Ejercicio heterocedasticidad 2. 1 Ejercicio Heterocedasticidad_2 Tengamos los siguientes datos de los beneficios (B i ) y ventas (V i ) de 20 empresas: obs B V 1 13,2 61 2 15 78 3 22,2 158 4 15,2 110 5 16,1 85 6 18,5 150 7 15,5 140 8 15 70 9 20 122 10 15 70 11 21 140 12 16,2 91 13 18,5 105 14 17 115 15 17,5 115 16 22 160 17 18 165 18 23 170 19 17 130 20 17 90 Se pide: a) Estimar un modelo lineal para explicar los beneficios en función de las ventas. b) Detecte la presencia de heterocedasticidad con diferentes métodos. c) En el caso de existir heterocedasticidad, aplique el método de estimación MCP, suponiendo que la varianza de las perturbaciones presenta la siguiente relación: 2 2 σi = σ Vi. Solución. a) Modelo estimado Modelo 1: MCO, usando las observaciones 1-20 const 10,2229 1,35823 7,5267 <0,00001 *** V 0,0638456 0,0112223 5,6892 0,00002 *** Media de la vble. dep. 17,64500 D.T. de la vble. dep. 2,751550 Suma de cuad. residuos 51,40902 D.T. de la regresión 1,689987
Ejercicio heterocedasticidad 2. 2 R-cuadrado 0,642619 R-cuadrado corregido 0,622765 F(1, 18) 32,36647 Valor p (de F) 0,000021 Log-verosimilitud -37,81959 Criterio de Akaike 79,63917 Criterio de Schwarz 81,63063 Crit. de Hannan-Quinn 80,02792 El signo del coeficiente de, V, es el esperado. Así, por cada unidad que incrementan las ventas los beneficios incrementan en 0,0638. Además de ser esta variable significativa a un nivel del 95%, el modelo explica un 64% de las variaciones de los beneficios. b) Detección de la heterocedasticidad. b.1) Método gráfico. Residuos de la regresión (= B observada - ajustada) e2 con respecto a V (con ajuste mínimo-cuadrático) 2 14 12 1 10 0 8 residuo -1 e2 6 4-2 2-3 0-4 60 80 100 120 140 160 V -2 60 80 100 120 140 160 En estos gráficos se observa cómo a medida que las ventas incrementan, la dispersión de los residuos también incrementa, indicando la presencia de heterocedasticidad. b.2) Test de Glesjer Para hacer este test: 1. Obtenemos los residuos MCO en términos absolutos. 2. Realizamos las regresiones auxiliares y contrastamos la significación de V para cada regresión auxiliar. V
Ejercicio heterocedasticidad 2. 3 Obs B V abs_e= e i 1 13,2 61 0,91753 2 15 78 0,202905 3 22,2 158 1,889445 4 15,2 110 2,045965 5 16,1 85 0,450176 6 18,5 150 1,29979 7 15,5 140 3,661333 8 15 70 0,30786 9 20 122 1,987888 10 15 70 0,30786 11 21 140 1,838667 12 16,2 91 0,167102 13 18,5 105 1,573263 14 17 115 0,565193 15 17,5 115 0,065193 16 22 160 1,561754 17 18 165 2,757474 18 23 170 1,923298 19 17 130 1,522877 20 17 90 1,030948 Modelo 1: MCO, usando las observaciones 1-20 Variable dependiente: abs_e const -0,891826 0,578307-1,5421 0,14044 V 0,0188873 0,00477826 3,9528 0,00093 *** Media de la vble. dep. 1,303826 D.T. de la vble. dep. 0,957238 Suma de cuad. residuos 9,319916 D.T. de la regresión 0,719565 R-cuadrado 0,464674 R-cuadrado corregido 0,434933 F(1, 18) 15,62434 Valor p (de F) 0,000933 Log-verosimilitud -20,74298 Criterio de Akaike 45,48597 Criterio de Schwarz 47,47743 Crit. de Hannan-Quinn 45,87472 Modelo 2: MCO, usando las observaciones 1-20 Variable dependiente: abs_e const 3,1728 0,547976 5,7900 0,00002 *** Vinv -197,755 55,1884-3,5833 0,00212 *** Media de la vble. dep. 1,303826 D.T. de la vble. dep. 0,957238 Suma de cuad. residuos 10,16142 D.T. de la regresión 0,751348 R-cuadrado 0,416338 R-cuadrado corregido 0,383912 F(1, 18) 12,83977 Valor p (de F) 0,002125 Log-verosimilitud -21,60743 Criterio de Akaike 47,21487 Criterio de Schwarz 49,20633 Crit. de Hannan-Quinn 47,60362
Ejercicio heterocedasticidad 2. 4 Modelo 3: MCO, usando las observaciones 1-20 Variable dependiente: abs_e const -2,93457 1,09025-2,6917 0,01491 ** Vsqrt 0,397477 0,101118 3,9308 0,00098 *** Media de la vble. dep. 1,303826 D.T. de la vble. dep. 0,957238 Suma de cuad. residuos 9,368093 D.T. de la regresión 0,721422 R-cuadrado 0,461906 R-cuadrado corregido 0,432012 F(1, 18) 15,45142 Valor p (de F) 0,000980 Log-verosimilitud -20,79454 Criterio de Akaike 45,58909 Criterio de Schwarz 47,58055 Crit. de Hannan-Quinn 45,97784 En las tres regresiones auxiliares, la variable explicativa es significativa. Sin embargo, observamos que el coeficiente de determinación más elevado corresponde a la primera de ellas (0,464674). Por tanto, podemos suponer que dicha variable provoca heterocedasticidad. b.3) Test de Goldfeld Quandt Para hacer este test: 1. Ordenamos crecientemente respecto de V. 2. Eliminados c=6 datos centrales. 3. Realizamos las regresiones auxiliares. 4. Obtenemos el estadístico de contraste, F. Modelo 1: MCO, usando las observaciones 1-7 const 7,5343 1,34079 5,6193 0,00247 *** V 0,100477 0,0170653 5,8878 0,00201 *** Media de la vble. dep. 15,35714 D.T. de la vble. dep. 1,224550 Suma de cuad. residuos 1,134109 D.T. de la regresión 0,476258 R-cuadrado 0,873948 R-cuadrado corregido 0,848738 F(1, 5) 34,66614 Valor p (de F) 0,002009 Log-verosimilitud -3,562349 Criterio de Akaike 11,12470 Criterio de Schwarz 11,01652 Crit. de Hannan-Quinn 9,787616 Modelo 2: MCO, usando las observaciones 14-20 (n = 7) const 1,15735 13,7885 0,0839 0,93636 V 0,121975 0,0889012 1,3720 0,22841
Ejercicio heterocedasticidad 2. 5 Media de la vble. dep. 20,02857 D.T. de la vble. dep. 2,748766 Suma de cuad. residuos 32,93469 D.T. de la regresión 2,566503 R-cuadrado 0,273515 R-cuadrado corregido 0,128218 F(1, 5) 1,882452 Valor p (de F) 0,228412 Log-verosimilitud -15,35273 Criterio de Akaike 34,70545 Criterio de Schwarz 34,59727 Crit. de Hannan-Quinn 33,36837 SCR2 32,935 GQ = = = 29, 043 SCR 1 1,134 F(5, 5) probabilidad en la cola derecha = 0,05 probabilidad complementaria = 0,95 Valor crítico = 5,05033 Puesto que el valor del estadístico GQ=29,043 es mayor que el valor de las tablas (5,05033) rechazamos la hipótesis nula de homocedasticidad. c) Estimación mediante MCP Creamos una nueva variable de ponderación: Obs B V w 1 13,2 61 0,1280369 2 15 78 0,1132277 3 22,2 158 0,07956 4 15,2 110 0,09535 5 16,1 85 0,1084652 6 18,5 150 0,08165 7 15,5 140 0,08452 8 15 70 0,1195229 9 20 122 0,09054 10 15 70 0,1195229 11 21 140 0,08452 12 16,2 91 0,1048285 13 18,5 105 0,09759 14 17 115 0,09325 15 17,5 115 0,09325 16 22 160 0,07906 17 18 165 0,07785 18 23 170 0,0767 19 17 130 0,08771 20 17 90 0,1054093 w = i 1 V i El modelo transformado lo obtenemos multiplicando por w el modelo original: Bw = w + β Vw + uw donde Bw = B*w y Vw = V*w
Ejercicio heterocedasticidad 2. 6 Modelo MCP: estimaciones MCO utilizando las 20 observaciones 1-20 w w 10,2147 1,11961 9,1234 <0,00001 *** Vw 0,063917 0,0100951 6,3315 <0,00001 *** Media de la vble. dep. 1,662511 D.T. de la vble. dep. 0,152248 Suma de cuad. residuos 0,383053 D.T. de la regresión 0,145879 R-cuadrado 0,993125 R-cuadrado corregido 0,992743 F(2, 18) 1300,148 Valor p (de F) 3,43e-20 Log-verosimilitud 11,17436 Criterio de Akaike -18,34872 Criterio de Schwarz -16,35726 Crit. de Hannan-Quinn -17,95997 El programa Gretl permite también obtener directamente las EMCP indicando la variable de ponderación: w1=1/v El programa se encarga de realizar la raíz cuadrada a V. Modelo MCP: estimaciones MC.Ponderados utilizando las 20 observaciones 1-20 Variable utilizada como ponderación: w1 const 10,2147 1,11961 9,1234 <0,00001 *** V 0,063917 0,0100951 6,3315 <0,00001 *** Estadísticos basados en los datos ponderados: Suma de cuad. residuos 0,383053 D.T. de la regresión 0,145879 R-cuadrado 0,690125 R-cuadrado corregido 0,672910 F(1, 18) 40,08802 Valor p (de F) 5,76e-06 Log-verosimilitud 11,17436 Criterio de Akaike -18,34872 Criterio de Schwarz -16,35726 Crit. de Hannan-Quinn -17,95997 Estadísticos basados en los datos originales: Media de la vble. dep. 17,64500 D.T. de la vble. dep. 2,751550 Suma de cuad. residuos 51,40914 D.T. de la regresión 1,689989 Hay que destacar, que los resultados de la estimación son coincidentes, así como los criterios de Akaike y Schwarz. Sin embargo, el R-cuadrado, F y la SCR no lo son.