica) del polinomio representado geométricamente. Otro ejemplo, si se representa el polinomio en la parte derecha de la pantalla, se debe colocar dos fichas de área en el primer cuadrante del plano cartesiano, luego una ficha de área en el primer cuadrante y tres fichas de área uno en el cuarto cuadrante tal como se muestra en la figura 4.7. Figura 4.6 Representación del polinomio 3x-2 en la parte izquierda del plano cartesiano Figura 4.7 Representación de un polinomio en la parte derecha del plano cartesiano
La caja de Polinomios Ahora intenta representar el polinomio en la parte izquierda de la pantalla (tres fichas de área y dos fichas de área en el segundo cuadrante, más cuatro fichas de área uno en el tercer cuadrante) y el polinomio en la parte derecha (una ficha de área en el primer cuadrante, cuatro fichas de área y una ficha de área uno en el cuarto cuadrante). Figura 4.8 Representación de dos polinomios en el plano cartesiano 4.1.3 REPRESENTACIÓN DE CEROS EN UN POLINOMIO Un cero en un polinomio es una pareja de elementos del polinomio en el cual la suma entre dichos elementos es igual a cero (la pareja de elementos son inversos aditivos); es decir que si se tiene el polinomio la representación de un cero en este polinomio es ( ). Observe en la igualdad que la expresión ( ) representa un cero en el polinomio. Para representar un cero de esta forma en la caja de polinomios, hay que tener en cuenta la ubicación de las fichas en los cuadrantes positivos o negativos del plano cartesiano (cuadrantes de color azul o rojo). Un cero en la caja de polinomios son dos fichas que tienen la misma área pero con signos contrarios (una ficha en un cuadrante de color azul y la otra ficha en un cuadrante de color rojo). En la figura 4.9 se muestran algunas representaciones de un cero en la caja de polinomios. 131
Jhon Fredy Saavedra Delgado Figura 4.9 Representaciones de un cero en la caja de polinomios Ejemplo: representa en el demo virtual el polinomio. Para representar este polinomio recuerde dar clic en nueva operación, después clic en el símbolo de la suma (+) o resta (-) y seguidamente un clic en escribir. Luego se debe representar el polinomio con las fichas del programa en el plano cartesiano y se podrá observar que en este polinomio existe dos ceros (ver figura 4.10). Un cero Figura 4.10 Dos ceros en un polinomio Recuerde que para representar un cero de un polinomio en el demo virtual, se debe de hacer con dos fichas con la misma área pero con signos contrarios (una ficha ubicada en un cuadrante de color rojo y la otra ficha en el cuadrante de color azul), por tanto un cero se puede representar con dos fichas que tengan la misma área pero con la longitud de los lados distintos (ver figura 4.10).
La caja de Polinomios Figura 4.11 Eliminando los ceros del polinomio Para encontrar el resultado de este polinomio, se debe dar clic en la opción operar y arrastrar las fichas que representan un cero a la basura (la caneca de basura que se encuentra en la parte inferior derecha de la pantalla), tal como se muestra en la figura 4.11. Figura 4.12 El resultado después de la eliminación de ceros Ya eliminados los ceros, se suman las áreas de las fichas que permanecieron en el proceso, y el resultado es el polinomio. Observe que en la parte inferior izquierda del plano cartesiano está el resultado ya escrito (ver la figura 4.12). 4.1.4 RECTÁNGULOS ALREDEDOR DEL ORIGEN DEL PLANO CARTESIANO Para construir rectángulos alrededor del punto de origen del plano cartesiano hay que tener en cuenta dos cosas: la base y la altura del rectángulo, el cual la longitud de estos lados están dados por dos polinomios. Para representar o construir estos lados de rectángulo, se deben de hacer respecto a los signos de los ejes de coordenadas; la longitud de la base del rectángulo se representará en el eje x y la altura del rectángulo en el eje y. Por ejemplo, construir un rectángulo de base y altura. 133
Jhon Fredy Saavedra Delgado Primero se debe representar la base del rectángulo en el plano cartesiano tomando como referencia los signos del eje x, es decir que se debe colocar tres fichas congruentes (lados congruentes) en el cual cada ficha tenga la base de longitud alrededor de la parte positiva del eje x y otras dos fichas congruentes en el cual estas dos fichas tengan una base de longitud uno y las alturas deben coincidir con las alturas de las tres fichas iniciales (las tres fichas que tienen como base la longitud ), estas dos últimas fichas se deben colocar alrededor de la parte negativa del eje x (ver figura 4.13). -2+3x -2 3x Figura 4.13 Representación de la base del rectángulo sobre el eje x Otra forma de representar la base del rectángulo, es ubicar las fichas por encima del sistema de coordenadas (eje x); tal como se muestra en la figura 4.14, además en esta figura se muestra varias formas de representar la base del rectángulo. Figura 4.14 Formas de representar la base del rectángulo
La caja de Polinomios Ahora solamente falta representar la altura del rectángulo; esta altura se representa de forma similar como se construyó la base en el plano cartesiano, pero se debe representar en el eje y, además se debe de representar sin alterar la representación de la bas e; para no alterarlo, la forma más eficiente de representar la base y la altura, es representar la base como se muestra en la primera imagen de la figura 4.14 (imagen superior izquierda), y luego construir la altura sobre el eje y. Altura: 3+x Base: -2+3x Figura 4.15 Base y la altura del rectángulo Ya se tiene la base y la altura del rectángulo, entonces el siguiente paso es terminar de formar el rectángulo colocando las fichas que hacen falta para formar el rectángulo dando clic en operar (tenga en cuenta los lados de las fichas para construir el rectángulo). Para conocer el área de dicho rectángulo, se debe sumar las áreas de las fichas; el área del rectángulo es. Altura: 3+x Base: -2+3x Figura 4.16 El rectángulo ya terminado. 135