RESUMEN. ECUACIONES Igualdad Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. Identidad Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras. Ecuación Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras. Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual. Los términos son los sumandos que forman los miembros. Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación. Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta. El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros. Ecuaciones equivalentes Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.
Resolución de ecuaciones de primer grado En general para resolver una ecuación debemos seguir los siguientes pasos: 1º Quitar paréntesis. º Quitar denominadores. Calculamos el m.c.m. de los denominadores. 3º Reducir términos semejantes en cada miembro. 4ºAgrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro. Recuerda que al pasar un término de un miembro a otro pasan con la operación contraria. 5º Volver a reducir los términos semejantes. (Debe de quedar un único término con x y un único término independiente ( número) en cada miembro. 5º Despejar la incógnita. (Dejar solo el término con x en un miembro, para ello debemos de "pasar" todos los números al otro miembro con la operación contraria) Ejemplo 1.- 3x = 9 Despejamos la incógnita: x = 9 3 x = 3 Ejemplo.- 4x 8 = 3x 6 Agrupamos los términos semejantes en un miembro y los independientes en el otro, y operamos(recuerda si están sumando pasan restando y si están restando sumando): 4x 3x = 6 + 8 x = Ejemplo 3: 3 x = x + 5 Quitamos paréntesis: 3x 6 = x + 5
Pasamos los términos con x a un miembro y los términos independientes (sin x) al otro: 3x x = 5 + 6 Reducimos términos semejantes: x = 11 Despejamos la incógnita: x = 11 Ejemplo 4.- x 1 6 x 3 = 1 Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo. m. c. m 6, = 6 Ahora multiplicamos todos los términos por 6. Recuerda que cada fracción algebraica es un término 6 x 1 6 6 x 3 = 1 6 Realizamos las operaciones: x 1 3 x 3 = 6 x 1 3x + 9 = 6 Agrupamos, sumamos los términos semejantes: x + 8 = 6 x = 6 8 x = 14 Despejamos la incógnita: x = 14 = 7
Ejemplo 5: 3 4 x + = x + 3 Quitamos paréntesis y simplificamos: 6x 4 + 6 4 = x + 3 3x + 3 = x + 3 Quitamos denominadores(multiplicando todos los términos por el mcm de los denominadores (), agrupamos y sumamos los términos semejantes: 3x + 3 = x + 3 3x + 3 = x + 6 3x x = 6 3 x = 3 Ejemplo 6.- x + 1 x 3 = x 3 5x 3 1 + 3x Quitamos corchete: x x 3 = x 3 5x 3 1 + 3x Quitamos paréntesis: + x + + x 3 = x 3 5x 3 1 + 3x Quitamos denominadores (multiplicamos todos los términos por 1): 1 + 1 x + 1 + 1(x 3) = 1 x 3 4 + 4x + 4 + 6 x 3 = 8x 5x 3 + 36x Quitamos paréntesis: 4 + 4x + 4 + 6x 18 = 8x 5x + 3 + 36x Reducimos términos 1(5x 3) 1 + 1 3x
30 + 30x = 39x + 3 Agrupamos términos: 30x 39x = 3 30 Sumamos: 9x = 7 Calculamos el valor de x: x = 7 9 = 3 Ecuaciones de º grado Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax + bx +c = 0 con a 0. Se resuelve mediante la siguiente fórmula: Si es a<0 ( es decir negativo), multiplicamos los dos miembros por ( 1). Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas a) ax = 0 La solución es x = 0. b) ax + bx = 0 Extraemos factor común x. Igualamos cada factor a 0 y resolvemos las ecuaciones de 1 er grado. x = 0. c) ax + c = 0
Despejamos: a) ax +bx +c = 0 b 4ac se llama discriminante de la ecuación y permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos: b 4ac > 0 La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos. b 4ac = 0 La ecuación tiene una solución doble. b 4ac < 0 La ecuación no tiene soluciones reales. La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a: El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a: Si conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir ésta como:
Siendo S = x1 + x y P = x1 x