CAPITULO I MARCO TEORICO O CONCEPTOS BASICOS

CAPITULO I MARCO TEORICO O CONCEPTOS BASICOS

CAPITULO I MARCO TEORICO O CONCEPTOS BASICOS 1.1. MODELO DE SOLOW-SWAN 1.1.1 Definición Siguiendo las reflexiones y resultados logrados por Harrod y Domar (H-D), Solow y también Swan (en particular el primero), desarrollan un modelo con flexibilidad tecnológica en el que es posible la sustitución de capital por trabajo y viceversa, para lograr el mismo nivel de producto. Solow (2000) sostiene que esta flexibilidad tecnológica permitió corregir los principales problemas del modelo. Esto es, primero, el que hubiera una sola trayectoria estable de crecimiento y que estar en ella fuera un evento fortuito. El segundo, es que la tasa de crecimiento a lo largo de la trayectoria estable, fuera proporcional a la tasa de ahorro. En el modelo de Solow, la tasa de ahorro no tiene ningún efecto sobre la tasa de crecimiento de largo plazo. El modelo neoclásico de crecimiento es también conocido como de Solow y Swan, pero no porque lo hayan escrito en colaboración, sino porque ambos, separadamente, escribieron modelos similares en el mismo período. Este es un modelo relativamente sencillo en el que, por ejemplo, las decisiones de consumo de las familias, que se resumen en la tasa de ahorro, aparecen como un dato que resulta exógenamente determinado, con un valor estable y fijo como ocurriría en el largo plazo o steady state. Las decisiones de inversión son tomadas

siguiendo el criterio de dedicar a la inversión todo aquello que no es consumido, luego de descontar la depreciación. La función de producción, Y = F (K, L) es homogénea de grado 1, tiene rendimientos marginales decrecientes y rendimientos constantes a escala (RCE), y cumple las condiciones de In ada. Esta función puede ser escrita en términos per-cápita como Y = L F (K/L, 1), de donde obtenemos: Este modelo supone que la economía está en equilibrio con pleno empleo. Por esto, la condición básica es que el ahorro es igual a la inversión bruta. Tenemos que en equilibrio el ahorro total igual a la inversión total o inversión bruta. Esta inversión es inversión neta mas inversión de reposición. La inversión neta es el cambio en el stock de capital, mientras que la de reposición iguala a la depreciación. Por esto, que puede ser reescrita como Luego, dado el supuesto de rendimientos constantes a escala, y dividiendo toda esta expresión entre L, podemos expresar esta ecuación en términos per cápita con la ayuda del álgebra,

Pero, como, entonces podemos escr la ecuación es la ley de movimiento de la acumulación del capital per-cápita. Los términos, n, representan respectivamente la tasa de depreciación y la tasa exógena de crecimiento de la población. La ecuación es representada por el conocido gráfico que sigue. Para cualquier k < k*, el producto total es la suma de (a + b + c). La distancia a corresponde a la parte del producto que tiene que ser destinada a la depreciación y para mantener constante el capital per-cápita. La distancia b corresponde a la parte del producto que es destinada a inversión neta, es decir, a incrementar el capital per-cápita. En consecuencia, ( a + b) constituye el ahorro. La distancia c corresponde a la parte del producto destinada al consumo per-cápita. El nivel de capital indicado como k* es el stock de capital percápita en el estado estacionario. En términos matemáticos podemos hallar k*, sabiendo que en el estado estacionario el stock de capital per-cápita permanece constante y es igual a cero. En este caso, hacemos.

El lado izquierdo puede escribirse también como. Como el lado derecho de esta ecuación está constituido por parámetros podemos afirmar que, en el estado estacionario tanto el producto como el capital crecerá a la misma tasa. Además, existirá un valor único de k = k* que la resuelva. La existencia de un estado estacionario en el que el stock de capital per-cápita permanece constante, es decir, en el que el stock de capital crece a la misma tasa en que crece la población, es una consecuencia de haber asumido una función de producción con rendimientos constantes a escala, que tiene rendimientos marginales decrecientes. El que se llegara a un estado estacionario con k* constante, podría hacer pensar que este modelo predeciría que todas las economías deberían convergir a un mismo e igual nivel de producto per-cápita, creciendo más rápidamente aquellas economías con menor nivel de stock de capital inicial hasta alcanzar a aquellas que empezaron con un nivel mayor. Sin embargo, esto no es así necesariamente. Tal como se puede apreciar en la ecuación (1), variaciones en s, ó n pueden hacer que los stocks de capital per-cápita y, en consecuencia, los niveles de producto per-cápita en el estado estacionario sean diferentes para distintas economías. Por lo tanto, en general, el modelo neoclásico no predice que todas las economías convergirán a un mismo nivel de producto e ingreso. Sin embargo, para economías con iguales funciones de producción e iguales parámetros, sí es cierto que la predicción del modelo es que convergirán a iguales niveles de producto y capital percápita. Esto se llama convergencia condicional. En el estado estacionario todas las economías crecerían a la misma tasa que, si no consideramos la eficiencia del trabajo o

la tecnología, será igual a cero. Sin embargo, dependiendo de sus niveles de s y/o n, podrán alcanzar diferentes niveles de capital per cápita, k*, con lo que podrán tener diferentes niveles de ingreso, f(k*). Los países mas ahorradores no crecerán, en el largo plazo, a tasas mayores que los países menos ahorradores, sin embargo, serán más ricos. 1.1.2 Supuestos relacionados con la función de producción Por lo que se refiere a la función de producción, la hipótesis básica del modelo es que esta exhibe rendimientos constantes a escala en sus dos factores, capital y trabajo. Esto significa que si se duplica la cantidad de capital y de trabajo efectivo (por ejemplo, si K y L se doblan, manteniéndose constante A), el nivel de producción también se duplica. En términos más generales, si multiplicamos ambos argumentos por una constante positiva c, el nivel de producción se multiplica por ese mismo factor: (, ) = (, ) Para todo c 0 Esta hipótesis resulta de la combinación de dos supuestos. El primero de ellos es que la economía es ya suficientemente grande como para que las ganancias derivadas de la especialización se hayan agotado. En una economía muy pequeña, las posibilidades de una mayor especialización implican normalmente que la producción aumente en mayor proporción que las cantidades incrementadas de capital y trabajo. El modelo de solow supone, sin embargo, que la economía esta lo suficientemente desarrollada como para que las cantidades adicionales de factores incorporadas al proceso productivo sean explotadas de la misma manera que las ya existentes, de modo que el nivel de producción crece exactamente en la que lo hacen aquellos.

El segundo supuesto es que los factores productivos que no son el capital, el trabajo y la tecnología, en particular la tierra y los recursos naturales, son relativamente irrelevantes. Si los recursos naturales fueran importantes, un aumento de las cantidades de capital y de trabajo podría provocar un incremento de la producción menor que proporcional. En la práctica no parece que la escasez de recursos naturales constituya una restricción importante para el crecimiento económico, de modo que la hipótesis de rendimientos constantes de capital y el trabajo parece razonable. El supuesto de rendimientos constantes a escala nos permite operar con una función de producción intensiva. Si definimos c =1/AL, la función de producción se puede expresar como:, 1 = 1 (, ) En esta expresión, / es la cantidad de capital por unidad de trabajo efectivo y (, )/ es /, es decir, el producto por unidad de trabajo efectivo. Si definimos ahora = /, = / y ( ) = (, 1), podemos reescribir, 1 = 1 (, ) Como: = ( ) Es decir, expresar al producción por unidad de trabajo efectivo como una función de capital por unidad de trabajo efectivo. Estas dos nuevas variables, e, no nos importan por sí mismo, sino como instrumentos para entender el comportamiento de las variables que nos interesan. Como tendremos ocasión de comprobar, es más fácil analizar el modelo partiendo de que

examinando directamente el comportamiento de los dos argumentos de la función de producción, y. Así, por ejemplo, analizaremos el comportamiento de la producción por trabajador /, expresando esta como ( / ) o como ( ), y determinando luego el comportamiento de y de. Para comprender de forma intuitiva que hay tras la ecuación = ( ), imaginemos nuestra economía hipotética dividida en economías de menor tamaño, cada una de las cuales dispone de una unidad de trabajo efectivo y / unidades de capital. Dado que la función de producción presenta rendimientos constantes a escala, cada una de estas economías produce una fracción 1/AL de lo que produciría la economía indivisa de mayor tamaño. Por consiguiente, el volumen de producción por unidad de trabajo efectivo depende exclusivamente de la cantidad de capital por unidad de trabajo efectivo, y no del tamaño total de la economía. Esto lo expresa matemáticamente la ecuación = ( ). El modelo supone que la forma intensiva de al función de producción, ( ), satisface que (0) = 0, ( ) > 0 y ( ) < 0. Como (, ) es igual a ( / ), la productividad marginal del capital, (, )/, es igual a ( / )(1/ ) que es simplemente ( ). Por lo tanto el supuesto de que ( ) es positivo y ( ) negativo implica que la productividad marginal del capital es positiva, pero que disminuye a medida que la cantidad de capital (por unidad de trabajo efectivo) aumenta. Se supone, además que ( ) satisface las condiciones de Inada (Inada, 1964): lim ( ) = y lim ( ) = 0. Estas condiciones (mas extremas de las que se necesitan para obtener los resultados principales del modelo) nos dicen que la productividad marginal del capital es elevada cuando el stock de capital es lo suficientemente pequeño y que se vuelve muy pequeña a medida que este aumenta, y su justificación estriba en

que permiten garantizar que la evolución de al economía no sea divergente. Ejemplo de una función de producción, 0< α <1 El grafico muestra una función de producción que satisface >0 y <0 y las condiciones de Inada. Un ejemplo concreto de función de producción es la función Cobb- Douglas: 1.1.3 La evolución en el tiempo de los factores de producción El resto de los supuestos del modelo se refieren a como varían a lo largo del tiempo las cantidades de trabajo, capital y tecnología. El modelo presupone que el tiempo es continuo, es decir, que las variables incluidas en él están en todos y cada uno de los momentos. Las dotaciones iníciales de capital, trabajo y tecnología se suponen dadas. El trabajo y la tecnología crecen a tasas constantes.

Donde n y g son parámetros exógenos y los puntos sobre las variables indican una derivada con respecto al tiempo; es decir, ( ) es una forma abreviada de expresar ( )/. La tasa de crecimiento de una variable es su tasa de cambio proporcional, es decir, la expresión tasa de crecimiento de X no es sino el valor ( )/ ( ). Por lo tanto la ecuación ( ) = ( ) implica que la tasa de crecimiento de L es constante e igual a n, y la ecuación ( ) = ( ) implica que la tasa de crecimiento de A es constante e igual a g. Un dato esencial sobre las tasa de crecimiento es que la tasa de crecimiento de una variable es igual a la tasa de crecimiento de su logaritmo natural. Es decir, ( )/ ( ) es igual a ln ( ) /. Para comprobarlo, nótese que como ln es una función de X y X es una función de t, podemos utilizar la regla de la cadena para escribir ln ( ) = ln ( ) ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) Si aplicamos este resultado a las ecuaciones ( ) = ( ) y ( ) = ( ), tenemos que las tasas de cambio de los logaritmos de y son constantes e iguales a n y g, respectivamente. Así pues, ln ( ) = [ln (0)] + ln ( ) = [ln (0)] + Donde (0) y (0) son los valores que adoptan y en el periodo 0. Si elevamos a sus correspondientes exponentes ambos lados de estas ecuaciones, tendríamos:

( ) = (0) ( ) = (0) Por lo tanto, nuestra hipótesis es que tanto como crecen exponencialmente. La producción se destina al consumo o a la inversión. La proporción del producto destinada a la inversión, s es exógena y constante: es decir, la inversión de una unidad de producción genera una unidad nueva de capital. Además, el capital existente se desprecia a una tasa δ. Por consiguiente: ( ) = ( ) ( ) Aunque n, g y δ no están sometidas a ninguna restricción de manera individual, su suma se supone positiva. Con esto hemos completado la descripción del modelo. Como este es el primer modelo de los ( muchos!) que vamos a examinar, no está demás detenernos en ciertos aspectos de la modelización. El modelo de Solow constituye una simplificación extrema en varios sentidos. Por mencionar solo algunos ejemplos, considera solo un bien, prescinde del papel del estado a la economía, ignora las fluctuaciones del empleo, describe la producción a través de una función donde solo intervienen tres factores, y las tasas de ahorro, depreciación, crecimiento de la población y progreso tecnológico se suponen constantes.

Es lógico pensar que estos son defectos del modelo: el modelo esta prescindiendo de muchas características obvias del mundo real, alunas de las cuales son sin duda importantes para explicar el crecimiento económico. Sin embargo, el modelo no pretende ser realista. Al fin al cabo, ya poseemos un modelo que absolutamente realista: la realidad misma; el problema es que es un modelo muy difícil de interpretar. El objetivo de un modelo es destacar ciertas características concretas de la realidad. Si sus supuestos simplificadores llevan al modelo a proporcionar respuestas incorrectas a las preguntas que pretendía dar respuesta, entonces la falta de realismo puede ser efectivamente un defecto (aunque, incluso en este caso, la simplificación puede resultar una referencia útil, porque muestra claramente los efectos de aquellas características en un marco ideal). Pero si esto no ocurre, entonces la falta de realismo se convierte en una virtud: al aislar exclusivamente los efectos que nos interesan, la simplificación hace que sean más fáciles de entender. El modelo de Solow con cambio tecnológico ahorrador de trabajo Como sabemos, este cambio tecnológico opera haciendo como si la cantidad de trabajo hubiera aumentado. Si consideramos la existencia de este tipo de cambio, podemos escribir la función de producción considerando la cantidad de trabajo en términos de trabajo efectivo, Y = F(K, AL). La ecuación no se modificaría, aunque ahora

Son el nivel de capital y producto por trabajador efectivo, respectivamente. Por un procedimiento semejante al que nos llevó a la ecuación podemos obtener que ya incluye la tasa de cambio tecnológico exógeno, x. No olvidar que, en la ecuación, el términoya no indica solamente el capital per-cápita, sino el capital por trabajador efectivo. Como la tasa de crecimiento del trabajo efectivo, AL, es ( n + x), el resultado es que el stock de capital expresado en unidades de trabajador efectivo va a disminuir con el cambio tecnológico que aumenta la eficiencia del trabajo. La siguiente ecuación adicional del stock de puede expresarse ahora con un determinante Capital por trabajador efectivo en el estado estacionario, el término es Como entonces.por lo tanto, cuando =0 Obtenemos. la Tecnología. Es decir el capital per cápita crece a la tasa que crece

A partir de la ecuación, diferenciándola totalmente con respecto al ahorro, s, y al capital por trabajador efectivo, k, puede mostrarse, para una función que cumpla con las condiciones de Ianda, que en el estado estacionario este stock de capital será mayor cuanto mayor sea la tasa de ahorro, y será menor cuanto mayor sea el valor de los parámetros que se encuentran en el numerador. Cuando consideramos, en vez de la función de producción genérica que hemos venido utilizando, una función específica de la forma Cobb- Douglas,. obtenemos que En la ecuación puede verse claramente que el stock de capital por trabajador efectivo disminuirá con la tasa de cambio de la tecnología indicada por x, así como con la tasa de depreciación y con la tasa de crecimiento de la población. Este resultado es casi tautológico, y es consecuencia de la misma definición de capital por trabajador efectivo. De la misma ecuación puede derivarse que la tasa de crecimiento del capital por trabajador efectivo en el tiempo es

Considerando que y que α<1 podemos escribir el resultado previo como ; Capital por trabajador efectivo K: capital per cápita Se muestra que el stock de capital por trabajador efectivo crecerá a lo largo del tiempo junto con la tasa de crecimiento de la tecnología o eficiencia y disminuirá con la tasa de crecimiento del capital per-cápita, tal como se observa en la ecuación Es decir, el aumento en el stock de capital per-cápita tiende a reducir la tasa de acumulación del capital por trabajador. Sin embargo, tal como se ve en la ecuación (7) y como lo mostramos más abajo en la ecuación (8), mejoras en la eficiencia del trabajo pueden contrarrestar ese efecto. La razón de esto es que el aumento en la eficiencia del trabajo actúa como si incrementara el número de trabajadores, lo cual aumenta la productividad marginal del capital por trabajador efectivo. Para la llegada del estado estacionario es necesario que el stock de capital per cápita crezca a una tasa menor o igual a la del cambio tecnológico, pero la llegada de ese estado se postergará mientras la tasa de crecimiento de la eficiencia sea mayor que la tasa de crecimiento del capital per cápita. Este efecto global puede desagregarse algo más observando la relación entre el Producto Marginal del capital y la eficiencia del trabajo en la producción (A).

Entonces, por un lado, como es conocido, el aumento del stock de capital por trabajador efectivo reduce su producto marginal, mientras que por el otro, tal como se ve el aumento de la eficiencia del trabajo, A, contrarresta ese efecto aumentando el producto marginal del capital. Este resultado se obtiene cuando usamos una función de producción genérica que cumpla con las condiciones de Inada. Aplicación práctica del modelo de Solow - La contabilidad del crecimiento Solow emplea una función de producción Y=AF(K, L). Aplicando logaritmos a esta función, obtenemos diferenciándola nos da que, Que puede presentarse como que dice que la tasa de crecimiento del producto puede explicarse por la suma de la tasa de crecimiento del cambio tecnológico mas la tasa de crecimiento del stock de capital, ponderada por su participación porcentual en el producto, mas la tasa de crecimiento de la fuerza

de trabajo, ponderada también por su participación porcentual en el producto. Es decir, la tasa de crecimiento del producto es explicada por la tasa de crecimiento de todos los factores, incluyendo el cambio tecnológico, que intervienen en su producción. La serie de datos para esta ecuación o están disponibles o pueden ser construidos con relativa facilidad. La única dificultad se presenta con los datos para el cambio tecnológico. Solow salió de este problema calculándolo como residuo, A esto se le conoce como la contabilidad del crecimiento o growth accounting. Como en el modelo de Solow el cambio tecnológico es exógeno, no es explicado por el modelo, no fue posible dar el paso para hallar las causas que lo producen. Esta última tarea, a la que se conoce como growth regressions, recién pudo ser abordada luego del desarrollo de los modelos de crecimiento endógeno. Las predicciones del modelo de Solow en la versión de MRW Una presentación que facilita la aplicación práctica de esta propuesta de MRW es la que aparece en su propio texto, MRW (1992). Aquí se formula la función de producción tipo Cobb- Douglas, efectivo que la podemos escribir en términos de trabajo

Asumiendo que las tasa de depreciación son iguales para el capital físico y para el capital humano, y que el mismo producto Y, sirve para producir ambos capitales, podemos escribir en términos de trabajo efectivo En el estado estacionario Sustituyendo cada uno en el otro, obtenemos Asumiendo que

Aplicando logaritmo neperiano obtenemos: * h O K * O O s* h* ( n ) h * ( n ) h* s* h* s* ( n ) h * k * s * ( n ) h * h

s * n h * h * 1 s * 1 h n 1 1 * 1 1 * 1 s n h* h s * n 1 1 1.2. MODELO DE RAMSAY-CASS-KOOPMAN 1.2.1 Definición También se analizará las decisiones que toman los agentes económicos, consumidores y empresas. Por un lado, analizaremos como las familias toman sus decisiones de consumo y ahorro. Paralelamente analizaremos las decisiones de inversión y contratación de mano de obra que hacen las empresas. El objetivo es estudiar cual es el resultado que obtiene una economía en la que dejamos que sean los consumidores los que toman sus decisiones de consumo y las empresas sus decisiones de inversión. En el contexto

de esta economía estaremos preocupados por analizar cuáles son los determinantes del crecimiento económico. Como sabemos en la vida real las empresas y los consumidores son instituciones separadas que interactúan en un lugar llamado mercado. Las familias distribuyen su renta entre consumo y ahorro. Las empresas contratan trabajo a cambio de un salario y venden el producto a cambio de un precio. Empresas y familias se encuentran en el mercado y los precios del trabajo y el capital son tales que los tres mercados se vacía. (Modelo de equilibrio general de Ramsey (1928)). Esta nota esta basada en el modelo de Ramsey (1928) y que, posteriormente perfeccionado por Cass (1965) y Koopmans (1965), donde incorpora la función de producción neoclásica y va considerar también el modelo de Solow. El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans también es conocido como el modelo de horizonte infinito y para los economistas, este modelo es la continuación del modelo de Solow, pero desarrollado en un contexto de optimización de los agentes económicos (firmas, familias). Algunas características de este modelo son: Que las firmas competitivas rentan capital y contratan trabajo para producir, un número fijo de familias que viven por siempre, ofrecen la fuerza laboral, consumen y ahorran, excluye todas las imperfecciones de los mercados. 1.2.2 Supuestos Las decisiones son determinadas a nivel microeconómico. Los agentes deciden cuanto ahorrar. Aumentar su conjunto y su capital a futuro. Las familias son consumidoras y productoras (tipo Robinson Crusoe). Ahorraron para cambiar su parte temporal de consumo:

Tasa de descuento. Rentabilidad de capital. Este modelo se ve en tiempo continuo. Existe una función neoclásica agregada de buen comportamiento. Mundo perfecto: Firmas Competitivas: Rentas, capital y alquiler de mano de obra. Hogares: que sobreviven en el tiempo, los que trabajan y los que son vienes de capital. Existe una función de utilidad de los individuos, que depende del consumo por Trabajador. La magnitud de la función de utilidad marginal del consumo es positiva esto quiere decir es una función es cóncava. La concavidad de la utilidad refleja el deseo de la gente de tener trayectorias de consumo más o menos lisas o suaves en el tiempo. Que la función de utilidad sea lisa, significa que los consumidores prefieren consumir un poco cada día que consumir un poco mucho y otro nada. La relación entre concavidad de la función de utilidad y el deseo de alisar el consumo (es decir querer consumir más o menos lo mismo cada día) se puede apreciar en el gráfico Nº1.

Empresas Función de Producción: F(K,A,L) K: Capital. L: Trabajo. A: Tecnología que aumenta la productividad del trabajo. Hogares Número grande. Todos son idénticos, brindan una unidad de trabajador. Tienen capital inicial: ( ) ; H: Número de hogares. 1.2.3. Utilidad del hogar La utilidad derivada de consumir t c, es mayor cuando el consumo total se ha repartido, que cuando no se reparte. = ( ) n( ( ) ) ( ) } Función. para : Factor de descuento, nos sirve descontar el tiempo continuo. L : Población.

n(c) : Función de utilidad instantánea. ( ) : Consumo por unidad de trabajo efectivo. H : Número de hogares. ( ) = ( ) 1 En esta función, es una constante que representa el grado de concavidad de la función de utilidad. Contra mayor sea, mayor será la concavidad de la función de utilidad, mayor serán los deseos de los agentes de suavizar el consumo en el tiempo. Deducir el coeficiente de Aversión al Riesgo Constante (ARC) = ( ) ( ) Dado: ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = Reemplazando en la fórmula (*) =. =. =. =

Fundamentos En este modelo las familias determinan la forma óptima de la trayectoria del consumo. En el caso de Solow las familias no tienen la oportunidad de medir su trayectoria temporal de su consumo en forma óptima. Paso I: Utilidad agregada de los individuos ( ) = ( ) Función objetivo utilidad agregada en los individuos. consumidores) : Tasa de descuento (Preferencia de los ( ) : Función instantánea de la utilidad de los individuos Lt: Población n: Tasa de capitalización de crecimiento de la población = Reemplazando = = 1 = ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( )

Como la función definida de la utilidad instantánea de los individuos es función del consumo: ( ) = ( ) > 0 Reemplazando ( ) en ( ) ( ) = ( ) ( ) Función Objetivo Paso II: Restricción del Flujo Presupuestal de Individuos y Familiar = + : Tasa de cambio del stock de capital agregado W: Salario individual L : Población r : Tasa de Retribución del capital K : Stock de capital C : Consumo total Per cápita: = + c: consumo per cápita h: stock de capital per cápita

Ingresos de los individuos: WL : Salarios totales. Remuneración por trabajo rk : Remuneración por el capital Reemplazando en per cápita: = + I Para homogenizar: h = ; = =.. Sea: = ; = desagregando = + II Reemplazando e igualando I y II

= + = + + = + = + Tasa de cambio del stock Ingresos Consumo Reposición del capital de capital en términos per cápita per cápita. = + Flujo de ahorro neto per cápita ( ) = ( ) Función Objetivo = + Restricción Para maximizar la función objetivo con respecto a sus restricciones aplicamos Hamiltonianos y se definen así: = 0 = C = se hace per cápita c

( ) = 1 + ( + ) = ( ) ( ) + ( + ) = ( ). = 0 = ( ). = = ( ) = = = ( ) Linealizamos por derivadas: = ( ). como = ( ) } ( ) = + = = ( ) + ( )

= ( ) ( ) + ( ) ( ) Ordenando: ( ). (1+) ( ) ( ) ( ). ( )) ( ) ( ) e=1 ( ) = = ( ) = = ( ) Igualando: nos da = ( ) ( ) = ( ) = ( ) + ( ) = ( ) ( )

= EULER = La tasa de crecimiento del consumo es igual a la tasa de retribución del capital (r) menos la tasa de descuento que es la preferencia de los consumidores ( ) dividido por la aversión al riesgo constante () Con las empresas Una vez obtenido = y = + Beneficio = (, ) ( + ) Producción Retribución del trabajador A: Tecnología constante = / Hacemos Per cápita = ( ) = () ().. 1

Maximizando = () = 0 () =.. 2 Reemplazando 2 en 1 = () () 3 Como en familia es = Familia se reemplaza = ( ) Empresa Como = + Reemplazo = () = + () Analizando 3 = () () Beneficio Producción Valor del Pago del Per cápita Producto Marginal Sala

1.3. MODELO DE DIAMOND 1.3.1 Definición Pasamos ahora al modelo de generaciones solapadas de Diamond. La principal diferencia entre este modelo y el Ramsey-Cass- Koopmans es que ahora la población se renueva: en lugar de existir un número de fijo de hogares con horizontes temporales infinitos, en el modelo de Diamond nacen continuamente nuevos individuos, que vienen a sustituir a los que se van muriendo. En definitiva, en dicho modelo se supone que una generación se relaciona con otras generaciones a lo largo de su vida. La utilidad fundamental de este tipo de estudios, además de lo que expondremos aquí, estriba en la posibilidad de mostrar la implicaciones de tipo agregado del ciclo de vida del ahorro de los individuos. En este sentido, hay que considerar que los individuos generan un stock de capital gracias al ahorro que realizan a lo largo del período en el que trabajan para poder financiar su consumo cuando se jubilen. Obviamente, nuestro interés es exponer los efectos de la política fiscal sobre dicho stock de capital, que es el que va a influir, desde esta perspectiva, sobre el crecimiento económico del país. Por otro lado, se parte del supuesto de que el tiempo es discreto más que continúo y que el individuo, para simplificar, vive dos períodos, creciendo la población a una tasa n. A su vez los individuos ofertan trabajo y los ingresos que obtienen los utilizan de forma distinta en cada uno de los períodos. En el primero, lo dedican al consumo y al ahorro y, en el segundo, se consumen tanto los ahorros generados como los intereses que se perciben. La producción se concibe de la misma forma que en los modelos anteriores, esto es, se parte de una función de producción con rendimientos constantes a escala que satisface las condiciones. Los mercados son competitivos y, para simplificar, se supone que no

existe depreciación, partiendo de la hipótesis de que tenemos un cierto stock de capital que es poseído equitativamente entre los individuos viejos Cuando se adopta a la hipótesis de recambio poblacional, resulta más sencillo suponer que el tiempo es discreto en vez de continuo: es decir, ahora definiremos las variables del modelo para = 0,1,2., en vez de para todos los valores de 0. Para simplificar aun más el análisis, suponemos que la vida de cada individuo dura solamente dos periodos. Pero lo que resulta crucial para el modelo no son las hipótesis sobre el tiempo discreto y los periodos vitales, sino un supuesto general del recambio poblacional. En el periodo nacen individuos. Como antes, la población crece en una tasa igual a n, de manera que = (1 + ). Dado que los individuos viven durante dos periodos, en el momento hay individuos que se encuentran en el primer periodo de sus vidas y = /(1 + ) que están en el segundo. Durante el periodo de la juventud, cada individuo suministra una unidad de trabajo y divide la renta laboral resultante entre el consumo y el ahorro: en el segundo periodo, el individuo se limita a consumir sus ahorros y cualquier interés que haya obtenido. Sean y el consumo de los individuos jóvenes y viejos respectivamente en el periodo. La utilidad de un individuo nacido en, depende de y. Suponemos una vez más que la utilidad es con aversión relativa al riesgo constante: = 1 + 1 1 + 1, > 0, > 1

1.3.2 Supuestos principales del Modelo (economía privada y cerrada) Sobre las empresas Existen múltiples empresas que enfrentan una función de producción neoclásica tradicional: Y(t) = F[K(t),A(t)L(t)] (1) Las empresas producen bienes que venden en mercados competitivos. Esos bienes se producen con trabajo que realizan los jóvenes y con capital que poseen los viejos.por estos insumos se paga w y r. El progreso técnico A es exógeno y crece a una tasa g. Se asume que δ=0. Existe un stock inicial de capital K 0 en la economía distribuido equitativamente entre la población vieja. Sobre los hogares En el período t nacen L t individuos y la población crece a una tasa n. Por tanto: individuos en en 1 periodo de su vida individuo en el 2 periodo de su vida

En su primer periodo de vida cada individuo suministra una unidad de trabajo y divide la renta laboral obtenida entre consumo y ahorro. En el segundo periodo cada individuo se dedica a consumir la totalidad del ingreso generado por sus ahorros mas el rendimiento pagado a ese ahorro. Sobre los hogares Un individuo nacido en t trata de maximizar una función de utilidad con forma funcional ARRC: = 1 + 1 1 (1) donde > 0, < 1 Los viejos consumen todo el ingreso derivado del capital y su riqueza inicial y mueren. Los jóvenes dividen su ingreso laboral w t A t entre consumo y ahorro. El ahorro y los rendimientos que genera se trasladan para el siguiente. Por esto, el capital en t+1 depende del ahorro total: = [ ] K t+1 se combina con el trabajo que provee una nueva generación para continuar con el proceso productivo.

Sobre el comportamiento de los hogares Para poder completar el ejercicio de optimización además de la función de utilidad nos hace falta la restricción presupuestaria que enfrenta el agente representativo. Para hallar la restricción presupuestaria, partamos del consumo en el segundo periodo de su vida de un individuo nacido en el periodo t. = [1 ][ ] ( 2 ) Restricción presupuestaria = [ ] + [ ] ( 2 ) Comportamiento de los hogares El valor presente del ingreso de un individuo nacido en t debe ser igual al valor presente del consumo de toda su vida. Problema maximización: de Lagrangiano

Comportamiento de los hogares Ecuación de euler modelo de diamond Esta ecuación es similar a la Ecuación de Euler para el Modelo de Ramsey. Interpretación: La decisión de un agente representativo de cómo repartir su consumo entre el presente y el futuro depende de la relación que exista entre el rendimiento real, r, y la tasa de descuento, ρ En consumo a esta diferencia entre r y ρ adición, θ determina la sensibilidad del comportamiento de los hogares. 1.3.3. DINAMICA DEL MODELO Comportamiento de los hogares: Sobre el ahorro Para ver el comportamiento del ahorro introduzcamos la Ecuación de Euler en la restricción presupuestaria y resolvamos para el C 1t :

Ecuación de Euler Comportamiento de los hogares: Sobre el ahorro El tipo de interés determina que proporción del ingreso se consume en el primer periodo y por tanto que proporción se ahorra. Llamemos a esa fracción que se ahorra s(r). Por tanto comportamiento de los hogares sobre el ahorro Por definición:

Comportamiento de los hogares: Sobre el ahorro Tenemos una expresión explícita para la tasa de ahorro: Interpretación: El ahorro de los jóvenes es función creciente de r solo si θ<1. Un aumento de r tiene dos efectos: un efecto sustitución inmediato que lleva a un mayor C 2t+1 y un efecto renta que viene dado por el impacto del incremento del ahorro en el ingreso, lo que genera un incentivo para consumir más ahora. El efecto sustitución domina si θ es muy bajo y el efecto renta domina si θ es alto. Sobre el comportamiento de las empresas Comportamiento de las empresas Del comportamiento de la empresa en este modelo recordar que la empresa produce con capital y trabajo que alquila a las generaciones vieja y joven a precios r y w, equivalentes a la productividad marginal de estos factores desde este punto de vista, se puede generar una dinámica del modelo simplemente incorporando el resultado del ejercicio maximizador de la empresa, al comportamiento dinámico de la economía.

CAPITULO II MATERIALES Y MÉTODOS

CAPITULO II MATERIALES Y MÉTODOS Para la realización de esta investigación, se tomo el Universo que es el Perú, los modelos de crecimiento económico examinados Solow, Ramsay, Diamond son modelos muy importantes y sirve como medidas de la economía, está conformado por los siguientes elementos: el consumo público y privado, la inversión pública y privada, el ahorro público y privado. De la misma manera no tuvimos dificultad para el acceso de información, de los materiales bibliográficos, ya que se utilizó lo último de la información en el tema de modelos de crecimiento, obtenidos del Banco Central de Reserva del Perú (BCR) y difere ntes Bancos Privados así como por Internet. Por la naturaleza de la investigación, pensamos haber aportado en la elaboración de un marco teórico, desde la óptica de la economía. La investigación realizada será descriptiva, esto es los estudios descriptivos que han detectado y definido ciertas variables. En estos casos la investigación descriptiva detecta ciertas variables en las cuales se puede fundamentar el estudio. Asimismo, se pueden adicionar variables y medir. La investigación correlacional, es una correlación entre varios conceptos y variables un ejemplo: la tasa del cambio del capital por trabajador está en función del ahorro y de la población, la investigación explicativa, revela que existe una o varias teorías que se explican en nuestro problema de investigación. Por otra parte, para la obtención y manejo de información hemos tenido que leer, analizar y seleccionar los temas con respectivos a los objetivos generales y específicos.

Por último, se empleó también la información estadística y gráfica diferentes de reconocido prestigio, paquetes estadísticos así como el centro de computo, aporte invalorable de nuestro apoyo administrativo para la elaboración de informes tanto trimestrales como y finales.

CAPITULO IÍI RESULTADOS

CAPITULO IÍI RESULTADOS 3.1. MODELO DE SOLOW (a) ALBERTO FUJIMORI 1990-1999 POBLACIÓN 1990 : 21 764,515 1999 : 25 588,546 C m 1999 = Co 1990 (1 + i) 10 AHORRO 1990 : 16.47 1999 : 21.08 21.08 = (1+i) 10 16.47 DEPRECIACIÓN 1990 : 1.64 1999 : 2.10 2.10 = (c + i ) 10 1.64 POBLACIÓN AHORRO DEPRECIACIÓN TASAS DE CRECIMIENTO 0.0163 0.0249 0.02503 1990 1999 1.63 2.49 2.50 Fuente de Elaboración: Propia

(b) ALEJANDRO TOLEDO ALAN GARCÍA 2000-2009 POBLACIÓN 2000 : 25 983,588 2009 : 29 132,013 29 132,013 = (1+i) 10 25 983,588 AHORRO 2000 : 20.20 2009 : 20.61 20.61 = (1+i) 10 20.20 DEPRECIACIÓN 2000 : 2.01 2009 : 2.29 2.29 = (1 + i ) 10 2.01 POBLACIÓN AHORRO DEPRECIACIÓN TASAS DE CRECIMIENTO 0.0150 0.002011 0.01312 2000 2009 1.150 0.2011 1.3127 Fuente de Elaboración: Propia

(c) 1990-2009 POBLACIÓN 1990 : 21 764,515 2009 : 29 132,013 29 132,013 = (1+i) 20 21,764,515 AHORRO 1990 : 16.47 2009 : 20.61 20.61 = (1+i) 20 16.47 DEPRECIACIÓN 1999 : 1.64 2009 : 2.29 2.29 = (1 + i ) 20 1.64 POBLACIÓN AHORRO DEPRECIACIÓN TASAS DE CRECIMIENTO 0.014684 0.01127 0.01683 1990 2009 1.4684 1.1274 1.6832 Fuente de Elaboración: Propia

TASAS DE CRECIMIENTO POBLACIÓN AHORRO DEPRECIACIÓN 1990 1999 0.0163 0.0249 0.02503 1.63 2.49 2.50 2000 2009 0.01150 0.002011 0.01312 1.150 0.2011 1.3127 1990 2009 0.014684 0.01127 0.01683 1.4684 1.1274 1.6832 Fuente Elaboración: Propia h* s * n 1 1 h* : Capital por trabajador s : Tasas de crecimiento del ahorro n : Tasas de crecimiento de la población : Tasa de crecimiento de depreciación α : Parámetro es la suma del capital físico y del capital humano SOLOW 1990 1999 h * 2.49 1.63 2.50 1 1 03

h* 0.6029 1. 4285 h* 0.4853 SOLOW 2000 2009 h * 0. 2011 1. 150 1. 3127 1 1 0. 3 h * 0.2011 2.4627 h* 0.0816 1. 4285 h* 0.0278 SOLOW 1990 2009 h * 1.1274 1.4684 1.6832 1 1 0.3 h * 1. 1274 3. 1516 1 0. 7

h * 1. 4285 0. 3577 0.3 h* 0.2302 SOLOW RESUMEN 1990 1999 2000 2009 1990 2009 0.3 0.4848 0.3 0.027 0.3 0.2302 Fuente: Elaboración propia

3.2. MODELO DE RAMSAY (a) ALBERTO FUJIMORI 1990-1999 CONSUMO 1990 : 81.60 1999 : 81.23 81.23 = (1+i) 10 81.60 AVERSIÓN AL RIESGO 1990 : 89 1999 : 208 208 = (1+i) 10 89 TASA DE DESCUENTO 1990 : 28 1999 : 23 23 = (1 + i ) 10 28

TASA DE RETRIBUCIÓN DE CAPITAL 1990 : 10 1999 : 6.6 6.6 = (1 + i ) 10 10 CONSUMO AVERSIÓN AL RIESGO TASA DE DESCUENTO TASA DE RETRIB. DE CAPITAL TASAS DE CRECIMIENTO 1990 1999-0.045 8.8597-1.9478-4.070 Fuente de Elaboración: Propia (b) ALEJANDRO TOLEDO ALAN GARCÍA 2000-2009 CONSUMO 2000 : 81.75 2009 : 75.84 75.84 = (1+i) 10 81.60 AVERSIÓN AL RIESGO 2000 : 310 2009 : 219 219 = (1+i) 10 310

TASA DE DESCUENTO 2000 : 21.9 2009 : 7.8 7.8 = (1 + i ) 10 21.9 TASA DE RETRIBUCIÓN DE CAPITAL 2000 : 5.4 2009 : 1.5 1.5 = (1 + i ) 10 5.4 CONSUMO AVERSIÓN AL RIESGO TASA DE DESCUENTO TASA DE RETRIB. DE CAPITAL TASAS DE CRECIMIENTO 2000-2009 -0.7475-3.4153-9.8086-12.0288 Fuente de Elaboración: Propia (c) 1990-2009 CONSUMO 1990 : 81.60 2009 : 75.84 75.84 = (1+i) 20 81.60

AVERSIÓN AL RIESGO 1990 : 89 2009 : 219 219 = (1+i) 20 89 TASA DE DESCUENTO 1990 : 28 2009 : 7.8 7.8 = (1 + i ) 20 28 TASA DE RETRIBUCIÓN DE CAPITAL 1990 : 10 2009 : 1.5 1.5 = (1 + i ) 20 10 CONSUMO AVERSIÓN AL RIESGO TASA DE DESCUENTO TASA DE RETRIB. DE CAPITAL TASAS DE CRECIMIENTO 1990 2009-0.3653 4.6050-6.1904-9.0496 Fuente de Elaboración: Propia

TASAS DE CRECIMIENTO CONSUMO AVERSIÓN AL TASA DE TASA DE RIESGO DESCUENTO RETRIBUCIÓN DE CAPITAL 1990 1999-0.045 8.8597-1.9478-4.0701 2000 2009-0.7475-3.4153-9.8086-12.0228 1990 2009-03553 4.6050-6.1904-9.0496 Fuente Elaboración: Propia C C C C : Tasa de crecimiento de consumo : Tasas de crecimiento de retribución de capital : Tasas de descuento (preferencia de los consumidores) : Aversión al riesgo constante 1990-1999 C C 4.0701 ( 1.9478 4.0701 1.978 8.8597 8.8597

2.1223 8.8597 0.2395 C C 0.2395 2000-2009 C C 12.0228 ( 9.8086 ) 3.4153 12.0228 9.8086 3.4153 C C 2.2142 3.4153 0.6483 C C 0.6483 1990-2009 C C C C 9.0496 ( 6.1904 ) 9.0496 6.1904 2.8592 4.6050 4.6050 4.6050 0.6208 RESUMEN RAMSAY 1990-1999 -0.2395 2000-2009 0.6483 19900-2009 -0.6208 Fuente: Elaboración propia

TASA DE CRECIMIENTO TASA DE CRECIMIENTO TASA DE DEL CONSUMO = DE RETRIBUCIÓN DEL - DESCUENTO CAPITAL AVERSIÓN EL RIESGO CONSTANTE Para que la tasa de crecimiento del consumo aumente, la aversión al riesgo constante tiene que disminuir, manteniendo constante con tasa de crecimiento de retribución del capital y la tasa de descuento. Existe otra forma, para aumentar la tasa de crecimiento de consumo, el numerador tiene que crecer más rápido que el denominador. Para disminuir la tasa de crecimiento del consumo, la aversión el riesgo constante tiene que subir más que el numerador (tasa de crecimiento de retribución del capital y tasa de descuento) y así se disminuye el consumo. 3.3. MODELO DE DIAMOND (a) ALBERTO FUJIMORI 1990-1999 TASA DE INTERÉS REAL 1990 : 32 1999 : 27 27 = (1+i) 10 32 AVERSIÓN AL RIESGO 1990 : 89 1999 : 208 208 = (1+i) 10 89

TASA DE DESCUENTO 1990 : 28 1999 : 23 23 = (1 + i ) 10 28 TASAS DE CRECIMIENTO 1990 1999 Fuente de Elaboración: Propia TASA DE AVERSIÓN AL TASA DE INTERÉS REAL RIESGO DESCUENTO -1.6846 8.8597-1.9478 (b) ALEJANDRO TOLEDO ALAN GARCÍA 2000-2009 TASA DE INTERES REAL 2000 : 22 2009 : 15.1 15.1 = (1+i) 10 22 AVERSIÓN AL RIESGO 2000 : 310 2009 : 219 219 = (1+i) 10 310

TASA DE DESCUENTO 2000 : 21.9 2009 : 7.8 7.8 = (1 + i ) 10 21.9 TASAS DE CRECIMIENTO 2000 2009 Fuente de Elaboración: Propia TASA DE AVERSIÓN AL TASA DE INTERÉS REAL RIESGO DESCUENTO -3.6935-3.4153-9.8086 (c) 1990-2009 TASA DE INTERES REAL DE CAPITAL 1990 : 32 2009 : 15.1 15.1 = (1+i) 20 32 AVERSIÓN AL RIESGO 1990 : 89 2009 : 219 219 = (1+i) 20 89

TASA DE DESCUENTO 1990 : 28 2009 : 7.8 7.8 = (1 + i ) 20 28 TASAS DE CRECIMIENTO 1990 2009 Fuente de Elaboración: Propia TASA DE AVERSIÓN AL TASA DE INTERÉS REAL RIESGO DESCUENTO -3.6855 4.6050-6.1904 TASAS DE CRECIMIENTO TASA DE AVERSIÓN AL TASA DE INTERES REAL RIESGO DESCUENTO 1990 1999-1.6846 8,8597-1.9478 2000 2009-3.6935-3.4153-9.8086 1990 2009-3.6855 4.6050-6.1904 Fuente: Elaboración Propia S ( ) 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 )

S ( ) : Proporción del ahorro : Tasa de interés real del capital : Tasas de descuento (preferencia de los consumidores) : Aversión al riesgo constante DIAMOND 1990-1999 S 1 8. 8597 1 ( 1. 6846 ) 8. 8597 1 1 8 1 ( 1. 948 ). 8597 8 1 ( 1. 6846 8. 8597 ( ). 8597 S 0.8891 0.6846 ) 0.1128 0. 8891 1.9478 ) 0.6846 ( ) S ( ) 0. 9939 1. 4006 1. 4006 1. 4006 2. 3945 S ( ) 0. 5841 x 100 58. 41 % 2000-2009 S ( ) 1 ( 3. 4153 ) 1 ( 3. 6935 ) 3. 4153 1 1 ( 3 1 ( 9. 8086 ). 4153 3 1 ( 3. 6935 3. 4153. 4153 )

S ( ) 4. 4153 2. 6935 ) 3. 4153 4. 4153. 2928 8. 8086 0 2. 6935 3. 4153 S 1. 2928 2. 6935 1. 2928 2. 6935 ( ) 0. 5288 S ( ) 0. 5288 0. 2777 ( 0. 2777 ) 0. 2777 0. 2511 S ( ) 1. 1059 110. 59 % 1990-2009 S 1 ( 4. 6050 ) 1 ( 3. 6855 ) 4. 6050 1 1 4 1 ( 6. 1904 ). 6050 4 1 ( 3. 6855 4. 6050 ( ). 6050 S ( ) 0.4615 1.4300 0.4615 0.4615 1.8915 S ( ) 0. 2439 24. 39 %

RESUMEN DIAMOND S() 1990 1999 58.41% 0.5841 2000 2009-110.59% -1.1059 1990 2009 24.39% 0.2439 Fuente: Elaboración Propia PROPORCIÓN TASA DE INTERÉS AVERSIÓN AL DEL AHORRO = REAL DE CAPITAL Y RIESGO CONSTANTE TASA DE DESCUENTO Y TASA DE INTERES DEL CAPITAL Para que la proporción del ahorro aumente, la tasa de interés real del capital y la aversión al riesgo constante, tiene que crecer más rápidamente que el numerador; tiene de descuento y tasas de interés del capital. Para que la proporción del ahorro disminuya el denominador o sea la tasa de descuento y la tasa de interés del capital, tiene que ser mayor que la del numerador donde se encuentra; la tasa de interés real del capital y la aversión al riesgo constante.

CAPÍTULO IV DISCUSIÓN

CAPÍTULO IV DISCUSIÓN La Teoría del crecimiento Económico es la rama de la economía de mayor importancia y la que debería ser objeto de mayor atención entre los investigadores económicos. No es difícil darse cuenta de que pequeñas diferencias en las tasas de crecimiento, sostenidos durante largos períodos de tiempo, generan errores diferencias en niveles de renta per cápita. Por ejemplo el Producto Bruto Interno (PBI) Per cápita del Perú, paso de 2873 dólares en 1950 a 6950 dólares en 2009. Ambas cifras en dólares reales de 1994. En casi 59 años el PBI Percápita se duplicó, este cambio sustancial mejoro la economía Peruana, ya que represento una Tasa de Crecimiento anual de 1.50 mejorando el Bienestar de la población. Analizando la década de 1990 y 1999 en términos de Producto Bruto Interno y Producto Bruto Interno Per cápita se puede observar que la Tasa de crecimiento del PBI fue de 3.66% versus la per cápita que fue de 2.0%, En la década de 2000 2009 el PBI creció a una Tasa de 5.38% y el Percápita fue de 3.37%. Finalmente en la evaluación de 1990 2009 o sea 19 años la Tasa de Crecimiento fue de 4.67% y la Per cápita fue de 3.25%. De todo esto se puede inferir que la evaluación en Periodos largos del producto Bruto interno y del Percápita en 20 años son más consistentes en el Tiempo. Este País ha sufrido fluctuaciones cíclicas, períodos de auge y de recesión. La mayor parte de la Teoría Macroeconómica trata de investigar las causas de dichos movimientos cíclicos y la manera de evitar los períodos de recesión y estancamiento. En 1992 hubo una recisión que se debió a que venía del gobierno anterior con una proceso inflacionario (Hiperinflación) y una brutal caída de la producción y en 2009 se dio la Crisis Mundial en EEUU de bienes raíces; lo cual provocó en el país una leve recesión.

Por qué crecen las economías? La respuesta es: 1ro La economía crece porque los trabajadores tienen cada vez mas instrumentos, más máquinas y en definitiva más capital, con los que trabajar. La clave de crecimiento será la inversión por parte de las empresas. 2do La clave es la Educación de la Población: Hoy somos capaces de producir mucho más que hace cien años, por que los trabajadores de hoy en día están mucha más calificados. 3ro Es el progreso tecnológico, según esta visión, hoy somos mucho más productivos; porque las máquinas que utilizamos son mucho mejores y porque nuestro nivel de conocimiento es muy superior al que teníamos hace un siglo. En esta investigación se ha tomado el modelo con tasas de ahorro e inversión constante, nos estamos refiriendo al modelo de Solow. En la Tasa de ahorro constante la razón por la que las familias simplemente consumen una fracción constante de su renta o producto. Con respecto a depreciación, la razón que lleva las empresas ha invertir, no es que las empresas les guste utilizar los bienes que compran, si no que la inversión sirve bien para aumentar futura producción (esto se llama inversión neta), bien para reemplazar las máquinas, que se determinan en el proceso productivo. Con respecto a la población, lo que nos interesa es la tasa de crecimiento del PIB, del consumo o del capital por persona, se considera que un país es rico si sus habitantes, en promedio producen mucho. En los resultados del Modelo de SOLOW en la década 1990 1999 fue la que tuvo mayor per cápita del capital por trabajador y esta tasa fue 0.4848 muy superior a la década 2000-2009 que fue de 0.027 per cápita de capital por trabajador. En los 20 años de análisis 1990 2009 se puede inferir que el per cápita de capital por trabajador fue de 0.2302 un per cápita de capital por trabajador aceptable.

El siguiente modelo que se probo fue el de RAMSAY, que es un modelo analógico de OPTIMIZACIÓN. En este modelo interactúan las familias y las empresas. Las familias son las propietarias de activos financieros que dan un rendimiento neto (que puede ser positivo o negativo en caso de que tengan deudas) y también son propietarios del factor trabajo, reciben sus ingresos una parte la consumen y otra la ahorran. Las empresas alquilan trabajo a cambio de un salario, alquilan capital a cambio de una tasa de alquiler y venden su producto a cambio de un precio. La tasa de descuento expresa el beneficio o rendimiento que proporciona el consumo e indica el aumento de la utilidad obteniendo por consumir en el presente y no en el futuro, lo que no olvidemos que el individuo otorga más utilidad a su propio consumo que la de sus descendientes. Con respecto a la aversión al riesgo, el consumidor es partidario de intercambiar parte de su consumo futuro por consumo presente. Esto representa una preferencia adicional por el consumo de hoy que sumada el termino tasa de descuento, representa el beneficio de consumir ahora. El beneficio o rendimiento neto obtenido del ahorro, que el tipo de interés que dan los activos financieros. Los individuos optimizadores, en el margen, se muestran indiferentes ante la disyuntiva entre el consumo y el ahorro. En 1990 1999 se puede observar que el consumo disminuyo en -0.2395, pero en la siguiente década 2000 2009 el consumo aumento vertiginosamente en 0.6483 lo cual queda demostrado que el consumismo en década 2000 2009 fue el punto de APOYO para que el país no entre en la recesión mundial que se vivió. Finalmente en el periodo de 20 años el consumo disminuyo a -0.6208. El modelo de DIAMOND, en la cual es un modelo neoclásico de optimización, nos describe la proporción del ahorro que está en función de la Tasa de interés del capital y la inversión al riesgo constante y a una tasa de descuento (preferencia del consumidor. Lo que se trata aquí es, ver como la tasa de ahorro aumenta o disminuye según las variables mencionadas. En la década de 1990 1999 la tasa de ahorro fue positiva con un 0.5841, lo cual nos indica que la gente al AHORRAR más consume menos en el presente, en la década siguiente 2000 2009 la tasa de ahorro fue negativa, lo cual indica que; la sociedad peruana, de dedicó al consumismo y finalmente en los 20 años