MODELOS DE SERIES TEMPORALES EN FINANZAS (I): MODELOS ARIMA

MODELOS DE SERIES TEMPORALES EN FINANZAS (I): MODELOS ARIMA Modelización Económica II Referencias: Mills y Markellos (2008) "The Econometric Modelling of Financial Time Series", Cambridge University Press. Aznar y Trívez (1993) "Métodos de Predicción en Economía II", Ariel. Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 1 / 37

1 Introducción a las series temporales Llamaremos serie temporal o proceso estocástico en tiempo discreto a una sucesión de variables aleatiorias fy t g para t =,..., 2, 1, 0, 1, 2,..., (t recoge el tiempo y toma valores discretos). Box & Jenkins (1976) modelizó las series temporales mediante los modelos ARIMA. El término signi ca: AR = Au torregresivos I = Integrados MA = Medias móviles La metodología Box-Jenkins recoge una serie de etapas y procedimientos para la identi cación, estimación, contraste y predicción de los modelos ARIMA con datos de series temporales. Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 2 / 37

1 Introducción a las series temporales Una serie temporal Y t es estacionaria (en sentido débil) si existen sus momentos de primer y segundo orden y estos son constantes e independientes de t, es decir, a) E (Y t ) = µ 8 t, b) Var(Y t ) = E (Y t µ) 2 = σ 2 8 t c) Cov(Y t, Y t s ) = E [(Y t µ)(y t s µ)] = γ(s) 8 t y 8s 6= 0. γ(s) es una función que depende de s pero no de t y se denomina función de autocovarianza (FAC). Ejemplo: Un ruido blanco (ε t ) es un proceso estocástico estacionario dado que si E (ε t ) = 0 8 t, Var(ε t ) = σ 2 ε 8t y Cov(ε t, ε t s ) = 0 8 t y 8s 6= 0. La propiedad de estacionariedad es muy importante porque si las series no son estacionarias la estimación MCO es sesgada, inconsistente y las desviaciones típicas de los estimadores no son válidas. Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 3 / 37

1 Introducción a las series temporales Una serie temporal estacionaria Y t se puede caracterizar por su estructura completa de covarianzas (γ(s)), correlaciones (ρ(s)) o correlaciones parciales (φ(s)). Función de autocorrelación simple (FAS): ρ(s) = γ(s) γ(0) 8s = 1, 2,...donde γ(0) = Var(Y t ). Función de autocorrelación parcial (FAP): φ(s) = Corr [Y t Y t s j Y t 1, Y t 2,..., Y t s+1 ] 8s = 1, 2,... La representación grá ca de la FAP y de la FAS se denominan correlograma simple y parcial. Ambas son funciones simétricas y comprendidas entre 1 y 1. Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 4 / 37

1 Introducción a las series temporales La etapa de identi cación de la metodología Box-Jenkins trata de reconocer el proceso ARIMA que genera una serie temporal concreta en función de los correlogramas simple y parcial muestrales. ρ(s) 1 ρ(s) 1 1 2 3 4 5 6 s 1 2 3 4 5 6 s 1 1 Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 5 / 37

2 Modelos Autorregresivos Modelo AR(1) Un proceso autorregresivo de primer orden, AR(1), se de ne como Y t = φ 0 + φ 1 Y t 1 + ε t donde ε t es una variable aleatoria ruido blanco: E (ε t ) = 0 8 t, Var(ε t ) = σ 2 ε 8t y Cov(ε t, ε t s ) = 0 8t y 8s 6= 0. Si jφ 1 j < 1 el proceso AR(1) es estacionario. En tal caso se puede demostrar que: a) E (Y t ) = φ 0 1 φ 1 8t, b) Var(Y t ) = γ(0) = σ2 ε 1 φ 2 1 8t c) Cov(Y t, Y t s ) = γ(s) = φ s 1 σ 2 ε 1 φ 2 1 = φ s 1γ(0) 8 t y 8s 6= 0. Por tanto jφ 1 j < 1 todas las autocorrelaciones simples son disntintas de cero si bien decaen rápidamente hacia cero. ρ(s) = φ s 1 8s = 1, 2,... Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 6 / 37

2 Modelos Autorregresivos Modelo AR(1) Si jφ 1 j < 1 sólo la primera autocorrelación parcial es distinta de cero. 8 < φ φ(s) = 1 si s = 1 : 0 8s > 1 ρ(s) 1 φ(s) 1 1 2 3 4 5 6 s 1 2 3 4 5 6 s 1 Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 7 / 37 1

2 Modelos Autorregresivos Modelo AR(1) Si jφ 1 j 1 el AR(1) tiene varianza "explosiva" (no estacionario en varianza). Por ejemplo, si φ 1 = 1 el proceso resultante se denomina paseo aleatorio (con deriva φ 0 ): Y t = φ 0 + Y t 1 + ε t. Éste es un proceso integrado de orden 1 o I(1) dado que su primera diferencia es estacionaria: Y t = Y t Y t 1 = φ 0 + ε t. Estadísticamente este proceso es indistinguible de un AR(1) con φ 1 = 0.99, proceso muy próximo a la no estacionariedad que se caracteriza por la alta persistencia de las correlaciones (lento decaimiento hacia cero de la FAS). Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 8 / 37

2 Modelos Autorregresivos Modelo AR(1) Correlograma de un proceso AR(1) próximo a la no estacionariedad. ρ(s) 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 s 1 Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 9 / 37

2 Modelos Autorregresivos Generación de una serie de un proceso AR(1) estacionario con Eviews Abrir EViews and crear un nuevo chero con "File/New Work le". En el rango de la serie "work le range" elegir "undated" y "500" observaciones. Una serie estacionaria se crea como sigue: 1. smpl 1 1 genr yt=0 [genera Y t con el valor 0 para la observación 1] 2. smpl 1 500 genr ut=nrnd [genera una serie ruido blanco con varianza 1] 3. smpl 2 500 genr yt=0.5+0.4*yt(-1)+ut [genera Y t : proceso AR(1) con φ 1 = 0.4] Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 10 / 37

2 Modelos Autorregresivos Generación de una serie de un proceso AR(1) estacionario con Eviews Notar que la media ( 1 0.5 0.4 = 0.83) y la varianza ( 1 = 1.19) son constantes 1 0.4 en el tiempo. 2 5 4 3 2 1 0 1 2 3 100 200 300 400 500 YT Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 11 / 37

2 Modelos Autorregresivos Generación de una serie de un proceso AR(1) no estacionario con Eviews Abrir EViews and crear un nuevo chero con "File/New Work le". En el rango de la serie "work le range" elegir "undated" y "500" observaciones. Una serie estacionaria se crea como sigue: 1. smpl 1 1 genr yt=0 [genera Y t con el valor 0 para la observación 1] 2. smpl 1 500 genr ut=nrnd [genera una serie ruido blanco con varianza 1] 3. smpl 2 500 genr yt=0.5+1.4*yt(-1)+ut [genera Y t : proceso AR(1) con φ 1 = 1.4] Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 12 / 37

2 Modelos Autorregresivos Generación de una serie de un proceso AR(1) no estacionario con Eviews 1.4E+72 1.2E+72 1.0E+72 8.0E+71 6.0E+71 4.0E+71 2.0E+71 0.0E+00 2.0E+71 100 200 300 400 500 YT Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 13 / 37

2 Modelos Autorregresivos El modelo AR(2) Un proceso autorregresivo de segundo orden, AR(2), se de ne como Y t = φ 0 + φ 1 Y t 1 + φ 2 Y t 2 + ε t donde ε t es una variable aleatoria ruido blanco. Un AR(2) se puede reescribir en función del operador de retardos, L (que satisface L s Y t = Y t s ) y el correspondiente polinomio de retardos, Φ(L): Y t φ 1 Y t 1 φ 2 Y t 2 = φ 0 + ε t (1 φ 1 L φ 2 L 2 )Y t = φ 0 + ε t Φ(L)Y t = φ 0 + ε t Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 14 / 37

2 Modelos Autorregresivos El modelo AR(2) Un AR(2) es estacionario si las raíces del polinomio de retardos caen fuera del círculo unidad, es decir si jl i j > 1 8 i = 1, 2 donde L i son las raíces que satisfacen 1 φ 1 L φ 2 L 2 = 0. Por ejemplo, para el caso del AR(1) 1 φ 1 L = 0 ) L = 1 φ > 1, jφ1 j < 1. 1 φ Si el proceso AR(2) es estacionario E (Y t ) = 0 1 φ 1 φ 8t y la estructura de 2 autocovarianzas se obtienen de la resolución del sistema de ecuaciones de Yule-Walker. Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 15 / 37

2 Modelos Autorregresivos El modelo AR(2) El sistema de Yule-Walker es recursivo: con las tres primeras ecuaciones se obtienen γ(0), γ(1) y γ(2). γ(0) = φ 1 γ(1) + φ 2 γ(2) + σ 2 ε γ(1) = φ 1 γ(0) + φ 2 γ(1) γ(2) = φ 1 γ(1) + φ 2 γ(0) El resto autocovarianzas se obtienen recursivamente de γ(s) = φ 1 γ(s 1) + φ 2 γ(s 2)8s > 2. Todas las autocorrelaciones simples son distintas de cero pero sólo las dos primeras autocorrelaciones parciales son distintas de cero. Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 16 / 37

2 Modelos Autorregresivos Correlograma simple y parcial de un AR(2) ρ(s) 1 φ(s) 1 1 2 3 4 5 6 s 1 2 s 1 1 Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 17 / 37

2 Modelos Autorregresivos El modelo AR(p) El proceso autorregresivo de orden p o AR(p) se de ne como: Y t = φ 0 + φ 1 Y t 1 + φ 2 Y t 2 +... + φ p Y t p + ε t donde ε t es una variable aleatoria ruido blanco. Un AR(p) se puede reescribir en función del operador de retardos (L) y el correspondiente polinomio de retardos, Φ(L): Y t φ 1 Y t 1 φ 2 Y t 2... φ p Y t p = φ 0 + ε t (1 φ 1 L φ 2 L 2... φ p L p )Y t = φ 0 + ε t Φ(L)Y t = φ 0 + ε t Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 18 / 37

2 Modelos Autorregresivos El modelo AR(p) Un AR(p) es estacionario si las raíces del polinomio de retardos caen fuera del círculo unidad, es decir si jl i j > 1 8 i = 1, 2 donde L i son las raíces de 1 φ 1 L φ 2 L 2... φ p L p = 0. φ Si el proceso AR(p) es estacionario E (Y t ) = 0 1 φ 1 φ 2... φ 8t y las p autocovarianzas se obtienen del sistema de ecuaciones de Yule-Walker (con las p primeras ecuaciones se obtienen la varianza y las p primeras covarianzas). γ(0) = φ 1 γ(1) + φ 2 γ(2) + + φ p γ(p) + σ 2 ε γ(s) = φ 1 γ(s 1) + φ 2 γ(s 2) + φ p γ(s p) 8s > 0. Todas las autocorrelaciones simples son distintas de cero pero sólo las p primeras autocorrelaciones parciales son distintas de cero. Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 19 / 37

3 Modelos de medias móviles El modelo MA(1) El modelo de medias móviles de orden 1 o MA(1) se expresa en función de ruidos blancos (ε t ) como Y t = θ 0 + ε t θ 1 ε t 1. Un MA(1) es siempre estacionario (combinación lineal de procesos estacionarios). En particular, a) E (Y t ) = θ 0 8t, b) Var(Y t ) = γ(0) = σ 2 ε (1 + θ 2 1 ) 8t c) Cov(Y t, Y t s ) = γ(s) = θ1 σ 2 ε si s = 1 0 8s > 1 8 t. Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 20 / 37

3 Modelos de medias móviles El modelo MA(1) En un MA(1) sólo la primera autocorrelacion simple es distinta de cero pero la FAP nunca se anula. ρ(s) 1 φ(s) 1 1 s 1 2 3 4 5 6 s 1 1 Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 21 / 37

3 Modelos de medias móviles Invertibilidad de un MA(1) Una serie temporal Y t es invertible si puede representarse como un proceso AR estacionario (de orden in nito). Esta propiedad se requiere para la identi cación de los procesos ARIMA según su FAS y FAP y para la predicción de los procesos MA(q). Si jθ 1 j < 1 el proceso MA(1) es invertible. Y t = ε t + θ 0 θ 1 (Y t 1 θ 0 + θ 1 ε t 2 ) = ε t + θ 0 (1 + θ 1 ) θ 1 Y t 1 θ 2 1 ε t 2 y sustituyendo recursivamente ε t obtiene Y t = θ 0 θ i 1 i =0 i =0 i por el correspondiente proceso MA(1) se θ i 1 Y t i + ε t = φ 0 + φ i Y t i + ε t. i =0 Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 22 / 37

3 Modelos de medias móviles El modelo MA(2) El modelo de medias móviles de orden 2 o MA(2) se expresa como (ε t ruido blanco) Y t = θ 0 + ε t θ 1 ε t 1 θ 1 ε t 2. Un MA(2) es siempre estacionario y sus autocovarianzas: a) E (Y t ) = θ 0 8t, b) Var(Y t ) = γ(0) = σ 2 ε (1 + θ 2 1 + θ2 2 ) 8t 8 < ( θ 1 + θ 1 θ 2 )σ 2 ε si s = 1 c) Cov(Y t, Y t s ) = γ(s) = θ : 1 σ 2 ε si s = 2 0 8s > 2 8 t. Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 23 / 37

3 Modelos de medias móviles El modelo MA(2) En un MA(2) las dos primeras autocorrelaciones simples son distintas de cero pero la FAP nunca se anula. ρ(s) 1 φ(s) 1 1 2 1 2 3 4 5 6 s s 1 1 Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 24 / 37

3 Modelos de medias móviles El modelo MA(2) Un modelo MA(2) se puede representar en función del operador de retardos, L, y del polinomio de retardos, Θ(L): Y t = θ 0 + (1 θ 1 L θ 2 L 2 )ε t = θ 0 + Θ(L)ε t Un MA(2) es invertible si las raíces del polinomio de retardos caen fuera del círculo unidad, es decir si jl i j > 1 8 i = 1, 2 donde L i son las raíces que satisfacen 1 φ 1 L φ 2 L 2 = 0. Por ejemplo, para el caso del MA(1) 1 θ 1 L = 0 ) L = 1 θ 1 > 1, jθ1 j < 1. Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 25 / 37

3 Modelos de medias móviles El modelo MA(q) El modelo de medias móviles de orden q, MA(q), se representa como (ε t ruido blanco) Y t = θ 0 + ε t θ 1 ε t 1 θ 2 ε t 2... θ q ε t q. Alternativamente usando el operador de retardos se puede expresar como Y t = θ 0 + (1 θ 1 L θ 2 L 2... θ q L q )ε t = θ 0 + Θ(L)ε t. El modelo MA(q) es siempre estacionario e invertible si las raíces de Θ(L) = 0 caen fuera del círculo unidad. La FAS de un MA(q) se anula a partir del orden del proceso (q), pero la FAP nunca se anula. Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 26 / 37

4 Modelos ARMA El modelo ARMA(1,1) Un proceso ARMA(1,1) es un proceso mixto entre un AR(1) y un MA(1) que se representa como (ε t ruido blanco) Y t = ψ 0 + φ 1 Y t 1 + u t θ 1 u t 1. Este proceso es estacionario si jφ 1 j < 1 e invertible jθ 1 j < 1. Si el proceso es estacionario satisface: a) E (Y t ) = θ 0 1 φ 1 8t, b) Var(Y t ) = γ(0) = σ 2 ε (1+θ 2 1 2φ 1 θ 1 ) 1 φ 2 1 8 < c) Cov(Y t, Y t s ) = γ(s) = : σ 2 ε 8t (1 φ 1 θ 1 )(φ 1 θ 1 ) 1 φ 2 1 si s = 1 φ 1 γ(s 1) 8s > 1 8 t. Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 27 / 37

4 Modelos ARMA El modelo ARMA(1,1) Por tanto la FAS y la FAP de un ARMA(1,1) tienen todas las autocorrelaciones simples y parciales distintas de cero, si bien éstas decaen exponencialmente hacia cero. La primera autocorrelación simple depende tanto de la parte AR(1) como MA(1), pero a partir de ésta el resto se comportan como las de un AR(1). En cuanto a la FAP, la primera autocorrelación parcial depende de la estructura AR(1) y MA(1) pero a partir de ésta el resto se comportan como en un MA(1). Los procesos AR(1) y MA(1) son casos particulares del ARMA(1,1) para θ 1 = 0 y φ 1 = 0, respectivamente. Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 28 / 37

4 Modelos ARMA El modelo ARMA(p,q) La forma general de un proceso ARMA(p,q) es la siguiente (ε t ruido blanco): Y t = ψ 0 + φ 1 Y t 1 +... + φ p Y t p + ε t θ 1 ε t 1... θ q ε t q Φ(L)Y t = ψ 0 + Θ(L)ε t Un ARMA(p,q) es estacionario e invertible cuando las raíces de Φ(L) = 1 φ 1 L φ 2 L 2... φ p L p = 0 y Θ(L) = 1 θ 1 L θ 2 L 2... θ q L q = 0 caen fuera del cículo unidad. La FAS y la FAP de un proceso ARMA(p,q) estacionario son todas distintas de cero dado que a partir del orden q la FAS se comporta como en un AR(p) y a partir del orden p la FAP se comporta como en un MA(q). Casos particulares: ARMA(p,0)=AR(p) y ARMA(0,q)=MA(q). Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 29 / 37

5 Modelos ARIMA(p,d,q) La mayor parte de las series económicas no son estacionarias dado que suelen presentar tendencias y/o clusters de volatilidad. Las series no estacionarias en media se convierten en estacionarias diferenciándolas. Si Y t no es estacionaria pero la serie diferenciada d veces sí lo es, entonces Y t sigue un proceso integrado de orden d o I(d). En particular las series estacionarias son I(0). Normalmente basta con aplicar una diferencia (Z t = Y t = Y t Y t 1 ), o como mucho dos ( 2 Y t = Z t = Z t Z t 1 ), para transformar las series económicas en estacionarias. Si las series no son estacionarias en varianza normalmente se les suele aplicar logartimos antes de diferenciarlas. Diferencias de logaritmos son tasas de variación: ln(y t ) ln(y t 1 ) ' Y t Y t 1 Y t 1. Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 30 / 37

Ejemplos de series temporales no estacionarias Los grá cos de las series ofrecen una primera idea de la no estacionariedad. Por ejemplo las guras del índice S&P500 o del tipo de cambio /$ son claramente no estacionarias en varianza (transformación logaritmica) y en media (primeras diferencias). SP500 (daily data) 26/4/1991 26/4/2006. 0bs 3913 Exchange rate /$. Daily data. Obs 5441 1,600.75 1,400.70 1,200.65 1,000.60 800 600.55 400.50 200 92 94 96 98 00 02 04.45 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 31 / 37

5 Modelos ARIMA(p,d,q) Si Y t es I(d) entonces Z t = d Y t = (1 L) d Y t es I(0), siendo L el operador de retardos. Si además Z t se comporta como un ARMA(p,q) entonces Y t se denomina ARIMA(p,d,q). Dicho proceso se puede representar como: Z t = ψ 0 + φ 1 Z t 1 +... + φ p Z t p + ε t θ 1 ε t 1... θ q ε t q. Φ(L)Z t = ψ 0 + Θ(L)ε t ) Φ(L)(1 L) d Y t = ψ 0 + Θ(L)ε t Casos particulares: ARIMA(p,0,q)=ARMA(p,q), ARIMA(p,1,0)=ARI(p), ARIMA(0,1,q)=IMA(q), ARIMA(p,0,0)=AR(p), ARIMA(0,0,q)=MA(q), ARIMA(0,d,0)=I(d), ARIMA(0,1,0)="paseo aleatorio", ARIMA(0,0,0)="ruido blanco"... Algunas extensiones: modelos ARIMA estacionales multiplicativos (con parte regular y estacional), modelos ARFIMA (de integración fraccional) y Vectores Autorregresivos multivariantes (VAR). Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 32 / 37

6 Metodología Box-Jenkins Box y Jenkins (1976) de nieron una metodología de cuatro etapas para seleccionar el proceso ARIMA subyacente a una serie temporal concreta con el propósito de estimar, contraster y predecir series temporales. Las cuatro etapas son las siguientes: 1) Identi cación, 2) Estimación 3) Contraste 4) Predicción La metodología se puede aplicar solamente a procesos ARMA estacionarios (ARIMA antes de las correspondientes transformaciones para garantizar estacionariedad). Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 33 / 37

6 Box & Jenkins Methodology 1) Representar la serie y calcular la FAS y FAP muestrales y comprobar si las series son estacionarias. Si lo son (correlaciones decrecen rápidamente) pasar al paso 3, si no lo son (lento decrecimiento) continuar con el paso 2. 2) Tomar logaritmos de la serie si parece que no es estacionaria en varianza (varianza no constante en el tiempo) y/o primeras diferencias si parece que no es estacionaria en media (tiene tendencia o medias distintas por tramos). 3) Examinar la FAS y la FAP muestrales de la nueva serie transformada (si siguiera sin ser estacionaria volver al paso 2 y aplicar una nueva diferencia) e intentar identi car el proceso ARMA teniendo en cuenta las correlaciones simples y parciales signi cativas (bandas de uctuación). 4) Estimar el proceso que se ha especi cado (máxima verosimilitud). Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 34 / 37

6 Metodología Box-Jenkins 5) Contrastes de hipótesis: Contraste de signi catividad individual (o conjunta) de los parámetros del modelo. Contrastes sobre los residuos del modelo: comprobar que la FAS y la FAP tienen un comportamiento de ruido blanco (ninguna correlacion signi cativa), contraste de normalidad (test de Jarque-Bera)... Usar el criterios de información de Akaike y Schwarz (AIC, BIC) además del R 2 ajustado para decidir sobre la bondad de los ajustes de posibles especi caciones alternativas (normalmente de la inspección de la FAS y FAC se pueden identi car distintos modelos). 6) Si se deciden cambios en el modelo original volver estimar los nuevos modelos en la etapa 4. Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 35 / 37

7 Predicción bajo normalidad y varianza constante Una vez que el modelo está correctamente especi cado puede usarse para la predicción. Consideremos el caso más simple: Y t sigue un proceso AR(1), Y t = φ 0 + φ 1 Y t 1 + ε t por tanto el horizonte de predicción para Y t será un periodo extramuestral hacia adelante (T + 1) y el mejor predictor puntual by T +1 = be (Y T +1 ) = bφ 0 + bφ 1 Y T (suponiendo que el modelo sigue siendo válido en T + 1, es decir, Y T +1 = φ 0 + φ 1 Y T + u T +1, y E (u T +1 ) = 0). Al nivel de con anza del 95% (y asumiendo normalidad) un intervalo de con anza para Y t+1 será by T +1 z α 2 bσ Y donde z α 2 = 1.96 y bσ Y es la desviación típica muestral de Y. En consecuencia Y se encontrará en dicho intervalo en T + 1 con una probabilidad del 95%. Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 36 / 37

8 Evaluación de las predicciones Es nuestro modelo adecuado para predecir la variable objeto de estudio? Para evaluar la capacidad predictiva del modelo se puede proceder de la siguiente forma: 1 Separar la muestra en dos partes: (i) Periodo muestral (tamaño T ) y (ii) Periodo extramuestral (tamaño n), que usaremos para comparar nuestras predicciones con los datos reales. 2 Repetir la estimación n veces usando una "ventana rodante" de tamaño jo. 3 Medir el error de predicción en el periodo extramuestral usando alguna medida como el "error cuadrático medio" (ECM). ECM = n i =1 e2 i n donde e i = by T +i Y T +i es el error de predicción en el period T + i, 8i = 1,..., n. Notemos que Y t+1, Y t+2,..., Y t+n son los valores reales de la serie en el periodo extramuestral (que son conocidos). 4 Repetimos los pasos 1 a 3 para cada modelo cuya capacidad predictiva queramos comparar. El modelo con mejor capacidad predictiva será aquel que presente un ECM menor. Modelos ARIMA () Dr Javier Perote Peña perote@usal.es 37 / 37