27 Congreso Nacional de Estadística e Investigación Operativa Lleida, 8-11 de abril de 2003 OPTIMIZACIÓN DEL GRÁFICO DE CONTROL EWMA PARA PROCESOS MUY CAPACES Y PROCESOS DIFÍCILMENTE AJUSTABLES J.C. García-Díaz, F. Aparisi Departamento de Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad Universidad Politécnica de Valencia, 46022 Valencia, España E-mail: juagardi@eio.upv.es RESUMEN Los gráficos de control EWMA pueden ser aplicados para detectar cambios pequeños de forma eficiente en el control estadístico de procesos. En este artículo se presenta un software desarrollado para el entorno Windows para el diseño óptimo de los parámetros de los gráficos EWMA para procesos muy capaces y procesos difícilmente ajustables, donde la probabilidad de falsa alarma resulte muy baja y a la vez sean muy potentes para detectar cambios de magnitud importantes. Se han utilizado algoritmos genéticos para llevar a cabo esa optimización. Palabras y frases clave: SPC; gráfico EWMA; regiones de máxima y mínima potencia; optimización; algoritmos genéticos. Clasificación AMS: 62P30. 1. Introducción Cuando existe interés en controlar o monitorizar la estabilidad del valor medio de una característica de calidad que puede medirse en una escala continua, suelen ser utilizados los gráficos X [Shewhart, (1931)]. La principal consideración que se debe realizar es que el gráfico de control X diseñado de forma estándar resulta un procedimiento poco potente para detectar cambios o desviaciones de la media de pequeña magnitud, debido a que solo tiene en cuenta la información presente del proceso. Muchos autores han estudiado la mejora de la eficiencia del gráfico X para detectar cambios pequeños utilizando técnicas distintas. Para mejorar la potencia frente a estos cambios de pequeña magnitud, fueron desarrollados los gráficos de sumas acumuladas CUSUM y los gráficos de medias móviles ponderadas exponencialmente EWMA, cuya ventaja principal es que, por su diseño, tienen en cuenta no sólo la información actual del proceso sino también la del 1
pasado. Debido a lo anterior, son más potentes que el gráficos estándar X cuando el tamaño de muestra y la frecuencia de muestreo son los mismos [Montgomery (2001)]. Sin embargo, se pueden presentar situaciones en las que no resulta interesante detectar cambios de pequeña magnitud. El intentar ajustar un proceso cuando el cambio en la media es muy pequeño puede llevar al fenómeno de sobreajuste y a la introducción de variabilidad extra en el proceso [Woodall (1985)]. Por otra parte, el pretender obtener una constancia absoluta en el valor de la media podría parecer utópico, ya que muchas veces el valor especificado para la media es elegido un poco arbitrariamente o estimado imprecisamente. De hecho, cuando se lleva acabo el redondeo del valor de la media se crea un pequeño intervalo de valores aceptables para la misma. Parece razonable tolerar algún pequeño cambio en la media del proceso si estamos dispuestos a aceptar una pequeña variabilidad en la característica de calidad que estamos controlando [Woodall (1985)]. Debido a todo lo anterior, Woodall (1985) propone como criterio de diseño estadístico de gráficos de control el partir, en primer lugar, de la especificación de los valores del cambio que realmente sean importantes detectar rápidamente. Para ello, se propone definir unas regiones que corresponden a estado bajo control, indiferente y fuera de control. Sería más interesante decidir que tamaño de cambio es realmente importante detectar, y en base a ello, seleccionar aquel gráfico de control que fuera muy eficiente cuando realmente es necesario, y que tuviera una probabilidad de falsas alarmas realmente baja para los valores de descentrado que no se quieren detectar. El objetivo del presente trabajo es determinar los parámetros óptimos de los gráficos EWMA para controlar procesos en que no resulte necesario detectar cambios de pequeña magnitud y que, a la vez, sean muy potentes para detectar cambios realmente importantes. La estructura del trabajo es la siguiente: en la sección segunda se presenta el gráfico EWMA. La sección tercera aborda la magnitud de cambio a detectar definiéndose las regiones bajo control, indiferente y fuera de control del gráfico. La determinación de estas regiones es objeto de la sección cuarta. En la sección quinta se presentan los algoritmos genéticos como herramienta de optimización. La implementación del algoritmo genético y el desarrollo del software para la optimización de los gráficos EWMA tienen lugar en la sección sexta. Se muestra en la sección séptima un ejemplo de aplicación y finalmente en la sección octava se exponen las conclusiones de este artículo. 2. Los gráficos de control EWMA El gráfico EWMA (Exponentially Weightted Moving-Avarage) fue introducido por Roberts (1959) como una buena alternativa al gráfico de Shewhart en la detección de cambios pequeños. Hay que recordar que el gráfico de Shewhart sólo tiene en cuenta la información actual del proceso siendo por tanto, insensible a cambios de pequeña magnitud, menores a 2 σ con tamaños de muestra del orden 4 o 5. El gráfico EWMA tiene en cuenta la información actual y la del pasado siendo por tanto eficiente en la detección de dichos cambios pequeños [Montgomery (2001)]. En este caso el 2
estadístico a graficar Z i, a comparar con los límites de control en el instante i, se obtiene como una media ponderada según el parámetro r entre el valor observado el predicho Z i-1, según la expresión: X i y Z i = rx i + ( 1 r) Zi 1 Algunos autores [Hunter (1986); Crowder (1989); Lucas y Saccucci (1990)] abordan en sus trabajos el estudio de las propiedades de este gráfico en el control estadístico de procesos en la industria. Analicemos el diseño del gráfico. Si la variable de calidad a controlar se distribuye según una N µ 0, σ ) cuando el proceso se encuentra bajo control y las observaciones o ( 0 medias muestrales son independientes, entonces el estadístico Z i se distribuye según una normal σ 0 r N( µ, ) 0 n 2 r por tanto, los límites de control del gráfico EWMA se calculan mediante la expresión aproximada: σ r µ ± L 0 0 n 2 r donde L es seleccionado al igual que r para tener un ARL bajo control determinado y n es el tamaño del subgrupo. Un valor típico de L es 3, siguiendo el criterio 3σ, del gráfico de Shewhart. 3. Magnitud del cambio a detectar y del cambio a no detectar El Woodall (1985) estudia el diseño estadístico de gráficos de control y recomienda tomar como criterio de diseño de gráficos de control la selección del tamaño de cambio que sea importante detectar. Para ello propone definir tres regiones: región bajo control, región indiferente y región fuera de control. Dichas regiones estarían delimitadas por dos valores (A y B) del tamaño de cambio a detectar como puede observarse en la figura 1. En el caso univariante el tamaño del cambio lo medimos mediante el descentrado d según la ecuación 3 en unidades de desviaciones típicas del proceso y de esta forma se puede definir las siguientes regiones que llamaremos, en adelante, regiones de mínima y máxima potencia: a) Región bajo control [0, A]. Esta región corresponde a un estado equivalente al de estado bajo control y corresponde al tamaño de cambio comprendido desde d = 0 hasta d = A. En esta región no se quiere detectar ningún cambio. 3
Se desea un ARL máximo. Si el gráfico muestra señal de falta de control se considera a esta señal como una falsa alarma. b) Región fuera de control,[ B, [, correspondiente al valor del cambio d = B a partir del cual se requiere la máxima potencia de detección. Se desea un ARL mínimo. c) Región indiferente, ] A, B[, comprendida entre d = A y d = B. En esta región es indiferente si se detecta o no el cambio en el proceso..000,0.000,0 ARL EWMA X-bar 100,0 10,0 1,0 0 A 0,5 1B 1,5 2 2,5d 3 Figura 1: Regiones de mínima y máxima potencia 3.1 Aplicación a procesos muy capaces y difícilmente ajustables El enfoque de Woodall se encuentra justificado en situaciones que aparecen en la industria con frecuencia. Entre otros, vamos analizar dos tipos de procesos característicos: procesos muy capaces y procesos difícilmente ajustables. Procesos muy capaces. Un tipo de procesos donde puede resultar poco interesante detectar pequeños cambios en la media respecto al valor nominal son aquellos que presentan una elevada capacidad real. Un proceso con una capacidad real de 2.0 se conoce como de calidad seis-sigma, debido a que la distancia desde la media del proceso hasta la especificación más cercana es de seis desviaciones típicas [Montgomery (2001)]. Dado que es difícil mantener la media de un proceso centrada entre las especificaciones, la probabilidad de que una producto no cumpla con ellas se calcula conociendo el descentrado del proceso. Supongamos que el proceso sufre un aumento en la media de 1.5σ. En este caso la probabilidad de que una pieza no cumpla con las especificaciones es de 3.4 ppm, es decir, de cada millón de piezas fabricadas 4 serán defectuosas. Si la media del proceso se desplaza fuera del centro de especificaciones 1.5σ, el C disminuye hasta 1.5. En consecuencia, la media de un pk proceso seis-sigma puede descentrarse 1.5σ del centro de especificaciones y aún así 4
mantener una fracción de partes defectuosas de 3.4 ppm [Montgomery (2001)]. Procesos difícilmente ajustables. En algunos procesos industriales, independientemente de consideraciones económicas, ocurre que por razones técnicas o físicas tienen un comportamiento que los convierten en difícilmente ajustables, cuando el proceso empieza a trabajar fuera del valor nominal. Dentro de este conjunto podemos encontrarnos, entre otros y a modo de ejemplo, procesos donde una herramienta de corte sufre desgastes continuos y paulatinos o procesos de pesado y envasado de productos que se adhieren a las paredes de las tolvas de carga donde se acumula producto, dando como pesada una cantidad inferior al valor objetivo. En este tipo de procesos puede no resultar adecuado plantearse detectar una diferencia entre el valor medio de la característica de calidad a controlar y el valor nominal objetivo por debajo de un umbral, que llamamos A, que deberá ser estimado. 3.2 Determinación de las regiones de máxima y mínima potencia En la sección anterior se ha justificado el interés de no detectar cambios pequeños en determinadas situaciones que se presentan en la industria. En este apartado vamos a proponer un método para determinar la región de mínima potencia, d A, y la región donde debemos de detectar lo antes posible un cambio, d B. El método está basado en la función de pérdida de Taguchi. 4. Optimización mediante Algoritmos Genéticos Los Algoritmos Genéticos (AG) son algoritmos de optimización basados en la evolución natural de las especies [ Holland (1975), Goldberg (1989)]. La búsqueda del óptimo global en un problema de optimización se realiza al pasar de una población inicial (generación) de individuos a otra población nueva (generación siguiente) mediante la aplicación de operadores genéticos. En la población inicial cada individuo representa una solución posible al problema de optimización, es decir, una población de individuos consiste en un conjunto de posibles soluciones del problema a optimizar. El funcionamiento general de un AG es el siguiente: 1º Generar una población inicial de individuos 2º Evaluar todos los individuos de la población inicial 3º mientras no se cumpla la condición de parada del algoritmo hacer: 3.1 Selección población 3.2 Cruce 3.3 Mutación población 3.4 Evaluación población 5
4.1 Software desarrollado El diseño estadístico de un gráfico de control de tipo EWMA consiste en fijar tres parámetros de los que depende la potencia del gráfico frente a distintas situaciones de falta de control así como su comportamiento bajo control. Estos tres parámetros son el tamaño de muestra n, la posición de los límites de control a través del coeficiente L y el coeficiente de ponderación r. Para el diseño óptimo de gráficos de control EWMA se desarrolló un software en entorno Windows con dos versiones: tamaño de muestra no fijado (a buscar por el algoritmo) y tamaño de muestra fijado previamente. En ambos casos el usuario debe especificar el valor de una serie de parámetros que gobiernan el Algoritmo Genético. El algoritmo genético que fue desarrollado depende de una serie de factores comentados de forma general anteriormente. El AG fue programado en entorno Windows procediéndose a realizar un diseño de experimentos para obtener las condiciones operativas óptimas en que puede funcionar el algoritmo.. Se planteó un diseño experimental consistente en un plan factorial equilibrado para determinar las condiciones operativas óptimas. 4.2 Ejemplo de aplicación Se desea diseñar un gráfico de control EWMA bajo el criterio de regiones de máxima y mínima potencia. Para ello con el software desarrollado se estudia el caso de estar interesados en detectar un cambio superior a 1.5σ pero no un cambio inferior a 0.25σ. El tamaño de muestra utilizado es n = 4. Se desea comparar su eficacia en detectar cambios con el X para un ARL bajo control (d = 0) de 500, que presenta un ARL en d = A = 0.25 de 373.88 con tamaño de muestra 1. Las entradas al programa son: tamaño de muestra 4, tol = 1, ARL 0 mínimo deseado de 1.500 y ARL PA de 373.88. Una vez ejecutado el programa obtenemos el gráfico de control óptimo para n = 4 EWMA (r = 0.7. L = 3.46). En la figura 6, se puede observar el perfil de ARL en función de la magnitud del cambio a detectar para el gráfico obtenido. También se pueden observar el perfil de ARL para los gráficos X para tamaño de muestra 4 así como para el gráfico EWMA óptimo en el punto B, d = 1.5, y caracterizado por los parámetros L = 3.09 y r = 0.8 para un ARLo = 500 obtenido mediante el software desarrollado por Aparisi and García-Díaz (2002). De la observación de la figura 2 se desprenden algunas conclusiones. En primer lugar, observamos que para magnitudes de cambio por debajo del punto A (d < 0.25) que delimita la región de no detección el gráfico EWMA obtenido con el programa (EWMA-Regiones), es el más potente. En la región donde se requiere máxima potencia de detección, d > 1.5, la potencia de ambos es muy similar. Así pues el gráfico EWMA- Regiones obtenido es más potente en detectar cambios realmente importantes, produciendo una menor cantidad de falsas alarmas. 6
a 10.000,00 1.000,00 Ewma Ewm a opt X -bar 100,00 ARL 10,00 1,00 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 d Figura 2: Comparación de ARLs 5. Conclusiones A la vista de los resultados mostrados en este trabajo podemos extraer las siguientes conclusiones: Se ha puesto de manifiesto el hecho de la existencia de situaciones en las que puede no tener interés práctico el detectar cambios de pequeña magnitud siendo más interesante el especificar el menor tamaño de cambio que es necesario detectar rápidamente. Una forma práctica de especificar el mínimo cambio a detectar rápidamente, ha sido mediante la función de pérdida de Taguchi que nos permite delimitar las regiones bajo control, indiferente y fuera de control introducidas por Woodall. La técnica de los algoritmos genéticos ha resultado ser un buen método de optimización de los gráficos de control EWMA. Se ha desarrollado un software en entorno Windows de uso sencillo que permite obtener los parámetros óptimos de estos gráficos, para el control de procesos donde se precisa mínima potencia de detectar cambios muy pequeños y máxima potencia en detectar cambios realmente importantes. Es posible diseñar gráficos EWMA que presenten una probabilidad de falsa alarma muy baja y, simultáneamente, sean realmente potentes en detectar cambios que sean considerados importantes. La aplicación de estos gráficos supondría una herramienta de 7
control muy interesante en situaciones prácticas como en procesos muy capaces, procesos difícilmente ajustables o cuyo coste de ajuste sea elevado. Referencias Aparisi. F. and Garcia-Diaz. J.C. (2002): Optimization of ewma and mewma control charts using genetic algorithms. Computers and Operations Research (in revision). Crowder, S.V. (1989) Design of Exponentially Weighted Moving Average Schemes. Journal of Quality Technology. 21, 155-162 Goldberg, D.E. (1989): Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning. Addison Wesley. Holland, J., (1975): Adaptation in natural and artificial systems. Ann Arbor: University of Michigan Press. Hunter J.S., (1986): The exponentially weighted moving average. Journal of Quality Technology. 18, 155-162 Lucas, J.M. y Saccucci, M.S. (1990): Exponentially Weighted Moving Average Control Schemes: Properties and Enhancement,s. Technometrics. 32, 1-29. Lucas, J.M. y Saccucci, M.S. (1990): Average Run Lengths for Exponentially Weighted Moving Average Control Schemes Using the Markov Chain Approach. Journal of Quality Technology, 22, 155-162. Montgomery, D.C., (2001).Introduction to statistical quality control.4end edn, John Wiley, New York. Saccucci, M.S. y Lucas, J.M. (1990): Average Run lengths for Exponentially Weighted Moving Average Control Schemes Using the Markov Chain approach. Journal of Quality Technology. 22, 154-162. Shewhart, W. A., (1931): Economic Control of Quality of Manufactured Product. New York: D. Van Nostrand Co., Inc. 8