Universidad Nacional de Mar del Plata Departamento de Ingeniería Eléctrica Área Electrotecnia Electrotecnia General (para la Carrera Ingeniería Industrial) Leyes Fundamentales Profesor Adjunto: Ingeniero Electricista y Laboral Gustavo L. Ferro Mail: gferro@fi.mdp.edu.ar EDICION 2015
INDICE Capitulo 2 LEYES FUNDAMENTALES 2.1. Introducción 2.2. Ley de Ohm 2.3. Nodos, lazos y ramas 2.4. Leyes de Kirchhoff BIBLIOGRAFIA RECOMENTADA: Fundamentos de Circuitos Eléctricos. Autor: Charles K. Alexander Mattheu N. O. Sadiku Capítulo 2 Archivo en la red http://www3.fi.mdp.edu.ar/dtoelectrica/catedras_3e4.htm Ing. Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecnia Página 2
2.1. Introducción En el capítulo anterior se presentaron conceptos básicos como corriente, tensión y potencia en un circuito eléctrico. Para determinar los valores de esas variables en un circuito dado se requiere conocer algunas leyes fundamentales que gobiernan a los circuitos eléctricos. Estas leyes, conocidas como la LEY DE OHM y las LEYES DE KIRCHHOFF, son la base en la que se apoya el análisis de circuitos eléctricos. 2.2. Ley de Ohm Los materiales en general poseen el comportamiento característico de oponer resistencia al flujo de la carga eléctrica. Esta propiedad física o capacidad para resistir a la corriente se conoce como RESISTENCIA y se representa con el símbolo R. La resistencia de cualquier material con un área de sección transversal uniforme A depende de esta y su longitud l, como se muestra en la figura. Se puede representar la resistencia (medida en el laboratorio), en forma matemática como: R l A donde se llama resistividad del material, medida en Ω- m. Los buenos conductores, como el cobre y el aluminio, tienen baja resistividad, mientras que los aislantes, como la mica y el pape, tienen alta resistividad. En la tabla siguiente se representan los valores de de algunos materiales comunes y se indica que materiales se emplean como conductores, aislantes y semiconductores. El elemento de circuito que se utiliza para modelar el comportamiento de resistencia a la circulación de la corriente es el resistor. El resistor es el elemento pasivo más simple. Se acredita a Georg Simon Ohm, físico alemán, el descubrimiento de la relación entre corriente y tensión en un resistor. Esta relación se conoce como Ley de Ohm. La ley de Ohm establece que la tensión v a lo largo de un resistor es directamente proporcional a la corriente i que fluye a través del resistor. Esto es, v i. Ohm definió la constante de proporcionalidad de un resistor como la resistencia R. Asi la ecuación anterior se convierte en: v i R Ing. Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecnia Página 3
la cual es la forma matemática de la Ley de Ohm. R se mide en la unidad llamada ohm, designada como Ω. Asi: La resistencia R de un elemento denota su capacidad para resistirse al flujo de corriente eléctrica, se mide en ohms (Ω) v De la ecuación anterior se deduce R de mod o que1 1V / i Puesto que R puede variar de cero a infinito, es importante considerar los dos posibles valores extremos de R. Un elemento con R = 0 se llama cortocircuito, como se describe en la figura que sigue. En el caso de un cortocircuito v = i R = 0 lo que indica que la tensión es cero pero la corriente podría ser de cualquier valor. En la práctica, un cortocircuito suele ser un alambre conectado, que se supone que es un conductor ideal. Así : Un cortocircuito es un elemento de circuito con resistencia que se aproxima a cero De igual forma, un elemento con R = se conoce como circuito abierto como se señala en la figura. En el caso de un circuito abierto la corriente es cero pero la tensión puede ser cualquiera Un circuito abierto es un elemento de circuito con resistencia que tiende a infinito A Una cantidad útil en el análisis de circuitos es el recíproco de la resistencia R, conocido como conductancia y denotado por G. 1 i G dondeg se exp resa en Siemens S R v La potencia que disipa un resistor puede expresarse en términos de R con las siguientes relaciones: 2 2 v p v i i R R 2 2 i En términos de G también podemos expresar: p v i v G G Cabe señalar dos cosas respecto de las ecuaciones anteriores: 1. La potencia disipada en un resistor es una función no lineal de la corriente o la tensión. 2. Puesto que R o G son cantidades positivas, la potencia disipada en un resistor siempre es positiva. Así, un resistor siempre absorbe potencia del circuito. Esto confirma la idea de que un resistor es un elemento pasivo, incapaz de generar energía. 2.2. Nodos, ramas y lazos. Dado que los elementos de un circuito eléctrico pueden interconectarse de varias maneras, es necesario conocer algunos conceptos básicos de topología de redes. En topología de redes se estudian las propiedades relativas a la disposición de elementos en la red y la configuración geométrica de la misma. Tales elementos son ramas, nodos y lazos. Ing. Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecnia Página 4
Una rama representa un solo elemento, como una fuente o un resistor. En otras palabras, una rama representa a cualquier elemento de dos terminales. El circuito de la figura tiene cinco ramas, a saber: la fuente de tensión de 10V, la fuente de corriente de 2 A y los tres resistores. Un nodo es el punto de conexión entre dos o más ramas. Un nodo suele indicarse como un punto en un circuito. Si un cortocircuito (un alambre de conexión) conecta a dos nodos, estos constituyen un solo nodo. El circuito de la figura de 2.10 tiene tres nodos, a, b y c. Se demuestra que el circuito de la figura 2.10 sólo tiene tres nodos volviendo a trazarlo en a figura 2.11. Un lazo o malla es cualquier trayectoria cerrada en un circuito Podemos decir que dos o más elementos están en serie si comparten exclusivamente un solo nodo y conducen en consecuencia la misma corriente, y por otra parte dos o más elementos están en paralelo si están conectados a los mismos nodos y tienen en consecuencia la misma tensión entre sus terminales. En el circuito que aparece en la figura 2.1, la fuente de tensión y el resistor de 5 Ω están en serie, porque a través de ellos fluirá la misma corriente. El resistor de 2 Ω, el resistor de 3 Ω y la fuente de corriente están en paralelo, ya que están conectados a los nodos b y c y tienen aplicada la misma tensión. Los resistores de 5 Ω y 2 Ω no están en serie ni el paralelo entre sí. 2.3. Leyes de Kirchhoff La ley de Ohm no es suficiente en sí misma para analizar circuitos. Pero cuando se le une con las dos leyes de Kirchhoff, hay un conjunto suficiente y eficaz de herramientas para analizar gran variedad de circuitos eléctricos. Las leyes de Kirchhoff las introdujo en 1847 el físico alemán Gustav Robert Kirchhoff y se las conoce formalmente como la ley de la corriente de Kirchhoff (LCK) y la ley de tensión de Kirchhoff (LTK). La primera ley de Kirchhoff se basa en la ley de la conservación de la carga, de acuerdo con la cual la suma algebraica de las cargas dentro de un sistema no puede cambiar. La ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) establece que la suma algebraica de las corrientes que entran a un nodo es cero Matemáticamente, la LCK implica que: N i n n 1 0 Donde N es el número de ramas conectadas al nodo e i n es la enésima corriente que entra al (o sale del) nodo. Por efecto de esta ley, las corrientes que entran a un nodo pueden considerarse positivas, mientras que las corrientes que salen del nodo llegan a considerarse negativas, o viceversa. Ing. Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecnia Página 5
Para comprobar la LCK, supóngase que un conjunto de corrientes i k (t), k = 1, 2,. que fluyen en un nodo. La suma algebraica de las corrientes en el nodo es: t) i i i... La integración de ambos miembros de la ecuación produce: Donde: q ik dt y q T( t) Sin embargo, la ley de la conservación de la carga eléctrica requiere que no cambie la suma algebraica de las cargas eléctricas en el nodo, esto es que el nodo no almacene ninguna carga neta. Así 0 i 0, lo que confirma la validez de la LCK. q k Considérese el nodo de la figura 2.16. La aplicación de la LCK da como resultado: De la reordenación de los términos se obtiene: i i i Podemos expresar entonces que: i ( t k T ) i dt i T ( 1 2 3 q q2 q3 La suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen de él. q T ( i2 ) i3 i4 ( i5) 1 i 1 3 4 2 i5 0 1... La segunda ley de Kirchhoff se basa en el principio de la conservación de la energía: La ley de tensiones de Kirchhoff (LTK) establece que la suma algebraica de todas las tensiones alrededor de una trayectoria cerrada (lazo) es cero. Expresada matemáticamente, la LTK establece que: M v m m 1 0 Donde M es el número de tensiones (o el número de ramas en el lazo) y v m es la emésima tensión. Para ilustrar la LTK, consideremos en circuito de la figura. El signo en cada tensión es la polaridad de la primera terminal encontrada al recorrer el lazo. Se puede comenzar con cualquier rama y recorrer el lazo en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido contrario. Ing. Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecnia Página 6
Supóngase que se inicia con la fuente de tensión y que recorre el lazo en el sentido de las manecillas del reloj, como se muestra en la figura; así las tensiones serían v 1, + v 2, + v 3, - v 4 y + v 5, en ese orden. Por ejemplo, al llegar a la rama 3, la primera terminal encontrada es la positiva y de ahí que se tenga + v 3. En cuanto a la rama 4, se llega primero a la terminal negativa y de ahí que v 4. Por lo tanto, la LTK establece: La reordenación de los términos produce : -v 1 + v 2 + v 3 v 4 + v 5 = 0 v 2 + v 3 + v 5 = v 1 + v 4 Lo que puede interpretarse como: Suma de caídas de tensión = Suma de aumentos de tensión Glf/2015 Ing. Gustavo L. Ferro Prof. Adjunto Electrotecnia Página 7