Integrales paramétricas propias

Integrales paramétricas propias ISABEL ARRERO Departamento de Análisis atemático Universidad de La Laguna imarrero@ull.es Índice 1. Introducción 1 2. Tipos de integrales paramétricas 1 2.1. Simples.............................................. 1 2.1.1. Límites fijos....................................... 1 2.1.2. Límites variables..................................... 2 2.2. últiples............................................. 2 2.3. Reducción de integrales del tipo 2.1.2 al tipo 2.1.1........................ 2 3. Continuidad de las integrales paramétricas 3 3.1. Simples.............................................. 4 3.1.1. Límites fijos....................................... 4 3.1.2. Límites variables..................................... 4 3.2. últiples............................................. 5 4. Derivación de integrales paramétricas 6 4.1. Simples.............................................. 7 4.1.1. Límites fijos....................................... 7 4.1.2. Límites variables..................................... 7 4.2. últiples............................................. 8 5. Algunos ejemplos 12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12

INTEGRALES PARAÉTRICAS PROPIAS 1/13 1. Introducción uchas de las funciones que se manejan en Análisis atemático no se conocen mediante expresiones elementales, sino que vienen dadas a través de series o integrales. Un tipo particular de estas funciones son las llamadas integrales paramétricas o integrales dependientes de parámetros. Ejemplo de ellas son las expresiones del tipo b F(λ) = f (λ,x) a (λ Λ), donde Λ R p (p N, p 1), [a,b] R, y f : Λ [a,b] R (λ,x) f (λ,x) es integrable Riemann en [a,b] para cada λ Λ. El conocimiento de la regularidad y propiedades del integrando f nos permitirá decidir sobre la regularidad y propiedades de la integral paramétrica F, aun cuando no se disponga de una expresión explícita de F. Una técnica frecuentemente utilizada para el cálculo de determinadas integrales consiste en diferenciar o integrar una integral paramétrica auxiliar. En lo que sigue, p y q denotarán enteros positivos cualesquiera. 2. Tipos de integrales paramétricas 2.1. Simples 2.1.1. Límites fijos Definición 2.1. Sean: Λ R p ; I = [a,b] R; y f : Λ I R (λ,x) f (λ,x) tal que f (λ, ) es integrable Riemann sobre I, para cada λ Λ. La función b F(λ) = f (λ,x) (λ Λ) a CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12

2/13 I. ARRERO se llama integral paramétrica simple con límites de integración fijos y parámetro λ Λ. 2.1.2. Límites variables Definición 2.2. Sean: Λ R p ; a : Λ R, b : Λ R funciones acotadas, satisfaciendo a(λ) b(λ) (λ Λ); S(a,b) = { (λ,x) R p+1 : λ Λ, a(λ) x b(λ) } ; y f : S(a,b) R (λ,x) f (λ,x) tal que f (λ, ) es integrable Riemann sobre [a(λ),b(λ)], para cada λ Λ. La función b(λ) F(λ) = f (λ,x) (λ Λ) a(λ) se llama integral paramétrica simple con límites de integración variables y parámetro λ Λ. 2.2. últiples Definición 2.3. Sean: Λ R p ; R q, medible Jordan; y f : Λ R (λ,x) f (λ,x) tal que f (λ, ) es integrable Riemann sobre, para cada λ Λ. La función F(λ) = f (λ,x) (λ Λ) se llama integral paramétrica múltiple con parámetro λ Λ. 2.3. Reducción de integrales del tipo 2.1.2 al tipo 2.1.1 OCW-ULL 211/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

INTEGRALES PARAÉTRICAS PROPIAS 3/13 Proposición 2.4. Sean: Λ R p ; a : Λ R, b : Λ R funciones acotadas, satisfaciendo a(λ) b(λ) (λ Λ); S(a,b) = { (λ,x) R p+1 : λ Λ, a(λ) x b(λ) } ; y f : S(a,b) R (λ,x) f (λ,x) tal que f (λ, ) es continua en [a(λ),b(λ)], para cada λ Λ. Se verifica: b(λ) a(λ) 1 f (λ,x) = g(λ,t)dt, donde g(λ,t) = f (λ,a(λ) + [b(λ) a(λ)]t)[b(λ) a(λ)] (λ Λ, t [,1]). DEOSTRACIÓN. Para cada λ Λ, consideramos ϕ λ : [,1] [a(λ),b(λ)] t ϕ λ (t) = a(λ) + [b(λ) a(λ)]t. Esta aplicación es una biyección C con inversa C, y, por tanto, puede ser tomada como un cambio de variable para aplicar la regla de integración por sustitución: b(λ) a(λ) 1 f (λ,x) = 1 f (λ,ϕ λ (t))ϕ λ (t) dt = g(λ,t) dt (λ Λ). Se obtiene así el resultado pretendido. 3. Continuidad de las integrales paramétricas Seguidamente enunciamos los resultados pertinentes para cada tipo. Como 3.1.2 se reduce a 3.1.1 (Proposición 2.4) y la Proposición 3.1 es un caso particular de la Proposición 3.3, sólo probaremos esta última. CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12

4/13 I. ARRERO 3.1. Simples 3.1.1. Límites fijos Proposición 3.1. Sean: Λ R p ; I = [a,b] R; y f : Λ I R (λ,x) f (λ,x). Si: (i) (ii) Λ es compacto, y f es continua, entonces la integral paramétrica b F(λ) = f (λ,x) (λ Λ) a existe y es uniformemente continua sobre Λ. 3.1.2. Límites variables Proposición 3.2. Sean: Λ R p ; a : Λ R, b : Λ R funciones que satisfacen a(λ) b(λ) (λ Λ); S(a,b) = { (λ,x) R p+1 : λ Λ, a(λ) x b(λ) } ; y f : S(a,b) R (λ,x) f (λ,x). Si: (i) (ii) Λ es compacto, y a, b y f son continuas, OCW-ULL 211/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

INTEGRALES PARAÉTRICAS PROPIAS 5/13 entonces la integral paramétrica b(λ) F(λ) = f (λ,x) (λ Λ) a(λ) existe y es uniformemente continua sobre Λ. 3.2. últiples Proposición 3.3. Sean: Λ R p ; R q, medible Jordan; y f : Λ R (λ,x) f (λ,x). Si: (i) (ii) Λ y son compactos, y f es continua, entonces la integral paramétrica F(λ) = f (λ,x) (λ Λ) existe y es uniformemente continua sobre Λ. DEOSTRACIÓN. Puesto que f es continua, es continua en cada variable; luego, f (λ, ) es integrable Riemann sobre para todo λ Λ, y F existe. Como Λ se supone compacto, sólo tenemos que comprobar que F es continua sobre Λ, es decir, que F es continua en cada λ Λ. Pongamos =. Si =, F es idénticamente nula, y no hay nada que probar. Por tanto, supondremos >. Sea λ Λ, y sea ε >. Al ser f continua en Λ, que es compacto (producto cartesiano de compactos), CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12

6/13 I. ARRERO f es uniformemente continua en Λ. Así, existe δ > tal que λ Λ y (λ,x) (λ,x) < δ implica f (λ,x) f (λ,x) < ε (x ). Claramente λ λ = (λ,x) (λ,x) (λ Λ, x ), donde en el primer miembro tomamos la norma de R p y en el segundo la de R p+q. Luego, para λ λ < δ podemos escribir F(λ) F(λ ) = = < f (λ,x) f (λ,x) [ f (λ,x) f (λ,x)] f (λ,x) f (λ,x) ε = ε, como queríamos demostrar. Corolario 3.4. En las hipótesis de las anteriores Proposiciones 3.1, 3.2 y 3.3, respectivamente, y para λ Λ, los siguientes límites existen y pueden calcularse como se indica: (i) (ii) (iii) b b lím f (λ,x) = f (λ,x) ; λ λ a a b(λ) b(λ ) lím f (λ,x) = f (λ,x) ; λ λ a(λ) a(λ ) lím λ λ f (λ,x) = f (λ,x). 4. Derivación de integrales paramétricas Los resultados sobre derivación de integrales paramétricas que estudiaremos a continuación se conocen como regla de Leibniz. Puesto que la Proposición 4.1 es un caso particular de la Proposición 4.3, sólo demostraremos las Proposiciones 4.3 y 4.2. OCW-ULL 211/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

INTEGRALES PARAÉTRICAS PROPIAS 7/13 4.1. Simples 4.1.1. Límites fijos Proposición 4.1. Sean: Λ R p ; I = [a,b] R; y f : Λ I R (λ,x) f (λ,x). Si: (i) (ii) Λ es abierto, y f es continua, con derivada parcial f / continua en Λ I para algún i = 1,..., p (λ = (λ 1,...,λ p ) Λ), entonces la integral paramétrica b F(λ) = f (λ,x) (λ Λ) a existe y es derivable respecto de λ i, teniéndose que F(λ) = b b f (λ,x) f (λ,x) = (λ Λ). a a 4.1.2. Límites variables Proposición 4.2. Sean: Λ R p ; a : Λ R, b : Λ R funciones acotadas, satisfaciendo a(λ) b(λ) (λ Λ); S(a,b) = { (λ,x) R p+1 : λ Λ, a(λ) x b(λ) } ; U abierto en R p+1 que contiene a S(a,b); y f : U R (λ,x) f (λ,x). Si: CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12

8/13 I. ARRERO (i) (ii) Λ es abierto, y a,b y f son continuas, con derivadas parciales a/, b/ y f / continuas en sus respectivos dominios para algún i = 1,..., p (λ = (λ 1,...,λ p ) Λ), entonces la integral paramétrica b(λ) F(λ) = f (λ,x) (λ Λ) a(λ) existe y es derivable respecto de λ i, teniéndose que F(λ) = b(λ) f (λ,x) a(λ) = b(λ) a(λ) f (λ,x) + b(λ) f (λ,b(λ)) a(λ) f (λ,a(λ)) (λ Λ). 4.2. últiples Proposición 4.3. Sean: Λ R p ; R q, medible Jordan; y f : Λ R (λ,x) f (λ,x). Si: (i) (ii) (iii) Λ es abierto; es compacto; y f es continua, con derivada parcial f / continua para algún i = 1,..., p (λ = (λ 1,...,λ p ) Λ), entonces la integral paramétrica F(λ) = f (λ,x) (λ Λ) existe y es derivable respecto de λ i, teniéndose que F(λ) = f (λ,x) f (λ,x) = (λ Λ). OCW-ULL 211/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

INTEGRALES PARAÉTRICAS PROPIAS 9/13 DEOSTRACIÓN. La Proposición 4.1 es un caso particular de la Proposición 4.3, por lo que sólo demostraremos las Proposiciones 4.3 y 4.2. Demostración de la Proposición 4.3 Como antes, suponemos >. Fijemos λ Λ. Queremos ver que existe F(λ)/ y se calcula como se afirma. Puesto que Λ es abierto, para algún r λ > se cumple que la bola cerrada de centro λ y radio r λ en R p, B(λ,r λ ) = {µ R p : λ µ r λ }, está contenida en Λ. Sea e i el i-ésimo vector unitario canónico de R p. Debemos demostrar: F(λ + ρe i ) F(λ) f (λ,x) lím =. ρ ρ La función ρ f (λ + ρe i,x) depende de x y está definida para ρ r λ, pues, en tal caso, λ + ρe i B(λ,r λ ) Λ: (λ + ρe i ) λ = ρe i = ρ e i = ρ r λ. Por el teorema de los incrementos finitos, F(λ + ρe i ) F(λ) ρ = = f (λ + ρe i,x) f (λ,x) ρ f (λ + θρe i,x) para cierto θ ],1[, dependiente de x y de ρ [ r λ,r λ ]. Luego, F(λ + ρe i ) F(λ) ρ f (λ,x) f (λ + θρe i,x) f (λ,x). Como f / es continua en el compacto B(λ,r λ ), es uniformemente continua en dicho compacto. Así, CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12

1/13 I. ARRERO dado ε > existe δ > tal que si ρ < δ < r λ y x, se cumple f (λ + θρe i,x) f (λ,x) < ε. Concluimos que F(λ + ρe i ) F(λ) ρ f (λ,x) < ε = ε, como se pretendía. Demostración de la Proposición 4.2 Nos apoyaremos en la Proposición 4.1, que ya está probada por ser un caso particular de la Proposición 4.3. Puesto que a, b son continuas en Λ, S(a,b) U, y U es abierto, dado λ Λ existen δ >, h > tales que C U, siendo C = U(λ,δ ) [a(λ ) h,b(λ ) + h ]; aquí, U(λ,δ ) = {λ Λ : λ λ < δ } denota la bola abierta de centro λ y radio δ en R p. Ahora, para λ λ < δ se tiene b(λ) a(λ) f (λ,x) = I(λ) + I b (λ) I a (λ), (1) con b(λ ) I(λ) = f (λ,x), a(λ ) a(λ) I a (λ) = f (λ,x), a(λ ) b(λ) I b (λ) = f (λ,x). b(λ ) La integral I(λ) tiene límites de integración fijos, luego le es de aplicación la Proposición 4.1, donde OCW-ULL 211/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

INTEGRALES PARAÉTRICAS PROPIAS 11/13 reemplazamos Λ I por C : I(λ) = λ=λ b(λ ) a(λ ) f (λ,x). (2) Veamos que I a (λ), I b (λ) son derivables en λ respecto de λ i, y calculemos estas derivadas. Por analogía, basta considerar I b (λ). Sea e i el i-ésimo vector unitario canónico de R p. Se verifica: I b (λ) I b (λ + ρe i ) I b (λ ) = lím λ=λ ρ ρ 1 = lím ρ ρ b(λ +ρe i ) b(λ ) f (λ + ρe i,x). Por el teorema de la media, existe ξ = ξ (ρ) [b(λ ),b(λ + ρe i )] tal que b(λ +ρe i ) b(λ ) f (λ + ρe i,x) = f (λ + ρe i,ξ )[b(λ + ρe i ) b(λ )]. Consecuentemente, I b (λ) [ b(λ + ρe i ) b(λ ) = lím λ=λ ρ ρ = b(λ) f (λ,b(λ )). λ=λ ] f (λ + ρe i,ξ ) Aquí hemos usado la existencia de b(λ)/ en λ y el hecho de que lím f (λ + ρe i,ξ ) = f (λ,b(λ )); ρ esto último se deduce de lo siguiente: (i) lím ρ (λ + ρe i ) = λ ; (ii) lím ρ b(λ + ρe i ) = b(λ ) (pues b es continua en λ ); (iii) b(λ ) ξ b(λ + ρe i ) implica lím ρ ξ (ρ) = b(λ ); y (iv) f es continua en (λ,b(λ )). Hemos probado: I b (λ) = b(λ) λ=λ f (λ,b(λ )). (3) λ=λ CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12

12/13 I. ARRERO Similarmente: I a (λ) = a(λ) λ=λ f (λ,a(λ )). (4) λ=λ La combinación de (1), (2), (3) y (4) completa la demostración. 5. Algunos ejemplos Ejemplo 5.1. Calcular 3 lím (3x 1)cosxt. t 1 RESOLUCIÓN. Ya que f (t, x) = (3x 1) cos xt es continua en [ 1, 1] [1, 3], el Corolario 3.4 (i) asegura que 3 3 3 [ ] 3x 2 3 lím (3x 1)cosxt = (3x 1) cosxt t= = (3x 1) = t 1 1 1 2 x = 1, 1 resolviendo el ejemplo. Ejemplo 5.2. Sea t I(t) = sen(x2 +t 2 ). t 2 Hallar I (t). RESOLUCIÓN. Puesto que a(t) = t 2, b(t) = t y f (t,x) = sen(x 2 +t 2 ) son continuas (t,x R), la Proposición 4.2 permite escribir: t I (t) = 2t cos(x2 +t 2 ) + sen(2t 2 ) 2t sen(t 4 +t 2 ). t 2 El ejemplo queda así resuelto. Ejemplo 5.3. Calcular por derivación paramétrica: a (x 2 + a 2 ) 3 (a > ). OCW-ULL 211/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

INTEGRALES PARAÉTRICAS PROPIAS 13/13 RESOLUCIÓN. Para t >, pongamos t I(t) = x 2 +t 2 = 1 t arctg x t t = π 4t. En virtud de la Proposición 4.2, t I (t) = 2t (x 2 +t 2 ) 2 + 1 2t 2 = π 4t 2. Luego, Si ahora definimos t (x 2 +t 2 ) 2 = 1 ( π 2t 4t 2 + 1 ) 2t 2 = π + 2 8t 3. t J(t) = (x 2 +t 2 ) 2 = π + 2 8t 3 y derivamos miembro a miembro, aplicando nuevamente la Proposición 4.2, encontramos que t J (t) = 4t (x 2 +t 2 ) 3 + 1 + 2) = 3(π 4t 4 8t 4. De aquí, Haciendo t = a, concluimos: t (x 2 +t 2 ) 3 = 1 [ 3(π + 2) 4t 8t 4 + 1 ] 4t 4 = 3π + 8 32t 5. a (x 2 + a 2 ) 3 = 3π + 8 32a 5, lo que resuelve el ejemplo. CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12