Taller de Enseñanza de Física Curso 2011 En su XXVII aniversario Movimiento Circular La historia es verídica y fue más o menos así: Era un día soleado de invierno. Pía y su sobrina Sofía de 8 años fueron a los juegos del bosque frente al Museo de Ciencias Naturales. Sofi eligió una calesita de esas que tiene 4 bancos radiales con un volante en el medio. Agarradita al volante gritaba. - Dale vueltas tía!!! - Pía, parada al costado de la calesita la hacía girar. Sofi volvió a gritar - Más fuerte tía! - y Pía redoblaba el esfuerzo. Pero Sofi gritaba - Más fuerte! -. Pía estaba haciendo su máximo esfuerzo. Entonces frenó la calesita y le pidió a Sofi que se siente al borde del asiento, lejos del centro. Empezó a hacerla girar y al ratito Sofi gritaba - Aaah! Uuh!! Aaah!! - Finalmente iba lo suficientemente rápido. Cuando bajó de la calesita, miró a su tía y seria le preguntó: - Tía, porqué va más rápido la calesita al borde que en el medio?- Pía tragó saliva y meditó un ratito. Subieron las dos a la calesita una al lado de la otra, Pía daba vueltas al volante y Sofi en el borde; juntas daban vueltas en la calesita, - Ves que vamos juntas? Al mismo momento pasamos por delante de aquel árbol, delante de la abuela, al lado del tobogán.- Y Sofi asentía con la cabeza. - Si nos viéramos de arriba, qué formita haríamos mientras giramos?- - De redondeles-, contestó Sofi. - Claro! -, respondió Pía, - Y cuál de los redondeles es más grande?- -No se - Bueno, vamos a medirlos con las bufandas La bufandita de Sofi alcanzaba para medir el redondel que dibujaba Pía, mientras que la bufandota de Pía alcanzaba para medir el redondel que dibujaba Sofi. Cuando los estiraron uno al lado de otro para comparar, quedó claro que el redondel de afuera (el que dibujaba Sofi) era bastante más grande que el de adentro. - Hay que hacer un camino más largo por el redondel de afuera. Y, como los dos redondeles se dibujan juntos, al mismo tiempo, en el de afuera hay que ir más rápido que en el de adentro! - Sofi se quedó tranquila con esa explicación, para ella la calesita andaba más rápido en el borde que en el centro porque hay que hacer un redondel grandote al mismo tiempo que un redondel chiquito El Movimiento circular Está claro que estudiado desde un Marco de Referencia fuera de la calesita (por ejemplo en el suelo), todo lo que se encuentre arriba de la calesita en movimiento describe una trayectoria circular. Aquí el eje de revolución permanece fijo mientras que todos los demás puntos del cuerpo se mueven describiendo circunferencias concéntricas con el eje perpendicular al círculo que contiene el plano. En el caso de Pía y Sofi, modelizamos a cada una Eje de Rotación Movimiento circular de un objeto modelizado como partículas.
como partícula, de modo que cada una de esas partículas describe un círculo de radio fijo, diferente al descripto por la otra partícula. Para describir posiciones en este tipo de trayectorias es conveniente utilizar unos sistemas de coordenadas particulares: aquellos cuyo origen se encuentra en el centro de la trayectoria. En estos sistemas de coordenadas es adecuado utilizar las coordenadas polares, que son aquellas en que los pares ordenados están compuestos por la distancia al eje de rotación ( R ) y por el ángulo que la partícula forma respecto de la posición inicial ( ). La posición de un objeto modelizado como partícula puede ubicarse inequívocamente mediante sus coordenadas polares (R, ), y también con las coordenadas cartesianas (x,y) usuales. Cuál es la ventaja de usar coordenadas polares en lugar de coordenadas cartesianas en el estudio del movimiento circular? Si usamos las coordenadas cartesianas, ambas cambian para cada punto. En cambio, en las coordenadas polares el ángulo varía para cada punto, pero R permanece constante. Un ángulo puede medirse en grados o en radianes. En Física se utiliza habitualmente el radián, que es la unidad angular en el Sistema Internacional (SI). Matemáticamente, el ángulo en radianes se calcula como: Y y El vector posición usando las coordenadas cartesianas (x,y) o polares (R,). R x X donde S es la longitud del arco de circunferencia de radio R y cuyo ángulo central es. El radián es adimensional, dado que es un cociente entre longitudes. Por esta razón un ángulo medido en radianes no lleva unidades, aunque a veces se lo indica con el símbolo rad. Para indicar la posición angular de un objeto que describe una trayectoria circular de radio R, es suficiente con especificar el ángulo que forma con respecto al ángulo cero tomado como referencia. El desplazamiento angular se define como el cambio de posición angular de un cuerpo. La expresión matemática es: Velocidad angular En un movimiento circular uniforme, un cuerpo describe iguales desplazamientos angulares en iguales intervalos de tiempo. En este movimiento, la velocidad angular es el cociente entre el desplazamiento angular y el tiempo transcurrido. Su valor es constante y expresa el desplazamiento angular realizado por unidad de tiempo. Cuanto mayor es el valor de la velocidad angular del cuerpo, mayor es el ángulo barrido por unidad de tiempo. La expresión matemática del módulo de la velocidad angular media de un movimiento circular uniforme es: Utilizando la expresión (2) podemos reescribir la expresión (3) como :
, donde ω media es el módulo de la velocidad angular media, es la posición angular final, 0 la inicial y Δt es el tiempo transcurrido. En forma general, la función que describe la posición angular como función del tiempo en un movimiento con velocidad angular constante es: Como en otros movimientos, el cambio de posición respecto al tiempo es la velocidad; aquí, el cambio de la posición angular como función del tiempo es la velocidad angular. Si derivamos la expresión (5) obtenemos la expresión para la función módulo de la velocidad angular para un movimiento circular uniforme: Pero atención con este punto: el resultado final de la ecuación (6) ( ) no es general, es sólo válido para cuando el movimiento circular es a rapidez constante, es decir cuando coinciden los módulos de la velocidad angular media y de la velocidad angular instantánea. Dado que la unidad de desplazamiento angular es adimensional y la unidad de tiempo es el segundo, la unidad de rapidez angular en el Sistema Internacional es *ω+ = s -1. Hasta ahora hicimos referencia al módulo de la velocidad angular. Esto es debido a que en realidad la velocidad angular es un vector, con lo cual debemos explicitar su dirección y sentido. La velocidad angular se representa vectorialmente sobre el eje de rotación y con un sentido dado por la regla de la mano derecha. Esta regla plantea que si orientamos nuestra mano derecha de manera tal que los dedos índice, mayor, anular y meñique, giren igual que el objeto que estamos estudiando, el dedo pulgar nos muestra la dirección y el sentido en que apunta el vector velocidad angular. Unificando toda la información anterior definimos al vector velocidad angular como Regla de la mano derecha para calcular el sentido del vector velocidad angular. Y Z X donde representa al versor que apunta en la dirección perpendicular al plano sobre el que la partícula desarrolla la trayectoria circular. Movimiento circular con rapidez constante. Se observa el vector velocidad angular, la velocidad y la aceleración. La componente tangencial de la aceleración es nula.
Velocidad tangencial Un cuerpo en movimiento circular uniforme presenta una velocidad angular con respecto al centro de rotación que representa el ángulo barrido por unidad de tiempo. Pero también podemos representar la velocidad que nosotros conocíamos: el cambio del vector posición respecto al tiempo representado como un vector tangente a la trayectoria. Es evidente que en el movimiento circular, el vector velocidad cambia de dirección en cada punto de la trayectoria, aunque su valor numérico o rapidez se mantenga constante. Para diferenciarla de la velocidad angular, esta velocidad es denominada usualmente como velocidad tangencial, pese a que es una redundancia ya que siempre la velocidad es tangente a la trayectoria. La relación entre la rapidez v (el módulo de la velocidad tangencial) y la velocidad angular ω y el radio de rotación R es: Aceleración centrípeta Sobre un cuerpo que describe un movimiento circular uniforme, la rapidez es constante. Sin embargo, dado que la dirección del vector velocidad cambia en cada punto de su trayectoria, el cuerpo se encuentra acelerado. Es decir que surge algo muy importante: No es posible un movimiento circular a velocidad constante. En el caso de que la rapidez sea constante, el vector aceleración tiene dirección hacia el centro de la circunferencia y recibe el nombre de aceleración centrípeta. Esto no es nada nuevo, lo único que hemos hecho es expresar al vector aceleración en una componente tangencial y otra centrípeta. Lo que sucede es que si tenemos un movimiento circular con rapidez constante, la componente tangencial de la aceleración es nula. Por ejemplo, la dirección de la aceleración queda bien clara al hacer girar una piedra atada de un hilo de manera que la rapidez sea constante. La fuerza que ejerce la mano hacia el centro de rotación provoca una aceleración en el mismo sentido que dicha fuerza, obligando a la piedra a cambiar la dirección de su velocidad en cada punto de la trayectoria. Cuando la cuerda se corta, la piedra sale disparada en la dirección tangencial al movimiento. La expresión matemática del módulo de la aceleración centrípeta es: Z, donde se expresa en términos de la rapidez v y R el radio de rotación; o en términos de la rapidez angular ω y el radio R. El módulo de la aceleración centrípeta es, entonces, directamente proporcional al cuadrado de la rapidez e inversamente proporcional al radio de rotación. En el caso en que la rapidez no sea constante, Y Movimiento circular con rapidez variable. Se observa el vector velocidad angular, vector aceleración angular, la velocidad y la aceleración en tres instantes diferentes. La componente tangencial de la aceleración no es nula. X
tendremos la aceleración tangencial. En este caso, la aceleración centrípeta es la responsable de cambiar el sentido de la velocidad mientras que la aceleración tangencial es la responsable de aumentar su módulo. Aceleración angular En el caso anterior, en el que observamos que la componente tangencial de la aceleración no era nula, es evidente que el valor del módulo de la velocidad, no es constante. Si recordamos la ecuación (8), deducimos que el módulo de la velocidad angular tampoco será constante. Estamos entonces en presencia de la aceleración angular, que similarmente a cómo hemos visto con la aceleración en los movimientos no circulares, se define como Claramente es un vector, cuya dirección es la misma que la de la velocidad angular y su sentido estará determinado de acuerdo a aumente o disminuya el módulo de. La vinculación entre la aceleración angular y la aceleración se hace evidente de pensar el origen de la primera. Como fue planteado, es la responsable de aumentar el valor de la velocidad angular, lo que se traduce de acuerdo a la expresión (9) en aumentar el valor de la rapidez v. Pero cuando hemos descompuesto la aceleración en componentes, observamos que la componente tangencial es la que permite el aumento de v. En definitiva vamos a poder encontrar una relación entre y dada por Observando similitudes Comparando los conceptos desarrollados para estudiar el movimiento no circular y el movimiento circular, aparecen una serie de no casuales similitudes. En la tabla siguiente las hacemos explícitas de manera tal que sea más fácil incorporarlas y pensarlas. Coordenadas recomendadas Sistema de Coordenadas Posición Desplazamiento Velocidad Movimiento No Circular Cartesianas: x e y En cualquier sitio Movimiento Circular Polares : R y Con centro en la circunferencia Aceleración
Período y frecuencia del movimiento circular Se denomina período del movimiento circular al tiempo que tarda un cuerpo en pasar dos veces consecutivas por la misma posición. Es decir, al tiempo que tarda en realizar una vuelta completa alrededor del centro de rotación. Se simboliza con la letra T y su unidad en el Sistema Internacional es el segundo. Se llama frecuencia a la cantidad de veces que un cuerpo pasa por la misma posición en una unidad de tiempo. Se simboliza con la letra f. La frecuencia se calcula como: Dado que el número de vueltas es adimensional y el tiempo se mide en segundos, la unidad de frecuencia en el SI es [f] = s 1 = 1/s. Esta unidad recibe el nombre de hertz (Hz). Por ejemplo, un cuerpo que efectúa cinco vueltas por segundo tiene una frecuencia de 5Hz. El período y la frecuencia están relacionados. Un cuerpo que realiza tres vueltas por segundo, tarda 1/3 de segundo en realizar una vuelta completa y viceversa. Un cuerpo que tarda 1/10 de segundo en hacer un giro completo, realiza 10 vueltas por segundo. Esto significa que la frecuencia es igual al inverso del período, y viceversa. Es decir, donde T es el período y f la frecuencia.