TEMA I.11 Condición de Frontera y Principio de Superposición Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui Departamento de Astronomía Universidad de Guanajuato DA-UG (México) papaqui@astro.ugto.mx División de Ciencias Naturales y Exactas, Campus Guanajuato, Sede Noria Alta TEMA I.11: Condición de Frontera y Principio de Superposición J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 1 / 21
Condición de Frontera y Principio de Superposición En un medio de longitud finita, una onda incidente es reflejada en las fronteras, a esto denominamos eco. El eco es una onda que viaja en sentido opuesto a la onda incidente. La onda incidente y el eco se pueden sobreponer, a esto denominamos como interferencia (ver Figura I.11.1). Si las reflexiones se repiten, sólo pueden ocurrir ondas senosoidales para ciertas frecuencias especiales, determinadas por las propiedades y dimensiones del medio, a esto se denomina como modos normales. El ejemplo más sencillo es una onda transversal en una cuerda estirada. TEMA I.11: Condición de Frontera y Principio de Superposición J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 2 / 21
Condición de Frontera y Principio de Superposición Figura I.11.1: Serie de imágenes de un pulso ondulatorio, tomadas a intervalos iguales de arriba hacia abajo. El pulso comienza a la izquierda. TEMA I.11: Condición de Frontera y Principio de Superposición J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 3 / 21
Condiciones de Frontera En un medio de longitud finita, una onda incidente es reflejada en las fronteras, a esto denominamos eco. La reacción (tercera ley de Newton) será un pulso reflejado que viajará en la dirección opuesta al pulso incidente con desplazamiento opuesto (ver Figura I.11.2a). Si el extremo es libre, de nuevo un pulso reflejado viajará en dirección opuesta, pero con un desplazamiento en la misma dirección que el pulso incidente (ver Figura I.11.2b). TEMA I.11: Condición de Frontera y Principio de Superposición J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 4 / 21
Condición de Frontera Figura I.11.2: Reflexión de un pulso ondulatorio (a) en un extremo fijo de la cuerda y (b) en un extremo libre. El tiempo aumenta desde la figura superior a la inferior. TEMA I.11: Condición de Frontera y Principio de Superposición J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 5 / 21
Condiciones de Frontera Las condiciones en los extremo son las denominadas condiciones de frontera. La situación es la misma si dos pulsos viajan en sentidos opuestos. Al traslaparse los pulsos, el desplazamiento será la suma algebraica de los desplazamientos individuales. TEMA I.11: Condición de Frontera y Principio de Superposición J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 6 / 21
Principio de Superposición Cuando dos ondas se traslapan, el desplazamiento real de cualquier punto de una cuerda, en cualquier instante, se obtiene sumando los desplazamientos separados (ver Figura I.11.3 y Figura I.11.4): y(x, t) = i y i (x, t) con i = 1, 2 Matemáticamente esta propiedad aditiva es una consecuencia de la forma de la ecuación de onda. Específicamente, la ecuación es lineal, es decir que solo contiene funciones a la primera potencia. Por tanto, si dos funciones satisfacen la ecuación de onda, su suma también satisface la ecuación de onda. TEMA I.11: Condición de Frontera y Principio de Superposición J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 7 / 21
Principio de Superposición Figura I.11.3: Solapamiento de dos pulsos ondulatorios que viajan en direcciones opuestas con uno de los pulsos invertido respecto al otro. TEMA I.11: Condición de Frontera y Principio de Superposición J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 8 / 21
Principio de Superposición Figura I.11.4: Solapamiento de dos pulsos ondulatorios que viajan en direcciones opuestas sin inversión de un pulso. El tiempo aumenta desde arriba hacia abajo. TEMA I.11: Condición de Frontera y Principio de Superposición J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 9 / 21
Ondas Estacionarias en una Cuerda Cuando una onda es reflejada continuamente por los extremos, se produce un fenómeno de interferencia (ver Figura I.11.5). La configuración de la onda permanece en la misma posición y su amplitud fluctúa. Hay puntos que nunca se mueven: nodos. A la mitad del camino entre dos nodos hay puntos donde la amplitud es máxima: antinodos. Como la configuración no parece moverse, a este hecho se le conoce como: onda estacionaria. TEMA I.11: Condición de Frontera y Principio de Superposición J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 10 / 21
Ondas Estacionarias en una Cuerda Figura I.11.5: (a)-(d)exposiciones de tiempo de ondas estacionarias en una cuerda estirada. De (a)-(d) la frecuencia de oscilación del extremo derecho aumenta, y λ de la onda estacionaria disminuye. (e) Extremos del movimiento de la onda estacionaria de (b), con los nodos en el centro y en los extremos. TEMA I.11: Condición de Frontera y Principio de Superposición J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 11 / 21
Ondas Estacionarias en una Cuerda Consideramos dos ondas de misma λ y A, viajando en sentido inverso. En un nodo, los desplazamientos son iguales y opuestos y se cancelan: interferencia destructiva. En un antinodo, los dos desplazamientos siempre son idénticos dando un desplazamiento resultante grande: interferencia constructiva. La distancia entre dos nodos o antinodos sucesivos es λ 2. TEMA I.11: Condición de Frontera y Principio de Superposición J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 12 / 21
Ecuación de Onda Estacionaria Consideremos dos ondas (siguiendo a Sears & Zemansky s): y 1 (x, t) = A cos(κx + ωt), viajando hacia la izquierda. y 2 (x, t) = A cos(κx ωt), viajando hacia la derecha. La onda reflejada es inversa y por tanto tiene una amplitud inversa. Sumando las dos ondas: y(x, t) = y 1 (x, t) + y 2 (x, t) = A cos(κx + ωt) + A cos(κx ωt)] = A[ cos(κx + ωt) + cos(κx ωt)] Usando la identidad: cos(a ± b) = cos (a) cos (b) sen (a) sen (b) y expandiendo TEMA I.11: Condición de Frontera y Principio de Superposición J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 13 / 21
Ecuación de Onda Estacionaria cos(κx + ωt) = cos(κx) cos(ωt) + sen(κx) sen(ωt) y cos(κx ωt) = cos(κx) cos(ωt) + sen(κx) sen(ωt) La función de onda estacionaria: y(x, t) = 2 A sen(κx) sen(ωt) donde la amplitud A oe = 2 A y(x, t) = A oe sen(κx) sen(ωt) (I.11.1) El factor 2 A sen(κx) indica que en cada instante, la forma de la cuerda es senosoidal. TEMA I.11: Condición de Frontera y Principio de Superposición J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 14 / 21
Ecuación de Onda Estacionaria Siguiendo a Tripler & Mosca: y 1 (x, t) = A sen(κx ωt) y 2 (x, t) = A sen(κx + ωt) y(x, t) = A sen(κx ωt) + A sen(κx + ωt) y(x, t) = A [sen(κx ωt) + sen(κx + ωt)] = A [sen(κx) cos(ωt) cos(ωt) sen(κx)+sen(κx) cos(ωt) cos(ωt) sen(κx)] = 2 A sen(κx) cos(ωt) y(x, t) = A oe sen(κx) cos(ωt) ó y(x, t) = A oe sen(κx) sen(ωt) TEMA I.11: Condición de Frontera y Principio de Superposición J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 15 / 21
Ecuación de Onda Estacionaria Siguiendo a Resnick: y 1 (x, t) = A sen(ωt + κx) y 2 (x, t) = A sen(ωt κx) y(x, t) = A sen(ωt + κx) A sen(ωt κx) y(x, t) = A [sen(ωt + κx) sen(ωt κx)] = A [sen(ωt) cos(κx)+cos(ωt) sen(κx) sen(ωt) cos(κx)+cos(ωt) sen(κx)] = 2 A cos(κx) sen(ωt) y(x, t) = A oe cos(κx) sen(ωt) ó y(x, t) = A oe sen(κx) sen(ωt) TEMA I.11: Condición de Frontera y Principio de Superposición J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 16 / 21
Ecuación de Onda Estacionaria A diferencia de una onda viajera, la forma de la onda permanece en la misma posición oscilando verticalmente según el factor sen(ωt). Cada punto sigue teniendo un MAS, todos los puntos oscilando en fase. En los nodos, sen(κx) = 0, κx = 0, π, 2π, 3π,... o x = 0, π κ, 2π κ, 3π κ,... x = 0, λ 2, 2λ 2, 3λ 2,... (I.11.2) La onda estacionaria no transfiere energía. Hay un flujo local de energía desde cada nodo a los antinodos adyacentes y de regreso, pero la razón media de transferencia de energía es 0. TEMA I.11: Condición de Frontera y Principio de Superposición J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 17 / 21
Ecuación de Onda Estacionaria Ejemplo: Cuerda larga I El extremo x = 0 está fijo. Una onda senosoidal viaja en dirección x a 84.0 m/s. La frecuencia de la onda es f = 120 Hz y la amplitud es A = 1.5 mm = 1.5 10 3 m. En x = 0, la onda se refleja y forma una onda estacionaria. La amplitud: A oe = 2 A = (2)(1.5 10 3 m) La frecuencia angular: ω = 2 π f = (2 π rad)(120 s 1 ) = 754 rad/s El número de onda: κ = ω/ν = 754 rad/s 84.0 m/s = 8.98 rad/m TEMA I.11: Condición de Frontera y Principio de Superposición J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 18 / 21
Ecuación de Onda Estacionaria De la ecuación (I.11.1), la ecuación de onda: y(x, t) = (3.0 10 3 m) sen(8.98 rad rad x) cos(754 m s t) Los nodos (primera método): sen(8.98 rad rad m x) = 0 (8.98 m x) = 0, π, 2π, 3π,... x = 0, π 9.98 rad/m, 2π 9.98 rad/m, 3π 9.98 rad/m,... x = 0, 0.35 m, 0.70 m, 1.05 m,... Los nodos (segundo método): λ = ν/f = (84.0 m/s)/(120 s 1 ) = 0.70 m De la ecuación (I.11.2): x = 0, 0.70 m, 2 2(0.70 m), 2 3(0.70 m),... = 0, 0.355 m, 0.70 m, 1.05 m,... 2 TEMA I.11: Condición de Frontera y Principio de Superposición J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 19 / 21
Ecuación de Onda Estacionaria Ejemplo: Cuerda larga II Un extremo de la cuerda esta sujeto a un poste vertical, el otro extremo esta sostenido flojamente con la mano. Por tanto, la rapidez de la onda es lenta: ν = 0.720 m/s. Buscamos la frecuencia para que una pinza colocada a 45.0 cm se quede sin moverse. La pinza debe ser colocada en un nodo a λ 2, 2λ 2, 3λ 2,... TEMA I.11: Condición de Frontera y Principio de Superposición J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 20 / 21
Ecuación de Onda Estacionaria Tenemos, entonces: d = 45.0 cm = nλ 2 λ = 2 d n La frecuencia: f = ν λ = nν 2 d Primero nodo: f 1 = 0.800 Hz Segundo nodo: f 2 = 1.600 Hz Tercero nodo: f 3 = 2.400 Hz = n 0.720 m/s 2 (0.450 m) = n 0.800 Hz TEMA I.11: Condición de Frontera y Principio de Superposición J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 21 / 21