38-47 Planificación fin copia 1 26/12/03 12:52 Página 38 PLANIFICACION FINANCIERA Estudio comparativo entre las operaciones financieras ciertas y las operaciones financiero-actuariales LAS OPERACIONES FINANCIERAS Y LAS OPERACIONES FINANCIERO-ACTUARIALES SE DIFERENCIAN FUNDAMENTALMENTE EN QUE ÉSTAS TIENEN QUE ESTAR SUPEDITADAS A LA OCURRENCIA O NO DE UN DETERMINADO SUCESO ALEATORIO. Mª DEL CARMEN GONZÁLEZ VELASCO Universidad de Economía Financiera y Contabilidad Universidad de León Ficha técnica DSegún el Prof. Gil Peláez1, una operación financiera se define como toda acción que intercambia o sustituye unos capitales financieros por otros de distinto vencimiento. El origen de la operación coincide con el vencimiento del primer capital y el final con el vencimiento del último capital. La diferencia entre ambos capitales es su duración. Autor: González Velasco, Mª Carmen Título: Estudio comparativo entre las operaciones financieras ciertas y las operaciones financiero-actuariales Fuente: Estrategia Financiera, nº 202. Enero 2004. Localizador: 5 / 2004 Resumen: El artículo que se presenta a continuación consiste en comparar las operaciones financieras ciertas y las operaciones financiero-actuariales en el caso descreto y considerando la duración total de las operaciones. Para ello, primero se definen estas operaciones, se hace referencia al principio de equivalencia financiera y al principio de equivalencia financiero-actuarial, se comparan los factores de actualización (o descuento) y de capitalización financiera con los factores de actualización (o descuento) y de capitalización financiero-actuarial y se estudian las relaciones entre los distintos elementos que intervienen en una operación financiera y en una operación financiero-actuarial, pero teniendo en cuenta que todas las demás variables son iguales en ambas operaciones. Descriptores: Operaciones financieras, operaciones financiero-actuariales, capitalización financiera, descuento financiero, capitalización financiero-actuarial, descuento financiero-actuarial. Por otro lado, la operación financiero-actuarial se puede definir, según los Prof. Nieto de Alba y Vegas Asensio 2, como un conjunto de capitales financieros dinámicos asociados a los sucesos que en los distintos periodos o momentos de su duración dan lugar al pago de las prestaciones o aportaciones respectivas. Una clasificación de las operaciones financieras se obtiene atendiendo a la naturaleza de los capitales que la integran, de tal manera que, cuando al menos uno de los capitales de la prestación o de la contraprestación es aleatorio, la operación es financiero-aleatoria y, en caso contrario, la operación financiera es cierta. Dentro del primer grupo se pueden incluir las operaciones financiero-actuariales ya que, por ejemplo, en el caso de los seguros el capital asegurado por el asegurado, o beneficiarios en su caso, sólo se podrá retirar en el caso de que ocurra un determinado suceso aleatorio. Por tanto, las operaciones financieroactuariales constituyen un caso particular dentro de las operaciones financieras. Las principales operaciones financiero-actuariales se pueden incluir dentro de los siguientes grupos: 1) Rentas vitalicias: sucesión de capitales que se hacen efectivos en sucesivos periodos de tiempo siempre que en dichos periodos una determinada persona se encuentre con vida. 2) Seguros de fallecimiento o para el caso de muerte: aquellas operaciones financieras mediante las cuales una persona, denominada entidad aseguradora, entrega a otra persona, denominada asegurado o beneficiario en su caso, de edad actual x una capital, C n, en el caso de que se produzca un suceso aleatorio o el fallecimiento de 38 Nº 202 Enero 2004
38-47 Planificación fin copia 1 26/12/03 12:52 Página 39 esta persona en un plazo previamente establecido. También pueden efectuarse las mismas clasificaciones que para las rentas vitalicias. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA FINANCIERA Y PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA FINANCIERO-ACTUARIAL Uno de los postulados básicos de la Matemática de las Operaciones Financieras es el principio de equivalencia financiera que establece que toda operación financiera implica la existencia de una equivalencia financiera de las sumas de capitales respectivas de la prestación y contraprestación en base a una ley financiera previamente establecida 3. Del mismo modo que todas las operaciones financieras están basadas en este principio, las operaciones financiero-actuariales están sometidas al principio de equivalencia financieroactuarial que establece que el valor actual (en el momento de la edad del asegurado) de las aportaciones es igual al valor actual de las prestaciones, calculados con el factor de actualización o descuento financiero-actuarial 4. Aparte de los principios de equivalencia una diferencia fundamental entre estas operaciones se encuentra en que las operaciones financieroactuariales están sometidos a la Ley de los Grandes Números, postulado científico en el que se establece que los fenómenos eventuales, que circunstancialmente se producen al examinar continuadamente un mismo acontecimiento, decrecen en su irregularidad hasta adquirir una constante, a medida que aumenta el número de veces en que la observación es realizada o se extiende la masa de hechos a que se aplica dicha observación 5, determinando así el grado de posibilidad de que se produzca un determinado suceso. En cambio, las operaciones financieras ciertas pueden tener sentido a nivel individual ya que no dependen de que ocurra o no un determinado suceso. COMPARACIÓN ENTRE LOS FACTORES DE ACTUALIZACIÓN Y CAPITALIZACIÓN FINANCIERA Y LOS FACTORES DE ACTUALIZACIÓN Y CAPITALIZACIÓN FINANCIERO-ACTUARIAL Para comparar los factores de actualización y capitalización financiera y los factores de actualización y capitalización financiero-actuarial, se aplican las leyes financieras compuestas (capitalización y descuento compuesto) y se tienen en cuenta que todos los elementos que intervienen en esas operaciones son iguales: capital inicial (C 0 ), capital final (C n ), tipo de interés (i), tipo de descuento (d) y duración de la operación (n). a) Factor de actualización o descuento financiero compuesto: Es aquella expresión que permite obtener un capital inicial o valor efectivo o descontado, C 0, a partir de un capital final o valor nominal o a descontar, C n. Se suele utilizar en aquellas operaciones financieras cuya duración total es igual o superior a un año. Figura 1: Factor de actualización o de cuento financiero compuesto (con tipo de interés) 1 Gil Peláez, L. (1993): Matemática de las Operaciones Financieras, editorial AC, Madrid, pág. 47. 2 Nieto de Alba, U. y Vegas Asensio, J. (1993): Matemática Actuarial, editorial Mapfre, Madrid, pág. 7. 3 Gil Peláez, L. (1993), Ob. Cit., pág. 48. 4 En la obra: Nieto de Alba, U. y VEGAS ASENSIO, J. (1991), Ob. Cit., págs. 9 y 14, se distingue entre una equivalencia financiero-actuarial estática si se considera la operación en su total duración, y una equivalencia financiero-actuarial dinámica si se tiene en cuenta la operación pero en los distintos periodos en los que se va desenvolviendo. 5 Área de Formación de MAPFRE (1988): Manual de introducción al Seguro, pág. 140. Nº 202 Enero 2004 www.estrategiafinanciera.es 39
38-47 Planificación fin copia 1 26/12/03 12:52 Página 40 PLANIFICACIÓN FINANCIERA Figura 2: Factor de actualización o descuento financiero compuesto (con tipo de descuento) Figura 4: Factor de actualización o descuento financiero-actuarial compuesto (con tipo de descuento) C 0 : Capital inicial, valor efectivo o valor descontado. C n : Capital final, valor nominal o valor a descontar. i: Tipo de interés efectivo anual de la operación financiera. n: Duración de la operación. d: Tipo de descuento efectivo anual de la operación financiera. F dc F dc : Factor de actualización o descuento financiero n E x -actuarial F dc de edad actual x se encuentre con vida transcurridos n periodos. ne x -actuarial compuesto (con tipo de descuento). F dc b) Factor de actualización o descuento financiero-actuarial compuesto: Es aquella expresión que permite obtener un capital inicial, C 0, a partir de un capital final, C n, si ocurre un determinado suceso aleatorio. Se suele utilizar en aquellas operaciones financieras cuya duración total es igual o superior a un año. Si se compara el factor de actualización o descuento financiero compuesto con el factor de actualización o descuento financiero-actuarial compuesto, teniendo en cuenta el mismo tipo de interés y la misma duración para ambas operaciones: Figura 3: Factor de actualización o descuento financiero-actuarial compuest (con tipo de interés) ya que: F dc 40 Nº 202 Enero 2004
38-47 Planificación fin copia 1 26/12/03 12:52 Página 41 n E x -actuarial de edad actual x se encuentre con vida transcurridos n periodos. Si se compara el factor de actualización o descuento financiero compuesto con el factor de actualización o descuento financiero-actuarial compuesto, teniendo en cuenta el mismo tipo de descuento y la misma duración para ambas operaciones: Las principales operaciones financiero-actuariales se incluyen dentro de los grupos de rentas vitalicias y seguros de fallecimiento ya que: F cc : Factor de capitalización financiera compuesta (con tipo de interés). Es el factor inverso al factor de descuento financiero compuesto. F dc ne x -actuarial compuesto (con tipo de descuento). de edad actual x se encuentre con vida transcurridos n periodos. c) Factor de capitalización financiera compuesta: Es aquella expresión que permite obtener un capital final, C n, a partir de un capital inicial, C 0. Se suele utilizar en aquellas operaciones financieras cuya duración total es igual o superior a un año. Figura 5: Factor de capitalización financiera compuesta (con tipo de interés) F dc : Factor de descuento financiero compuesto (con tipo de interés). F cc : Factor de capitalización financiera compuesta (con tipo de descuento). Es el factor inverso del factor de descuento financiero compuesto. F dc : Factor de descuento financiero compuesto (con tipo de descuento). d) Factor de capitalización financieroactuarial compuesto: Es aquella expresión que permite obtener un capital final, C n, a partir de un capital inicial, C 0, si ocurre un determinado suceso aleatorio. Se suele utilizar en aquellas operaciones financieras cuya duración total es superior igual o superior a un año. Figura 7: Factor de capitalización financiero-actuarial compuesto (con tipo de interés) Figura 6: Factor de capitalización financiera compuesta (con tipo de descuento) Nº 202 Enero 2004 www.estrategiafinanciera.es 41
38-47 Planificación fin copia 1 26/12/03 12:52 Página 42 PLANIFICACIÓN FINANCIERA Figura 8: Factor de capitalización financiero-actuarial compuesto (con tipo de descuento) ya que: n L x : Factor de capitalización financiero-actuarial Es el factor inversor del factor de descuento financiero-actuarial compuesto. F cc : Factor de capitalización financiera compuesto (con tipo de interés). n C x : Factor de capitalización financiero-actuarial de edad actual x se encuentre con vida transcurridos n periodos. Si se compara el factor de capitalización financiera compuesto con el factor de capitalización financiero-actuarial compuesto, teniendo en cuenta el mismo tipo de descuento y la misma duración para ambas operaciones: n E x : Factor de descuento financiero-actuarial F cc : Factor de capitalización financiera compuesta (con tipo de interés). de edad actual x se encuentre con vida transcurridos n periodos. nl x : Factor de capitalización financiero-actuarial Es el factor inverso del factor de descuento financiero-actuarial compuesto. ne x : Factor de descuento financiero-actuarial compuesto (con tipo de descuento) F cc : Factor de capitalización financiera compuesto (con tipo de descuento). Si se compara el factor de capitalización financiera compuesta con el factor de capitalización financiero-actuarial compuesta, teniendo en cuenta el mismo tipo de interés y la misma duración para ambas operaciones: ya que: F cc : Factor de capitalización financiera compuesto (con tipo de descuento). nl x : Factor de capitalización financiero-actuarial de edad actual x se encuentre con vida transcurridos n periodos. RELACIÓN ENTRE LOS DISTINTOS ELEMENTOS QUE INTERVIENEN EN LAS OPERACIONES FINANCIERAS CIERTAS Y EN LAS OPERACIONES FINANCIERO- ACTUARIALES Se trata de establecer unas relaciones entre los distintos elementos que intervienen en las operaciones financieras ciertas y en las operaciones financiero-actuariales: capital inicial, capital final, tipo de interés y duración, pero teniendo en cuenta que todos los demás son iguales en ambas operaciones (ceteris paribus). Para ello se utilizan las leyes financieras de actualización o descuento ya que con las leyes de capitalización, al ser las inversas a las anteriores, las relaciones que se obtienen no varían. 42 Nº 202 Enero 2004
38-47 Planificación fin copia 1 26/12/03 12:52 Página 43 a) Relación entre los capitales iniciales de dos operaciones, una financiera y otra financiero-actuarial si los demás elementos coinciden en ambas. Sean dos operaciones, una financiera y otra financiero-actuarial: Y como: Es decir, el capital inicial a depositar en una operación financiero-actuarial es menor que el que se deposita en una operación financiera cierta si los demás elementos coinciden en ambas, ya que si no las operaciones financiero-actuariales no tendrían atractivo para los clientes pues podrían retirar capitales finales iguales sin tener que supeditarse a la ocurrencia o no de un determinado suceso aleatorio. a.2) Con descuento financiero compuesto (con tipo de descuento). Figura 9: Relación entre capitales iniciales de ambas operaciones a.1) Con descuento financiero compuesto (con tipo de interés). Si se igualan los capitales finales en ambas Si se igualan los capitales finales en ambas Y como:, es decir, se obtiene la misma relación que en el caso anterior. Nº 202 Enero 2004 www.estrategiafinanciera.es 43
38-47 Planificación fin copia 1 26/12/03 12:52 Página 44 PLANIFICACIÓN FINANCIERA b) Relación entre los capitales finales de dos operaciones, una financiera y otra financiero-actuarial si los demás elementos coinciden en ambas. Sean dos operaciones, una financiera y otra financiero-actuarial: Y como: Figura 10: Relación entre capitales finales de ambas operaciones: Es decir, el capital final que se obtiene en una operación financiero-actuarial es mayor que el que se obtiene en una operación financiera cierta si los demás elementos coinciden en ambas, ya que si no las operaciones financiero-actuariales no tendrían atractivo para los clientes pues podrían retirar capitales finales superiores sin tener que supeditarse a la ocurrencia o no de un determinado suceso aleatorio. b.2) Con descuento financiero compuesto (con tipo de descuento). b.1) Con descuento financiero compuesto (con tipo de interés). Si se igualan los capitales iniciales en ambas Y como: Si se igualan los capitales iniciales en ambas es decir, se obtiene la misma relación que en el caso anterior. 44 Nº 202 Enero 2004
38-47 Planificación fin copia 1 26/12/03 12:52 Página 45 c) Relación entre los tipos de interés de dos operaciones, una financiera y otra financiero-actuarial si los demás elementos coinciden en ambas. Sean dos operaciones, una financiera y otra financiero-actuarial: Figura 11: Relación entre los tipos de interés de ambas operaciones: Además se debiera de cumplir que: Es decir, que el tipo de interés de una operación financiera es menor que el tipo de interés de una operación financiero-actuarial si los demás elementos coinciden en ambas, ya que si no las operaciones financiero-actuariales no tendrían atractivo para los clientes pues podrían retirar capitales finales iguales sin tener que supeditarse a la ocurrencia o no de un determinado suceso aleatorio. d) Relación entre las duraciones de dos operaciones, una financiera y otra financiero-actuarial si los demás elementos coinciden en ambas. c.1) Con descuento financiero compuesto (con tipo de interés). Sean dos operaciones, una financiera y otra financiero-actuarial: Figura 12: Relación entre las duraciones de ambas operaciones: Si se igualan los capitales iniciales en ambas d.1) Con descuento financiero compuesto (con tipo de interés). Nº 202 Enero 2004 www.estrategiafinanciera.es 45
38-47 Planificación fin copia 1 26/12/03 12:52 Página 46 PLANIFICACIÓN FINANCIERA Si se igualan los capitales iniciales en ambas Y también se debiera de cumplir, como se comentó en el caso anterior: Además se debiera de cumplir que: Es decir, que la duración de una operación financiera es mayor que la de la operación financiero-actuarial si los demás elementos coinciden en ambas, ya que si no las operaciones financiero-actuariales no tendrían atractivo para los clientes pues podrían retirar capitales finales iguales en un plaza inferior y sin tener que supeditarse a la ocurrencia o no de un determinado suceso aleatorio. d.2) Con descuento financiero compuesto (con tipo de descuento). Si se igualan los capitales iniciales en ambas CONCLUSIONES Las operaciones financieras y las operaciones financiero-actuariales se diferencian fundamentalmente en que éstas están supeditadas a la ocurrencia o no de un determinado suceso aleatorio. En la tabla 1 se muestran las relaciones entre los factores de actualización y de capitalización financiera y los factores de actualización y capitalización financiero-actuarial utilizando las leyes financieras de capitalización y descuento compuesto (con tipo de interés y con tipo de descuento), pero considerando la duración total de las operaciones. F dc F dc n E x -actuarial compuesto (con tipo de interés). ne x -actuarial compuesto (con tipo de descuento). F cc : Factor de capitalización financiera compuesta (con tipo de interés). F cc : Factor de capitalización financiera compuesta (con tipo de descuento). n L x : Factor de capitalización financiero-actuarial nl x : Factor de capitalización financiero-actuarial : Probabilidad de que una determinada persona de edad x se encuentre con vida al transcurrir n periodos. 46 Nº 202 Enero 2004
38-47 Planificación fin copia 1 26/12/03 12:53 Página 47 En la tabla 2 se muestran las relaciones entre los distintos elementos que intervienen en las operaciones financieras y en las operaciones financiero-actuariales teniendo en cuenta que todos los demás son iguales en ambas operaciones y considerando también la duración total de las mismas. C 0 : Capital inicial de la operación financiera. C 0: Capital inicial de la operación financieroactuarial. C n : Capital final de la operación financiera. C n: Capital final de la operación financiero-actuarial. i: Tipo de interés efectivo anual de la operación financiera. i : Tipo de interés efectivo anual de la operación financiero-actuarial. n: Duración de la operación financiera. n : Duración de la operación financiero-actuarial. d: Tipo de descuento efectivo anual de ambas operaciones. BIBLIOGRAFÍA Área de Formación de MAPFRE (1988): Manual de introducción al Seguro, editorial Mapfre, Madrid. Gil Peláez, L. (1993): Matemática de las Operaciones Financieras, editorial AC, Madrid. Tabla 1. Relaciones entre los factores de actualización y de capitalización de las operaciones financieras y de las operaciones financiero-actuariales Leyes financieras Descuento compuesto (con tipo de interés) Descuento compuesto (con tipo de descuento) Capitalización compuesta (con tipo de interés) Capitalización compuesta (con tipo de descuento) Nieto de Alba, U. y Vegas Asensio, J. (1993): Matemática Actuarial, editorial Mapfre, Madrid. Factores de actualización y factores de capitalización Tabla 2: Relaciones entre los distintos elementos que intervienen en las operaciones financieras y en las operaciones financiero-actuariales Leyes financieras Relación entre los capitales iniciales Relación entre los capitales finales Relación entre los tipos de interés Relación entre las duraciones Descuento compuesto (con tipo de interés) Descuento compuesto (con tipo de descuento) Nº 202 Enero 2004 www.estrategiafinanciera.es 47