Baldor, A. (2). Álgebra, (2ª. reimpr. de la 2ª. Ed.). México: Grupo Editorial Patria. Pp. 446-462.

Baldor, A. (2). Álgebra, (2ª. reimpr. de la 2ª. Ed.). México: Grupo Editorial Patria. Pp. 446-462.

Álgebra de Baldor F CD-ROM de regalo lleno de: 1 útiles ejemplos paso a paso, ejercicios, herramientas y autoeualuaciones xige con esta edición tu CD-ROM! GRUPO EDITORIAL 1 PATRIA

~ ALGEBRA DR. AURELIO BALDOR Fundador, Director y Jefe de la Cátedra de Matemáticas del Colegio Baldor, La Habana, Cuba. Jefe de la Cátedra de Matemáticas, Stevens Academy, Hoboken, New-Jersey, U.S.A. Profesor de Matemáticas, Saint Peter's College, Jersey City, New-Jersey. Con gráficos y 6,523 ejercicios y problemas con respuestas SEGUNDA REIMPRESIÓN 2009

Para establecer comunicación con nosotros puede hacerlo por: correo: Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Azcapotzalco, 02400, México, D.F. fax pedidos: (01 55) 5354 9109 5354 9102 e-mail: info@editorialpatria.com.mx home page: www.editorialpatria.com.mx Esta obra se terminó de imprimir en febrero del 2009 en los talleres de Compañía Editorial Ultra S.A. de C.V. Centeno No. 162 Local 2, Col. Granjas Esmeralda C.P. 09810, México, D.F. Dirección editorial: Javier Enrique Callejas Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo Revisión técnica:alex Polo Velázquez Diseño: Juan Bernardo Rosado Solís Ilustración: José Luis Mendoza Monroy Diagramación: Seditograf 1 Carlos Sánchez Álgebra Derechos reservados: Dr. Aurelio Baldor 1983, Compañía Editora y Distribuidora de Textos Americanos, S.A. (CCEDT A) Códice Ediciones y Distribuciones, S.A. (Códice América, S.A.) 1983, Publicaciones Cultural, S.A. de C.V. 2000, Grupo Patria Cultural, S.A. de C.V. Derechos reservados: 2004, Grupo Patria Cultural, S.A. de C.V. 2007, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V. Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro núm. 43 ISBN: 978-970-817-000-0 (segunda edición) ISBN: 970-24-0779-6 (primera edición) Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en México Printed in Mexico Primera edición: Publicaciones Cultural, S.A. de C.V.: 1983 Primera edición: Grupo Patria Cultural, S.A. de C.V.: 2005 Segunda edición: Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.: 2007 Primera reimpresión: 2008 Segunda reimpresión: 2009

ÍNDICE PÁGINA Capítulos 5 Preliminares 40 Suma 46 11 Resta 58 111 Signos de agrupación 63 IV Multiplicación 79 V División 97 VI Productos y cocientes notables 112 VIl Teorema del residuo 122 VIII Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita 131 IX Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita 143 X Descomposición factorial 180 XI Máximo común divisor 188 XII Mínimo común múltiplo 193 XIII Fracciones algebraicas. Reducción de fracciones 210 XIV Operaciones con fracciones 236 XV Ecuaciones numéricas fraccionarias de primer grado con una incógnita 243 XVI Ecuaciones literales de primer grado con una incógnita 246 XVII Problemas sobre ecuaciones fraccionarias de primer grado 270 XVIII Fórmulas 276 XIX Desigualdades. Inecuaciones 282 XX Funciones 291 XXI Representación gráfica de funciones y relaciones 301 XXII Gráficas. Aplicaciones prácticas 311 XXIII Ecuaciones indeterminadas 319 XXIV Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas

576 BALDOR ÁLGEBRA ~' ~~!!I_J! m!~!!!!! PÁGINA Capítulos 340 XXV Ecuaciones simultáneas de primer grado con tres o más incógnitas 356 XXVI Problemas que se resuelven por ecuaciones simultáneas 370 XXVII Estudio elemental de la teoría coordinatoria 376 XXVIII Potenciación 389 XXIX Radicación 401 XXX Teoría de los exponentes 418 XXXI Radicales 437 XXXII Cantidades imaginarias 446 XXXIII Ecuaciones de segundo grado con una incógnita 460 XXXIV Problemas que se resuelven por ecuaciones de segundo grado. Problema de las luces 467 XXXV Teoría de las ecuaciones de segundo grado. Estudio del trinomio de segundo grado 483 XXXVI Ecuaciones binomias y trinomias 490 XXXVII Progresiones 508 XXXVIII Logaritmos 520 XXXIX Interés compuesto. Amortizaciones. Imposiciones 529 APÉNDICE 530 Tabla de interés compuesto 532 11 Tabla de interés compuesto decreciente 534 111 Cuadro de las formas básicas de descomposición factorial 536 IV Tabla de potencias y raíces 537 Respuestas a los ejercicios del texto

Nlels Henrik Abel (1802-1829). Matemático noruego. Vivió durante toda su vida en extrema pobreza. Trató de abrirse paso entre los matemáticos del continente, pero no lo logró. Obtuvo con Jacobi el Gran Premio de Matemáticas del Instituto de Francia, por su trabajo sobre las funciones elípticas. Fue uno de los más grandes algebristas del siglo XIX. Demostró el teorema general del binomio. Llevó a cabo la demostración de la imposibilidad de la resolución de las ecuaciones de quinto grado. Murió desconocido. _c_ap-ítulo XXX///_ ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2. Así, es una ecuación de segundo grado. Ecuaciones completas de segundo grado son ecuaciones de la forma ax 2 + bx +e = O, que tienen un término en x 2, un término en x y un término independiente de x. Así, 2x 2 + 7x- 15 = O y x 2-8x = -15 o x 2-8x + 15 = O son ecuaciones completas de segundo grado. Ecuaciones incompletas de segundo grado son ecuaciones de la forma ax 2 + e = O que carecen del término en x. o de la forma ax 2 + bx = O que carecen del término independiente. Así, x 2-16 = O y 3x 2 + 5x = O son ecuaciones incompletas de segundo grado. RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO son los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación. Toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces. Así, las raíces de la ecuación 2x- 3 =O son x 1 = 3 y x 2 = - 1; ambos valores satisfacen esta ecuación. x 2 - Resolver una ecuación de segundo grado es hallar las raíces de la ecuación.

CAPÍTULO XXXIII Ecuaciones de segundo grado con una incógnita 447 ECUACIONES COMPLETAS MÉTODO DE COMPLETAR EL CUADRADO PARA RESOLVER LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO ax 2 + bx + e = O Para comprender mejor este método, consideremos primero la ecuación del tipo X 2 +bx+c = 0 Podemos escribir esta ecuación del siguiente modo: x 2 +bx=-c Si observamos el primer miembro veremos que al binomio x 2 + bx le falta un término para ser un trinomio cuadrado, perfecto. Tal término es el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término (~r o lo que es lo mismo b:. En efecto, formamos así un trinomio cuyo primer término es el cuadrado de x; su segundo término es el doble producto de x por %; y su tercer término es el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término (~r o sea b:. Para que no se altere la ecuación le agregamos al segundo miembro la misma cantidad que le agregamos al primer miembro. Así tendremos: x 2 + bx +(b 4 2)=( ~) -e En el primer miembro de esta ecuación tenemos un trinomio cuadrado perfecto. Factorizamos: ( x + %f = b: -e Extraemos la raíz cuadrada a ambos miembros: ~(x+%f = ±~ b: -e Cuando el coeficiente de x 2 es mayor que 1, el procedimiento es esencialmente el mismo, sólo que como primer paso dividimos los tres términos de la ecuación entre a, coeficiente de x 2 Pondremos un ejemplo numérico.

448 BALDORÁLGEBRA 1) Sea la ecuación 4x 2 + 3x- 22 =O. Transponiendo el término independiente: x 2 + 3x = 22 Dividiendo por el coeficiente del primer término: x 2 + ~ x = ~ Agregando el cuadrado de la mitad de ~: x 2 + ~ x + (~) 2 = ~ + {~) 2 Factorizando el primer miembro: ( x + ~r = ~ + ~ Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros: )(x + ~r = ± J ~ + ~ Resolviendo: X+ª= + ~ 8 -.. 64 X=-ª ± ~ a 'V 64 X=-ª+ 19 a- a X=-ª+ 19= 16=2 1 8 8 8 X = 2 X =-ª- 19= 22=-2ª 2 8 8 8 4 R. { x1 =-2ª 2 4 DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA PARA RESOLVER LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO ax 2 + bx + e = O La ecuación es ---------------1~ ax 2 + bx +e= O Multiplicando por 4a: 4a 2 x 2 + 4abx + 4ae = O Sumando b 2 a los dos miembros: 4a 2 x 2 + 4abx + 4ae + b 2 = b 2 Pasando 4ae al 2 miembro: 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = b 2-4ae Descomponiendo el primer miembro, que es un trinomio cuadrado perfecto: ----- (2ax + b) 2 = b 2-4ae Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros: -+ 2ax + b = ± ~ b 2 - Transponiendo b: 2ax =-b ± ~ b 2-4ae 4ae Despejando x: --------------~ -b±~b 2-4ac X=--7-2a-- fórmula que me da las dos raíces de la ecuación ax 2 + bx + e = O (porque de esta fórmula salen dos valores de x según se tome ~ b 2-4ae con signo+ o-) en función de a, coeficiente del término en x 2 en la ecuación, b coeficiente del término en x y e el término independiente. Obsérvese que en la fórmula aparece el coeficiente del segundo término de la ecuación b con signo distinto al que tiene en la ecuación.

CAPÍTULO XXXIII Ecuaciones de segundo grado con una incógnita 449 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES COMPLETAS DE SEGUNDO GRADO SIN DENOMINADORES APLICANDO LA FÓRMULA GENERAL 1) Resolver la ecuación 3x 2-7x + 2 =O. - b± Jb 2-4ac Aplicamos la fórmula x = 28 _ ~ uí a = 3, b = -7, e = 2, luego sustituyendo y teniendo presente que al sustituir b / ;~pone con signo cambiado, tendremos: Entonces: - 7± J7 2-4(3)(2) 7±~ 7± $ 7±5 X- 2(3) 6 _ 6 _ 6_ X= 7+5= 12=2 1 6 6 X = 7-5=.?_= 1 2 6 6 3 { X 1 = 2 R. x =1 2 y ~ son las raíces de la ecuación dada y ambas anulan la ecuación. Sustituyendo x por 2 en la ecuación dada 3x 2-7x + 2 = O, se tiene: ' 3(2 2 )- 7(2) + 2 = 12-14 + 2 =o sustituyendox por l3üf - 7{~)+2=~ - ~+ 2=0 2 3 2) Resolver la ecuación 6x - x 2-9 = O. Ordenando y cambiando signos: i- 6x + 9 = O. Vamos a aplicar la fórmula teniendo presente que a, coeficiente de x 2 es 1: - 6± ~ 36-4(1)(9) 6±~ 6± JQ - 6_3 X- 2(1) 2-2- -2- Entonces x tiene un solo valor 3; las dos raíces son iguales: x 1 =X 2 =3 R. Resolver las siguientes ecuaciones por la fórmula general: 1. 3x 2-5x+2 = 0 6. 5x 2-7x-90 = 0 11. x 2 =-15x-56 2. 4X 2 + 3x-22 = 0 7. 6X 2 = X+ 222 12. 32x 2 +18x - 17=0 3. x 2 + 11x =- 24 4. x 2 = 16x - 63 5. 12x - 4-9x 2 = O 8. x+11 = 10x 2 13. 176x=121 +64x 2 18. 105 = x+2x 2 9. 49x 2-70x + 25 = O 14. 8x + 5 = 36x 2 10. 12x - 7x 2 +64 = 0 15. 27x 2 +12x - 7 = 0 3) Resolver la ecuación (x + 4) 2 = 2x(5x - 1) - 7 (x- 2). Para aplicar la fórmula hay que llevarla a la forma ax 2 + bx + e = O Efectuando: x 2 + 8x + 16 = 1 Ox 2-2x- 7x + 14

450 BALDOR ÁLGEBRA Transponiendo: Reduciendo: Cambiando signos: Aplicando la fórmula: x 2 + 8x + 16-1 Ox 2 + 2x +.7x - 14 = O - 9x 2 + 17x + 2 = O 9x 2-17x - 2 = O - 17± J 17 2-4(9)(-2) 17± j289+72 17±1361 17±19 X- 2(9) 18 18 18 Entonces: X= 17+19=36=2 1 18 18 X _ 17-19 _ -2 _ 1 2-~-18--9 Resolver las ecuaciones siguientes llevándolas a la forma ajl + bx + e = O y aplicando la fórmula general: 1. x(x + 3) = 5x + 3 7. 7(x-3)-5(x 2-1)=x 2-5(x+2) 2. 3(3x-2)=(x+4)(4-x) B. (x- 5) 2 - (x- 6) 2 = (2x- 3) 2-118 3. 9x + 1 = 3 (x 2-5) - (x - 3)(x + 2) 9. (5x- 2) 2 - (3x + 1 ) 2 - x 2-60 = O 4. (2x- W - (x + 5) 2 = - 23 10. (x + 4) 3 - (x- 3) 3 = 343 5. 25(x + 2) 2 = (x- 7) 2-81 11. (X+2) 3 - (x-1) 3 = X(3X+4)+8 6. 3x(x- 2) - (x- 6) = 23(x- 3) 12. (5x- 4) 2 - (3x + 5)(2x - 1) = 20x(x- 2) + 27 DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA PARTICULAR PARA RESOLVER ECUACIONES DE LA FORMA x 2 + mx + n = O Las ecuaciones de esta forma como x 2 + 5x + 6 = O se caracterizan porque el coeficiente del término en x 2 es 1. Estas ecuaciones pueden resolverse por la fórmula general con sólo suponer en ésta que a = 1, pero existe para ellas una fórmula particular, que vamos a deducir. La ecuación es Transponiendo n: x 2 + mx+n=o x 2 + mx=-n Sumando ~ 2 alosdosmiembros: x 2 + mx+ ~ 2 =~ 2 - n Descomponiendo el primer miembro, 2 que es un trinomio cuadrado perfecto: (x + ~) = ~ 2 -n Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros: x + ~ = ±) ~ 2 li ransponren. d o - m.. x=- - m + ~2 - - n 2 2-4 Obsérvese que m y n aparecen en la fórmula con signos distintos a los que tienen en la ecuación. - n

CAPÍTULO XXXIII Ecuaciones de segundo grado con una incógnita 451 1) Resolver 3x 2-2x(x- 4) = x- 12 por la fórmula particular. Simplificando la ecuación: 3x 2-2x 2 + 8x = x - 12 x 2 + 7x + 12 =O Aquí m = 7, n = 12, luego aplicando la fórmula particular: X=-~± ~ ~ -12=-~± ~ =-~±~ Entonces: X =-Z+1=-ª=-3 1 2 2 2 X =-Z-1=--ª=-4 2 2 2 2 R. { X 1 = -3 x 2 = -4 Resolver las siguientes ecuaciones aplicando la fórmula particular: 1. x 2-3x + 2 = O 6. x 2 - (7x + 6) = x + 59 2. x 2-2x- 15 = O 7. (x- 1 ) 2 + 11x + 199 = 3x 2 - (x- 2) 2 3. X 2 =19x-88 8. (x-2)(x+2)-7(x-1)=21 4. x 2 + 4x = 285 9. 2x 2 - (x- 2)(x + 5) = 7(x + 3) 5. 5x(x- 1) - 2(2x 2-7x) =- 8 10. (x - 1 )(x + 2) - (2x- 3)(x + 4) - x + 14 =O RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON DENOMINADORES 1) Resolver la ecuación...!_=.1 11. 3x 5x2 60 Hay que quitar denominadores. El m. c. m. de 3x, 5x 2 y 60 es 60x 2 Tendremos: 20x = 84-11x 2 Transponiendo: 11x 2 + 20x - 84 = O Aplicando la fórmula se obtiene: x 1 = 2, x 2 =-3~ R. Resolver las siguientes ecuaciones: 1. 2x - 3_ x- 2 13. 3x-1- ~ - I=o x 2 x 3 5-2=10 5.. _- - 1 - =1 1 X X+2 9 - X+5 - ---: - x 2x - 1 6 2. 4x -.11=-ª 6 J.. _- 11X+5=-1 10. x-13= 5-10(5X+3) 5x - 8 7x - 4 X 2 14 - = - x x 2 2 x x x- 1 X+2 3. -x 2 - - x =3(x-5) 6 2 7 -ª!_+5x-1= 3 _ x x-2=~ 11 15 x+3 _ 5x-1 =O 3x +5 X+1 x-2 x 2 2x -1 4x+ 7 4. 1(x-4)+~(x-5) 4 5 8 _ 1_ - _ 1_ =.! 4x 2 1-3x 20x 16. _ 1_ -.! = _1_ =.!(x 2-53) ' x- 2 x-1 6 12 - - - = - x-1 4 3 4-x 6 X+1 5

452 BALDOR ÁLGEBRA X + 4 _ X+2=_!_ 17 18 _ 5 _ 6_ =3~!..=_2 + ~ =2X+9 19 20 _3 _ 1_ = _1_ X+ 5 X + 3 24. X2-1 X+ 1 8. X + 1 X - 1 X + 3. X + 2 X - 2 X+ 1 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES Descomponiendo en factores el primer miembro de una ecuación de la forma x 2 + mx + n = O o ax 2 + bx + e = O se obtiene un método muy rápido para revolver la ecuación. Resolver x 2 + Sx - 24 = O por descomposición en factores. Factorizando el trinomio (145), se tiene: (x + 8)(x - 3) = O Para que el producto (x + 8)(x - 3) sea cero es necesario que por lo menos uno de estos factores sea cero, es decir, la ecuación se satisface para x + 8 = O y x- 3 = O. Podemos, pues, suponer que cualquiera de los factores es cero. Si x + 8 = O, se tiene que x = -8 y si x - 3 = O, se tiene que x = 3 Lo anterior nos dice que x puede tener los valores -8 o 3. Por tanto, -8 y 3 son las raíces de la ecuación dada. x 1 =-8 R. { 3 X2= Por tanto, para resolver una ecuación de segundo grado por descomposición en factores: 1) Se simplifica la ecuación y se pone en la forma x 2 + mx + n = O o ax 2 + bx + e = O. 2) Se factoriza el trinomio del primer miembro de la ecuación. 3) Se igualan a cero cada uno de los factores y se resuelven las ecuaciones simples que se obtienen de este modo. Resolver por descomposición en factores: 1. x 2 - x-6 = 0 10. x(x -1)- 5(x -2)=2 16. - 6 - - i= _ _ 11. (x-2) 2 X - 4 X 12 - (2x +W=- 80 17. (x -2) 3 - (x - 3) 3 = 37 12. _ Q=_i 4. x 2 = 108-3x x 2 x 3 18.!..=2-2= X+ 3 5. 2x 2 + 7x - 4 = O 13. X+ 2 +X=~ X+1 3 6. 6x 2 X X = 10-11x _ 4x - 1 = 2X+ 1 19 1. 20x 2-27x = 14 14. (X+2) 2-2 \- 5 = 3 2x +3 6x + 5 8. 7x = 15-30x 2 15 x_ +X=3x +15 20 _ 3x +2= 5-9x+14 9. 60 = 8x 2 + 157x x-2 4 4 12x

C A PÍTULO XXXIII Ecuaciones de segundo grado con una incógnita 453 ECUACIONES LITERALES DE SEGUNDO GRADO Las ecuaciones literales de segundo grado pueden resolverse, como las numéricas, por la fórmula general o por descomposición en factores. En muchas ecuaciones literales la resolución por factores es muy rápida, mientras que por la fórmula resulta mucho más laboriosa. 1) Resolver la ecuación 3a - 2x = 1. x a Quitando denominadores 3a 2-2x 2 =ax 2x 2 + ax - 3a 2 =O Aplicando la fórmula. Aquí a = 2, b = a, e = -3a 2, luego: -a± J a2-4(2)(-3a 2 ) X =-, 4 :. - a±~ 4 -a±~ -a±5a 4 4 a- 5a 6a 3 x = - -=--=- - a 2 4 4 2 X 1 =a R. X =-'ª-a { 2 2 2) Resolver la ecuación 2x 2-4ax + bx = 2ab. La solución de las ecuaciones de este tipo por la fórmula es bastante laboriosa; sin embargo, por descomposición en factores es muy rápida. Para resolver por factores se pasan todas las cantidades al primer miembro de modo que quede cero en el segundo. Así, en este caso, transponiendo 2ab, tenemos: 2x 2-4ax + bx - 2ab = O Descomponiendo el primer miembro (factor común por agrupación), se tiene: 2x(x- 2a) + b (x- 2a) =O o sea (x- 2a) (2x + b) =O Igualando a cero cada factor, se tiene: Si x - 2a=0, x = 2a 2x+b =O, X=-º 2 x 1 =2a R. b { X=-- 2 2 Resolver las ecuaciones: 1. x 2 + 2ax - 35a 2 = O 2. 1 Ox 2 = 36a 2-33ax 3. a 2 x 2 + abx - 2b 2 = O 4. B9bx = 42x 2 + 22b 2 5. x 2 + ax = 20a 2 6. 2x 2 = abx + 3a 2 b 2 1. b 2 x 2 + 2abx = 3a 2 8. x 2 + ax - bx = ab 9. x 2-2ax = 6ab - 3bx 10. 3(2x 2 - mx) + 4nx - 2mn =O 11. x 2 - a 2 - bx - ab = O 12. abx 2 - x(b - 2a) = 2

454 BALDOR ÁLGEBRA 13. x 2-2ax + a 2 - b 2 = O 20. 6x 2-15ax = 2bx - 5ab 14. 4x(x- b) + b 2 =4m 2 15. x 2 - b 2 + 4a 2-4ax = O 16. x 2 - (a + 2)x = - 2a 17. x 2 + 2x(4-3a) = 48a 18. x 2-2x = m 2 +2m 19. x 2 + m 2 x(m- 2) = 2m 5 2x-b 2bx-b 2 22.-2-=~ 24. i =_t_ x-1 2(a - 2) 26. 2x - b x_ = 3.: b X+b 4b ECUACIONES INCOMPLETAS Las ecuaciones incompletas de segundo grado son de la forma ax 2 + e = O, que carecen del término en x, o de la forma ax 2 + bx = O, que carecen del término independiente. ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA ax 2 +e = O Si en la ecuación ax 2 +e = O pasamos e al 2 miembro, se tiene: ax 2 =-e :.x 2 =-%:.x=±r Si a y e tienen el mismo signo, las raíces son imaginarias por ser la raíz cuadrada de una cantidad negativa; si tienen signo distinto, las raíces son reales. A igual resultado se llega aplicando la fórmula general a esta ecuación ax 2 +e= O teniendo presente que b = O, ya que el término bx es nulo. Se tiene: G 2a 4a 2 'ra X=±~-4ac=±~-4ac=± 1) Resolver la ecuación x 2 + 1 = 7 ~ 2 + 3. Suprimiendo denominadores: Transponiendo: Extrayendo la raíz cuadrada: Las dos ralees +3 y -3 son reales y racionales. 9x 2 + 9 = 7x 2 + 27 9x 2-7x 2 = 27-9 2x 2 =18 x 2 = 9 X= ±.f9 X= ±3 R. 2) Resolver la ecuación x 2 + 5 = 7. Transponiendo y reduciendo: x 2 = 2 X= ±.J2 R. Las dos ralees.[2 y -.[2 son reales e irracionales.

CAPÍTULO XXXIII Ecuaciones de segundo grado con una incógnita 455 3) Resolver la ecuación Transponiendo: 5x2 + 12 = Jx2-20. 5x 2-3x 2 = -20-12 2x 2 =-32 x 2 = -16 Extrayendo la raíz cuadrada: X= ±~-16 Las dos raíces son imaginarias. X= ±4J"=i = ±4í R. Resolver las ecuaciones: 1. lr=48 2. 51-9 =46 3. 71+ 14 =o 4. 9t-a 2 = o 5. (x + 5)(x- 5) =- 7 6. (2x- 3){2x + 3) - 135 = o 7. 3(X+2)(x - 2)=(x-4) 2 +8x 9. (2x-1)(x+2) - (x+4)(x-1)+5=0 10 _ 1 = ]_ 2x 2 6x 2 12 11 _ 2x-3=x-2 x-3 x-1 x 2-5 4x 2-1 14x 2-1 12. --+-----=0 3 5 15 X 2 + 1 13. 2x-3-- =-7 x-2 8. (x+~)(x-~)=~ 3 14. 3-4x2-1 =2 ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA ax 2 + bx = O Vamos a resolver la ecuación ai + bx = O por descomposición. Descomponiendo se tiene: x(ax +b) =O Igualando a cero ambos factores: x = O ax+b=o:.x=-1 a Se ve que en estas ecuaciones siempre una raíz es cero y la otra es el coeficiente del término en x con signo cambiado partido por el coeficiente del término en t. Igual resultado se obtiene aplicando la fórmula general a esta ecuación teniendo presente que e = O. Se tiene: R X_ -b±ñ _ -b±b --2-a---- a-- y de aquí -b+b o o X=--=- = 1 2a 2a -b-b - 2b b 2 2a 2a a X=--= - =- -

456 BALDOR ÁLGEBRA 1) Resolver la ecuaci9n 5x 2 = - 3x. Transponiendo: Descomponiendo: Igualando a cero: Las raíces son O y -~. R. 5x 2 + 3x =O x(5x + 3) =O X= O 5X+3=0:.X=-ª 5 2) Resolver la ecuación 3x -1 = 5 ;: 2 2. Quitando denominadores: Transponiendo y reduciendo: Descomponiendo: Las raíces son O y 4. R. (3x- 1) (x- 2) = 5x + 2 3x 2-7x + 2 = 5x + 2 3x 2-12x=0 3x(x- 4) =o 3x-O -.. x-q- -3-o X-4=0 :. X= 4 6 ~ -x - 9 = ~. 3 6 2 3.x 2-3x = 3x 2-4x 4. 5x 2 + 4 = 2{x + 2} 5. (x- 3} 2 - {2x + 5} 2 = - 16 7. {4x - 1}{2x + 3} = (x + 3}{x -1} ECUACIONES CON RADICALES QUE SE REDUCEN A SEGUNDO GRADO. SOLUCIONES EXTRAÑAS Las ecuaciones con radicales se resuelven como sabemos, destruyendo los radicales mediante la elevación de los dos miembros a la potencia que indique el índice del radical. Cuando la ecuación que resulta es de segundo grado, al resolverla obtendremos las dos raíces de la ecuación, pero es necesario hacer la verificación con ambas raíces en la ecuación dada, comprobar si ambas raíces satisfacen la ecuación dada, porque cuando los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia generalmente se introducen nuevas soluciones que no satisfacen la ecuación dada. Estas soluciones se llaman soluciones extrañas o inadmisibles. Por tanto, es necesario en cada caso hacer la verificación para aceptar las soluciones que satisfacen la ecuación dada y rechazar las soluciones extrañas. Al hacer la verificación se tiene en cuenta solamente el valor positivo del radical.

CAPÍTULO XXXIII Ecuaciones de segundo grado con una incógnita 457 1) Resolverla ecuación ~ 4x-3- ~ x-2= ~ 3x-5. Elevando al cuadrado: o sea 4x - 3-2 ~ 4x 2-11x + 6 + x - 2 = 3x - 5 Aislando el radical: -2 ~ 4x 2-11x +6 =3x -5-4x +3-x +2 Reduciendo: Dividiendo por -2: Elevando al cuadrado: Transponiendo y reduciendo: Descomponiendo: Igualando a cero: -2~ 4x 2-11x+6 =-2x ~ 4X 2-11X+6 =X 4x 2-11x + 6 = x 2 3x 2-11x + 6 = O (x - 3)(3x - 2) = O X- 3 = 0 :. X= 3 3x-2=0 :. X = ~ Haciendo la verificación se ve que el valor x = 3 satisface la ecuación dada, pero el valor x = ~ no satisface la ecuación. Entonces, x = ~ es una solución extraña, que se rechaza. la solución correcta de la ecuación es x = 3. R. Resolver las ecuaciones siguientes haciendo la verificación con ambas raíces: 1. X+ ~ 4X+1=5 9. ~ 2x+ ~ 4x - 3 =3 2. 2x - ~ x - 1 = 3x - 7 3. ~ 5x - 1 + ~ x + 3 = 4 4. 2..[X - ~ X +5 =1 10. ~ X+3+ ~= 5 -y X+3 11 FX+_i_= 5 " ){.JX 5. ~ 2x-1+ ~ X+3 =3 12. 2..[X = ~ X+ 7 + ~ -y X+7 6. ~ X - 3+ ~ 2X+1-2..fX= O 7. ~ 5x -1-b-x=J2X 8. ~3X +1+fsX= ~ 16X+1 13. ~ X+ ~ X + 8=2..fX 14. ~ 6 -X+ ~ X+7 - ~ 12X+1=0 REPRESENTACIÓN Y SOLUCIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Toda ecuación de segundo grado con una sola incógnita en x representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje de las ordenadas.

458 BALDORÁlGEBRA 1) Representar y resolver gráficamente la ecuación x 2-5x + 4 =O El primer miembro de esta ecuación es una función de segundo grado de x. Haciendo la función igual a y, tendremos: y= x 2-5x + 4 A cada valor de x corresponde un valor de la función. Demos valores a x (Fig. 70). Para X= O, Y= 4 X= 1, Y= o X= 2, Y=-2 X=2 1 2 Y=-21 4 X= 3, Y=-2 X= 4, Y= o X= 5, Y= 4 X= 6, Y= 10 X=-1, y = 1 O, etcétera --1 Figura 70 Representando estos valores de y correspondientes a los que hemos dado a x, obtenemos la serie de puntos que aparecen señalados en - el gráfico. Uniendo estos puntos por una curva suave se obtiene la parábolaabc, que es la representación gráfica del primer miembro de la ecuación dada. El punto inferior de la curva, en este caso corresponde al valor x = 2 ~. El punto inferior de la curva (o el superior según se verá después) se obtiene siempre cuando a x se le da un valor igual a - ~. En esta ecuación que hemos representado b=-5ya =1 yportanto -b=-ª=21, 2a 2 2" Las abscisas de Jos puntos en que la curva corta al eje de las x son las raíces de la ecuación. En este caso la curva corta al eje de las x en dos puntos cuyas abscisas son 1 y 4 y éstas son las raíces de la ecuación x 2-5x + 4 = O. Véase que en la tabla de valores anterior para x = 1 y x = 4, y= O. Las raíces anulan la ecuación. Cuando ambas ralees son reales y desiguales la curva corta al eje de las x en dos puntos distintos. Por tanto, para resolver gráficamente una ecuación de segundo grado en x basta hallar los puntos en que la curva corta el eje de las x.

CAPÍTULO XXXIII Ecuaciones de segundo grado con una incógnita 459 2) Representar y resolver gráficamente la ecuación x 2-6x + 9 = O. Tendremos: Demos valores ax (Fig. 71). y= x 2-6x + 9 Para X=O, X= 1, X=2, X= 3, X=4, X=5, X=6, Y=9 Y=4 Y=1 Y=O Y=1 Y=4 y = 9, etcétera. --1 Figura 111--------- Representando estos puntos y uniéndolos resulta la parábola ABC que es tangente al eje de las x. Esta curva es la representación gráfica del primer miembro de la ecuación x 2-6x + 9 = O. La curva toca al eje de las x en un solo punto 8 cuya abscisa es 3, luego las dos raíces de la ecuación son iguales y valen 3. Obsérvese que en la tabla de valores x = 3 anula la función. NOTA Cuando al aplicar la fórmula a una ecuación de segundo grado la cantidad subradical de ~ b 2-4ac es negativa, las raíces son complejas conjugadas. La parábola que representa una ecuación de segundo grado cuyas raíces son complejas conjugadas no corta al eje de las x. Representar gráficamente las funciones: 1.x 2 +3x-4 3. x 2-5x + 6 5. x 2-2x- 8 1. x 2-8x+ 16 2. x 2 + 3x + 2 4. x 2 + 2x- 8 6. x 2-9 8. x 2 + 4x + 4 10. 3x 2-4x- 7 Resolver gráficamente las ecuaciones: 11. x 2-4x +3=0 14. X 2 +4X+3=0 17. X 2 +8x+16=0 20. x 2-4x = - 4 12. x 2-6x + 8 = O 15. x 2 = 6 -x 18. x 2-4 =O 21. 2x 2-9x + 1 O = O 13. x 2-2x - 3 = O 16. x 2 = 2x -1 19. X 2 = 3X +1 0 22. 2x 2-5x - 7 = O

Koenigsberg Potsdam Karl Gustav Jacobl (1804-1851). Matemático alemán. Profesor de Matemáticas en las universidades de Berlín y Koenigsberg. Compartió con Abel el Gran Premio del Instituto de Francia por su trabajo sobre las funciones ehpticas. Fue el primero en aplicar estas funciones elípticas a la teorla de los números. Su obra sobre ecuaciones diferenciales inicia una nueva etapa en la Dinámica. Es famosa en este campo la ecuación Hamilton-Jacobi. Ideó la forma sencilla de los determinantes que se estudian hoy en el Álgebra. ~P-ítulo XXXIV PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN POR ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. PROBLEMA DE LAS LUCES Cuando el planteo de un problema da origen a una ecuación de segundo grado, al resolver esta ecuación se obtienen dos valores para la incógnita. Solamente se aceptan como soluciones del problema los valores de la incógnita que satisfagan las condiciones del problema y se rechazan los que no las cumplan. A es dos años mayor que B y la suma de los cuadrados de ambas edades es 130 años. Hallar ambas edades. Sea Entonces Según las condiciones: Simplificando, se obtiene: Resolviendo: x = la edad de A x - 2 = la edad de 8 x 2 + (x - 2) 2 = 130 x 2-2x - 63 = O (x - 9)(x + 7) = O X- 9 = 0 :. X = 9 X + 7 = 0 :. X = -7 Se rechaza la solución x = - 7 porque la edad de A no puede ser - 7 años y se acepta x = 9. Entonces A tiene 9 años y 8 tiene x- 2 = 7 años. R.

CAPÍTULO XXXIV Problemas que se resuelven por ecuaciones de segundo grado... 461 A compró cierto número de latas de frijoles por $240. Si hubiera comprado 3 Jatas más por el mismo dinero, cada lata le habría costado $4 menos. lcuántas Jatas compró y a qué precio? Sea x = el número de latas que compró Si compró x latas por $240, cada lata le costó $ 240. X Si hubiera comprado 3 latas más, x + 3 sacos, por el mismo dinero, $240, cada lata saldría a $ 240 3, pero según las condiciones el precio de cada una de estas latas, 2403, sería X+ X+ $4 menor que el precio de cada una de las latas anteriores, 240 ; luego, se tiene la ecuación: X 240 = 240 +4 X X+3 Resolviendo esta ecuación se obtiene x = 12 y x = -15 Se rechaza la solución x = -15 y se acepta x = 12; luego, compró 12 latas y cada lata le costó 2 ~ 0 =~~o= $20. R. La longitud de un terreno rectangular es doble que el ancho. Si la longitud se aumenta en 40 m y el ancho en 6 m, el área se hace doble. Hallar las dimensiones del terreno. Sea Entonces El área del terreno es x x 2x = 2i. x = el ancho del terreno 2x = la longitud del terreno Aumentando la longitud en 40 m, ésta sería (2x + 40) m, y aumentando el ancho en 6 m, éste sería (x + 6) m. El área ahora sería (2x + 40) (x + 6) = 2x 2 + 52x + 240 m 2, pero según las condiciones esta nueva área sería doble que la anterior 2x 2 ; luego, tenemos la ecuación: Transponiendo y reduciendo: Cambiando signos y dividiendo entre 2: 2x 2 + 52x + 240 = 4x 2-2x 2 + 52x + 240 = o x 2-26x - 120 = O Resolviendo esta ecuación se halla x = 30 y x = -4. Aceptando la solución x = 30, el ancho del terreno es 30 m y la longitud es 2x= 60 m. R. Una persona vende una pelota en $24, perdiendo un % sobre el costo de la pelota igual al número de pesos que le costó la pelota. lcuánto le había costado la pelota? Sea x = el número de pesos que le había costado la pelota Entonces, x = % de ganancia sobre el costo.

462 BALDORÁLGEBRA La pérdida obtenida es el x% de $x. En Aritmética, para hallar el 6% de $6 procedemos.. 6x6_36. l 1 01 d $. x x x_x as1. 2 100-100, u ego,.e x 10 e x sera 100-100. Entonces, como la pérdida L es la diferencia entre el costo x y el precio de venta $24, 100 se tiene la ecuación: x2 100 =X -24 Resolviendo esta ecuación se halla x = 40 y x = 60. Ambas soluciones satisfacen las condiciones del problema; luego, la pelota habrá costado $40 o $60. R. 1. La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados 53. Hallar los números. 2. Un número positivo es los ~ de otro y su producto es 2, 160. Hallar los números. 3. A tiene 3 años más que 8 y el cuadrado de la edad de A aumentado en el cuadrado de la edad de 8 equivale a 317 años. Hallar ambas edades. 4. Un número es el triple de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1,800. Hallar los números. 5. El cuadrado de un número disminuido en 9 equivale a 8 veces el exceso del número sobre 2. Hallar el número. 6. Hallar dos números consecutivos tales que el cuadrado del mayor exceda en 57 al triple del menor. 7. La longitud de una sala excede a su ancho en 4 m. Si cada dimensión se aumenta en 4 m el área será doble. Hallar las dimensiones de la sala. 8. Un comerciante compró cierto número de sacos de azúcar por 1,000,000 bolívares. Si hubiera comprado 1 O sacos más por el mismo dinero, cada saco le habría costado 5,000 bolívares menos. cuántos sacos compró y cuánto le costó cada uno? 9. Un caballo costó 4 veces lo que sus arreos. Si la suma de los cuadrados del precio del caballo y el precio de los arreos es 86,062,500,000,000 sucres, cuánto costó el caballo y cuánto los arreos? 10. La diferencia de dos números es 7 y su suma multiplicada por el número menor equivale a 184. Hallar los números. 11. La suma de las edades de A y 8 es 23 años y su producto 102. Hallar ambas edades. 12. Una persona compró cierto número de libros por $1,800. Si compra 6 libros menos por el mismo dinero, cada uno le cuesta $1 O más. cuántos libros compró y cuánto le costó cada uno? 13. Una compañía de 180 hombres está dispuesta en filas. El número de soldados de cada fila es 8 más que el número de filas que hay. cuántas filas hay y cuántos soldados en cada una? 14. Se vende un reloj en 75 nuevos soles ganando un% sobre el costo igual al número de nuevos soles que costó el reloj. Hallar el costo del reloj.