Práctico 2: Inducción Completa;

Matemática Discreta I - 2008 Práctico 2: Inducción Completa; Principio de Inclusión-Exclusión y Principio del Palomar Inducción Completa Ejercicio 1 Considere la suma Cm. i i=0 Calcúlela para algunos casos usando triángulo de Pascal, conjeture cuánto suma en general y demuéstrelo por inducción. Aclaración: Si i < m entonces C i m = 0. Ejercicio 2 Demuestre que 7 n 2 n es divisible por 5 n N. Ejercicio 3 Demuestre que todo natural n puede expresarse como la suma de doses y/o cincos siempre que n no sea ni 1 ni 3, es decir n 1, 3, i, j N {0} : n = 2i + 5j. Ejercicio 4 Sea A = 1 1 0 0 1 1 0 0 1. Conjeturar una fórmula para A n e intentar demostrarla. 1

Ejercicio 5 a) Demostrar la siguiente igualdad i 2 = n (n + 1) (2n + 1) 6 b) (Exam. octubre 2001 Ej8 a)) Demostrar que para n 1 se cumple la siguiente igualdad: (2i 1) 3 = n 2 (2n 2 1). Ejercicio 6 (1er Par. octubre 2000 Ej16) Sea m el menor número natural que verifica 2 m > m 2 + 1. Halle m y pruebe por inducción que si n m entonces 2 n > n 2 + 1. Ejercicio 7 Un rompecabezas consta de un cierto número de piezas. Dos o más piezas con frontera común se pueden juntar para formar una pieza grande. Llamaremos bloque a un conjunto formado por una o más piezas unidas por su frontera común, el que se puede unir a otro bloque con fronteras comunes. Cuando todas las piezas se han unido en un solo bloque, decimos que el rompecabezas está armado. Demuestre que, para armar un rompecabezas de n piezas, se necesitan n-1 movidas (una movida es juntar dos bloques con fronteras comunes). Ejercicio 8 Sean f(x) = xe x y g(x) = 1/x, demostrar que f (n) (x) = e x (x + n) g (n) (x) = ( 1) n n! x n+1. Principio de Inclusión-Exclusión Ejercicio 9 (a) Cuántos enteros entre 1 y 105 inclusive no son divisibles por ninguno de los enteros 3, 5, 7? (b) (Ej9 Examen de julio 2000 ) Cuántos enteros entre 1 y 1155 inclusive son múltiplos de 3 pero no son divisibles por ninguno de los enteros 5,7 y 11? Ejercicio 10 De 100 estudiantes, 32 estudian matemática, 20 física, 45 biología, 15 matemática y biología, 7 matemática y física, 10 física y biología, 30 no estudian ninguna de las tres materias. 1. Encuentre el número de estudiantes que estudian las tres materias. 2. Encuentre el número de estudiantes que estudian exactamente una de las tres materias. 2

Ejercicio 11 Cuántas soluciones tiene la ecuación x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 19 si x i es un entero y (a) 0 x i 8 para todo i, (b) 0 x 1 5, 0 x 2 6, 3 x 3 7 y 0 x 4 8? Ejercicio 12 Cuántas permutaciones de los dígitos de 123456789 cumplen que: (a) Ningún dígito esta en su posición original? (b) Los pares no están en su posición original? (c) Los pares no están en su posición natural y la secuencia debe empezar con los dígitos 1, 2, 3, 4 en algún orden? Funciones Sobreyectivas Ejercicio 13 (Parcial 2000) Considere los conjuntos A = {1, 2, 3,..., 10} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Cuántas funciones f : A B satisfacen f(a) 3? Indique la opción correcta: 1. Sob(10, 3). 2. 3 10 Sob(10, 3). 3. 3) Sob(10, 3) 2) Sob(10, 2) + 1) Sob(10, 1). 4. 3) Sob(10, 3) + 2) Sob(10, 2) + 1) Sob(10, 1). 5. 3) Sob(10, 3). Ejercicio 14 Dé un argumento combinatorio para probar que para todo n y m naturales vale: (a) n m = n ( n i) Sob(m, i). (b) Sob(m + 1, n) = n(sob(m, n 1) + Sob(m, n)). (c) S(m + 1, n) = S(m, n 1) + ns(m, n). (d) Sob(m, n) = m (n 1) ( m ) i Sob(m i, n 1). (e) n! = n ( n i=0 k) dk, donde d 0 = 1 y d k es el número de desarreglos de tamaño k. En todos los casos, S y Sob indican número de Stirling de 2da especie y funciones sobreyectivas, respectivamente. Principio del Palomar Ejercicio 15 Cualquier subconjunto de seis elementos del conjunto S = {1, 2,..., 9} debe contener dos elementos cuya suma sea 10. 3

Ejercicio 16 Dados cinco punto de un cuadrado de lado 2, deben haber dos que están a distancia menor o igual que 2. Ejercicio 17 Sea f : A B una función, donde A > B. Demuestre que hay al menos A / B puntos del dominio que toman el mismo valor. Ejercicio 18 Demuestre que entre 100.000 personas hay al menos dos que nacieron exactamente al mimo tiempo (hora, minuto y segundo). Ejercicio 19 Pruebe que uno al menos de m enteros consecutivos es divisible por m. Ejercicio 20 (Examen Marzo 2003) Hallar el menor natural n tal que dados n dígitos diferentes se puede asegurar que existen dos de ellos cuyos cuadrados diferirán en un múltiplo de 6. Ejercicios Suplementarios Inducción Completa Ejercicio 21 Demuestre que: 1. n 3 n es divisible por 3 para todo n entero. 2. La suma de los cubos de tres enteros consecutivos es divisible por 9. Ejercicio 22 Demuestre que todo natural n puede expresarse como la suma de cincos y/o sietes siempre que n sea mayor o igual a 24, es decir n 24, i, j N {0} tales que n = 5i + 7j. Ejercicio 23 (Exam. octubre 2001 Ej8 a)) Demostrar que si y a 1 = 3, a 2 = 10, a 3 = 30, entonces a n = 2a n 1 + 7a n 2 + a n 3 a n 3 n n 1. Ejercicio 24 Se define Demostrar que S n = (n + 1)! 1. S n = i!.i n 1 4

Ejercicio 25 Considere un tablero cuadriculado de 2 n cuadrados por lado al cual le falta un cuadradito en algún lugar. Demuestre que se puede cubrir dicho tablero con piezas en forma de L formadas por 3 cuadraditos cada una. Ejercicio 26 La sucesión F n de Fibonacci se define recursivamente del siguiente modo: F 0 = 0, F 1 = 1 y F n = F n 1 + F n 2 n 2. Probar que: 1. F i = F n+2 1. i=0 2. 3. 2 F i F i 1 = F 2 2n. F 2 i = F n F n+1. Ejercicio 27 Se considera la función f definida sobre R \ {2/3} por : Demostrar que la derivada n-ésima de f es: f (x) = 1 3x + 2. f (n) (x) = 3n ( 1) n n! (3x + 2) n+1. Principio de Inclusión-Exclusión Ejercicio 28 De cuántas formas pueden extraerse 9 canicas de una bolsa si hay 3 de cada uno de los siguientes colores: blanco, rojo, azul, negro? Ejercicio 29 Cuántos enteros positivos entre 1 y 9.999.999 inclusive tienen a 31 como la suma de sus dígitos? Ejercicio 30 Cuántas palabras de 4 letras pueden formarse usando las letras A,B,C,D,E si debe aparecer al menos una vocal? Principio del Palomar Ejercicio 31 Hallar el menor entero n tal que todo tablero rectangular cuadriculado de 4 n, con sus cuadrados pintados de dos colores, debe tener al menos un rectángulo cuyas cuatro esquinas estén pintadas del mismo color. 5

Ejercicio 32 (Ej 5 Examen de Julio 2004) Sea un tablero de 141 filas y 8 columnas. Cada cuadradito del tablero se pinta de blanco o de negro de forma tal que cada fila tenga exactamente cuatro cuadraditos pintados de negro. Demostrar que hay al menos tres filas con igual secuencia de colores. 6