Sistemas de comunicación

Sistemas de comunicación Práctico Modelado de canales Cada ejercicio comienza con un símbolo el cuál indica su dificultad de acuerdo a la siguiente escala: básica, media, avanzada, y difícil. Además puede tener un número, como 3.1-4 que indica el número de ejercicio del libro del curso, Communication Systems, 4th. edition. Bruce A. Carlson. Ejercicio 1 (3.3-3) Un sistema de comunicación de longitud total 400 km utiliza (m 1) repetidores para m secciones de cable con una atenuación de 0.4 db/km. Los repetidores y el receptor tienen amplificadores idénticos con una ganancia máxima de 30 db. Encontrar la cantidad mínima de repetidores m, con la mínima ganancia posible, para que la potencia de salida del sistema sea 50 mw cuando la potencia transmitida es 2W. Ejercicio 2 Dado un sistema en el cual tenemos fijos, η y B N, puede que la SNR D no sea la requerida. Una posible solución es intercalar repetidores (según esquema de la figura). Cada repetidor es un filtro y un amplificador no ideal que introduce ruido independiente de densidad espectral de potencia η A. Suponer que se hace un diseño tal que los η i son todos iguales. Suponer además que Gi L i = 1 i. (a) En dicho caso calcular SNR D en función de SNR 1. (b) (c) Para el caso en que el ruido introducido por el canal es mucho mayor que el ruido introducido por los amplificadores, comparar con el sistema sin repetidores. De ahora en más se supondrá que el ruido introducido por los repetidores es mucho mayor que el ruido introducido por el canal. Se va a transmitir una señal a 40 km, empleando una línea de transmisión cuya pérdida es de 3 db/km; el receptor tiene temperatura absoluta T N = 10T 0, donde la densidad espectral de potencia es η A = 4 10 21 T N T0 y B N = 5kHz. 1

(d) Calcular η A B N en dbw y encontrar el valor de (en Watts) que se requiere para obtener SNR D = 50dB. Repetir el segundo cálculo cuando existe un repetidor a la mitad de la trayectoria. Estando fijos todos los demás parámetros demostrar que el número de repetidores igualmente espaciados que maximiza SNR D es m = [ln(l)] ó m = [ln(l)] + 1. Nota: [x] denota la Parte Entera del real x, y se define como el mayor entero menor o igual que x Nota: El dbw (decibel Watt) se define como: P dbw = 10 log 10 P 1 W att Ejercicio 3 Se dispone de dos transmisores ubicados a una distancia D entre si. Estos se utilizarán para transmitir una misma señal de ancho de banda W con potencias de transmisión S 1 y S 2 respectivamente. Se quiere asegurar la mayor área de cobertura para dicha transmisión. Como simplificación del problema, trabajaremos considerando únicamente los puntos pertenecientes al segmento de recta comprendido entre los transmisores. A los efectos de poder realizar las cuentas se adoptará como válido el modelo de atenuación para cables duros, a pesar de estar trabajando con aire como medio de transmisión. Se cumple que L(D) = L y por tratarse de aire, en todo punto del segmento el ruido que introduce el canal tiene densidad η independiente de la distancia a la que se encuentra de los transmisores. (a) (b) Plantear la relación señal a ruido cuando el receptor puede sumar las señales de ambos transmisores; y en el caso en que cada receptor sólo toma como señal la del transmisor que recibe con mayor potencia. Discutir los problemas que pueden aparecer en el caso en que las señales son sumadas. Por razones económicas se quiere que el gasto de potencia combinada de ambos transmisores sea lo menor posible. (c) Determinar la mínima potencia total, MP T, que se debe gastar entre ambos transmisores para que en cualquier punto intermedio sobre la linea que los une, la recepción satisfaga que SNR R SNRR min. Se asume que el mensaje tiene ancho de banda W. Cómo hay que repartir la potencia entre los transmisores? Nota: Puede resultar útil utilizar la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica: a+b 2 ab 2

Ejercicio 4 Existe un valor máximo del número de repetidores analógicos reales, después del cual la performance no es mejor que la que se tiene en el caso de no usar ningún tipo de repetidor? Cómo lo estimaría? Ejercicio 5 Se desea transmitir una señal analógica de ancho de banda B = 700 khz a través de un canal y obtener una SNR R = 60 db. Para ello se utiliza un transmisor de potencia = 1 W att y un receptor de ancho de banda B. El receptor introduce ruido térmico de densidad espectral de potencia η A = kt con k = 7 10 16 W att Hz K y tiene una ganancia tal que compensa las pérdidas en el canal. El canal es un cable cuya atenuación es α = 0.4 db/km. Nota: A lo largo del ejercicio se supondrá que el ruido introducido por el receptor es mucho mayor que el ruido introducido en el canal. (a) (b) Hallar la SNR R en función de la temperatura del receptor T Rx y el largo l del cable. Bosquejar la máxima distancia l max a la que se puede obtener la SNR R deseada en función de la temperatura del receptor. Calcular la distancia máxima a la que se puede transmitir la señal si el receptor se encuentra a temperatura T Rx = 20 C (293 K). Con el objetivo de aumentar la distancia máxima a la que se puede transmitir la señal, se introduce un repetidor en la mitad del canal. Se supodrá que el repetidor está contruido igual al receptor y se encuentra operando a temperatura T Rp. (c) (d) Hallar la nueva expresión de la SNR R en función de la temperatura del receptor T Rx, del repetidor T Rp y el largo de canal l. Calcular la máxima distancia a la que se puede transmitir, si tanto el repetidor como el transmisor se encuentran operando a temperatura T = 20 C. Ejercicio 6 (3.3-8) El enlace inalámbrico de la figura opera a frecuencia 1 GHz y se utiliza para transmitir una señal de TV hacia una empresa de cable rural situada a 50 km. Suponer que se agrega un repetidor en la mitad del camino con ganancia g rpt (incluyendo antenas y amplificador). Obtener la ganancia del repetidor g rpt que genera un incremento en la potencia P out del 20 %. 3

Ejercicio 7 (3.3-9) Un sistema DBS (direct broadcast satellite) utiliza la frecuencia 17 GHz para el uplink y 12 GHz para el downlink. Usando los valores de las ganancias de los amplificadores del ejemplo 3.3-1 del libro (ver figura, g amp = 162 db), encontrar P out asumiendo P in = 30 dbw. Ejercicio 8 Se desea comparar el modelo de pérdida en espacio libre con el modelo de atenuación de un cable coaxial de 1 cm de diámetro. La atenuación del cable es: Frec. (MHz) 1 3 10 100 200 500 700 900 1000 L máx. (db/100m) 1.5 2 2.5 4.5 9 12 17 20 24 (a) (b) Comparar con los valores correspondientes al modelo de espacio libre. Comparar la relación entre ambos a frecuencia 500 MHz cuando la distancia es de 200 m. Aumenta o disminuye la relación entre ambos al aumentar la frecuencia? Ejercicio 9 Usando el modelo de atenuación para oficinas (γ = 3, L(1) = 0 db), determinar la potencia de transmisión necesaria para obtener una potencia de recepción P r = 110 dbm para una transmisión de 100m que atraviesa tres pisos, con atenuaciones 15 db, 10 db y 6 db, respectivamente, así como dos paredes de yeso (3.4 db c/u). 4

Ejercicio 1 Solución Llamemos y S R a las potencias transmitida y recibida respectivamente, con lo que se tiene la relación, S R = g m L donde g es la ganancia que tienen los m 1 repetidores y el receptor y L es la atenuación total del canal. Esta última se calcula simplemente, L db = 400 km 0.4 db/km = 160 db. Despejando de la ecuación anterior, se tiene la igualdad que expresada en decibeles resulta, ( ) ST mg db = L db S R g m = L S R, db = 160 db 16 db = 144 db. Ahora queremos hallar los mínimos valores de g y m que cumplan, mg db 144 db. Supongamos que g db toma su valor máximo, 30 db. En ese caso, despejando de la ecuación anterior, se tiene que la igualdad se da para m = 4.8. Por lo tanto el número mínimo de repetidores que verifica la desigualdad es m = 5. Habiendo determinado el valor de m la ganancia por amplificador puede bajarse hasta que se verifique la igualdad siendo entonces g db = 28, 8 db. Ejercicio 2 (a) Para el calculo de la SNR 1 planteamos: SNR 1 = S R 1 N R1 La potencia del ruido en un tramo es: N R1 = g 1 BN B N η 1 + η A df = g 1 (η 1 + η A )B N = L 1/m (η 1 + η A )B N 2 Donde η 1 = η(x = 1/m) = η L 1/m 1 L 1 1 ya que los repetidores se encuentran equiespaciados (observar que por letra todos los tramos de canal tienen la misma densidad espectral de potencia de ruidoo η i, con lo cual x i = 1/m para todo i). Por otro lado, S D = porque cada repetidor amplifica lo mismo que se atenua en el tramo inmediatemente anterior de canal. Con lo que SNR 1 queda: SNR 1 = (η A + η 1 ) B N L 1/m 5

Así, la potencia del ruido en recepción, la podemos plantear como: 1 1 1 1 1 N D = N 1 G 2 G 3... G m + N 2 G 3... G m +... + N m L 2 L 3 L m L 3 L m y como N i = N 1 y G i = L i con lo cual, SNR D = N D = N 1 m S ) T = (η SNR 1 A + η 1 B N L 1/m m m (b) Por letra η i es mucho mayor que η A, entonces: SNR R = η 1 B N L 1/m m Si realizamos un razonamiento análogo al de la parte 1, pero si no existen repetidores tenemos: SNR Rsinrep = ηb N L Planteando el cociente entre las SNR y sustituyendo η 1 se obtiene: SNR R /SNR Rsinrep = 1 1 L m 1 L = 1 m 1 (L 1/m ) i 1 1/m m ya que en un sistema real L 1 (observar que dado como se considero el modelo L representa la atenuación y no la ganancia del canal), por lo tanto L i/m 1 para todo i, y como consecuencia la suma de m términos mayores o iguales a 1 resulta mayor o igual a m, concluyendo la última desigualdad. (c) Sustituyendo en las expresiones calculadas en las partes anteriores, obtenemos sinrep = 20 W y con1rep = 4 10 5 W i=0 (d) Ver apuntes de teórico. Ejercicio 3 (a) Para el caso en que se suman las señales, la relación señal a ruido es: SNR = S 1 L x + S2 L 1 x ηw Para el caso en que se toma la señal de mayor potencia: { } S1 SNR = máx L x, S 2 1 L 1 x ηw 6

(c) Para el caso en que se toma la señal de mayor potencia: Las relaciones señal ruido respecto a cada fuente son: SNR 1 = S 1 ηw L x SNR 2 = S 2 ηw L 1 x La mínima relación señal a ruido se dará en el punto en que SNR 1 = SNR 2. En este punto x m se cumple que entonces S 1 ηw L xm = L 2xm = L S 1 S 2 Multiplicando y dividiendo por S 1 obtenemos: L 2xm = L S2 1 S 1 S 2 S 2 ηw L 1 xm de donde: S1 S 2 L = S 1 L xm y por lo visto más arriba, tenemos: SNR 1 (x m ) = SNR 2 (x m ) = S 1 S 2 1 ηw L Aplicando la desigualdad entre la media geométrica y la media aritmética, tenemos que: S 1 + S 2 2 S 1 S 2 = 2SNR(x m )ηw L 2SNRR min ηw L La mínima potencia total es entonces MP T = 2SNRR minηw L En la primera desigualdad se cumple el igual sólo en el caso en que S 1 = S 2 por lo que la forma en que se logra ese mínimo es tomando igual valor de potencia para los dos transmisores. Para el caso en que se suman las señales: Sabemos que la SNR en este caso es: SNR = S 1 L x + S2 L 1 x ηw Para hallar el punto donde se hace mínimo derivamos respecto a x obteniendo: por lo que obteniendo: ln L L ( S2 L x S 1 L 1 x) = 0 S 2 L x = S 1 L 1 x L 2xm = L S 1 S 2 7

de donde: S1 S 2 L = S 1 L xm y calculando el valor de la SNR en x = x m, obtenemos: SNR(x m ) = 2 S 1 S 2 1 ηw L Aplicando la desigualdad entre la media geométrica y la media aritmética, tenemos que: S 1 + S 2 2 S 1 S 2 = SNR(x m )ηw L SNRR min ηw L La mínima potencia total es entonces MP T = SNRR minηw L En la primera desigualdad se cumple el igual sólo en el caso en que S 1 = S 2 por lo que la forma en que se logra ese mínimo es tomando igual valor de potencia para los dos transmisores. Ejercicio 4 Sí existe un número de repetidores (que llamaremos k 0 ), a partir del cual la SNR R no mejora respecto al caso de no tener ningún repetidor. Podemos estimarlo observando cuándo se cortan la SNRR máx que corresponde a k repetidores equiespaciados (es decir, la máxima SNR R que se puede obtener transmitiendo una potencia dada y un cierto ancho de banda, en presencia de dichos repetidores), y la SNR R sin repetidores. Planteamos entonces el valor de SNR máx R con k repetidores equiespaciados: = ηw {}}{ SNRR máx γ L (1 L 1 ) CR = k[(1 + ν)l 1/k 1] = (1 L 1 ) kηw [(1 + ν)l 1/k 1] Por otro lado, la SNR R de un sistema sin repetidores es: SNR RSR = LW (η + η a ) Recordando el valor de ν (ν = η a (1 L 1 )/η), podemos plantear: SNR RSR = LηW Igualando ambas expresiones: ( 1 + ν 1 L 1 ) = (1 L 1 ) ηw [L(1 + ν) 1] (1 L 1 ) kηw [(1 + ν)l 1/k 1] = (1 L 1 ) ηw [L(1 + ν) 1] [ ] k (1 + ν)l 1/k 1 = L(1 + ν) 1 Puedo probar con distintos valores de k (con k N) y encontrar aquel para el que se está más cerca de la igualdad, o bien, asumiendo k grande, se puede hacer la aproximación k [ (1 + ν)l 1/k 1 ] k[(1 + ν).1 1] = kν, con lo cual: k 0 ν = L(1 + ν) 1 k 0 = L(1 + ν) 1 ν 8

Ejercicio 5 (a) Para calcular la SNR R debemos calcular la potencia de recepción S R y el ruido en recepción N R. Además sabemos que el canal cumple las hipótesis de canal rígido de sección constante y física uniforme, por lo que L = 10 αl 10 siendo α la atenuación en db/km. S R = 1 L g = Ya que se supuso que la ganancia del receptor g es igual a la atenuación L introducida en el canal. El ruido N R, B/2 N R = g G n (f)df = g B/2 con lo cual, η A (T Rx ) df = gbη A (T Rx ) = gbkt Rx = 10 αl 10 BkTRx 2 SNR R = 10 αl 10 BkT Rx El objetivo es obtener una SNR SNR min por lo que, despejando l: l 10 α log 10 kt Rx BSNR min 40 30 Rx T=20 C lmax (km) 20 17.2 10 0 400 200 0 20 200 400 600 800 Temperatura (C) (b) Despejando de la ecuación encontrada en la parte anterior: l max = 17.2 km si el receptor está a T Rx = 293 K. (c) Siguiendo el mismo razonamiento que para el caso anterior, pero observando que en este caso tenemos dos tramos de canal con atenuaciones L 1 y L 2 respectivamente y ganancias de repetidor y receptor g 1 y g 2 respectivamente, se obtiene: 1 1 S R = g 1 g 2 = L 1 L 2 9

El ruido total en recepción es la suma de los ruidos introducidos en cada etapa de amplificación (ya que los mismos son no correlacionados) con lo cual, 1 B/2 N R = g 1 g 2 L 1 B/2 η A (T Rp ) B/2 df + g 2 2 B/2 η A (T Rp ) df 2 = g 2 B(η A (T Rp ) + η A (T Rx )) = g 2 Bk(T Rx + T Rp ) = 10 αl 2 10 Bk(TRx + T Rp ) Siendo la SNR R en este caso: SNR R = 10 αl 20 Bk(T Rp + T Rx ) Si consideramos que tanto el receptor como el repetidor se encuentran operando a una temperatura T se obtiene que el largo del cable l 2 para poder cubrir la SNR R deseada debe cumplir: l 2 20 α log 10 2kT BSNR min En el gráfico a continuación se observa una comparación con el caso sin repetidor. Se aprecia que existe una máxima temperatura, para la cual introducir un repetidor perjudica al sistema con respecto al caso sin repetidor. 60 50 40 Rx Rx y Repetidor Rx y Repetidor T = 20 C lmax (km) 30 20 10 0 10 400 200 020 200 400 600 800 Temperatura (C) (d) Despejando de la ecuación encontrada en la parte anterior: l = 19.4 km si el receptor está a T Rp = T Rx = 293 K. Se observa que dado que el ruido introducido por el repetidor es bastante importante (repetidor y receptor de mala calidad) no se logra una mejora tan significativa. Ejercicio 6 Con repetidor: Sin repetidor: Aumentar el 20 % implica: g T g R g rpt L 1 L 2 P out = P in g T g R g rpt L 1 L 2 P out = P in g T g R L = 1.2 g T g R L g rpt = 1.2 L 1L 2 L L db 1 = 92.4 20 log 10 f GHz + 20 log 10 25 km = 120 + 20 log 10 f GHz 10

L 2 = L 1 L = 92.4 20 log 10 f GHz + 20 log 10 50 km = 126 + 2 log 10 f GHz Siendo f = 1 GHz queda: Ejercicio 7 L1 = L2 = 120dB 10 12 L = 126 db 3.98 10 12 g rpt = 1.2 1012 10 12 3.98 10 12 = 0.3 1012 = 115 db P satin L u = 92.4 + 20 log 10 17 + 20 log 10 3.6 10 4 = 208 L d = 92.4 + 20 log 10 12 + 20 log 10 3.6 10 4 = 205 = 30 dbw Psat in = 30 + 55 208 + 20 = 103 dbw Tomando los datos del ejemplo 3.3-1: g amp = 18 + 144 = 162 db P sat out = 103 + 162 = 59 dbw P out = 59 + 16 205 + 51 = 79 dbw 1.26 10 8 W Ejercicio 8 (a) 80 70 60 50 L (db) 40 30 20 10 Espacio libre @ 100m Cable coaxial @ 100m 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 f (MHz) 11

(b) A 100m y frecuencia 500 MHz: L EL = 66.4 y L coax = 12. A 200m y frecuencia 500 MHz: L EL = 72.4 y L coax = 24. Mientras la pérdida de camino aumenta un factor de 4 (2 2 ), la atenuación del cable aumenta casi 16. Ejercicio 9 ( ) γ x P t = P r + L(1) x 0 + L1 + L 2 + L 3 + 2L p. P t = 110 dbm + 10 γ log 10 x + 15 + 10 + 6 + 2 3.4 = 12.2 dbm. 12