Introducción Ejemplo de informe: Péndulo simple Se trata de medir la aceleración de la gravedad mediante un péndulo simple. Para oscilaciones pequeñas, el periodo T viene dado [véase cualquier libro de Física General] por la longitud del péndulo l y la aceleración de la gravedad g: T = π Así pues, midiendo T y l podremos determinar g: g = 4π l g l T (Ecuación 1) (Ec. ) Además, lo haremos para varias longitudes l para comprobar que efectivamente se cumple la ley usada.
Metodología Como el error relativo, tanto de la longitud l como del periodo T, disminuye al aumentar l, dejamos que el péndulo sobresalga por el borde de la mesa, para que pueda llegar hasta el suelo. Como el corcho de las pletinas, que aprietan y soportan el hilo, está desgastado, el punto exacto de suspensión tiene más error. Por ello hemos insertado unas placas rígidas de plástico, con un borde bien afilado, y hemos medido la longitud del hilo hasta ese borde. Como es menos preciso medir la longitud desde el centro de la bola (donde está su centro de masas), lo hacemos desde su parte superior (con una cinta métrica) y le sumamos la mitad de su diámetro d, medido con un calibre. Como la precisión del calibre es mucho mayor, despreciamos el error en d. Para eliminar un posible error sistemático en la calibración de la cinta métrica, medimos una longitud (la mayor) con tres cintas distintas. Como obtenemos el mismo resultado, en mm, consideramos como error estimado l = 1 mm (la sensibilidad de la cinta). La sensibilidad del cronómetro es de 0.01s, pero la desviación típica de las medidas es bastante mayor, por lo que tomamos ésta como error de tiempo.
Diámetro de la bola: d = 0.1 ± 0.1 mm Medidas Medimos la longitud del hilo, desde la parte superior de la bola, y le sumamos el radio de ésta (10 mm). Para cada una de cuatro longitudes l, medimos la duración t de 10 oscilaciones y repetimos la medida 5 veces. Tenemos siempre cuidado de que las oscilaciones sean pequeñas (de unos 5 cm de amplitud). Datos medidos ( crudos ) Datos derivados l(mm) Duración t de 10 oscilaciones (s) t t T (s) T (s) 07+10 9.47, 9.41, 9.48, 9.40, 9.49 9.45 0.0 0.945 0.00 409+10 13.15, 13.04, 1.95, 13.01, 13.09 13.05 0.03 1.305 0.003 773+10 17.66, 17.65, 17.7, 17.66, 17.70 17.68 0.01 1.768 0.001 944+10 19.50, 19.63, 19.63, 19.64, 19.54 19.59 0.03 1.959 0.003
Resultados Como primer tratamiento más sencillo, utilizamos la ecuación para obtener el valor de g para cada longitud l. Para l = 954 mm: 0.954m g = 4π = 9.814m/s (1.959s) g = l T + = 1mm 954mm 0.003s 1.959s = 0.001+ 0.003 g l T Donde podemos ver que para mejorar la precisión de g deberíamos sobre todo disminuir el error de T. Ahora g = 0.004 9.814m/s = Repitiendo lo mismo para todos los valores de l obtenemos l (m) 0.17 0.419 0.783 0.954 g (m/s ) 9.59 ± 0.07 9.71 ± 0.05 9.89 ± 0.07 9.81 ± 0.04 Si sacamos la media de los valores y su desviación típica: g = 9.75 ± 0.06 m/s (valor medido, método 1) + 0.04m/s
Resultados (cont.) Alternativamente, ajustamos los datos de l frente a t con una recta que pase por el origen. Su pendiente, multiplicada por 4π, debe ser g. La gráfica está en la página siguiente. Del ajuste (realizado mediante un paquete estadístico estándar) obtenemos una pendiente de p = 0.49 ± 0.00 m/s y un valor de g = 4π p = 9.83 ± 0.07 m/s (valor medido, método ) El valor esperado para Madrid lo obtenemos del Handbook of Chemistry and Physics (ver apéndice): Latitud = 40 o 6 N, Altura = 700 m => g = 980.171 + (980.61-980.171)*6/60 + 0.160 cm/s = = 9.804 m/s (valor esperado)
Gráfica de l frente a T 1.0 0.8 0.6 l (m) 0.4 0. l = 0.49 m/s T 0.0 0 1 3 4 T (s )
Discusión y comentarios El valor medido tiene un error de sólo un 0.3-0.5% con respecto al esperado, dependiendo del método usado para procesar los datos. Esta discrepancia está dentro del error experimental estimado del ~0.7%. Además, hemos verificado la ecuación, que se cumple con gran precisión. Una posible fuente de error es que la masa del hilo eleve la posición del centro de masas del conjunto bola-hilo y disminuya la longitud efectiva l. Para hacer un tratamiento riguroso de este efecto debemos considerar la teoría del péndulo físico [ver, por ejemplo P.A.Tipler, Física General]. Pero podemos hacer una estimación sencilla de la magnitud del efecto: Masa medida de la bola: m b = 15.5 g Masa medida del hilo: m h = 0. g => l/l = ((m h l/)/(m b + m h )) / l m h / m b = 8 10-4 Que es comparable al error de medida de 1mm / 1m = 10-3 De todas formas, hemos visto que la mayor fuente del error g proviene de la medida del periodo, que podríamos haber mejorado midiendo más oscilaciones.
Sugerencias Para aumentar aún más la longitud del péndulo, y disminuir así el error relativo de la medida, convendría disponer de una barra de soporte más larga, o de una forma de colgarlo del techo. Para disminuir el error debido a la masa del hilo, y también para disminuir el efecto del rozamiento (aumentando la fuerza de la gravedad con respecto a éste), convendría aumentar la masa de la bola.
Apéndice: tabla de g en la Tierra Fuente: Handbook of Chemistry and Physics, edición 71 (1990-91). Pag. 14-7