Ecuaciones Diferenciales

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1 PLANIFICACIÓN 2014 Ecuaciones Diferenciales INFORMACIÓN GENERAL Carrera Ingeniería en Informática Departamento Formación Básica Plan de Estudios Plan 2006 Carácter Cuatrimestral Equipo Docente SIIO WEB DE LA ASIGNAURA Docente Responsable Egle Elisabet Haye Carga Horaria Carga Horaria Cuatrimestral EORÍA PRÁCICA Formación Experimental Resolución de Problemas Resolución de Problemas de Ingeniería Proyectos y diseños de procesos CONSULAS Y ORAS ACIVIDADES EVALUACIONES 75 hs 26 hs 0 hs 39 hs 0 hs 0 hs 0 hs 10 hs CONENIDOS MÍNIMOS DE LA ASIGNAURA Conceptos generales sobre ecuaciones diferenciales. Ecuaciones de primer orden. Ecuaciones lineales de orden superior. écnicas para algunas ecuaciones no lineales. ransformada de Laplace. Resolución por método de series de potencias y método de Frobenius. Sistemas de ecuaciones diferenciales. Aplicaciones a la Física, Química, Biología, Geometría, Electrónica, etc. OBJEIVOS DE LA ASIGNAURA Que el alumno conozca y comprenda los conceptos básicos de ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas de ecuaciones diferenciales, adquiera habilidad en los métodos de resolución y aplique sus conocimientos a problemas concretos relacionados con su carrera. CONOCIMIENOS ESPECÍFICOS PREVIOS PARA CURSAR LA ASIGNAURA Para cursar Ecuaciones Diferenciales (ED) el alumno debe tener regularizada Cálculo II y aprobado el primer cuatrimestre. Los conocimientos específicos previos que se requerirán para el cursado de ED son los contenidos de Matemática Básica, Algebra Lineal, Cálculo I y Cálculo II. MEODOLOGÍA DE ENSEÑANZA El dictado de la asignatura es semanal y consiste en una clase teórica de 2 horas y una clase práctica de 3 horas. Página 1 de 13

2 En total hay 2 comisiones de teoria y 4 comisiones de práctica. Página 2 de 13

3 PROGRAMA ANALÍICO ítulo: Descripción/ Contenidos: Conceptos Generales Concepto y clasificación de Ecuaciones Diferenciales. Ecuación diferencial ordinaria. ipo de soluciones. Problemas de valor inicial y de frontera. Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos: dinámica de poblaciones, epidemias, mecánica. Soluciones explícitas de EDO sencillas. Campo de direcciones. ítulo: Descripción/ Contenidos: ítulo: Descripción/ Contenidos: ítulo: Descripción/ Contenidos: Ecuaciones Diferenciales de primer orden eorema de existencia y unicidad para problemas de valores iniciales de primer orden. Ecuaciones autónomas. Ecuaciones con variables separables. Ecuaciones lineales. Factor integrante. Ecuaciones exactas. Cambio de variable y soluciones por sustitución. Ecuaciones diferenciales homogéneas. Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden lineales y no lineales: aplicaciones a problemas de crecimiento y decaimiento, ley de enfriamiento, mezclas y otras. Ecuaciones Diferenciales de orden superior Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Problemas de valor inicial y valores en la frontera. Ecuaciones homogéneas y no homogéneas. Reducción de orden. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes. Coeficientes indeterminados: método de superposición. Variación de parámetros. Ecuación de Cauchy Euler. Ecuaciones no lineales. Modelado con ecuaciones diferenciales de orden superior: aplicaciones a sistemas masa resorte, circuitos y otros. Aplicaciones de la ransformada de Laplace y Series ransformada de Laplace. Definición, condiciones de existencia y unicidad y propiedades. ransformada inversa y transformada de derivadas. eoremas de traslación. Función delta de Dirac. Soluciones de ecuaciones diferenciales por medio de la transformada de Laplace y la transformada inversa. Puntos ordinarios y puntos singulares de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden dos. Soluciones en series de potencias alrededor de puntos ordinarios. Soluciones cerca de puntos singulares: Método de Frobenius. ítulo: Descripción/ Contenidos: Sistemas de ecuaciones diferenciales Conceptos generales. Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales por método de operadores y por método de la ransformada de Laplace. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Método de los valores propios. Variación de parámetros. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Página 3 de 13

4 ítulo: Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado Autores: Dennis G. Zill ISBN: Editorial: homson Learning Formato: Selección de Páginas: capítulos 1 al 8 BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENARIA ítulo: Ecuaciones Diferenciales Autores: C. Henry Edwards and David E. Penney ISBN: Editorial: Pearson Educación Formato: Selección de Páginas: No se ha especificado la selección de páginas. ítulo: Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas Autores: G. Simmons ISBN: Editorial: McGraw-Hill Formato: Selección de Páginas: No se ha especificado la selección de páginas. CRONOGRAMA DE ACIVIDADES Actividad: Conceptos generales. PVI de primer orden. Semana: 1 Descripción: Definiciones y terminología. Problemas de valores iniciales de primer orden. eorema de existencia y unicidad. Campo de direcciones. Ejemplos de ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos aplicados a diversas áreas. Actividad: Conceptos generales. PVI de primer orden. Semana: 1 Descripción: Resolución de ejercicios y problemas basados en el análisis y comprensión de los conceptos generales dados y del teorema de existencia y unicidad para PVI de primer orden. Análisis de campos direccionales. Modelado de ecuaciones diferenciales Página 4 de 13

5 sencillas. Actividad: Ecuaciones Diferenciales de primer orden. Semana: 2 Descripción: Ecuaciones Autónomas: estudio a traves de retrato fase. Variables separables. Ecuaciones lineales de 1er. orden. Introducción al modelado de ecuaciones diferenciales de 1er.orden. Actividad: Ecuaciones Diferenciales de primer orden Semana: 2 Descripción: Construcción del retrato fase y estudio cualitativo de soluciones de ecuaciones autónomas. Resolución de ecuaciones diferenciales por método de variables separables. Resolución de ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas de 1er. orden. Introducción al modelado de ecuaciones diferenciales de 1er.orden. Actividad: Ecuaciones Diferenciales de primer orden Semana: 3 Descripción: Ecuaciones exactas. Condición necesaria y suficiente de exactitud. Factor integrante. Método de sustitución: Ecuaciones homogéneas, de Bernoulli y otras. Ejemplos de modelado. Actividad: Ecuaciones Diferenciales de primer orden Semana: 3 Descripción: Resolución de Ecuaciones exactas. Búsqueda de factor integrante para ecuaciones no exactas y resolución. Análisis de sustituciones en ecuaciones de primer orden y resolución de ecuaciones homogéneas, de Bernoulli y otras. Modelado de ecuaciones diferenciales lineales y resolución. Página 5 de 13

6 Actividad: Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Semana: 4 Descripción: eorema de existencia y unicidad de un PVI lineal de orden n. Ecuaciones homogéneas. Dependencia e independencia lineal de funciones. Wronskiano. Conjunto fundamental de soluciones de una ec. homogénea. Solución general de una ecuación lineal homogénea de orden n. Ec no homogéneas ysolución general. Principio de superposición para ecuaciones homogéneas y no homogéneas. Actividad: Ec. diferenciales lineales de orden superior. Semana: 4 Descripción: Resolución de ejercicios y problemas basados en la teoría general de ecuaciones diferenciales lineales de orden n. Actividad: Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes. Ecuaciones no lineales especiales. Semana: 5 Descripción: Método de Reducción de orden de una ecuación de segundo orden a una de primer orden. Ecuaciones lineales homo geneas de coeficientes constantes. Ecuación caracteristica. Solución general según el tipo de raices de la ecuación caracte ristica. Ecuaciones no lineales donde falta la variable dependiente o falta la variable independiente. Actividad: ED. lineal con coeficientes constantes. Ecuaiones no lineales especiales. Semana: 5 Descripción: Uso del método de Reducción de orden para encontrar una segunda solución en una ecuación lineal de segundo orden. Resolución de Ecuaciones lineales homogéneas de coeficientes constantes. Página 6 de 13

7 Aplicación de sustituciones especiales para resolver ecuaciones no lineales donde falta la variable dependiente o falta la variable independiente. Actividad: Ecuaciones Diferenciales lineales no homogéneas Semana: 6 Descripción: Métodos de Coeficientes indeterminados y Variación de parámetros para determinar soluciones particulares. Ecuación lineal de coeficientes variables especial: Cauchy-Euler de orden n. Ecuación auxiliar. Formas de la solución general. Actividad: Ecuaciones Diferenciales lineales no homogéneas. Semana: 6 Descripción: Resolución de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas mediante métodos de Coeficientes indeterminados y Variación de parámetros para determinar soluciones particulares Resolución de ecuaciones de Cauchy-Euler de orden n. Problemas. Actividad: Ecuaciones lineales. Aplicaciones. Semana: 7 Descripción: Problemas de valor inicial aplicados a los sistemas masa-resorte: Análisis y modelado de las ecuaciones asociadas a movimientos libre no amortiguado, libre amortiguado y forzado. Circuitos en serie. Actividad: Ecuaciones lineales. Aplicaciones Semana: 7 Descripción: Modelado y resolución de problemas asociados a sistemas masa-resorte y circuitos eléctricos. Página 7 de 13

8 Actividad: Primera Evaluación Parcial Semana: 7.5 E, Egle Elisabet Haye Descripción: Primer Parcial: es escrito, individual y abarca los contenidos dados desde la semana 1 hasta el tema "Coeficientes indeterminados" de la semana 6 inclusive. Observaciones: Para los alumnos que aspiran a la regularidad de la materia, el primer parcial será de caráter sólo práctico, mientras que para los alumnos que aspiran a la promoción, será de caráter teórico- práctico. Actividad: Soluciones en serie de ecuaciones lineales Semana: 8 Descripción: Puntos ordinarios y puntos singulares en una ecuación diferencial lineal homogénea de orden dos. eorema de existencia de soluciones en series de potencias alrededor de puntos ordinarios. Método de resolución por series de potencias. Puntos singulares regulares. eorema de Frobenius. Actividad: Soluciones en series de ecuaciones lineales Semana: 8 Descripción: Identificación de puntos ordinarios y puntos singulares en una ecuación diferencial lineal homogénea de orden dos. Determinación de la solución general en forma de series de potencias alrededor de puntos ordinarios. Análisis del radio de convergencia. Identificación de puntos singulares regulares e irregulares. Actividad: Método de Frobenius. ransformada de Laplace. Semana: 9 Descripción: Obtención de la Ecuación indicial y las raices indiciales en el eorema de Frobenius. Página 8 de 13

9 Soluciones en serie de una ecuación lineal homogénea de orden dos cerca de puntos singulares: Método de Frobenius. ransformada de Laplace: definición, condiciones suficientes para su existencia. Actividad: Método de Frobenius. ransformada de Laplace. Semana: 9 Descripción: Resolución de ecuaciones lineales homogéneas de orden dos cerca de puntos singulares: aplicación del Método de Frobenius para los distintos casos de raices indiciales. Determinación de la ransformada de Laplace de distintas funciones por definición y por tabla. Actividad: ranformada de Laplace para resolver PVI Semana: 10 Descripción: ransformada inversa de Laplace. Linealidad. Uso de fracciones parciales. Demostración de algunas ransformada de derivadas. eoremas de traslación. Función escalón unitario. Método de resolución por ransformada de problemas de valores inciales. Actividad: ransformada de Laplace para resolver PVI Semana: 10 Descripción: Resolución de ejercicios y problemas del tema. Determinación de ransformada y ransformada inversa de Laplace usando linealidad, fracciones parciales y teoremas de traslación. Resolución de problemas de valores inciales aplicado ransformada de Laplace. Página 9 de 13

10 Actividad: ransformada de Laplace. Introducción a sistemas de ecuaciones diferenciales. Semana: 11 Descripción: ransformada de la Función Delta de Dirac y Resolución de PVI con ransformadas. Introducción a los Sistemas de ecuaciones diferenciales. Relación entre ecuaciones diferenciales lineales con sistemas de primer orden. Método de ransformada de Laplace para resolver sistemas lineales con coeficientes constantes. Ejemplos de modelado. Actividad: ransformada de Laplace. Sistemas de ecuaciones diferenciales. Semana: 11 Descripción: Resolución de PVI que contienen la Función Delta con ransformadas. Método de ransformada de Laplace para resolver sistemas lineales con coeficientes constantes. Problemas con modelado asociado a distintas áreas. Actividad: Método de operadores. Forma matricial de un sistema de 1er. orden Semana: 12 Descripción: Método de eliminación por operadores para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales. Sistemas de ecuaciones lineales de 1er. orden y conceptos generales: forma matricial, vector solución, independencia lineal, wronskiano, solución general. Actividad: Método de operadores. Sistemas de ecuaciones lineales de 1er. orden Semana: 12 Descripción: Resolución de sistemas por el Método de eliminación por operadores. Modelado de Aplicaciones. Ejercitación de comprensión de los conceptos asociados a Sistemas de ecuaciones lineales de 1er. orden: forma matricial, vector solución, Página 10 de 13

11 independencia lineal, wronskiano, solución general Actividad: Sistemas lineales homogéneos de 1er. orden con coeficientes constantes Semana: 13 Descripción: Ecuación característica de la matriz del sistema. Valores y vectores propios de la matriz. Solución general de los sistemas homogéneos: análisis de los distintos tipos. Actividad: Sistemas lineales homogéneos de 1er orden con coeficientes constantes Semana: 13 Descripción: Resolución de sistemas y de PVI por el método de valores y vectores propios. Actividad: Segunda evaluación parcial Semana: 14.5 E, Egle Elisabet Haye Descripción: Segundo Parcial: es escrito, individual y abarca los contenidos dados desde el tema "Variación de Parámetros" de la semana 6 hasta la semana 13. Observaciones: Para los alumnos que aspiran a la regularidad de la materia, el segundo parcial será de carácter sólo práctico, mientras que para los alumnos que aspiran a la promoción, será de carácter teórico- práctico. Dado que se estima el parcial 2 para el día lunes 10, los dias restantes de la semana correspondientes a clases de la materia, serán usados como horarios de consulta para los Recuperatorios y Examen Final Actividad: Recuperatorios Semana: 15 E, Egle Elisabet Haye Descripción: Evaluación recuperatoria del primero y segundo parcial tanto para quienes aspiren a regularizar o para promocionar. Observaciones: Los recuperatorios se estiman para el dia jueves 20, asi, todos los dias Página 11 de 13

12 restantes de la semana correspondientes a clases de la materia, serán usados como horarios de consulta para los Recuperatorios y Examen Final. Los alumnos que aprueben los parciales de promoción deberán aprobar una actividad integradora (Coloquio Final Integrador) cuya calificación será tenida en cuenta para la nota final. REQUERIMIENOS DE LA ASIGNAURA Detallar cuanto sea necesario para que los alumnos no tengan dudas sobre cada uno de estos requerimientos: Para Regularizar: Los requerimientos para regularizar la asignatura son los establecidos en el nuevo Régimen de Enseñanza de la FICH, a saber: 50% de asistencia a las clases teóricas y 80 % a las clases prácticas. 40 % como mínimo en cada uno de los dos parciales de carácter práctico, pudiendo recuperar uno de ellos ( en el caso que desabruebe o por no haberse presentado a ese parcial) al finalizar el dictado de la asignatura. Para Promocionar: Para obtener la promoción se siguen los criterios establecidos en el Nuevo Régimen de Enseñanza de la FICH: EXAMEN FINAL 80% de asistencia a las clases prácticas y 80 % a las clases prácticas. 60 % como mínimo en cada uno de los dos parciales de carácter teórico-prácticos y 70% como mínimo de promedio entre ambos, pudiendo recuperar uno de ellos al finalizar el dictado de la asignatura, en caso de no alcanzar el mínimo o el promedio, o por ausencia en ese parcial. Aprobación de un coloquio final integrador con un mínimo de 70% que consiste en la realización de una actividad de investigación - integración basada en la resolución de un problema de modelado de una ecuación diferencial con apoyo de herramientas informáticas. El alumno deberá presentar un informe detallado por escrito del problema y luego defenderlo oralmente según pautas dadas por la prof. responsable. Para Alumnos Regulares: El examen es escrito y teórico- práctico. Los alumnos regulares deben responder sólo los requerimientos de los ítem marcados con "*" del cuestionario completo destinado a los alumnos libres. Se aprueba con un puntaje mínimo de 60 puntos sobre 100. Página 12 de 13

13 Powered by CPDF ( Para Alumnos Libres: El examen final es escrito y teórico práctico. Se aprueba con un puntaje mínimo de 60 puntos sobre 100. EVALUACIONES PARCIALES Fecha: ítulo: Primer Parcial emas / Descripción: El Primer Parcial abarca los temas del cronograma dados desde la semana 1 hasta inclusive "Coeficientes Indeterminados" de la semana 6. Fecha: ítulo: Segundo parcial emas / Descripción: El segundo parcial abarca todos los temas del cronograma desde "Variación de Parámetros" dado en la semana 6 hasta los de la semana 13. RECUPERAORIOS Fecha: ítulo: Recuperatorio de Parcial 1 y Parcial 2 emas / Descripción: Abarcan todos los temas del Parcial 1 y del Parcial 2. INFORMACIÓN COMPLEMENARIA No se ha ingresado información complementaria para esta asignatura Página 13 de 13