Sistemas de Ecuaciones Lineales. Método de Reducción.

Sistemas de Ecuaciones Lineales. Método de Reducción. 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1

Índice 1 Introducción a los Sistemas de Ecuaciones Lineales... 4 1.1 Tipos de sistemas de ecuaciones lineales... 4 1.2 Discusión de un sistema... 5 2 Sistemas Equivalentes... 5 2.1 Cuándo son equivalentes dos sistemas?... 5 2.2 Criterios de equivalencia... 6 3 Resolución de Sistemas de Ecuaciones... 6 3.1 Sistemas de dos ecuaciones... 6 3.2 Sistemas de tres ecuaciones... 9 4 Ejercicios Aplicados al Mundo Laboral... 13 02 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

Introducción Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador. Por ejemplo 4x+2y+3z =6 es una ecuación lineal con tres incógnitas. Las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano. Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación gráfica es un plano en el espacio. Un conjunto de varias ecuaciones lineales forman un sistema de ecuaciones, y diremos que las ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones o geométricamente representan la misma ecuación en el plano. Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en casi todas las ciencias y en muchas situaciones de la vida real. Objetivos Estudiar los tipos de sistemas de ecuaciones lineales y su clasificación. Aprender a resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos y tres ecuaciones, por el método de reducción o método de Gauss. Aplicar los conocimientos adquiridos sobre sistemas de ecuaciones lineales, a problemas reales. 03 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

1 Introducción a los Sistemas de Ecuaciones Lineales 1.1 Tipos de sistemas de ecuaciones lineales En sistemas de ecuaciones lineales, los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes son números resales. a) Sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas ax + by = c a x + b y = c Representación gráfica: una ecuación lineal con dos incógnitas ax + by = c tiene por representación en el plano cartesiano una recta. Solución: la solución de este sistema de ecuaciones con 2 incógnitas son dos números reales S 1 y S 2 tales que al sustituir x por S 1 e y por S 2 se verifican a la vez las dos ecuaciones. Ejemplo: dado el siguiente sistema de ecuaciones con 2 incógnitas, comprobar que al sustituir las soluciones, se verifican las dos ecuaciones. Soluciones del sistema: S 1 =2 y S 2 =3 2x + 1y = 7 Sustituimos las soluciones S 1 =2 por x y S 2 =3 por y 2 2 + 1 3 = 7 3 2 + 2 3 = 12 Comprobamos que para las soluciones S 1 =2 por x y S 2 =3 por y se verifican las dos ecuaciones ya que para estos dos valores se cumplen las dos igualdades. b) Sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas ax + by + cz = d a x + b y + c z = d a x + b y + c z = d Representación gráfica: Una ecuación con tres incógnitas ax + by + cz = d tiene como presentación en el espacio cartesiano un plano. Solución: la solución de este sistema de ecuaciones con 3 incógnitas son tres números reales S 1 y S 2 y S 3 tales que al sustituir x por S 1 e y por S 2 y z por S 3 se verifican a la vez las tres ecuaciones. Ejemplo: dado el siguiente sistema de ecuaciones con 2 incógnitas, comprobar que al sustituir las soluciones, se verifican las dos ecuaciones. 04 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

Soluciones del sistema: S 1 =1, S 2 =2 y S 3 =3 2x + 2y + 2z = 12 3x + y + z = 8 x + 2y + 4z = 17 Sustituimos las soluciones S 1 =1 por x, S 2 =2 por y y S 3 =3 por z 2 1 + 2 2 + 2 3 = 12 3 1 + 2 + 3 = 8 1 + 2 2 + 4 3 = 17 Comprobamos que para las soluciones S 1 =1 por x, S 2 =2 por y y S 3 =3 por z se verifican las dos ecuaciones ya que para estos 3 valores se cumplen las dos igualdades. 1.2 Discusión de un sistema Discutir un sistema de ecuaciones consiste en estudiar las soluciones que pueden presentarse en él. Los sistemas que tienen solución se llaman compatibles - Si la solución es única, el sistema es compatible determinado. - Si tiene más de una solución, el sistema es compatible indeterminado. (podemos afirmar que un sistema compatible indeterminado tiene infinitas soluciones) Si un sistema no tiene solución, se dice que es incompatible. 2 Sistemas Equivalentes El concepto de sistemas de ecuaciones equivalentes entre sí y los criterios que permiten pasar de unos a otros son básicos para su resolución. 2.1 Cuándo son equivalentes dos sistemas? Dos Sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Dos sistemas equivalentes deben tener el mismo número de incógnitas, aunque no es necesario que tengan el mimo número de ecuaciones. Si en un sistema de ecuaciones se cambia el orden de las ecuaciones, el sistema resultante no solo es equivalente al inicial, sino que en esencia es el mismo. 05 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

2.2 Criterios de equivalencia Los criterios de equivalencia de sistemas utilizan dos operaciones: El producto de una ecuación por un número distinto de cero La suma o diferencia de ecuaciones Criterio del producto: si se multiplican los dos miembros de una ecuación de un sistema por un número distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al dado. Ejemplo 2x + 1y = 7 4x + 2y = 14 9x + 6y = 36 Los dos sistemas son equivalentes, la primera ecuación del segundo sistema está multiplicada por 2 y la segunda por 3 Este criterio se utiliza para conseguir que los coeficientes de una incógnita en dos ecuaciones sean iguales en valor absoluto. Criterio de la suma: si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo, resulta otro sistema equivalente al dado 2x + 1y = 7 5x + 3y = 19 Los dos sistemas son equivalentes, la primera ecuación del segundo sistema es la suma de las ecuaciones del primer sistema. Este criterio se utiliza para eliminar incógnitas en las ecuaciones, siempre que los coeficientes sean iguales en valor absoluto. La eliminación de incógnitas permite así pasar a un sistema con una incógnita menos. 3 Resolución de Sistemas de Ecuaciones 3.1 Sistemas de dos ecuaciones La suma de ecuaciones permite eliminar una incógnita en una de las ecuaciones, y obtener una ecuación de primer grado, siempre que los coeficientes de esa incógnita sean opuestos. Si no son iguales ni opuestos hay que multiplicar cada una de las ecuaciones por número adecuados para obtener un múltiplo de los coeficientes de esta incógnita. Ejemplos resueltos 1. Resolver el siguiente sistema. 2x + 1y = 7 06 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

1º Observamos el sistema: vemos si a simple vista podemos sumar o restar las ecuaciones de modo que se nos anule alguna incógnita. En este caso si sumamos o restamos las ecuaciones no se nos anula ningún término. 2º Aplicamos los criterios de equivalencia. Multiplicamos una ecuación por un número: si multiplicamos la primera ecuación por 2 4x + 2y = 14 3º Sumamos o restamos las ecuaciones: a continuación realizamos la resta de la primera ecuación menos la segunda podemos observar que la incógnita y se anula, quedando una ecuación lineal con una incógnita y que se resuelve de forma directa Luego x=2 4x + 2y = 14 ec1 ec2 = 1x = 2 4º Sustituimos en valor de la incógnita hallada: podemos sustituir el valor obtenido para la incógnita x en cualquiera de las dos ecuaciones y obtenemos el valor de y- Si x= 2 y sustituimos en la primera ecuación 5º Comprobamos el resultado: 4 2 + 2y = 14 2y = 14 8 y = 14 8 2 Siempre es conveniente comprobar que los resultados obtenidos son los correctos. Para comprobar los resultados podemos sustituir las soluciones obtenidas para x e y en la ecuación que no hemos usado, en este caso la segunda ecuación. = 3 Sustituimos por x=2 e y=3 3 2 + 2 3 = 12 2. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones 3x 2y = 6 9x + 4y = 108 1º Observamos el sistema: a simple vista sumar o restar las ecuaciones no nos garantiza que una de las incógnitas se elimine. 07 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

2º Multiplicamos una ecuación por un número: en este caso multiplicamos la primera ecuación por 3. 9x 6y = 18 9x + 4y = 108 3º Sumamos o restamos las ecuaciones: en este caso a la primera ecuación le restamos la segunda- Luego y=9 9x 6y = 18 ec1 ec2 = 0x 10y = 90 9x + 4y = 108 0x 10y = 90 y = 90 10 = 9 4º Sustituimos en valor de la incógnita hallada: sustituimos y=9 por ejemplo en la segunda ecuación y obtenemos el valor de x. 5º Comprobamos el resultado: 9x + 4y = 108 9x + 4 9 = 108 9x = 108 36 x = 108 36 9 Sustituimos los valores de las incógnitas x=8 e y=9 en la primera ecuación y vemos si se cumple la igualdad. 9x 6y = 18 = 8 9 8 6 9 = 72 54 = 18 08 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

3.2 Sistemas de tres ecuaciones La suma o diferencia de ecuaciones permite eliminar una incógnita y obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Para ello se eligen dos pares de ecuaciones de los tres posibles 1ªecuación ± 2ªecuación, 1ªecuación ± 3ªecuación 2ªecuación ± 3ªecuación 1º Paso. Elegidas las dos parejas de ecuaciones más adecuadas se elimina la misma incógnita en ambas. El proceso es igual que el seguido para dos ecuaciones. 2º Paso. El sistema parcial de dos ecuaciones con dos incógnitas que se obtienes se resuelve utilizando de nuevo el método de reducción al igual que hemos resuelto los sistemas de dos ecuaciones. 3º Paso. Conocidas dos incógnitas se halla la tercera sustituyendo estos valores en una de las ecuaciones dadas. Ejemplos resueltos. 1º Resolver el siguiente sistema: x + y 2z = 9 2x y + 4z = 4 2x y + 6z = 1 1º Paso: elegimos dos pares de ecuaciones de los tres posibles. En este caso eliminamos la incógnita y eligiendo las ecuaciones 1ª ecuación + 2ª ecuación 1ª ecuación +3ª ecuación x + y 2z = 9 2x y + 4z = 4 1ªec + 2ªec = 3x + 0y + 2z = 13 1ªec + 2ªec = x + y 2z = 9 2x y + 6z = 1 3x + 0y + 4z = 8 Del resultado de estas operaciones hemos obtenido un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que ya sabemos resolver. 2º Paso. Resolvemos el sistema de dos ecuaciones. -Observamos a simple vista si sumando o restando las ecuaciones podeos eliminar alguna incógnita. 09 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

-Si no se da el caso anterior multiplicamos una de las ecuaciones por un número de manera que el resultado nos dé una ecuación equivalente que nos permita sumarla o restarla a la otra ecuación dada para eliminar alguna incógnita. 3x + 2z = 13 3x + 4z = 8 En este caso podemos restar la 1ª ecuación - 2ª ecuación y eliminamos la incógnita x 3x + 2z = 13 1ªec 2ªec = 3x + 4z = 8 = 2z = 5 Luego podemos obtener el valor de z 2z = 5 z = 5 2 Conocida la incógnita z podemos obtener el valor de la incógnita x sustituyendo el valor de z en una de las dos ecuaciones anteriores. Por ejemplo en la segunda ecuación 3x + 4z = 8 3x + 4 ( 5 2 ) = 8 x = 18 3 = 6 x = 6 3º Paso. Conocidas dos incógnitas hallamos la tercera por sustitución. volvemos a escribir el sistema de ecuaciones inicial (el que nos proporciona el enunciado). x + y 2z = 9 2x y + 4z = 4 2x y + 6z = 1 Sustituimos los valores de x y z que ya conocemos, en una de las tres ecuaciones. Por ejemplo en la 1ª ecuación. x + y 2z = 9 6 + y 2 ( 5 2 ) = 9 6 + y + 5 = 9 y = 2 010 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

Las soluciones para este sistema son : x = 6, y = 2, z = 5 2 Comprobación: Para comprobar que el sistema está bien resuelto, sustituimos los valores de las soluciones y verificamos que se cumplen las tres igualdades. 6 + ( 2) 2 ( 5 2 ) = 9 2 6 ( 2) + 4 ( 5 2 ) = 4 2 6 ( 2) + 6 ( 5 2 ) = 1 2 Resolver el siguiente sistema: x + y + z = 2 2x + 3y + 5z = 11 x 5y + 6z = 29 1º Paso: elegimos dos pares de ecuaciones de los tres posibles. En este caso vamos a elegir las siguientes: 2 * (1ª ecuación) - 2ª ecuación 1ª ecuación - 3ª ecuación Nota: a la 1ª ecuación la multiplicamos por 2 para que al restarla la 2ª eliminemos una incógnita. 2x + 2y + 2z = 4 (2x + 3y + 5z) = (11) 1ªec 2ªec = 0x y 3z = 7 x + y + z = 2 (x 5y + 6z) = 29 1ªec 3ªec = 6y 5z = 27 2º Paso: Resolvemos el sistema de dos ecuaciones que hemos obtenido. y 3z = 7 6y 5z = 27 Multiplicamos la 1ª ecuación por 6 y a continuación sumamos la 1ª ecuación + 2ª ecuación para eliminar la incógnita y. 6y 18z = 42 1º ec + 2ºec = 23z = 69 6y 5z = 27 011 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

23z = 69 z = 69 23 = 3 3º Paso: Conocido el valor de z sustituimos en una de las ecuaciones del sistema de dos ecuaciones y obtenemos el valor de y. Por ejemplo en la 1ª ecuación y 3z = 7 y 3 3 = 7 y = 2 Conocido el valor de z y de y, sustituimos los valores en una de las ecuaciones del sistema inicial y obtenemos el valor de x. x + y + z = 2 2x + 3y + 5z = 11 x 5y + 6z = 29 Por ejemplo en la 1ª ecuación que es la más sencilla. x + y + z = 2 x 2 + 3 = 2 x = 1 Las soluciones del sistema son x=1 y=-2 z=3. Si queremos cerciorarnos de que el sistema está bien resuelto, sustituimos estos valores en el sistema de ecuaciones y comprobamos si se cumplen las igualdades. x + y + z = 2 2x + 3y + 5z = 11 x 5y + 6z = 29 para x = 1, y = 2 z = 3 1 2 + 3 = 2 2 1 + 3 ( 2) + 5 3 = 11 1 5 ( 2) + 6 3 = 29 Podemos concluir que el sistema está bien resuelto pues para los valores obtenidos de x y z, se cumplen las tres ecuaciones. 012 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

4 Ejercicios Aplicados al Mundo Laboral Ejercicio 1 Una aseguradora ofrece 2 tipos de productos: seguro para coches y un seguro para motos. Eduardo ha conseguido vender 1 seguro de coche y 1 seguro de moto en el mes de Abril de este año, por un importe de 7um. Patricia ha vendido 2 seguros de coche y 3 seguros de moto por un importe de 19um. a) Cuánto cuesta contratar un seguro de coche? y un seguro de moto? b) Si su compañero Hugo, vende 5 seguros de coche y 2 seguros de moto, Qué Solución resultado económico debe obtener por estas ventas? a) Cuánto cuesta contratar un seguro de coche? y un seguro de moto? Vamos a denominar x al seguro de coches e y al de motos. Para resolver el ejercicio planteamos el siguiente sistema de ecuaciones- Resolvemos por reducción. x + y = 7 2x + 3y = 19 Para resolver por reducción primero vamos a obtener un sistema equivalente aplicando el criterio de equivalencia del producto, y multiplicamos la primera ecuación por 2 Sistema equivalente x + y = 7 2x + 3y = 19 2x + 2y = 14 2x + 3y = 19 Resolvemos el sistema, primera ecuación menos segunda ecuación. 2x + 2y = 14 2x 3y = 19 y = 5 y = 5um Obtenemos el valor de x, para ello sustituimos en una de las dos ecuaciones del sistema inicial, por ejemplo en la primera. x + y = 7 x + 5 = 7 013 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

x = 2um b) Si su compañero Hugo, vende 5 seguros de coche y 2 seguros de moto, Qué resultado económico debe obtener por estas ventas? Si vende 5 seguros de coche sabiendo que cada seguro de coche es 2um y 2 seguros de moto sabiendo que cada seguro de moto es 5um, entonces obtendrá el siguiente resultado. Ejercicio 2 5x + 2y =? 5 2 + 2 5 = 20um Una fábrica textil que extiende su negocio al mercado internacional, suministra su producto a tres empresas textiles A,B,C situadas en diferentes puntos del mundo. Para hacer llegar el producto a cada una de las empresas textiles, en cada ruta se usan tres medios de transporte, Barco =x Tren=y y camión=z. Para la ruta A, es necesario recorrer 8.000km en Barco 400km en tren y 200km en camión. y el importe total por el transporte asciende a 1.622.000um Para la ruta B, es necesario recorrer 4000km en Barco 700km en tren y 200km en camión por un importe de 8310um Para la ruta C es necesario recorrer 4000km en Barco, 200km en tren y 50km en camión. En este caso el importe es de 8110um Cuánto cuesta el km en cada medio de transporte? 8000x + 400y + 200z = 58.200um 4000x + 700y + 200z = 31.700um 4000x + 200y + 50z = 29.050um Resolvemos el sistema por reducción: Podemos multiplicar la ruta B por x y realizar Ruta A-Ruta B 8000x + 400y + 200z = 58.200um 8000x + 1400y + 400z = 63.400um 4000x + 200y + 50z = 29.050um 8000x + 400y + 200z = 58.200um 8000x 1400y 400z = 63.400um 1000y 200z = 5. 200 Para obtener la siguiente ecuación simplificada, podemos hacer Ruta B - Ruta C 4000x + 700y + 200z = 31.700um 4000x 200y 50z = 29.050um 500y + 150z = 2. 650 014 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

De esta forma tenemos un sistema simplificado que también resolveremos por reducción. 1000y 200z = 5. 200 500y + 150z = 2. 650 Multiplicamos por 2 la segunda ecuación y Sumamos las dos ecuaciones. 1.000y 200z = 5.200 1.000y + 300z = 5.300 1000y 200z = 5.200 1000y + 300z = 5.300 100z = 100 z = 100 100 = 1um Sustituimos el valor de z en una de las ecuaciones y obtenemos el valor de y. 500y + 150z = 2.650 500y + 150 1 = 2.650 y = 2.500 500 = 5um Conocido el valor de z y de y obtenemos el valor de x sustituyendo en una de las ecuaciones del sistema inicial. Por ejemplo en la tercera ecuación: Solución: 4000x + 200y + 50z = 29.050 4000x + 200 5 + 50 1 = 810.500um x = 28.000 4000 = 7um Por cada km que recorre en avión supone un coste de 7um cada km recorrido en tren supone un coste de 5um y cada km recorrido en camión supone un coste de 1um. 015 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016