Asignatura : Matemática Financiera. Carrera : Ingeniería en Sistemas. Año Académico : II Año. Unidad No. III : TMAR, VPN, PRI y TIR. Profesor : Mauricio Navarro Zeledón. Unidad No. III. TMAR, VPN, PRI y TIR. Hasta el momento, sólo se han presentado conceptos generales sobre cómo trasladar, a valores equivalentes, el dinero a través del tiempo, aunque en la presente unidad se tratará el caso especial de análisis donde sólo intervienen costos, expresando los resultados de flujos anualizados. En la práctica empresarial y el ámbito de cualquier inversionista, el esquema que generalmente se plantea para invertir es: dado que se invierte cierta cantidad y que las ganancias probables en los años futuros ascienden a determinada cifra, es conveniente hacer la inversión? Lo anterior se puede plantear desde otro punto de vista: el inversionista siempre espera recibir o cobrar cierta tasa de rendimiento en toda inversión, por tanto debe contar con técnicas de análisis que le permitan cuantificar si, determinada inversión y ganancias probables, ganará realmente la tasa que él ha fijado como mínima para aceptar la inversión. 1. Tasa mínima aceptable de rendimiento (TMAR) Todo inversionista, ya sea persona física, empresa, gobierno, o cualquier otro tiene en mente, antes de invertir, beneficiarse por el desembolso que va a hacer. Recuérdese la aclaración, en un principio, que en esta unidad no se consideran las inversiones de carácter social y aunque el gobierno de un país sea el que invierta, éste debe esperar, si no lucrar, al menos salir a mano en sus beneficios respecto a las inversiones, para que no haya un subsidio en el consumo de bienes y servicios y no aumente el déficit del propio gobierno. Por tanto, se ha partido del hecho de que todo inversionista deberá tener una tasa de referencia sobre la cual basarse para hacer sus inversiones. Tasa de referencia base es la comparación y de cálculo en la evaluaciones económicas que haga. Si no obtiene cuando menos esa tasa de rendimiento, se rechazará la inversión. El problema es cómo determinar esa tasa. Todo inversionista espera que su dinero crezca en términos reales. Como en todos los países hay inflación, aunque su valor sea pequeño, crecer en términos reales significa ganar un rendimiento superior a la inflación, ya que si se gana a un rendimiento igual a la inflación el dinero no crece sino que mantiene su poder adquisitivo. En ésta la razón por la cual no debe tomarse como referencia la tasa de rendimiento que ofrecen los bancos, pues es bien sabido que la tasa bancaria (tasa pasiva) es siempre menor a la inflación. Si los bancos ofrecieran una tasa igual o mayor a la inflación implicaría que, o no ganan nada o que transfieren sus ganancias al ahorrador, haciéndolo rico y descapitalizando al propio banco, lo cual nunca va a suceder. MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 1
Por tanto la TMAR se puede definir como: TMAR = tasa de inflación + premio al riesgo. El premio al riesgo significa el verdadero crecimiento al dinero y se le llama así porque el inversionista siempre arriesga su dinero (siempre que no invierte en el banco) y por arriesgarlo merece una ganancia adicional sobre la inflación. Como el premio por arriesgar, significa que a mayor riesgo, se merece mayor ganancia. La determinación de la inversión está fuera del alcance de cualquier analista o inversionista, y lo más que se puede hacer es pronosticar un valor, que en el mejor de los casos se acercará un poco a lo que sucederá en la realidad. Lo que sí puede establecer cuando haga la evaluación económica es el premio al riesgo. Para calcular el premio al riesgo se pueden tomar como referencia las dos situaciones siguientes: a) Si se desea invertir en empresas productoras de bienes y servicios, deberá hacerse un estudio del mercado de esos productos. Si la demanda es estable, es decir, si tiene pocas fluctuaciones a lo largo del tiempo, y crecer con el paso de los años, aunque sea en pequeña proporción y no hay una competencia fuerte de otros productores, se puede afirmar que el riesgo de la inversión es relativamente bajo y el valor al premio puede fluctuar del 3 al 5%. Cuando el riesgo es muy alto el valor al riesgo siempre está arriba de un 12% sin un límite superior definido. b) La segunda referencia es analizar las tasas de rendimiento por sectores de la economía (o través de la bolsa de valores). Supóngase que se desea invertir en el área de productos químicos. Por un lado, deberá observar cuál ha sido el rendimiento promedio de las empresas del área de productos químicos y por otro lado, conocer el valor real de la inflación. Si se observa, por ejemplo, que los rendimientos actuales de las industrias químicas sobrepasan apenas un 3% al ritmo inflacionario, no sería acertado fijar un premio al riesgo muy superior al promedio vigente para una nueva industria química, pues implicaría pedir altos rendimientos a un sector productivo que en ese momento, por las razones que sean no está proporcionando altos rendimientos. Ya será decisión de los inversionistas arriesgarse en esas condiciones. Si en un determinado sector productivo los rendimientos promedio son bajos, pero una industria en particular de ese mismo sector tiene altos rendimientos, no se debe confundir con esa circunstancia y querer imitarla en ganancias fijando un alto premio al riesgo en la etapa de evaluación económica, cuando apenas se va a decidir si se invierte. La fijación de un valor para el premio al riesgo y, por tanto, para la TMAR es, como su nombre lo indica, el mínimo aceptable. Si la inversión produce un rendimiento muy superior a la TMAR, tanto mejor. MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 2
La TMAR o costo de capital simple. La TMAR, como ya se ha comentado, es fundamental en la ingeniería económica. También se le llama costo de capital, nombre derivado del hecho que la obtención de fondos necesarios para constituir un proyecto, y que funcione, tiene un costo. Cuando una sola entidad, llámese persona física o jurídica, es la única aportadora de capital para su proyecto, el costo de capital equivale al rendimiento que pide esa entidad por invertir o arriesgar su dinero. Cuando se presenta este caso, se le llama costo de capital simple. Sin embargo, cuando esa entidad pide un préstamo a cualquier institución financiera para constituir o completar el capital necesario para el proyecto, seguramente la institución financiera no pedirá el mismo rendimiento al dinero aportado que el rendimiento pedido a la aportación de propietarios del proyecto. La situación es algo complicada, pero en términos generales se puede decir lo siguiente: los dueños, socios o accionistas del proyecto aportan capital y arriesgan, puesto que el proyecto tiene altos rendimientos monetarios, éstos se irán directamente a manos de los accionistas. Sin embargo, sí el proyecto pierde, los accionistas también perderán. Una situación contraria presenta la institución financiera que aporta capital, pues sólo lo hace como préstamo, a una tasa de interés definida y a un plazo determinado; el término de éste y habiendo saldado la deuda, la institución financiera queda eliminada como participante en el proyecto. Los contratos financieros expresan claramente que en caso de incumplimiento de pago por parte del proyecto, se puede proceder legalmente en su contra para exigir el pago. Por tanto, dado que las fuentes de aportación de capital para la constitución del proyecto pueden tener situaciones de actuación y participación totalmente distintas, es evidente que el rendimiento que exigen a su aportación también debe ser distinto. Cuando se da el caso de que la constitución del capital de un proyecto fue financiado en parte, se habla de un costo de capital mixto. El cálculo de este costo se presenta en el siguiente ejemplo: Ejemplo No. 1. Para invertir en un proyecto que fabricará productos plásticos se necesitan $ 1,250 millones. Los socios cuentan con $ 700 millones. El resto lo pedirán a dos instituciones financieras. La financiera A aportará $ 300 millones por los que cobrará un interés del 25% anual. Por su parte, la financiera B aportará $ 250 millones a un interés del 27.5% anual. Si la TMAR de los accionistas es del 30%. Cuál es el costo del capital o TMAR mixta para este proyecto? La TMAR mixta se calcula como un promedio ponderado de todos los aportadores del capital del proyecto. MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 3
Entidad (% de aportación) Rendimiento pedido Promedio ponderado Accionistas 0.56 0.30 0.168 Financiera A 0.24 0.25 0.060 Financiera B 0.20 0.275 0.055 1.00 0.283 La TMAR mixta de este proyecto es de 28:3% 2. Método del valor presente neto (VPN). El valor presente simplemente significa traer del futuro al presente cantidades monetarias a su valor equivalente. En términos formales de evaluación económica, cuando se trasladan cantidades del presente al futuro, se dice que se utiliza una tasa de interés, pero cuando se trasladan cantidades del futuro al presente, cómo el cálculo del VPN, se dice que se utiliza una tasa de descuento debido, a lo cual a los flujos de efectivo ya trasladados al presente se les llama flujos descontados. 2.1. Análisis y evaluación de un proyecto individual. El valor presente neto (VPN) es uno de los métodos básicos que toma en cuenta la importancia de los flujos de efectivo en función del tiempo. Consiste en encontrar la diferencia entre el valor actualizado de los flujos de beneficio y el valor, también actualizado de las inversiones y otros egresos de efectivo. No cabe duda de que si el valor presente neto de un proyecto es positivo la inversión deberá realizarse y si es negativo deberá rechazarse. Las inversiones con VPN positivos incrementan el valor de la empresa, puesto que tienen un rendimiento mayor al mínimo aceptable. Ejemplo No. 2. Supóngase que se ha hecho cierto estudio que tomó en cuenta la posibilidad de invertir en una industria metalmecánica. Se calculó una inversión inicial de $ 1,000 con la posibilidad de obtener ganancias como se observa en el cuadro de abajo. Años 0 1 2 3 4 5 Flujos (1,000) 260 310 330 400 505 La pregunta que hacen los inversionistas es, conveniente invertir en este proyecto dado las expectativas de ganancia e inversión? Para responder a esta pregunta se puede utilizar el VPN como criterio de selección. Para calcularlo, sólo traslade los flujos de los años futuros al tiempo presente y réstele la inversión inicial, que ya está en tiempo presente. Los flujos se descuentan a una tasa de corresponder a la TMAR de acuerdo con la siguiente fórmula: VPN = - P + FNE 1 + FNE 2 + FNE n (1+i) 1 (1+i) 2 (1+ i ) n MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 4
Donde FNE n = Flujo neto de efectivo por año n, que corresponde a la ganancia neta Después de impuestos en el año n. P = Inversión inicial en el año cero. i = tasa de referencia que corresponde a la TMAR. Si la TMAR = 20%, el VPN = $ 18,77. El valor presente neto (VPN) recibe este nombre y no simplemente valor presente porque a la suma de los flujos descontados se le resta la inversión inicial, lo que es igual a restarle a todas las ganancias futuras, la inversión que les dio origen, todo esto a su valor superior equivalente en un solo instante en el tiempo que es el presente. Los criterios para aceptar una inversión son los siguientes: Si VPN 0 acéptese la inversión. VPN 0 rechácese la inversión. 2.2. Selección de alternativas mutuamente excluyentes. La comparación de proyectos mutuamente excluyentes con vidas económicas desiguales obliga a efectuar ajustes con sus flujos, una vez que terminen las vidas de los proyectos de más corta duración. En tanto que se dispone de varias técnicas para realizar dichas comparaciones, la más eficiente es el método de Valor Presente Neto Anualizado (VPNA). El método VPNA, como las demás técnicas, supone implícitamente que cada proyecto se puede reemplazar un número infinito de veces por la misma inversión inicial que proporcionará las mismas entradas de efectivo esperadas. Aun cuando este supuesto puede parecer poco razonable, no disminuye por ello la utilidad de la técnica. El método de VPNA convierte al valor presente de proyectos de vida desigual en una cantidad anual que puede utilizarse para seleccionar el mejor proyecto. Este método basado en el VPN, puede aplicarse a proyectos mutuamente excluyentes de vidas diferentes empleando los siguientes pasos: Paso 1: Calcular el VPN de cada proyecto j, VPN 1, respecto a su vida n, utilizando la TMAR, i. Paso 2: Dividir el VPN de cada proyecto que tenga el VPN positivo entre el factor de interés del valor presente para una anualidad al costo dado de capital y la vida del proyecto a fin de obtener el VPNA de cada proyecto j. VPNA 1 = VPNj. FIVPA kn Paso 3: El proyecto que resulte con el VPNA más alto sería el mejor, seguido por el proyecto con el VPNA más alto siguiente, así sucesivamente. La aplicación de estos pasos se puede ilustrar mediante un sencillo ejemplo. MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 5
Ejemplo No. 3. La Compañía WS está tratando de seleccionar el mejor de tres proyectos mutuamente excluyentes X, Y y Z. Los flujos de efectivo importantes para cada proyecto se dan a continuación. La TMAR para el uso en la evaluación de estos proyectos igualmente riesgosos es del 15%. Proyecto X Y Z $ 10,000 $ 12,000 $ 15,000 Año Flujo de efectivo por período 1 $ 1,000 $ 5,000 $ 3,800 2 5,000 6,000 3,800 3 5,000 7,000 3,800 4 4,000 3,800 5 3,000 3,800 6 3,800 7 3,800 8 3,800 Mediante los tres pasos ilustrados se obtiene: Paso 1: Los valores presentes netos de los proyectos X, Y y Z descontados al 15% son: VPN X = 1,000 (0.870) + 5,000 (0.756) + 5,000 (0.658) + 4,000 (0.572) + 3,000 (0.497) 10,000. = (870+3,780+3,290+2288+1,491) 10,000 = $ 11,719 - $ 10,000 = $ 1,719. VPN Y = $ 1,492. VPN Z = $ 2,051. Paso2: Al aplicar la ecuación del paso 2 a los VPN calculados antes, se puede calcular también el VPNA para cada proyecto: VPNA X = 1,719. = 1,719 = $ 513 FIVPA 15%5años 3.353 VPNA Y = 1,492. = 1,492 = $ 654 FIVPA 15%3años 2.283 VPN Z = 2,051. = 2,051 = $ 457 FIVPA 15%8años 4.487 Paso 3: Al repasar los VPNA calculados en el paso 2, se puede observar que se preferiría al proyecto Y con respecto al X, que a su vez sería preferido sobre el proyecto Z. Al comparar estos resultados con los VPN calculados en el paso 1, se concluye que los VPNA suelen proporcionar jerarquías considerablemente diferentes de proyectos de vida distintas que los VPN. Dado que los MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 6
proyectos X, Y y Z. son mutuamente excluyentes, el proyecto Y sería el proyecto más idóneo, puesto que proporciona el VPNA más alto. 2.3. Período de recuperación de la inversión. (PRI). Comúnmente los períodos de recuperación de la inversión se utilizan para evaluar las inversiones proyectadas. El período de recuperación consiste en el número de años requeridos para recobrar la inversión inicial. Se calcula señalando exactamente cuánto tiempo toma el recobrar la inversión inicial. Ejemplo 4. La Compañía Bosco tiene planificado 2 proyectos. Calcule el PRI. Años Proyecto A Proyecto B Inversión inicial = $ 42,000 Inversión inicial = $ 45,000 1 $ 14,000 $ 28,000 2 14,000 12,000 3 14,000 10,000 4 14,000 10,000 5 14,000 10,000 Para determinar el PRI de la inversión se puede proceder de la siguiente manera: En el caso del proyecto A, deben recuperarse $ 42,000. Después de un año, se recobrarán $ 14,000; después de dos años, un total de $ 28,000 ($14,000 en el año 1 más $ 14,000 en el año 2). Al final del tercer año, se habrán recobrado exactamente $ 42,000. El período de recuperación es exactamente de tres años. Como el proyecto B genera una serie mixta de flujos de capital, el cálculo del periodo de recuperación de la inversión no es tan sencillo y se procede la siguiente forma: 1 año = $ 28,000 2 año = $ 12,000 3 año = $ 10,000 = 50,000 45,000 5,000/10,000 = 0.5*12 meses = 6 meses por lo tanto el PRI = 2.5 años. El proyecto B sería preferible al proyecto A, puesto que el primero tiene un PRI más corto (2.50 versus 3.00 años). Con frecuencia las compañías establecen un PRI máximo de modo que descartan los proyectos con recuperaciones que requieren más tiempo; otros proyectos serán aceptados o evaluados aun empleando alguna de técnica de evaluación de proyectos más elaborada. Obsérvese, pues, que el PRI se emplea comúnmente como un instrumento de selección inicial de proyectos. MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 7
3. Método de la Tasa Interna de Rendimiento (TIR). 3.1. Definición y significado de la TIR. Desde la perspectiva de una persona que ha recibido un dinero diferente en préstamo, la tasa de interés se aplica al saldo no pagado, de manera que la cantidad prestada y el interés total se pagan en la totalidad con el último pago del préstamo. Desde la perspectiva de quien otorga el préstamo, existe un saldo no recuperado en cada período de tiempo. La tasa de interés es el rendimiento sobre este saldo no recuperado, de manera que la cantidad total prestada y el interés se recuperan en forma exacta con el último pago. La tasa interna de rendimiento define ambas situaciones: Tasa interna de rendimiento (TIR) es la tasa pagada sobre el saldo no pagado del dinero obtenido en préstamo, o la tasa ganada sobre el saldo no recuperado de una inversión, de forma que el pago o entrada final iguala el saldo exactamente a cero con el interés considerado. La tasa interna de rendimiento está expresada como un porcentaje por período, por ejemplo i = 10% anual. 3.2. Evaluación de un proyecto individual. Para obtener la TIR se puede utilizar un procesamiento iterativo. La La prueba y error consiste en utilizar un valor de (i), emplear tablas de valor actual para obtener los valores de descuento, efectuar las operaciones aritméticas y observar el error cometido. A continuación deberán repetirse las operaciones anteriores con otros valores (i), hasta que se alcance el valor de (i), que haga que la suma de los flujos positivos descontados sea igual a la suma de los flujos negativos descontados. Para ilustrar el procedimiento señalado obsérvese en el cuadro siguiente. Ejemplo No. 5. El comportamiento de los flujos de beneficio del proyecto Beta al ser descontados a una tasa del 20% anual. Años Flujo de efectivo Factores de descuento al 20% Valores actuales de flujos Inversión inicial = ($ 4,000) 1 $ 1,360 0.833 $ 1,133 2 1,540 0.694 1,069 3 1,720 0.579 996 4 1.360 0.482 656 Total $ 3,854 Los valores descontados de estos flujos suman en total $ 3,854 cantidad menor que la inversión inicial de $ 4,000; por tanto, la TIR del proyecto es inferior al 20%. Cuando los flujos se descuentan a la tasa del 18% se obtienen los resultados que se presentan en la tabla siguiente: MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 8
Años Flujo de efectivo Factores de descuento al 20% Valores actuales de flujos Inversión inicial = ($ 4,000) 1 $ 1,360 0.847 $ 1,152 2 1,540 0.718 1,106 3 1,720 0.609 1,047 4 1.360 0.516 702 Total $ 4,007 Como se puede observar, el valor actualizado es de $ 4,007, lo que significa que la tasa interna del proyecto es de prácticamente el 18%. Una vez que se ha calculado la tasa interna de rendimiento del proyecto, se necesita conocer el punto de corte de rentabilidad mínima aceptable para los inversionistas, para así poder decidir si conviene lleva a cabo la inversión. La empresa deberá realizar aquellos proyectos de inversión, cuya TIR sea superior al punto de corte establecido y deberá rechazar aquellos con TIR inferior. Cuando existan varios proyectos realizables y limitaciones de recursos financieros y técnicos, se dará prioridad a las inversiones cuyas tasas internas de rendimiento sean mayores y se irá descendiendo en el orden de rendimiento, hasta agotar los recursos financieros y técnicos. 3.3. Desventajas en el uso de la TIR cómo método de análisis. a) Por la forma en que se calculan, tanto la TIR como el VPN suponen implícitamente que todas las ganancias anuales (los FNE) se reinvierten totalmente en la propia empresa, lo cual es falso. Esta práctica podría darse en algunos años, pero no en todos. En un año cualquiera en que se repartan los dividendos, práctica común en las empresas, ya no se puede alcanzar la TIR predicha en el cálculo. b) La fórmula para calcular la TIR es un polinomio de grado n. La obtención de las raíces de cualquier polinomio está regido por la regla de los signos de Descartes que dice: Un polinomio puede tener tantas raíces como cambios de signo. Como el cálculo de la TIR es, de hecho la obtención de la raíz del polinomio planteado, significa que si éste tiene dos cambios de signo, se puede obtener hasta dos raíces, lo que equivale a obtener dos TIR, los cuales no tienen interpretación económica. c) Al decidir la inversión en un solo proyecto, los métodos de VPN y TIR siempre arrojan el mismo resultado. Pero cuando se comparan dos o más proyectos pueden resultar decisiones contrarias. En estos casos es preferible utilizar el VPN para tomar la decisión, debido a las desventajas que presenta la TIR, como se muestra en el siguiente ejemplo. Situaciones donde la TIR y el VPN conducen a situaciones contrarias. Ejemplo No. 6. Una persona tiene dos alternativas de inversión, ambas de $ 15,000. Sin embargo, la primera le ofrece un pago de $ 5,500 al final de cada uno de los próximos 4 años; por otra parte, la segunda MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 9
ofrece un pago único de $ 27,500 al final de los 4 años. Si la TMAR = 15% decida cual alternativa debe seleccionarse. Año A B 0 - $ 15,000 - $15,000 1 5,500 0 2 5,500 0 3 5,500 0 4 5,500 27,500 Solución. Cómo no se pide un método de análisis específico, se utilizan ambos métodos de análisis para las dos alternativas. VPN A = -15,000 + 5,500 (P/A, 15%, 4) = $ 702.5 VPN B = -15,000 + 27,500 (P/F, 15%, 4) = 724.5. Seleccione B. TIR A = 15,000 + 5,500 (P/A, i, 4) = 17.29% Seleccione A. TIR B = 15,000 + 27,500 (P/F, i, 4) = 16.36% Los métodos VPN y TIR nos dan resultados distintos! No se olvide que de dos alternativas, hay que elegir aquella con mayor ganancia en cualquier sentido, es decir, se elige la de mayor VPN o la de mayor TIR. La explicación para este resultado tan extraño es que se utilizan tres tasas distintas para descontar los flujos: el 15%, 16.36% y 17.29%, por esta razón los resultados, de traerlos a valor presente, son contrarios a lo esperado. Obsérvese que en la alternativa A hay una serie de flujos que se reinvierten en su totalidad año con año. En cambio en la alternativa B no hay una situación similar de reinversión debido a que la ganancia es una sola cantidad al final del horizonte de análisis. La suposición implícita de la TIR es que todas las ganancias se pueden reinvertir al valor de la TIR, ya que todos los flujos de efectivo del proyecto se descuentan a esa tasa. No existe una base real para suponer que en el proyecto A, todas las ganancias de cada año, se reinviertan a una tasa de 17.29%. En el proyecto B ni siquiera existe una oportunidad de reinversión, dado que toda la ganancia del proyecto se presenta hasta el período 4, que es el último año del proyecto. Por tanto, la TIR no cumple con la característica deseable, de un método para tomar decisiones de inversión, de poder seleccionar la mejor alternativa. MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 10