MTEMÁTICS PLICDS LS CIENCIS SOCILES II 2 o Bachillerato. Grupos D y E. Curso 2009/2010. Hoja de ejercicios III Cálculo de probabilidades. Probabilidad condicionada. Independencia. 1 Se lanzan dos dados perfectos. 1. Describir el espacio muestral Ω. 2. Determinar la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales que constituyen Ω. 3. Hallar las probabilidades de que: 3.1. La suma se los resultados sea 7. 3.2. La suma de los resultados sea 4 o 5. 3.3. La suma se 6 sabiendo que uno de los dos resultados es un número primo. 2 De una bolsa con las siguientes bolas: ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ ❻ ❼ ❽ se extrae una de ellas al azar. 1. La probabilidad de que la bola extraída tenga escrito un número par. 2. La probabilidad de que la bola extraída tenga escrito un número par sabiendo que salió de color verde. 3. En vista de los resultados de los dos apartados anteriores, son los sucesos salir bola verde y salir número par independientes?. 4. Determinar las siguientes probabilidades: p{par} p{rojo} p{par rojo} 5. Teniendo en cuenta los resultados del apartado anterior, son independientes los sucesos salir número par y salir bola roja?. 6. Estudiar la independencia de los sucesos salir número par y salir bola negra. 1
3 Durante un año se ha seguido la pista a 100 000 coches de tres marcas distintas: 1, SET 2 y FIT 3. lgunos de ellos han tenido accidentes graves () y otros no ( ). Estod datos se recogen en la siguiente Tabla de Contingencia: SET FIT BMV 400 200 400 49 600 19 800 29 600 1. Completar la tabla de contingencia anterior del modo siguiente: SET FIT BMV TOTL 400 200 400 49 600 19 800 29 600 TOTL 2. partir de la tabla anterior,hallar p{}. 3. Elegido al azar un coche que sufrió un accidente, determinar la probabilidad de que este sea de la marca SET. 4. Determinar p{ }. 5. Hallar la probabilidad de que un coche sea de la marca FIT sabiendo que ha tenido un 6. Si un coche es de la marca SET, qué probabilidad hay de que haya tenido un accidente?. 7. Cuál es la probabilidad de que un coche que ha tenido un accidente sea de la marca FIT?. 8. Hallar la probabilidad de que un coche sea de la marca sabiendo que ha tenido un 9. En vista de las probabilidades calculadas en los apartados anteriores, qué marca de coches es más segura?. 4 Con los datos y sucesos del ejercicio anterior, completar los siguientes Diagramas de Árbol SET FIT SET SET FIT FIT 1 : Bayerische Motoren Werke (Fábrica de Motores Bávaros). 2 SET: Sociedad Española de utomoviles de Turismo. 3 FIT: Fabbrica Italiana utomobili Torino. 2
y resolver los siguientes apartados: 1. Utilizando el primer diagrama en árbol, y elegido un coche al azar, se pide: 1.1. Hallar la probabilidad de que sea de la marca SET y haya tenido un 1.2. Hallar la probabilidad de que sea de la marca FIT sabiendo que no ha tenido un 1.3. Hallar la probabilidad de que no haya tenido un accidente sabiendo que es de la marca FIT. 1.4. Hallar la probabilidad de que sea de la marca FIT y no haya tenido un 1.5. Hallar la probabilidad de que haya tenido un accidente sabiendo que es de la marca. 2. Utilizando el segundo diagrama en árbol, y elegido un coche al azar, se pide: 2.1. Hallar la probabilidad de que sea de la marca SET y haya tenido un 2.2. Hallar la probabilidad de que sea de la marca FIT sabiendo que no ha tenido un 2.3. Hallar la probabilidad de que no haya tenido un accidente sabiendo que es de la marca FIT. 2.4. Hallar la probabilidad de que sea de la marca FIT y no haya tenido un 2.5. Hallar la probabilidad de que haya tenido un accidente sabiendo que es de la marca. 5 Una urna contiene las siguientes bolas: ❶ ❶ ❶ ❶ ❷ ❶ ❷ ❶ ❷ ❷ 1. Completar la siguiente tabla de contingencia: 1 2 TOTL ZUL ROJO NEGRO TOTL 2. Determinar las siguientes probabilides: 2.1. p{azul}, p{rojo}, p{negro}, p{1} y p{2}. 2.2. p{1 azul}, p{1 rojo}, p{1 negro}, p{2 azul}, p{2 rojo} y p{2 negro}. 2.3. p{azul 1}, p{rojo 1}, p{negro 1}, p{azul 2}, p{rojo 2} y p{negro 2}. 3. Determinar si son o no independientes los siguientes pares de sucesos: 3.1. azul y 1. 3.2. rojo y 1. 3
3.3. negro y 1. 3.4. azul y 2. 3.5. rojo y 2. 3.6. negro y 2. 6 Tenemos dos urnas con las siguientes composiciones: U 1 = {1 bola negra, 3 rojas y 6 verdes} U 2 = {2 bolas negras, 6 rojas y 2 verdes} Consideremos ahora el siguiente experimento: lanzamos un dado perfecto con las caras numeradas del 1 al 6; si sale 1 o 2 (suceso al que llamaremos ), extraemos una bola de la urna U 1, y si sale 3, 4, 5 o 6 (suceso al que denotaremos por B), extraemos una bola de la urna U 2. 1. Describir el experimento anterior mediante un diagrama en árbol y completar sus ramas con las probabilidades correspondientes. 2. Hallar: 2.1. p{ bola roja} 2.2. La probabilidad de que la bola extraída sea verde si al lanzar el dado salió el 1. 2.3. p{bola roja sabiendo que al lanzar el dado salió 5} 2.4. La probabilidad de que salga un 2 en el dado y una bola verde de la urna. 7 Una encuesta revela que el 35 % de los habitantes de una ciudad escucha la cadena COPE, que el 28 % escucha la SER y que el 10 % escucha ambas. Se pide : 1. Recoger toda la información en una tabla de contingencia. Elegido al azar un ciudadano de esa ciudad, determinar la probabilidad de que escuche: 2. lguna de las dos emisoras. 3. Ninguna de ellas. 4. La cadena COPE sabiendo que no escucha la SER. 5. La COPE sabiendo que escucha la cadena SER. 6. Sólo una de las dos emisoras. 7. Escuchar una u otra emisora, son sucesos independientes?. 8 En una academia se puede estudiar: francés (F), italiano (I) y alemán (). Consideramos tres categorías de alumnos: los menores de 26 años (C 1 ), los que tienen entre 26 y 45 años (C 2 ) y los mayores de 45 años (C 3 ).Tomado al azar un alumno de la academia, hallar: p{f } p{c 1 } p{mayor de 25 años} p{c 2 I} p{i C 3 } p{c 3 } a partir de los datos que figuran en la siguiente tabla de contingencia: 4
Francés Italiano lemán TOTL C 1 6 42 120 C 2 48 80 C 3 10 50 TOTL 20 150 9 En un pueblo de 1157 habitantes, de los cuales 540 eran hombres ( ), se sometió a los vecinos a una votación para determinar si se instalaba o no una antena de telefonía. Se sabe que: hubo 620 votos a favor del Sí, 317 hombres votaron que Sí y 314 mujeres (~) votaron que No. Seleccionada una persona al azar, determinar: p{ } p{ Sí} p{no} p{no ~} 10 En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Se extrae una bola y se anota el número. continuación, y sin devolver la bola a la urna, se extrae otra bola de la que también se anota el número. Qué es más fácil, que ambos números sean pares o que ambos números sean primos?. 11 Repetir el ejercicio anterior suponiendo que tras la extracción de la primera bola, esta es devuelta a la urna. 12 De una urna que contiene 6 bolas azules y 4 naranjas, se extraen (sin reemplazamiento) tres bolas. Determinar: 1. La probabilidad de que las tres bolas sean azules. 2. La probabilidad de que las bolas primera y tercera sean naranjas y la segunda azul. 3. Hallar las probabilidades de los apartados anteriores suponiendo que las extracciones fueran con reemplazamiento. 13 Las máquinas y B producen 50 y 250 piezas por hora, con un porcentaje de fallos del 1 % y del 10 %, respectivamente. Tenemos mezcladas todas las piezas fabricadas en una hora por ambas máquinas y se extrae una al azar. Qué probabilidad hay de que haya sido fabricada por la máquina B y no sea defectuosa?. 14 Una clase tiene 24 alumnos y todos ellos cursan inglés y matemáticas. La mitad aprueba inglés, 16 aprueban matemáticas y 4 suspenden ambas asignaturas. 1. Realiza una tabla de contingencia que resuma los datos dados sobre la clase. 2. Elegido un alumno al azar, determinar la probabilidad de que este apruebe matemáticas y suspenda inglés. 3. Elegido un alumno al azar, determinar la probabilidad de que este apruebe matemáticas sabiendo que ha suspendido inglés. 4. En esta clase, son independientes los sucesos aprobar matemáticas y aprobar inglés?. 5