Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias

Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias

PROYECTO EDITORIAL INGENIERÍA Y CIENCIA

Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias Raúl Toral Joan J. Cerdá

Consulte nuestra página web: www.sintesis.com En ella encontrará el catálogo completo y comentado Raúl Toral Joan J. Cerdá EDITORIAL SÍNTESIS, S. A. Vallehermoso, 34. 28015 Madrid Teléfono: 91 593 20 98 Depósito legal: M. 31.035-2015 ISBN: 978-84-9077-21 2-6 Impreso en España - Printed in Spain Reservados todos los derechos. Está prohibido, bajo las sanciones penales y el resarcimiento civil previstos en las leyes, reproducir, registrar o transmitir esta publicación, íntegra o parcialmente, por cualquier sistema de recuperación y por cualquier medio, sea mecánico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia o cualquier otro, sin la autorización previa por escrito de Editorial Síntesis, S. A.

Índice Introducción 11 1. Prolegómenos 19 1.1. Clasificación de las ecuaciones diferenciales 19 1.2. Solución de una ecuación diferencial 22 1.3. Ecuaciones diferenciales de primer orden de variables separadas 26 1.4. Teorema de existencia y unicidad para problemas de valores iniciales 28 1.5. Uso de Sage en la resolución de ecuaciones diferenciales 31 1.6. Problemas resueltos 38 1.7. Ejercicios 40 2. Solución de las ecuaciones diferenciales de primer orden 45 2.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden lineales 46 2.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales 47 2.2.1. Cambio de variables 47 2.2.2. Ecuaciones homogéneas 49 2.2.3. Ecuaciones de Bernoulli 51 2.2.4. Ecuaciones de Ricatti 51 2.2.5. Cambio y(x) a x(y) 52 2.2.6. Ecuaciones exactas 53 2.2.7. Factor integrante 57 2.3. Uso de Sage en la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden 58 2.3.1. Extracción de información cualitativa a partir de un campo de pendientes 58 2.3.2. Extracción de soluciones analíticas de una ecuación de primer orden 60 2.3.3. Extracción de soluciones numéricas de una ecuación de primer orden 61 2.4. Problemas resueltos 64 2.5. Ejercicios 70 3. EDOs lineales de orden superior (I) 73 3.1. Definiciones y teorema de existencia y unicidad 73 3.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior a uno que sean a la vez lineales y homogéneas 75

6 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 3.3. Cómo hallar un conjunto fundamental de soluciones para ecuaciones lineales, homogéneas y a coeficientes constantes 79 3.4. Las ecuaciones de Euler 84 3.5. Sage aplicado a ecuaciones diferenciales lineales de orden superior a coeficientes constantes 86 3.5.1. Calculando wronskianos 86 3.5.2. Sage y las ecuaciones diferenciales de orden superior: 87 3.6. Problemas resueltos 90 3.7. Ejercicios 93 4. EDOs lineales de orden superior (II): ecuaciones no homogéneas 97 4.1. La solución general 98 4.2. Método de coeficientes indeterminados 99 4.3. Método de variación de los parámetros 102 4.4. Sage y las ecuaciones no homogéneas 105 4.4.1. Cómo definir y manejar en Sage funciones complicadas 105 4.4.2. Utilizando Sage para aplicar el método de los coeficientes indeterminados 108 4.4.3. Utilizando Sage para aplicar el método de variación de los parámetros 109 4.5. Problemas resueltos 110 4.6. Ejercicios 115 5. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 117 5.1. Los sistemas de ecuaciones diferenciales 117 5.2. Sistemas de ecuaciones lineales 119 5.3. Solución general de un sistema lineal 121 5.3.1. Cómo encontrar soluciones a un sistema lineal a coeficientes constantes homogéneo 123 5.3.2. La solución particular al sistema no homogéneo: el método de variación de los parámetros 127 5.4. El formalismo de la exponencial: otro método alternativo para encontrar una solución particular al sistema. 128 5.5. Estudio de las soluciones para sistemas bidimensionales lineales 130 5.5.1. Caso r1, r2 reales y distintos entre sí 130 5.5.2. Caso r1 = r2 133 5.5.3. Valores propios complejos 135 5.5.4. Resumen 138 5.6. Uso de Sage para resolver sistemas lineales de ecuaciones diferenciales 138 5.6.1. Como representar trayectorias parametrizadas y retratos de fases 139

ÍNDICE 7 5.6.2. Un ejemplo práctico del uso de Sage en la resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales 141 5.6.3. El comando desolve_system 144 5.7. Problemas resueltos 145 5.8. Ejercicios 153 6. Ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales 157 6.1. Series de potencias 158 6.2. Buscando la solución a las ecuaciones de segundo orden homogéneas 161 6.3. Series de potencias mediante Sage 165 6.4. Problemas resueltos 167 6.5. Ejercicios 170 7. Ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales (II): desarrollo en serie en torno a puntos ordinarios 173 7.1. La Ecuación y las funciones de Airy 173 7.2. La ecuación de Hermite 176 7.3. Caso general: desarrollo en torno a un punto ordinario 177 7.4. Usando Sage para trabajar con las funciones de Airy y Hermite 179 7.5. Problemas resueltos 180 7.6. Ejercicios 185 8. El método de Frobenius (I) 189 8.1. Puntos singulares regulares: el método de Frobenius 190 8.1.1. Un primer resumen sobre el método de Frobenius 196 8.2. Problemas resueltos 197 8.3. Ejercicios 202 9. El método de Frobenius (II) 205 9.1. Caso r1 = r2 206 9.2. Caso r1 /= r2 tal que r1 r2 ЄN 207 9.3. Reducción del orden 209 9.4. La función Γ de Euler, la función Beta y las funciones multifactoriales 210 9.5. Usando Sage: las funciones Gamma, Beta y los multifactoriales 214 9.6. Problemas resueltos 215 9.7. Ejercicios 223

8 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 10. Las ecuaciones y las funciones de Bessel 227 10.1. Generalidades sobre las ecuaciones de Bessel 228 10.2. Ecuación de Bessel para v = 0 229 10.2.1. La primera solución para v = 0 230 10.2.2. La segunda solución para v = 0 231 10.3. Ecuación de Bessel de orden v arbitrario 232 10.3.1. La primera solución a la ecuación de Bessel 233 10.3.2. La segunda solución cuando v no es ni un número entero ni un semientero 234 10.3.3. La segunda solución cuando v es un semientero 235 10.3.4. Segunda solución cuando v es un entero 236 10.4. Resumen 237 10.5. Problemas resueltos 238 10.6. Ejercicios 242 11.Propiedades de las funciones de Bessel 245 11.1. Relaciones de recurrencia 245 11.2. Función generatriz 246 11.3. Representaciones integrales 247 11.4. Ceros de las funciones de Bessel 249 11.5. Relaciones de ortogonalidad y desarrollo de una función en serie de Bessel 250 11.5.1. Las relaciones de ortogonalidad 250 11.5.2. Series de Bessel 252 11.6. Problemas resueltos 253 11.7. Ejercicios 258 12.Ecuaciones relacionadas con Bessel: hiperbólicas y esféricas. Las ecuaciones hipergeométricas 261 12.1. Funciones de Bessel hiperbólicas 262 12.2. Ecuaciones reducibles a la de Bessel 264 12.3. Funciones de Bessel esféricas 266 12.4. Comportamiento asintótico de las funciones de Bessel 267 12.5. La ecuación hipergeométrica 269 12.6. Problemas resueltos 273 12.7. Ejercicios 277

ÍNDICE 9 13. Una introducción a las ecuaciones diferenciales no lineales 281 13.1. Análisis cualitativo de ecuaciones no lineales de primer orden 282 13.2. El péndulo y otras ecuaciones ẍ(t) = f (x) no lineales 285 13.3. El análisis cualitativo de las soluciones en problemas autónomos 286 13.3.1. Linealización en torno de los puntos fijos de la ecuación 290 13.3.2. Interpretación de las ecuaciones linealizadas 292 13.3.3. Propiedades de las trayectorias en el espacio fásico útiles para realizar el análisis cualitativo 293 13.3.4. Análisis cualitativo de las trayectorias alrededor de puntos fijos 294 13.3.5. Ciclos Límite 300 13.4. Usando Sage: retratos de fase más elaborados 304 13.5. Problemas resueltos 306 13.6. Ejercicios 312 14. La transformada de Laplace aplicada a la resolución de ecuaciones diferenciales 317 14.1. La transformada de Laplace y su transformada inversa 318 14.2. El producto de convolución y su relación con la transformada de Laplace 320 14.3. Resolución de ecuaciones lineales a coeficientes constantes usando la transformada de Laplace 321 14.4. Resolución de ecuaciones lineales a coeficientes no constantes usando la transformada de Laplace 325 14.5. Problemas resueltos 328 14.6. Ejercicios 331 Apéndices 335 A. Demostración del teorema de existencia y unicidad 337 B. Comparativa Sage y Mathematica 347 C. El problema de valores propios 357 C.1. Qué es un problema de valores propios? 357 C.2. Cómo solucionar un problema de valores propios? 358 C.3. Como extraer los valores y vectores propios de una matriz usando Sage 361 D. Representación de funciones implícitas. La función de Lambert 365 D.1. Representación de funciones implícitas 365 Bibliografía 371