aletos 23.1 23.1 Rodadura sin deslizamiento Un sólido rígido con un eje de simetría axial, como un disco circular, un cilindro o una esfera, rueda sin deslizar sobre una superficie cualquiera, cuando en su movimiento de traslación se va rectificando la longitud de su circunferencia sobre la superficie en la que se apoya. Supongamos que el disco de la figura rueda sin deslizar hacia la derecha y que en un cierto instante, su centro se encuentra en la posición, y que el punto de contacto con la superficie de apoyo es el punto A. A A s FIG. 23-1 B B Derivando los dos miembros de la relación [23.1] respecto al tiempo, Un tiempo después el centro se encontrará en la posición habiendo avanzado la distancia = s y habrá girado un ángulo, que corresponde a la longitud del arco AB. El nuevo punto de contacto con la superficie de apoyo será el punto B, y el punto A habrá pasado a ocupar la posición A. La distancia s es la longitud del arco AB. Si el ángulo se mide en radianes, la relación entre s y es s = r [23.1] siendo r el radio del disco. Esta relación es independiente del tipo de movimiento que efectúe el sólido y de la forma de la superficie sobre la que se apoye. ds dt = r d dt = rω donde es la velocidad del centro del disco, y ω su velocidad angular en torno a un eje geométrico horizontal que pasa por. Si el movimiento no es uniforme, volviendo a derivar respecto al tiempo los dos miembros de [23.2], [23.2] d dt = r dω dt a = rα [23.3] siendo a la aceleración lineal del centro del disco, y α su aceleración angular en torno a un eje geométrico horizontal que pasa por. Para que el disco ruede sin deslizar, no es suficiente que se cumplan las condiciones anteriores, [23.1], [23.2] y [23.3]. Es necesario, además, que los sentidos de y ω por un lado, y los de a y α, por otro, se correspondan. Es decir, que, Si el disco avanza hacia la derecha, el disco debe girar en el sentido de las agujas del reloj; y si el movimiento de traslación es acelerado, el de rotación también debe ser acelerado, y si el movimiento de traslación es decelerado o retardado, el de rotación también debe ser decelerado o retardado. El olvido de estas condiciones puede complicar la resolución de problemas en los que intervienen sólidos que tienen un eje de simetría axial cuando ruedan sobre una superficie. Los problemas de conos que ruedan sobre una superficie, apoyados sobre una generatriz, merecen atención aparte y se analizará cada problema en particular. tro aspecto estrechamente relacionado con este tipo de movimiento es la acción de la fuerza de rozamiento de deslizamiento, que suele originar una cierta confusión entre los estudiantes. Suele ser creencia general que, para que se produzca un movimiento de rodadura sin deslizamiento debe actuar necesariamente la fuerza de rozamiento, y que, si ésta no actúa, no es posible tal movimiento, y en algunas situaciones esto no es cierto. La naturaleza y el comportamiento de la fuerza de rozamiento de deslizamiento está explicado en el Capítulo 1.1.06 - Fuerza de rozamiento.pdf, contenido en la carpeta del Tema 1.1a.06 - Fuerza de rozamiento. No hay que olvidar que esta fuerza es una fuerza de ligadura, y por tanto, es una fuerza pasiva, lo que significa que, si no se provoca su aparición, porque el sólido no intente deslizar, dicha fuerza no actúa. Se discutirán diferentes casos en forma de problemas. éase el siguiente ejemplo:
23.2 aletos EJEMPL 1. Calcúlese la aceleración de un cilindro macizo de radio r y masa m, que rueda sin deslizar partiendo del reposo, por la superficie de un plano inclinado un ángulo sobre la horizontal, aplicando a) las ecuaciones de la dinámica de traslación y de rotación. b) el principio de conservación de la energía. Momento de inercia del cilindro macizo: I = (1/2)mr 2 SLUCIÓN: a) Las fuerzas que actúan sobre el cilindro macizo son: R mg cos mg N mg sen Su peso mg, la normal N, ejercida por la superficie del plano y la fuerza de rozamiento R. Nos interesa descomponer el peso mg en las direcciones del plano inclinado y en la de su normal, que tomaremos como ejes X y Y. Aplicando la ecuación de la dinámica de traslación a lo largo del eje X, ΣF x = mg sen R = ma x [23.4] En la dirección del eje Y no hay desplazamiento. Por consiguiente, ΣF y = 0 mg cos = N Aplicando la ecuación de la dinámica de rotación ΣM = I α y simplificando FIG. 23-2 R.r = 1 2 mr 2 α R = 1 2 mr α [23.5] Sumando miembro a miembro [23.4] y [23.5] mg sen = ma x + 1 2 mr α [23.6] Simplificando g sen = a x + 1 2 r α [23.7] y teniendo en cuenta que el cilindro rueda sin deslizar Sustituyendo [23.8] en [23.7] r.α = a x [23.8] g sen = a x + 1 2 a x = 3 2 a x [23-9] y despejando finalmente a x a x = 2 3 g sen [23.10] b) Si aplicamos el principio de conservación de la energía, a un desplazamiento finito del cilindro W EXT. N CNS. + W INT. N CNS. = ΔT + Δ = Δ(T + ] = ΔE donde W EXT. N CNS. es el trabajo realizado por las fuerzas exteriores no conservativas. W INT. N CNS. es el trabajo realizado por las fuerzas interiores no conservativas. ΔT es la variación de la energía cinética del sistema. [23.11]
aletos 23.3 Δ es la variación de la energía potencial del sistema. ΔE es la variación de la energía mecánica del sistema. Examinenos cada uno de estos términos: ΔW EXT. N CNS. Este término incluye el trabajo realizado por la fuerza normal N y por la fuerza de rozamiento R. El trabajo realizado por ambas fuerzas es nulo. Analicemos en primer lugar, por qué el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es nulo. Ésta es una cuestión que da lugar frecuentemente a discusiones. La explicación es que dicho trabajo es nulo, porque no hay desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza R, lo que suele causar cierta extrañeza, porque, aparentemente, el punto de aplicación de la fuerza R se desplaza a medida que el cilindro desciende por el plano inclinado. Sin embargo, si se analiza detenidamente el movimiento del cilindro, teniendo en cuenta que rueda sin deslizar, la superficie lateral del cilindro y la superficie del plano inclinado se comporta como si fuera un engranaje: el punto de aplicación de la fuerza R va cambiando conforme transcurre el tiempo, de modo que la fuerza R está aplicada en puntos diferentes de la superficie lateral del cilindro, y por tanto, no hay desplazamiento de su punto de aplicaciuón, y en consecuencia, el trabajo realizado por la dicha fuerza es nulo. Se puede comprar este movimiento con el que tiene lugar entre la cadena de una bicicleta y el piñón de la rueda. Cada eslabón de la cadena hace contacto con un diente distinto del piñón obligándole a girar, de modo que cada diente no se traslada con el eslabón con el que engrana, sino que, a medida que el piñón gira, se separa de la cadena para dar lugar a que otro diente engrane con el eslabón correspondiente. Es evidente que en este símil los dientes del piñón son las rugosidades de la superficie lateral del cilindro que engranan con las de la superficie del plano inclinado que hacen las veces de eslabones. dw INT. N CNS. Es el trabajo realizado por las fuerzas internas no conservativas, que en este caso es nulo, por doble motivo: no hay fuerzas internas no conservativas, y además, en un sólido rígido las fuerzas internas no realizan trabajo porque sus puntos de aplicación no pueden realizar un desplazamiento relativo. ΔT es la variación de la energía cinética del sistema, que en este caso es la suma de la variación de la energía cinética de traslación más la variación de la energía cinética de rotación, ΔT = 1 [23.12] 2 mv 2 + 1 2 Iω2 = 1 2 mv 2 + 1 1 2 2 mr 2 ω 2 = 1 2 mv 2 + 1 4 mr 2 ω 2 y teniendo en cuenta que el cilindro rueda sin deslizar r 2 ω 2 = v 2 y sustituyendo [23.12] en [23.11] [23.13] ΔT = 1 2 mv 2 + 1 4 mv 2 = 3 4 mv 2 [23.14] Δ es la variación de la energía potencial del sistema. Al efectuar el cilindro un recorrido x a lo largo del plano inclinado, su centro de gravedad desciende una altura h = x sen por tanto Δ = mgh = mg x sen [23.15] Sustituyendo [23-12] y [23.15] en [23.11] Simplificando y despejando 0 = 3 4 mv 2 +( mg x sen) h x FIG. 23-3 v 2 = 4 3 g x sen [23.16]
23.4 aletos Por otra parte, teniendo en cuenta que el cilindro parte del reposo, la relación entre la velocidad final, la aceleración y el desplazamiento es Igualando los segundos miembros de [12] y [13] de donde finalmente, v 2 = 2ax [23.17] 4 g x sen = 2ax 3 a = 2 3 g sen [23.18] que es la misma expresión que la obtenida aplicando las ecuaciones de la dinámica. EJEMPL 2. Un cilindro macizo de radio r rueda sin deslizar por la superficie de un plano horizontal. La velocidad de su centro, es. Para una sección recta del cilindro, indíquese en un diagrama, y calcúlese, la velocidad que tiene en un instante dado: a) un punto cualquiera P situado a una distancia r de su eje. b) el punto A, más alto de la circunferencia sección del cilindro. c) el punto B, más bajo de la misma sección. d) un punto C, situado a una distancia de su eje, r <r. SLUCIÓN: a) El movimiento resultante de todo sólido rígido que se mueve libremente efectuando un movimiento plano es, en general, la combinación simultánea de dos movimientos: Uno de traslación, con la misma velocidad de su centro de masa y otro de rotación alrededor de un eje que pasa por su centro de masa. Ambos movimientos son independientes uno de otro, de modo que cada punto tiene la misma velocidad lineal que el c.d.m., y simultáneamente, una velocidad tangencial debido a la rotación que efectúa alrededor de un eje geométrico que pasa por su c.d.m. a) La velocidad resultante de un punto P situado a una distancia r de su eje es la suma vectorial de ambas: = +ω r [23.19] siendo en este caso el módulo de la velocidad tangencial, ω r = r ω sen 90º= rω Por consiguiente el módulo de es [23.20] = 2 +r 2 ω 2 + 2 r ω cos ϕ y puesto que el cilindro rueda sin deslizar, es = rω y sustituyendo en la relación anterior = 2 + 2 + 2 2 cos ϕ = 2 2 + 2 2 cos ϕ = 2(1+cos ϕ) [23.21] [23.22] [23.23] ω P = rω = ϕ ϕ A = rω = ω ω ω = r ω ϕ C C FIG. 23-4 = rω = B
aletos 23.5 b) La velocidad del punto A se deduce inmediatamente de la figura: A = + rω = 2 [23.24] o bien, aplicando la fórmula obtenida para el punto P, teniendo en cuenta que para el punto A es ϕ = 0º, A = 2(1+cos 0º) = 2 [23.25] c) La velocidad del punto B se deduce igualmente de la figura de forma inmediata: B = rω = 0 o bien, aplicando la fórmula obtenida para el punto P, teniendo en cuenta que para el punto B es ϕ = 180º, B = 2(1+cos 180º) = 0 [23.26] El punto B se denomina, centro instantáneo de rotación, y la generatriz que pasa por él, recibe el nombre de eje instantáneo de rotación. El movimiento de rodadura sin deslizamiento del cilindro puede considerarse que es una sucesión de rotaciones puras en torno a la generatriz que en cada instante está en contacto con la superficie sobre la que se apoya y y que va cambiando continuamente. d) El cálculo de la velocidad del punto C no es tan inmediato en forma gráfica como en el caso de los puntos A y B debido a que = r`w Aplicando la fórmula obtenida para el punto P, C = 2 +r ' 2 ω 2 + 2 r 'ω cos ϕ [23.27] 23.2 Eje instantáneo de rotación El movimiento de rotación y traslación de un sólido rígido, como un cilindro o una esfera cuando ruedan sin deslizar, puede considerarse, como se ha indicado anteriormente, que es una sucesión de rotaciones puras, que, en el caso de un cilindro, tienen lugar en torno a la generatriz que en cada instante está en contacto con la superficie sobre la que se apoya y que va cambiando continuamente. amos a demostrar que el eje instantáneo de rotación tiene la propiedad de que si se une el centro instan - táneo de rotación I, con el origen del vector velocidad de cualquier punto, como el punto P del ejemplo 2, el segmento IP es perpendicular al vector velocidad. ω P ϕ/2 β ϕ/2 A B 2β β I FIG. 23-5 El ángulo formado por el segmento IP y el vector velocidad es la suma de los ángulos I P +P B +v [23.28] t El ángulo I P =I P = β, por ser isósceles el triángulo PI, ya que P =I = r El ángulo P A = 2β por ser un ángulo exterior del triángulo IP. El ángulo P B = 90 2β por ser rectángulo el triángulo PB. El ángulo = PA = 2β por ser sus lados respectivamente perpendiculares. El ángulo = = ϕ De las dos últimas relaciones se deduce que ϕ = 2β, y sustituyendo en [23.4] I P +P ϕ B + = β + 90º 2β + = β + 90º 2β + β = 90º 2 [23.29] De modo que el ángulo formado por el segmento IP y el vector velocidad es de 90º, y por tanto, el segmento IP es perpendicular al vector. En consecuencia, se puede considerar que la velocidad del punto P es la velocidad tangencial correspondiente a una rotación instantánea de radio IP en torno al punto I. La velocidad angular ω I de esta rotación instantánea se obtiene dividiendo la velocidad tangencial por el radio IP : ω I = IP [23.30]
23.6 aletos El módulo de la velocidad es siendo la velocidad tangencial del punto P = 2 + 2 + 2 cosϕ [23.31] y puesto que el cilindro rueda sin deslizar, es Sustituyendo en [23.31] vt = rω rω = = 2 + 2 + 2 cosϕ = 2 + 2 + 2 2 cos2β = 2 2 (1+ cos2β) = 2(1+ cos2β) [23.32] Por otra parte, y sustituyendo [23.33] en [23.32] A su vez, Sustituyendo [23.34] y [23.35] en [23.30] 1+ cos2β = 1+ cos 2 β sen 2 β = 1+ cos 2 β (1 cos 2 β) = 2cos 2 β [23.33] = 2(1+ cos2β) = 2 2cos 2 β = 2 cos β [23.34] IP = 2r cos β [23.35] ω I = 2 cos β = IP 2r cos β = r = ω [23.36] Es decir, La velocidad angular del cilindro en torno al eje instantáneo es igual a la velocidad angular en torno al eje que pasa por su centro geométrico. Y despejando, 2cos β, de [23.35] y sustituyendo en [23.34] = 2 cos β = IP r = ω IP [23.37] lo que nos indica que la velocidad del punto P puede considerarse como la velocidad tangencial de dicho punto correspondiente a una rotación instantánea de radio IP con una velocidad angular ω en torno al eje instantáneo que pasa por el punto I. Las relaciones [23.36] y [23.37] nos permiten, pues, considerar el movimiento de rotación y traslación sin deslizamiento del cilindro, como una sucesión de rotaciones puras en torno a un eje instantáneo, con la misma velocidad angular que la del movimiento de rodadura sin deslizamiento. El eje instantáneo de rotación es la generatriz que en cada instante está en contacto con la superficie sobre la que se apoya el cilindro y que va cambiando continuamente. La energía cinética del cilindro en un cierto instante, considerando su movimiento como la realización de una traslación y rotación, es: E c = 1 2 m 2 + 1 2 I ω2 = 1 2 m 2 + 1 2 1 2 mr 2 ω 2 = 1 2 m 2 + 1 4 m 2 = 3 4 m 2 [23.38] Y considerando su movimiento como una rotación pura en torno al eje instantáneo, es: E c = 1 2 I I ω2 [23.39] que, teniendo en cuenta el teorema de Steiner, se puede escribir en la forma E c = 1 2 (I + mr 2 )ω 2 = 1 2 (1 2 mr 2 + mr 2 )ω 2 = 1 2 3 2 mr 2 ω 2 = 3 4 m 2 [23.40] Las relaciones [23.38] y [23.40] confirman la equivalencia de las dos interpretaciones del movimiento del cilindro, como una traslación y rotación, o como una rotación pura en torno al eje instantáneo.
aletos 23.7 Si el sólido rígido es una esfera, es válido todo el razonamiento anterior, siendo el eje instantáneo de rotación la recta tangente a la circunferencia máxima en el punto de contacto con la superficie sobre la que rueda sin deslizar, que es perpendicular al plano en que tiene lugar el movimiento de su centro geométrico. 23.3 Cicloide Se denomina cicloide a la curva generada por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizar sobre una recta. Supongamos que la circunferencia de la figura es la sección recta de un cilindro de radio r, que rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal, y que comenzamos a contar el tiempo en el instante en que el punto de contacto de la circunferencia con la superficie horizontal es el punto P 1. Y C P 1 y x P 2 P 1 P 1 s FIG. 23-6 C A P 2 X amos a deducir la ecuación de la trayectoria del punto P 1 respecto de unos ejes fijos de coordenadas X y Y, con origen en el punto de la superficie horizontal. En el instante inicial el punto P 1 coincide con el origen de coordenadas, y el centro del cilindro se encuentra en la posición C sobre el eje de ordenadas. Al cabo de un tiempo t el cilindro habrá avanzado una distancia CC = s, y habrá girado un ángulo. El punto P 1 se encontrará en la posición P 1, y el punto P 2 pasará a ser el nuevo punto de contacto con la superfice horizontal en la posición P 2. En ese instante la abscisa x del punto P 1 es x =P " 1 =P ' 2 P " 1 P ' 2 = s P ' 1 A La distancia s es igual a la longitud del arco P 1 P 2 Por otra parte, si el ángulo se mide en radianes, P 1 P 2 = r De modo que, de [23.42] y [23.43] se deduce que s = r Y del triángulo P 1 AC se deduce que el segmento P 1 A es puesto que el cilindro rueda sin deslizar. [23.41] donde Sustituyendo [23.44] y [23.45] en [23.41] s = P 1 P 2 P ' 1 A = P ' 1 C ' sen = r sen x = r r sen = r ( sen ) La coordenada y del punto P 1 es el segmento P 1 P 1 : Y el segmento C A se deduce del triángulo P 1 AC y = P ' 1 P " 1 = AP ' 2 =C 'P ' 2 C 'A C ' P ' 2 = r [23.42] [23.43] [23.44] [23.45] [23.46] [23.47] [23.48] Sustituyendo [23.48] y [23.49] en [23.47] C 'A = r cos [23.49] y =C 'P ' 2 C 'A = r r cos = r(1 cos) Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del punto P 1 en función del parámetro son x = r ( sen ) y = r(1 cos) [23.50] [23.51]
23.8 aletos FIG. 23-7 Es una curva cíclica de altura 2r y periodo T = 2πr. La gráfica se ha dibujado para una circunferencia de radio r= 2 unidades. La ecuacion cartesiana se obtiene eliminando el parámetro entre las ecuaciones [23.25]: La primera de las ecuaciones [23-25] se puede escribir en la forma y de la segunda, operando y despejando cos x = r r sen y = r(1 cos) = r r cos r cos = r y cos = 1 y r [23.52] [23.53] De esta última ecuación se deduce que Despejando sen de la relación fundamental de trigomometría, = arc cos (1 y r ) [23.54] sen = ± 1 cos 2 = 1 (1 y r )2 = ± 1 (1 2 y r + y 2 r ) = ± 2 y 2 r y 2 r 2 Sustituyendo [23.54] y [23.55] en la primera de las [23.51], x = r r sen = r arc cos (1 y r ) r ±r 2 y r y 2 r 2 = r arc cos (1 y 2 ) 2ry y r [23.55] x = r arc cos (1 y 2 )± 2ry y r [23.56] ecuación que es válida para 0 y 2r. La cicloide tiene, entre otras, las siguientes propiedades: El área de la región de un bucle de cicloide es tres veces el área que encierra la circunferencia que la genera. La longitud de la cicloide es igual a cuatro veces el diámetro de la circunferencia generatriz.