Apuntes Tema 11 Sistemas de ecuaciones
11.1 Definiciones Def.: Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de igualdades dadas de la siguiente forma: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 3n x n = b 3 { a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = b m En este caso, se trata de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas. A los números aij se les llama coeficientes y a los bi se les denomina términos independientes. Las incógnitas son las variables x 1, x 2,..., x n. Se llama matriz de los coeficientes a la siguiente matriz: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a 31 a 32 a 3n. ( a m1 a m2 a mn ) dim (A) = m x n Las incógnitas y los términos independientes se pueden representar por matrices columnas : x 1 x 2 X = x 3 ( x n ) b 1 b 2 B = b 3 ( b m) dim (X) = n x 1 dim (B) = m x 1 Cualquier sistema de ecuaciones se podría expresar como un producto de matrices: A X = B a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a 31 a 32 a 3n ( a m1 a m2 a mn ) x 1 x 2 x 3 ( x n ) = b 1 b 2 b 3 ( b m) 143
Si a la matriz de lo coeficientes se le añade una nueva columna formada por los términos independientes, la matriz obtenida se llama matriz ampliada. Normalmente, se representan las dos simultáneamente de la siguiente manera: A = a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a 31 a 32 a 3n b 3. ( a m1 a m2 a mn b m) Los valores de x1, x2,..., xn que satisfacen todas las igualdades simultáneamente, se llaman soluciones del sistema. Resolver un sistema es hallar todas sus soluciones. Sistemas equivalentes son los que tienen las mismas soluciones. Los sistemas equivalentes se van obteniendo de uno original al sustituir alguna ecuación por una combinación lineal de dos o más ecuaciones del sistema original. 11.2 Sistemas de Cramer y regla de Cramer Sea el sistema: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 3n x n = b 3 { a n1 x 1 + a n2 x 2 + a nn x n = b n 144
formado por n ecuaciones y n incógnitas, donde A, la matriz de los coeficientes, es una matriz cuadrada y regular, es decir, A 0. Dicho sistema se puede expresar en forma matricial como: a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n x 2 b 2 a 31 a 32 a 3n x 3 = b 3 A X = B ( a n1 a n2 a nn ) ( x n ) ( b n) Por ser A una matriz regular, existe su matriz inversa A 1. Despejando hacia las incógnitas se obtienen las soluciones: X = A 1 B Para resolver sistemas de ecuaciones que sean compatibles determinados (tengan una única solución) se aplicará la Regla de Cramer. Regla de Cramer: la solución viene dada por 2x y + z = 3 Ejemplo: Resuelve el sistema siguiente { 2y z = 1. x + y = 1 145
3x 2y + z = 3 Ejemplo: Resuelve el sistema siguiente: { 2x + 3y 2z = 0. 4x y + z = 6 11.3 Teorema de Rouché Fröbenius La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales tenga solución, es que la matriz de los coeficientes tenga el mismo rango que la matriz ampliada. 146
x + y + z + u = 1 Ejemplo: Resuelve el sistema siguiente: { x + y z + u = 0. x + 5y z + 5u = 2 x y + z = 3 Ejemplo: Discute y resuelve el sistema siguiente: { 2x y + 3z = 5. 2x 2y + 2z = 1 x + 2y 3z + t = 5 Ejemplo: Discute y resuelve el sistema siguiente: { x y + 6z 2t = 1. 147
Ejercicios 2x + y z + t = 3 x 2y + z + 3t = 8 1. Resuelve el sistema siguiente: {. 3x + 5y 4z 2t = 5 x + y 3t = 1 x + 2y z = 1 2. Estudia la compatibilidad y resuelve si es posible: { x + 3z = 1. x 3y = 5 11.4 Sistemas lineales homogéneos Def.: Si en un sistema de ecuaciones lineales los términos independientes son todos cero, el sistema obtenido se llama homogéneo: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = 0 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 3n x n = 0 { a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = 0 Los sistemas homogéneos son siempre compatibles, ya que la columna que corresponde a los términos independientes tiene todos los elementos nulos; de aquí que se pueda suprimir para calcular el rango de la matriz ampliada, coincidiendo siempre el rango de la matriz de los coeficientes con el rango de la matriz ampliada. Una solución, para todos los sistemas homogéneos, es la que corresponde a los valores de las incógnitas x1 = x2 =... = xn = 0, llamada solución impropia. Esta solución trivial tiene poco interés, ya que este tipo de sistemas aparecen con frecuencia en numerosas cuestiones en las que la solución nula carece de sentido. Las restantes soluciones del sistema, si ésta no es única, reciben el nombre de soluciones propias. 148
x + 5y 4z = 0 Ejemplo: Resuelve el sistema siguiente: { x 2y + z = 0 3x + y 2z = 0. x + y + z + t = 0 2x 3y z + t = 0 Ejemplo: Resuelve el sistema: {. x y + 2z t = 0 x + 2y + z 2t = 0 149
11.5 Sistemas de ecuaciones dependientes de parámetros Será preciso un ejemplo para estudiar este caso. (m + 1)x + y + z = 3 Ejemplo: Dado el sistema { x + 2y + m z = 4, estúdialo y resuélvelo cuando se x + m y + 2z = 2 pueda en función del parámetro m. Las matrices de los coeficientes y la ampliada son: m + 1 1 1 m + 1 1 1 3 A = ( 1 2 m) y A = ( 1 2 m 4) 1 m 2 1 m 2 2 Para que el sistema tenga solución única: rang (A) = rang (A * ) = nº incógnitas = 3. A = 4m + 4 + m + m 2 2 m 2 (m + 1) = - m (m 2) (m + 3) El determinante se anula para los valores m = 0, m = 2 y m = - 3. Tendremos, por tanto, los cuatro casos siguientes: Para m 0, m 2 y m - 3: 150
Para m = 0 Para m = 2 151
Para m = - 3 Ejercicios 1. Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales para los distintos valores del parámetro a y resuélvelo en los casos en los que sea posible: 3x ay + 3z = 4 ax + y z = 2 {. x y + z = 1 ax + 4y z = 5 2. Resuelve el sistema siguiente para los valores de m que lo hagan posible: x + 2y = 8 { 2x y = 1. 4x + 3y = m (1 a)x 2y + 4z = 0 3. Dado el sistema siguiente: { x (1 a)y + z = 0, x + ay z = 0 a) estudia la compatibilidad según los valores del parámetro a. b) resuélvelo cuando sea compatible indeterminado. 4. Discute y resuelve, según los valores del parámetro, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 2x y + z = 2 { x + ay 2z = 20. 3x 5y + z = 3 152
Ejercicios 1. Resuelve los siguientes sistemas: x + y = 12 a) { y + z = 8 x + z = 6 3x 2y + 4z = 8 2x + 3y 3z = 4 b) { x 3y 5z = 6 4x + 4y + 6z = 18 x 2y + z t = 0 c) { x + y z = 2 2x y + t = 0 2. Discute los siguientes sistemas en función de m y resuélvelos para m = 2: x + y = 1 a) { my + z = 0 x + (m + 1)y + mz = m + 1 mx + y + z = m 2 x y + z = 1 b) { 3x y z = 1 6x y + z = 3a 3. Discute el siguiente sistema y resuélvelo para un valor que lo haga compatible x + y + 2z = 2 determinado: { 3x + 2y + 3z = 2. 2x + my 5z = 4 4. Discute el siguiente sistema según los valores de p y resuélvelo en el caso en que sea 2x + py = 0 compatible indeterminado: { x + pz = p x + y + 3z = 5. 5. Discute el siguiente sistema: { x 2y + z = 0 4x + y 3z = 5 ; resuélvelo para el valor m = 0. 3x y + mz = m 1 6. Discute y resuelve, según los distintos valores de a, los siguientes sistemas: a) { x + y + az = 1 2x + z = 2 2x y = a b) { ax + 3y = 4 3x y = 2 ax + y + z = 4 c) { x ay + z = 1 x + y + z = a + 2 x + 2y + z = 2 d) { 2x y + 3z = 2 5x y + az = 6 e){ a2 x + a 3 y + az = 1 x + a 2 y + z = 0 4x + 12y + 4z = 0 f) { 2x 13y + 2z = 0 (a + 2)x 12y + 12z = 0 x ay z = 0 g) {(2 2a)x + 5y + z = 0 4x + y = 0 x + 2y = 5 h) { 3x ay = a 5x + ay = 7 153
7. Discute y resuelve los siguientes sistemas según los valores de k: 2x y z = k x + y + z = 2 a) { 3x 2y z = 4 x y + 2z = 3 x + y = 0 x + t = 4 b) y + z = 1 y + t = 2 { z + t = k 9x + 3y + 2z = 0 3x y + z = 0 8. Resuelve el siguiente sistema homogéneo: {. 8x + y + 4z = 0 x + 2y 2z = 0 9. Estudia, según los valores de λ, el siguiente sistema y resuélvelo en los casos λ = x + y + z = λ 3 y λ = 1 : { x + y + λz = 1. x + λy + z = 1 154
Ejercicios PAU de la ULL x + y + (m + 1)z = 2 1. Dado el siguiente sistema de ecuaciones: { x + (m 1)y + 2z = 1, (junio 2013) 2x + my + z = 1 a) discútelo según los valores de m. b) resuélvelo para m = 2. 2. Discute la compatibilidad del sistema siguiente en función de los distintos valores del parámetro m (sept 2012) 2x + y z = 1 { x 2y + 2z = m 3x y + mz = 4 3. Discute la compatibilidad del sistema siguiente en función de los distintos valores del parámetro m: (junio 2012) 3x + mz = 1 { x + my + 2z = m 2x + 2z = 1 3x ay = 3 4. Dado el siguiente sistema { 2x + ay 5z = 13, (sept 2011) x + 3y 2z = 5 a) estudia su compatibilidad para los valores del parámetro a. b) resuélvelo para a = 9. 5. Dado el sistema: { ax 3y + az = 1 3x + 2y = 1 x y + z = 1, (junio 2011) a) estudia su compatibilidad para cualquier valor de a. b) resuélvelo cuando sea compatible. 6. Dado el sistema: { 2x + y z = 1 x 2y + z = 3 5x 5y + 2z = m, (junio 2010) a) discútelo según los valores de m. b) resuélvelo para m = 10. 7. Discute el sistema a continuación, según los valores del parámetro m: (junio 2010) mx y + 3z = m { 2x + 4z = 1 x y + 2z = 2 Resuélvelo para m = 0. 8. Estudia la compatibilidad del siguiente sistema y, en caso posible, resuélvelo: (sept 2010) 3x 2y + z = 1 { x + 3z = 2 3x 4y 7z = 8 155
Ficha de Repaso 1. Discute y resuelve, cuando sea posible, los siguientes sistemas: x + y + z = 0 a) { 2x + y z = 4 4x + 3y + z = 4 x + y + z = 0 b) { 2x y + z = 3 3x 3y + 2z = 9 x + y + z = 0 c) { 2x + y z = 4 4x + 3y + z = 4 (Sol.: incompatible) (Sol.: SCD, x = 1, y = 2, z = - 3) (Sol.: SCI, x = 4 + 2λ, y = - 4-3λ, z = λ) x + y + z + t = 1 2x y z 2t = 1 d) { 3x y + z t = 3 x y z t = 1 2. Averigua los valores de m para que el siguiente sistema tenga soluciones distintas de 2x + my = 0 la trivial: { m 2. (Sol.: m = - 2) x 4y = 0 3. Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del valor del parámetro x + y + (m 1)z = 1 m: { x + (m 1)y + z = m 1. (m 1)x + y + z == m + 2 (Sol.: Si m = 2 SI; si m = - 1 SCI; si m 2, 1 SCD) 4. Determina si el siguiente sistema puede ser compatible indeterminado para algún valor x + 3y + 2z = 0 de m: { 2x + 4y + 3z = 0. (Sol.: para m = 1 SCI) x + y + mz = 0 5. Discute el siguiente sistema en función del valor del parámetro a y resuélvelo para a x + 3y + z = 5 = 0: { ax + y + z = 3. x + ay + z = a (Sol.: Si a = 1, 3 SI; En cualquier otro caso SCD. Si a = 0: x = -4/3, y = 5/3, z = 4/3) 6. Discute para los distintos valores de m el siguiente sistema: (m + 2)x + (m 1)y z = 3 { mx y + z = 2 x + my + z = 0. Resuelve para m = 1. (Sol.: SCD m ; Si m = 1: x =1, y = - 1, z = 0) 156
y + z = 2 7. Dado el siguiente sistema: { 2x + y + z = 1 (2 2m)x + (2m 2)z = m 1 a) discútelo en función de m. (Sol.: si m = 1 SCI, si m 1 SCD) b) resuelve los casos compatibles. (Sol.: si m 1: x = 3/2, y = 0, z = 2; si m = 1: x = 3/2, y = 2 λ, z = λ) 8. Discute en función del parámetro λ y resuelve cuando sea compatible el siguiente x y + z = λ sistema: { λx + 2y z = 3λ 2x + λy 2z = 6 (Sol.: si λ 2, 3: SCD (x = 4λ+2, y = 2(λ 1), z = λ 2) λ+2 λ+2 si λ = - 2 SI si λ = 3 SCI (x = 3 1 4t t, y =, z = tϵr)) 5 5 (1 a)x 2y + 4z = 0 9. Discute y resuelve el siguiente sistema: { x (1 + a)y + z = 0 x + ay z = 0 (Sol.: Si a 3, sol. trivial, si a = - 3: x = - t, y = 0, z = t; t R) 10. Discute y resuelve cuando sea posible el siguiente sistema: 2x my + 6z = 0 { x + 3y mz = 0 (Sol.: SCI siempre: x = m2 18 2m+6 t, y = t, z = t; t R) m+6 m+6 11. Discute y resuelve cuando sea posible el siguiente sistema: x + (1 a)y = a { (1 + a)x 3y = a (Sol.: si a = 2 SI; si a = - 2 SCI: x = - 2-3t, y = t; si a ± 2 SCD: x = a a 2, y = a a 2 ) 12. Discute, según los valores del parámetro k, y resuelve el siguiente sistema: x + y = 7 { kx y = 11 x 4y = k (Sol.: si k = 2 SCD (x = 6, y = 1) si k = - 31 SCD (x = - 3/5, y = 38/5) si k 2, - 31 SI) 157