SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS DE PRIMER ORDEN Alejandro Lugon 26 de mayo de 2010 1. Ecuaciones planares: dos dimensiones El sistema homogéneo: ẋ a 11 x + a 12 y (1) ẏ a 21 x + a 22 y puedes ser escrito como: x ẋ donde X Ẋ y A y ẏ La solución toma la forma: Ẋ A X a 11 a 12. a 21 a 22 X(t) (At) donde usando la definición tenemos (At) (A) (At) k tk Si suponemos que esta sumatoria converge para todo t R y que la siguiente derivada es correcta 1 : d dt (At) d d dt tk dt tk A k1 k1 ktk 1 A (At) k1 1 (k 1)! tk 1 A (k 1)! tk 1 tk 1 Ambas cosas ciertas. 1
podemos verificar que X(t) (At) cumple Ẋ d dt X(t) d dt (At) A (At) AX(t) AX Luego encontrar la solución de (1) se reduce a calcular la suma + Ak tk. Esto es sencillo cuando la matriz es diagonalizable, es decir cuando tiene valores propios reales y diferentes. Recordemos que los valores propios de A corresponden a las raíces de su ecuación (o polinomio) característica(o): Det(A λi) 0 esta ecuación es un polinomio de segundo grado y por lo tanto tiene 2 raíces. Estas raíces pueden ser: 1. Reales y diferentes 2. Reales e iguales 3. Complejos conjugados eamos los tres casos posibles considerando 2 det(a) 0: 1.1. Raíces reales diferentes Sean λ 1 y λ 2 dichas raíces, estas son los valores propios de A. Consideremos a v 1 y v 2 los respectivos vectores propios asociados. Si formamos la matriz v 1 v 2 sabemos que: A λ 1 0 0 λ 2 con lo cual: ( A ) k λ 1 0 k λ k 1 0 0 λ 2 0 λ k 2 usamos esto para calcular: λ k 1 0 0 λ k 2 de donde se obtiene la fórmula que usaremos: (At) k (λ 1 t) k 0 0 (λ 2 t) k Con esto podemos realizar los cálculos: 2 En particular esto nos asegura que ninguna raíz es nula 2
(At) (At) k (λ 1 t) k 0 0 (λ 2 t) k (λ 1 t) k 0 0 (λ 2 t) k + (λ 1t) k / 0 + 0 (λ 2t) k / (λ 1 t) 0 0 (λ 2 t) Luego la solución sería: λ 1 t 0 X(t) 0 λ 2 t ) λ 1 t 0 ( 0 λ 2 t ( ) λ 1 t 0 K 1 0 λ 2 t K 2 ( ) λ 1 t 0 K 1 0 λ 2 t K 2 ( ) K 1 λ 1 t K 2 λ 2 t v 1 K 1 λ 1 t + v 2 K 2 λ 2 t o de manera lícita: x(t) v 11 K 1 λ 1 t + v 12 K 2 λ 2 t y(t) v 21 K 1 λ 1 t + v 22 k 2 λ 2 t donde v ij son los elementos de los vectores característicos y las constantes K 1 y K 2 se determinan con las condiciones iniciales: x(0) v 11 K 1 + v 12 K 2 y(0) v 21 K 1 + v 22 k 2 3
1.2. Raíces reales iguales Sea λ 0 el valor de dicha raíz y v un vector propio asociado. Podemos conseguir otro vector propio generalizado w resolviendo el sistema (A λi)w v. Con estos dos vectores formamos la matriz v w, podemos calcular: A (A ) Av Aw λv v + λw (λ + 0 v) λi + 0 v 0 1 λi + 0 0 λ 1 0 λ Con esto tenemos: ( A ) k λ 1 0 λ k λ 1 λ k kλ k 1 Se puede probar por inducción que:. 0 λ 0 λ k Luego: λ k kλ k 1 0 λ k y (At) k (λt) k kt(λt) k 1 0 (λt) k Entonces: k (At) k (At) (λt) k kt(λt) k 1 0 (λt) k (λt) k kt(λt) k 1 0 (λt) k + + (λt)k / kt(λt)k 1 / + 0 (λt)k / (λt) t (λt) 0 (λt) Donde hemos usado: kt(λt) k 1 / k1 kt(λt) k 1 / t (λt) k 1 /(k 1)! t k1 (λt) k / t (λt) 4
. Con esto la solución buscada sería: (λt) t (λt) X(t) 0 (λt) ) (λt) t (λt) ( 0 (λt) ( ) (λt) t (λt) K 1 0 (λt) K 2 ( ) (λt) t (λt) K 1 0 (λt) K 2 ( ) K 1 (λt) + K 2 t (λt) K 2 (λt) K 1 (λt) + K 2 t (λt) v + K 2 (λt) w K 1 (λt)v + K 2 t (λt)v + (λt) w K 1 v + K 2 w (λt) + K 2 v t (λt) o de manera lícita: x(t) v 1 K 1 (λt) + (tv 1 + w 1 )K 2 (λt) y(t) v 2 K 1 (λt) + (tv 2 + w 2 )K 2 (λt) donde v ij son los elementos de los vectores característicos y las constantes K 1 y K 2 se determinan usando las condiciones iniciales: x(0) v 1 K 1 + w 1 K 2 y(0) v 2 K 1 + w 2 K 2 1.3. Raíces complejas conjugadas Sean α + iβ y α iβ las raíces del polinomio característico. En general estos no tienen vectores propios reales asociados a ellos, pero si podemos encontrar un vector complejo v + iw, con v y w vectores reales linealmente independientes, tal que: A(v + iw) (α + iβ)(v + iw) (αv βw) + i(βv + αw) igualando las partes reales e imaginarias tenemos que: Av αv βw Aw βv + αw 5
luego en este caso se puede construir una matriz v w tal que: α β A β α luego 3 : (At) ) ( A t) ( ) αt βt βt αt ( ) αt 0 0 βt + 0 αt βt 0 ( ) ( ) αt 0 0 βt 0 αt βt 0 Cos(βt) (αt) 0 Cos(βt) Sen(βt) 0 (αt) Sen(βt) (αt)cos(βt) (αt)sen(βt) (αt)sen(βt) (αt)cos(βt) Con esto la solución buscada sería: (αt)cos(βt) (αt)sen(βt) X(t) (αt)sen(βt) (αt)cos(βt) (αt)cos(βt) (αt)sen(βt) v w (αt)sen(βt) (αt)cos(βt) K 1 (αt)cos(βt) + K 2 (αt)sen(βt) v + K 2 (αt)cos(βt) K 1 (αt)sen(βt) w (αt) (K 1 Cos(βt) + K 2 Sen(βt) v + K 2 Cos(βt) K 1 Sen(βt) w) De manera lícita: K 1 K 2 x(t) (K 1 v 1 + K 2 w 1 ) (αt)cos(βt) + (K 2 v 1 K 1 w 1 ) (αt)sen(βt) y(t) (K 1 v 2 + K 2 w 2 ) (αt)cos(βt) + (K 2 v 2 K 1 w 2 ) (αt)sen(βt) donde v 1, v 2, w 1, w 2 son los elementos de los vectores característicos y las constantes K 1 y K 2 se determinan usando las condiciones iniciales: x(0) (K 1 v 1 + K 2 w 1 ) y(0) (K 1 v 2 + K 2 w 2 ) 3 Hay que anotar que en el caso de matrices (A + B) (A) (B) cuando AB BA 6
2. Ecuaciones de dimensión mayor que 2 Sea el sistema: donde X : R R n y A es una matriz n n. El polinomio característico de la matriz A: Ẋ A X det(a λi) 0 tiene, tomando en cuenta la multiplicidad, n raíces entre reales y complejas. Las raíces reales pueden tener múltiples. Las raíces complejas se presentan en pares conjugados los cuales también pueden ser simples o múltiples. La solución general del sistema de ecuaciones diferenciales está determinada por una combinación lineal de n soluciones independientes. Estas soluciones corresponden a las raíces del polinomio característico, consideremos que tenemos M raíces reales λ j con multiplicidad m j y 2N raíces complejas conjugadas por pares (N pares), α l ± iβ l con multiplicidad m l cada par 4. La solución se conforma la siguiente manera: Cada raíz real, λ j con multiplicidad m j, genera los m j términos: K j,0 (λ j t), K j,1 t (λ j t), K j,2 t 2 (λ j t),..., K j,mj t mj 1 (λ j t) Cada par de raíces complejas conjugadas α l ± iβ l con multiplicidad m l, genera los 2m l términos: K l,0 (α l t)cos(β l t), K l,1 t (α l t)cos(β l t), K l,2 t 2 (α l t)cos(β l t),..., K l,ml t m l 1 (α l t)cos(β l t) K l,0 (α l t)sen(β l t), K l,1 t (α l t)sen(β l t), K l,2 t 2 (α l t)sen(β l t),..., K l,ml t m l 1 (α l t)sen(β l t) De esta manera cada una de las componentes de la solución, X i (t) es una combinación lineal de todos los términos generados. Esta combinación genera n 2 constantes que se determinan de la siguiente manera. Primero se verifica que sean solución del sistema planteado, esto nos deja con n constantes por determinar. Estas son las constantes que dependen de las condiciones iniciales. 4 En ambos casos las raíces simples tienen multiplicidad m 1 7