Material de Entrenamiento OMM Combinatoria

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1 Material de Entrenamiento OMM Combinatoria Profesores Mayo Paridad Un número se dice par si se puede dividir exactamente por dos, en caso contrario se dice impar. La paridad de un número es par o impar dependiendo si el número lo es. Ejemplo 1. Números pares son 8, 0, 2, 10, 6, 128. Ejemplo 2. Números impares impares son 1, 1, 7, 25, 21. Observación 1. Todo número par es de la forma 2n para algún entero n. Ej. 28 = 2( 14), 0 = 2(0), 24 = 2(162). Observación 2. Todo número impar es de la forma 2n + 1 para algún entero n. Ej. 15 = 2( 8) + 1, 7 = 2() + 1, 5 = 2(17) + 1. Observación. La suma de dos números pares da como resultado un número par. La suma de dos números impares da como resultado un número par. La suma de un número par más un número impar da como resultado un número impar. La multiplicación entre números pares da como resultado un número par. La multiplicación entre números impares da como resultado un número impar. La multiplicación entre un número par por un número impar da como resultado un número par. 1.1 Problemas para discutir Ejercicio 1. En un tablero de ajedrez. Puede un caballo regresar a su posición original después de once movimientos? Solución 1. Notemos que cada vez que se mueve el caballo, lo hace de tal manera que si se encuentra en una casilla blanca cambia a una casilla negra y si se encuentra en una casilla negra cambia a una casilla blanca. Entonces, para llegar a una casilla del mismo color, lo tendrá que hacer en una cantidad par de movimientos. Así, como 11 es un número impar, no podrá haber llegado a la casilla original. Ejercicio 2. Puede un tablero de damas de ser cubierto por fichas de dominó de 2 1? Solución 2. Observemos que lado cada ficha de dominó cubre 2 cuadritos, entonces sin importar cuantas fichas de dominó tengamos, la cantidad de cuadritos que éstas cubrirán en total deberá de ser un número par. Por otro lado Observemos que el tablero tiene un total de 225 cuadritos, que es un número impar. Por lo tanto no puede ser cubierto por las fichas de dominó. Ejercicio. El producto de 4 números enteros es igual a 1. Pruebe que su suma no puede ser cero. 1

2 Solución. Como el producto de los 4 número es 1, la única posibilidad para que esto suceda es que todos los números sean 1 o 1. Ahora, si buscamos que la suma de todos sea cero, entonces deberá haber mitad de 1 s y mitad de 1 s, es decir 17 de cada grupo. Sin embargo, si esto ocurre, la multiplicación de 17 números 1 por 17 números 1 da como resultado 1. Así, ambas situaciones no pueden ocurrir a la vez. Nota para el Profesor 1. Observemos que en cada uno de los ejercicios se usaron implícitamente las observaciones enunciadas al inicio. Principalmente las propiedades de suma y multiplicación fueron necesarias para plantear y resolver los problemas. 1.2 Problemas para resolver 1. En un tablero de ajedrez. Puede ir un caballo de una esquina a la esquina opuesta pasando por cada casilla una sola vez? 2. Consideremos todas las fichas de un dominó acomodadas en cadena (si dos fichas están juntas es porque tienen el mismo número de puntos del lado donde están juntas). Diga si es posible construir una cadena que empiece en 5 y termine en 4.. En un tablero de damas de 25 25, son colocadas 25 fichas de damas de tal manera que quedan simétricas respecto de la diagonal. Pruebe que al menos una dama queda justo sobre la diagonal del tablero. 4. Los números del 1 al 10 son escritos en un renglón con los signos + o antes de cada número. Diga si es posible que la suma de esos números de cero. 1. Soluciones 1. En total el tablero tiene 64 casillas, por lo tanto si se quiere ir de esquina a esquina pasando por todas las casillas deberá hacerse en exactamente 6 movimientos. Sin embargo, como las esquinas opuestas son del mismo color, para llegar de una a otra el caballo necesita una cantidad par de movimientos. Por lo tanto es imposible llegar en 6 movimientos. 2. Probaremos que cada que una cadena completa debe iniciar y terminar en el mismo número. Supongamos que la ficha [5, 5] se encuentra en un extremo de la cadena, para continuar la cadena debemos poner otra ficha con que tenga un cinco, esto nos deja con 5 fichas más que tengan algún cinco. Por otro lado, cuando coloquemos cualquiera de ellas debemos continuar con otra más, es decir que se usan por pares. Finalmente como debemos usar todas las fichas, la cadena deberá terminar en cinco. Ahora si en un extremo de la cadena se encuentra una ficha de la forma [5, n], con n 5, se tiene que en algún momento debemos colocar la ficha [5, 5] y esto no puede ser en el extremo, pues sería el caso anterior, en consecuencia cuando la coloquemos debemos usar en total fichas, lo que nos deja con fichas más que tienen algún cinco. Usando un razonamiento similar, la cadena deberá terminar en cinco nuevamente.. Notemos que el tablero de damas se puede dividir en tres regiones: la diagonal y las dos regiones triangulares que quedan por abajo y por arriba de la diagonal. Ahora, como las fichas se encuentran simétricas respecto a la diagonal, se tiene que si hay alguna ficha en alguna de las dos regiones triangulares, deberá haber otra ficha en la otra región triangular. Por lo tanto la cantidad de fichas en las regiones triangulares es par, y como tenemos una cantidad impar de fichas, alguna deberá estar justo en la diagonal. 4. En total tenemos cinco números pares y cinco números impares. La suma de los cinco pares es par y la suma de los cinco impares es impar, por lo tanto la suma total deberá de ser impar, que tiene que ser distinto de cero pues cero es par. 2

3 Nota para el Profesor 2. En algunos de los problemas anteriores vale la pena sugerir algunas preguntas adicionales después de analizar la solución. Por ejemplo en el Problema se puede preguntar qué pasaría si las fichas quedan simétricas respecto a las dos diagonales? En éste caso una ficha debería quedar una ficha en el centro del tablero. Otro ejemplo de pregunta adicional en el Problema 4 es qué ocurre si en vez de tener sólo los números del 1 al 10 se tienen los números del 1 al 1000? En donde con un argumento similar se concluye la misma respuesta. 2 Principios de conteo En los siguientes problemas se pide contar cierta cantidad de objetos que satisfacen alguna condición. Las técnicas utilizadas para realizar este tipo de conteos se enuncian a continuación. 1. Principio fundamental de conteo. Si una primera tarea puede realizarse de n maneras y a su vez una segunda tarea puede realizarse de m maneras, entonces ambas tareas pueden realizarse juntas de n m maneras. 2. Factorial de un número. Definimos el factorial de un número n 0, como el producto de todos los enteros positivos menores o iguales que n, escribimos por convención definimos 0! = 1. n! = n. Permutaciones. Para n k, si se quieren acomodar n objetos en k lugares y el orden importa, el número de formas posibles para hacerlo es n! (n k)! 4. Combinaciones. Para n k, si se quieren elegir k elementos de un conjunto de n elementos sin importar el orden, el número de formas posibles para hacerlo es ( ) n n! = k (n k)!k! 2.1 Problemas para discutir Ejercicio 4. Para viajar de Durango a Cancún, se puede realizar un viaje en autobús de Durango a la Ciudad de México y una vez ahí tomar un vuelo hacia Cancún. Si hay 9 corridas de autobús Dgo-CDMX y sólo 4 vuelos CDMX-Cancún, de cuántas maneras distintas se puede realizar el viaje? Solución 4. Se usa directamente el principio fundamental de conteo. La primera tarea consiste en realizar el viaje en autobús para la cual tenemos 9 posibilidades y para la segunda tarea, que es tomar el vuelo, tenemos 4 opciones. Finalmente el total de formas distintas es 9 4 = 6. Ejercicio 5. En Letrolandia todas las palabras tienen a lo más cuatro letras y el alfabeto consta únicamente de las letras A, B, C, cuántas palabras distintas se pueden formar con éstas características? Solución 5. Contamos las palabras de una, dos, tres y cuatro letras y sumamos al final, obteniendo un total de = 120. Ejercicio 6. En una bolsa hay 6 pelotas azules y 4 pelotas rojas, de cuántas maneras podemos colocarlas en una fila? Solución 6. El problema se puede analizar de la siguiente manera, en total tenemos 10 espacios para llenar, podemos acomodar las 4 bolas azules en los 10 y el resto de espacios vacíos los ocupamos con las bolas rojas. El número de formas en las que podemos acomodar las 4 bolas azules en los 10 espacios es ( 10 4 ).

4 2.2 Problemas para resolver 1. De cuántas maneras se pueden colocar un rey negro y un rey blanco, en un tablero de ajedrez, de tal manera que no se ataquen? 2. Cuántos números de diez cifras hay, tales que todas sus cifras tengan la misma paridad?. Cuántas palabras distintas se pueden formar usando todas letras de la palabra MATEMATICA? 4. De cuantas maneras podemos elegir tres rebanadas de pizza, de manera que dos rebanadas elegidas no sean consecutivas? 5. En una clase de baile asisten n niños y n niñas. De cuántas maneras se pueden acomodar en parejas para tomar la clase? 6. Se tienen 8 piezas de ajedrez: 2 torres, 2 alfiles, 2 caballos y 2 peones. De cada uno de los cuatro tipos de piezas, una es blanca y la otra negra. De cuántas maneras se pueden acomodar las ocho piezas en una columna de un tablero de ajedrez, de tal manera que ninguna pieza quede en un cuadro de su color? 7. Hay tres habitaciones en un dormitorio, una sencilla, una doble y una cuádruple. De cuántas maneras se pueden acomodar siete estudiantes en el dormitorio? 8. De cuántas formas se pueden colocar los números de 1 al 7 en los puntos marcados en la figura de tal forma que la suma de los números en los triángulos sombreados sea la misma? 9. De cuántas maneras se pueden elegir dos fichas de dominó, de tal forma que tengan un número en común? 10. Consideremos todos los posibles productos distintos que se pueden obtener multiplicando al menos dos elementos del conjunto {1, 2,, 4,..., 2016}. Cuál es la suma de todos esos productos? 11. Un domador de leones quiere colocar 5 leones y 4 tigres en una fila, de manera que ningún tigre quede junto a otro tigre. De cuántas maneras puede hacerlo? De cuántas formas puede hacer el domador un arreglo de 9 animales salvajes (tigres o leones) de tal manera que no haya dos tigres juntos, pero puede usar cualquier cantidad de tigres o leones? Nota para el Profesor. Durante la sesión de problemas, siempre hay algunas sugerencias que se pueden comentar al momento de analizar los problemas. Por ejemplo, en el Problema 1 se puede comentar las distintas que las distintas posibilidades de ataque dependen de las posiciones de las piezas. En el Problema, que el uso de letras iguales no cambia una palabra si sólo éstas se intercambian de posición entre sí, se puede hacer un ejemplo que lo exhiba. En el Problema 8, que el número del centro juega un papel importante. O en el Problema 10, analizar casos más sencillos con menos números, en donde todos los productos posibles se obtengan en pocos pasos. 4

5 2. Soluciones 1. El rey blanco puede estar en 64 posiciones diferentes. Sin embargo, las posibilidades de ataque varían dependiendo de la posición. Analizamos cada caso. Si el rey blanco se encuentra en una de las cuatro esquinas. Entonces para cada una de las esquinas hay 60 casillas en donde podemos colocar el rey negro. Si se encuentra en alguno de los bordes del tablero, que no son esquinas, hay 58 casillas posibles para el rey negro. Se tienen 24 casillas de este tipo. Por último, si no se encuentra en ningún borde del tablero, se tienen 55 casillas en donde se puede colocar rey negro. Son en total 6 casillas como esta. Sumamos los totales y obtenemos = Si todas las cifras de número son impares se tienen 5 10 números posibles. En cambio si todas las cifras son pares, como no se puede usas el cero al inicio, se tienen posibilidades. La suma de ambos es el resultado final.. Si las diez letras fueran distintas, total de palabras que se pueden formar es 10!; sin embargo, hay que considerar que si dos o más letras iguales se cambian de lugar entre si, se obtiene un acomodo diferente pero la palabra es la misma. Esta situación ocurre para todos los posibles movimientos de las tres letras A s, las dos letras M s y las dos letras T s. En consecuencia el total de palabras que se pueden formar es 10!!2!2! 4. Una manera de ver el problema es contar el total de formas para elegir tres rebanadas de la pizza y luego ver en cuántos casos hay dos o más rebanadas juntas. El número de formas posibles para elegir tres de las ocho rebanadas es ( 8 ) = 56. Ahora hay 8 maneras distintas en las que están las tres juntas (ponerlas juntas en una posición y luego rotarlas). Ahora, las formas en que están dos juntas y una separada se pueden contar de la siguiente manera: poner las dos juntas en una posición, luego elegir la tercera de manera que haya una, dos, tres o cuatro rebanadas con las otras dos en el sentido de las manecillas del reloj. En total son cuatro posibilidades, luego las rotamos ocho veces cada una y obtenemos un total de 2 casos posibles. Haciendo la resta se tiene que hay 16 formas en las que quedan las tres rebanadas separadas. 5. Si sólo tuviéramos un niño tenemos n posibilidades para elegirle pareja, si tuviéramos dos serían n(n 1), n formas para el primero y n 1 para el el segundo niño, si tuviéramos serían n(n 1)(n 2), de esta manera si tenemos n niños, el resultado sería n!. 6. En una columna de un tablero de ajedrez se tienen 4 casillas negras, en las cuales debemos acomodar las cuatro piezas blancas, esto puede hacerse de 4! formas diferentes. Análogamente para acomodas las 4 piezas negras en las restantes 4 casillas blancas se tienen 4! posibilidades. Por último el total de acomodos será 4! 4! = Imaginemos las siete camas ordenadas como sigue: primero colocamos la cama de cuarto sencillo, luego las dos del cuarto doble y al final las cuatro del cuarto restante. Si queremos acomodar a los siete estudiante en las camas, tendremos 7! maneras de hacerlo. Sin embargo al considerar las habitaciones por separado, no importa el orden en que llegaron los estudiantes a una misma habitación, es decir que algunas se repiten dependiendo de cómo se pueden acomodar los estudiantes en esa misma habitación, en conclusión tendremos 7! 1!2!4!. 8. La suma de los números = 28. Llamémosle n al numero central. Como queremos que la suma de los tres triángulos sombreados sea la misma, entonces 28 n debe ser divisible entre 5

6 tres. Luego n sólo puede ser 1, 4, o 7. Analizamos cada caso por separado. Para n = 1, la suma de los otros dos vértices en cada triángulo sombreado deberá ser 28 1 = 9. Luego, las posibilidades para los vértices en los triángulos sólo pueden ser: 2 con 7, con 6 y 4 con 5. Para n = 4, la suma de los otros dos vértices en cada triángulo sombreado deberá ser 28 4 = 8. Luego, las posibilidades para los vértices en los triángulos sólo pueden ser: 2 con 6, con 5 y 1 con 7. Para n = 7, la suma de los otros dos vértices en cada triángulo sombreado deberá ser 28 7 = 7. Luego, las posibilidades para los vértices en los triángulos sólo pueden ser: 1 con 6, 2 con 5 y 4 con. Finalmente contamos las posibles formas de acomodar. Para el número central tenemos posibilidades, una vez elegido tenemos tres parejas de números para completar los vértices en cada triángulo sombreado que se pueden acomodar de! formas distintas, finalmente una vez que se elige en qué triángulo va cada pareja de números, éstos a su vez se pueden cambiar de vértices de 2 maneras diferentes. Así el número de configuraciones distintas es! 2 = La primera ficha se puede elegir de 28 formas. Pero, de éstas, 7 son mulas (mismo número en ambos lados). Si la ficha elegida tiene el mismo número en ambos lados, entonces la segunda ficha se puede elegir de 6 formas (por ejemplo la [1 1] se puede acoplar con cualquiera de las fichas [1 0], [1 2], [1 ], [1 4], [1 5], [1 6].De otra manera (cuando el número es diferente en cada lado de la primera ficha), la segunda ficha se puede elegir de 12 formas (por ejemplo, la [0 1] se puede acoplar con cualquiera de las fichas, [0 0], [0 2],..., [0 6], [1 1], [1 2],..., [1 6]).De acuerdo al principio multiplicativo, hay 42 formas para el primer caso y 252 para el segundo. El total de posibilidades de elección sería = 294.Pero como el orden en que se eligen las fichas es irrelevante, la respuesta final es la mitad de 294, es decir, hay 147 formas de elegir dos fichas con algún número en común de las 28 del dominó. 10. Notemos que al desarrollar el producto (1 + 1)(1 + 2)(1 + )... ( )( ) cada sumando en cada uno de los productos buscados, salvo el = 1. Finalmente la suma buscada es el producto anterior menos uno, es decir 2017! Para que dos tigres no queden juntos, estos tendrán que estar separados por al menos un león. Entonces podemos proceder de la siguiente manera. Se pueden colocar los 5 leones en fila, de manera que dejemos un espacio vacío antes del primer león, otro espacio al final del último león y un espacio más entre cada dos leones, esto se ve como *L*L*L*L*L* donde los asteriscos se pueden pensar como los 7 espacios vacíos. Luego para tener un acomodo donde no estén dos tigres juntos basta colocarlos en esos espacios vacíos, ya que estarán separados por leones, el número de formas para hacer esto es ( 7 ). El caso en el que se usan distintas cantidades de animales se resuelve de manera similar. 6