313 16. LUGAR DE LAS RAICES - APLICACION El lugar de las raíces, además de ser útil para el análisis de la estabilidad de un sistema lineal y continuo SISO, se puede emplear para el diseño de un controlador de una variable dentro de un sistema, es decir, se aplica para determinar la función de transferencia del controlador que además de la regulación haga que la respuesta del sistema, ante cambios en su variable de proceso, muestre un perfil de acuerdo a ciertos requerimientos. A continuación se desarrolla un ejemplo de lo anterior valiéndose de la herramienta Control System Toolbox disponible en Matlab. 16.1 CONTROL SYSTEM TOOLBOX Para desplegar la interfaz de usuario para la construcción del lugar de las raíces, se digita la palabra clave rltool en el editor de comandos de Matlab, y se observa con una distribución como la que muestra la Figura 16.1. Figura 16.1 Interfaz de la herramienta Control System Toolbox La interfaz incluye, además de las barras de título y menús, una barra de herramientas, un marco titulado Current Compensator con un cuadro de edición donde se despliega la función de transferencia asignada al controlador, y a su derecha un cuadro donde se selecciona la configuración de la estructura
314 retroalimentada del lazo de control. El lugar de las raíces se despliega y manipula en la ventana central y debajo de ella se encuentra una barra de estado Estructura de retroalimentación En la parte superior derecha de la Figura 16.1 se observa el diagrama de bloques de un lazo de control por retroalimentación negativa con cuatro bloques G, H, C y F que representan a la planta, el sensor, el controlador o compensador y un prefiltro, respectivamente. En la parte inferior derecha del mismo, se observa un cuadro con la leyenda FS (Feedback Structure), con el cual se selecciona la estructura del lazo de recirculación haciendo clic sobre él y en la parte inferior izquierda se observa un pequeño cuadro con la leyenda +/- para cambiar de retroalimentación negativa a positiva y viceversa. Importe de Modelos de Funciones de Transferencia La interfaz opera sobre modelos lineales e invariantes en el tiempo, LTI, con una variable de entrada y una de salida, SISO, definidos mediante funciones de transferencia utilizando los comandos tf o zpk. Para importar modelos a la interfaz se despliega el menú File y se hace clic sobre la opción Import. Se despliega una ventana como la observada en la Figura 16.2. Figura 16.2. Interfaz para importar los modelos
315 De la Figura 16.2 se deduce que existen cuatro formas de importar los modelos, asi: Desde la ventana de trabajo de Matlab Desde un archivo m-file guardado en el computador Desde una diagrama de bloques de Simulink guardado o abierto ó Creando los modelos tf o zpk dentro de la interfaz, digitando las funciones de transferencia correspondientes a cada uno de los elementos que componen el lazo cerrado de control El botón Other que se encuentra debajo del esquema del lazo de retroalimentación permite el cambio de la estructura haciendo clic sobre él 16.2 LUGAR DE LAS RAICES DEL MODELO Gservo Para la aplicación de la herramienta, se utiliza el modelo Gservo incluido en el archivo LTIexamples.mat guardado en Matlab. Para su utilización se cargan los modelos incluidos en este archivo, digitando la instrucción load LTIexamples desde el editor de comandos. Se selecciona, entonces, la opción Workspace en la interfaz para el importe de datos y se observan en el espacio a la derecha como se muestra en la Figura 16.3 Figura 16.3 Importe de un modelo de un archivo m-file
316 Lugar Geométrico del modelo Gservo En el cuadro SISO Models seleccione Gservo y presione la flecha junto a la Planta o G, para asignar dicho modelo a ésta. Presione el botón OK y se desplegará el lugar geométrico de las raíces del lazo de retroalimentación negativo, como se observa en la Figura 16.4. Las funciones de transferencia para los otros elementos se dejan en su valor por defecto (1) Figura 16.4. Lugar geométrico del archivo Gservo Ganancia estacionaria del controlador La ganancia estacionaria del controlador asignada al modelo, aparece en el cuadro que aparece en la parte superior con el nombre de Current Compensator y los marcadores rojos que se observan sobre el lugar geométrico de las raíces localizan los polos del lazo cerrado correspondientes al valor de la ganancia asignada. La ganancia se puede variar o manualmente o haciendo clic sostenido sobre un marcador rojo y arrastrado la manito que se observa a lo largo del lugar geométrico de las raíces
317 1. Cambie manualmente el valor de la ganancia a un valor de 30 y observe el traslado de los marcadores rojos. Para encontrar el valor de los polos del lazo cerrado, el factor de amortiguamiento y la frecuencia correspondiente proceda de una de las dos siguientes maneras a. Haga clic sobre cada uno de ellos y observe la barra estado de la parte inferior de la ventana b. Despliegue el menú View y seleccione la opción Closed-Loop Poles. Observe la ventana desplegada con la información para cada uno de los polos 2. Haga clic sostenido sobre uno de los marcadores rojo mas cercano al eje imaginario y arrastre la manito hasta interceptar a dicho eje, es decir hasta encontrar los polos del lazo cerrado correspondientes a la ganancia última para estabilidad. Observe la Figura 16.5 Cuánto es el valor de dicha ganancia?, Cómo comprueba que la ganancia es la correspondiente al valor último? Figura 16.5 Ganancia última del sistema Gservo 3. Haga uso de los iconos de aumento localizados en la barra del lugar de las raíces y haga un aumento en la dirección de X para observar con mas aproximación la localización del marcador rojo sobre el eje imaginario
318 4. Haga un clic derecho sobre el lugar geométrico de las raíces y seleccione la opción Grid. Se desplegarán lineas curvas de frecuencia constante y lineas rectas de factor de amortiguamiento constante. Respuestas gráficas del sistema Se puede analizar la respuesta del sistema en lazo cerrado para un valor fijado para la ganancia del controlador de la siguiente manera 5. Asigne una ganancia de 20 al sistema Gservo. Observe que los marcadores rojo se han localizado en los polos correspondientes al valor de dicha ganancia 6. Despliegue el menú Analysis y seleccione la opción Response to Step Command. Se desplegará la ventana LTI Viewer for SISO Design Tool que muestra la respuesta gráfica, de color azul, a un cambio paso unitario en la variable de entrada. 7. Haga un clic derecho sobre la ventana, seleccione sobre el menú contextual desplegado la opción Systems y a continuación desactive la opción Closed Loop: r to u (green) para dejar activa, solamente la respuesta que muestre el cambio en la variable de salida. Se observa una respuesta como la mostrada en la Figura 16.6 Figura 16.6 Respuesta paso del sistema Gservo (K c = 20)
319 8. Haga un clic derecho sobre la ventana, seleccione sobre el menú contextual desplegado la opción Charactristics y a continuación seleccione la opción Peak Response. 9. Haga un clic izquierdo sobre el punto azul que señala la respuesta del pico mas grande para que se desplieguen sus especificaciones 10. Repita el procedimiento de los puntos 8 y 9 para desplegar las especificaciones del tiempo de asentamiento (2 %) o Settling Time. Las especificaciones se muestran en la Figura 16.6. Anote los resultados obtenidos para ambas especificaciones. 16.3 DISEÑO DEL CONTROLADOR La herramienta dispone de algunos recursos para diseñar el controlador que se requiere en una planta para unas especificaciones determinadas como el tiempo de asentamiento (Settling Time, 2 %), el porcentaje de sobrepaso (Percent Overshoot), la fracción de amortiguamiento (Damping Ratio), la frecuencia natural (Natural Frequency) y la ganancia estacionaria. La Figura 16.7 muestra el lugar de las raíces del sistema retroalimentado que incluye al sistema Gservo y un controlador especificado con una ganancia de 33 restringiendo la respuesta del sistema ante un cambio paso en su variable de entrada a un perfil con un tiempo de asentamiento menor que 0.05 segundos y un sobrepaso máximo de 5 %. Figura 16.7. Regiones fronteras del lugar de las raíces
320 Para el despliegue de la Figura 16.7 se procede de la siguiente manera: 11. Despliegue el menú Edit de la ventana del lugar de las raíces, seleccione la opción Root Locus y a continuación haga clic sobre Design Constraints 12. Seleccione la opción New y asigne un tiempo de asentamiento menor que 0.05 segundos y un porcentaje de sobrepaso menor que el 5 % 13. Asigne un valor de 33 a la ganancia del controlador y observe los cambios en las especificaciones anteriores con respecto a sus valores para una ganancia de 20. El lugar de las raíces muestra ahora las regiones fronteras del lugar de las raíces (Figura 16.7) que satisfacen dichas especificaciones y la respuesta paso muestra que los nuevos valores del tiempo de asentamiento y el sobrepaso máximo (Figura 16.8) no satisfacen las restricciones impuestas para el diseño del controlador Figura 16.8 Respuesta paso del sistema Gservo para una ganancia de 33 Adición de polos y zeros Además de las especificaciones mencionadas para el diseño de un controlador, se incluyen la asignación de polos y zeros que pueden adicionarse (o removerse) de forma manual o mediante su edición. La asignación manual se puede hacer mediante una de las siguientes formas
321 Haciendo un clic derecho sobre la ventana del lugar de las raíces, seleccionando en el menú contextual desplegado la opción Add Pole/Zero (o Delete Pole/Zero) y a continuación eligiendo la naturaleza numérica (Real o Imginario) Haciendo clic sobre los iconos correspondientes a Zero o Polo, Real o Imaginario que se encuentran en la barra de herramientas A través del Menú Edit, presionando la opción Root Locus y eligiendo Zero o Polo y su naturaleza numérica Para la edición de zeros y polos, se hace un clic derecho sobre la ventana del lugar de las raíces y se selecciona en el menú contextual la opción Edit Compensator. Se elige Zero o Polo y su naturaleza y se edita el valor numérico. Facilita la edición de varios polos y zeros en la misma ventana. 14. Adicione los zeros 81.82 ± 248.54i y los polos 113.64 ± 117.99i, haciendo clic derecho sobre la ventana del lugar de las raíces y eligiendo la opción Edit Compensator. Se desplegará una ventana como la que muestra la Figura 16.9 después de seleccionar para ambos casos la naturaleza compleja e introducir los respectivos valores de los zeros y los polos. El nuevo lugar de las raíces se muestra en la Figura 16.10, para una ganancia de 80 y la respuesta paso es la que se observa en la Figura 16.11 Figura 16.9. Adición de zeros y polos imaginarios al controlador 15. Halle el % de sobrepaso máximo y el tiempo de asentamiento en la Figura 16.11, para verificar que el diseño del controlador no satisface las especificaciones impuestas con respecto a estos dos parámetros 16. Borre los zeros y los polos adicionados y cámbielos por los zeros 70 ± 270i, los polos 110 ±140i y una ganancia de 25, todo esto mediante la opción Edit Compensator. El nuevo lugar de las raíces es el que se observa en la Figura 16.12
322 Figura 16.10. Lugar de las raíces con la adición de zeros y polos Figura 16.11. Respuesta paso con el diseño del controlador
323 Figura 16.12. Lugar de las raíces del sistema incluyendo el diseño del controlador Figura 16.13 Respuesta paso del sistema con el diseño del controlador
324 17. Despliegue la gráfica que muestra la respuesta paso que se observa como la Figura 16.13 y verifique que dicha respuesta satisface las especificaciones impuestas para el diseño del controlador, es decir, su tiempo de asentamiento es menor que 0.05 segundos y el % de sobrepaso es menor que 5. 18. Observe la ecuación de diseño del controlador en el cuadro Current Compensator 16.4 EXPORTACION DEL DISEÑO DEL CONTROLADOR Para la exportación del diseño elaborado anteriormente se procede de la siguiente manera: 19. Despliegue el menú File y haga clic sobre la opción Export. Se desplegará una ventana como la que se muestra en la Figura 16.14. La exportación puede hacerse al espacio de trabajo de Matlab o al disco del computador Figura 16.14. Exportación de los modelos del sistema de lazo cerrado 20. Exporte al espacio de trabajo de Matlab el modelo del sensor, (H), del controlador, (C) y del filtro (F). No se exporta el de la planta porque se encuentra abierto. 21. Verifique dichas exportaciones digitando cada una de sus letras en el editor de comandos de Matlab
325 16.5 DIAGRAMA DE BLOQUES DEL LAZO DISEÑADO La herramienta utilizada permite la construcción, en Simulink, del diagrama de bloques correspondiente al lazo cerrado de control diseñado 22. Despliegue el menú Tools y seleccione la opción Draw Simulink Diagram 23. Presione el botón Yes de la ventana desplegada y se observará el diagrama de bloques en Simulink 24. Asigne al filtro, al controlador y al sensor las funciones de transferencia F, C y H, respectivamente, que fueron exportadas al espacio de trabajo del Matlab 25. Cambie el botón de la variable de entrada por un botón de cambio paso y asignele para un tiempo cero del paso, un cambio de cero a uno. (Figura 16.15) Figura 16.15. Diagrama de bloques en Simulink 26. Asigne un tiempo de simulación de 0.1 y haga simular el lazo cerrado de control. Figura 16.16. Respuesta paso del lazo cerrado de control
27. La respuesta gráfica, (Figura 16.16) al cambio paso unitario en la variable de entrada es igual a la observada en la Figura 16.13 326