Procesos Estocásticos Estacionarios

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1 Capítulo 2 Procesos Estocásticos Estacionarios Las series temporales se pueden clasificar en dos tipos: Series con valores estables alrededor de un nivel constante (capítulos 2-4). Series con tendencias, estacionalidad u otros efectos evolutivos en el tiempo (capítulo 5). Ejemplo 12 Las series núm. 1) y 2) pueden tener un nivel estable, la 3) y la 4) seguro que no. Nota 6 La estabilidad depende del periodo de observación. Por ejemplo, en una serie anual de la temperatura media en un lugar, cuanto más años se observen, menos problable es que el nivel se mantenga constante. Nota 7 Los valores sucesivos de una serie suelen ser dependientes, aunque sea simplemente por inercia Concepto de procesos estocásticos Proceso estocástico: Conjunto de v.a. (Y t ) t I, donde el índice t toma valores en un conjunto I. Llamamos trayectoria del proceso a una realización del proceso estocástico. Si I es discreto, el proceso es en tiempo discreto. Si I es continuo, el proceso es en tiempo continuo. Ejemplo 13 Un ejemplo de proceso en tiempo discreto se obtiene para I = {1,...,n}. En este caso, el proceso es Y 1, Y 2,...,Y n, y una trayectoria se denota por y 1, y 2,...,y n. Ejemplo 14 Un ejemplo de proceso en tiempo continuo se obtiene para I = [0, T], I = [0, ] ó I = (, ). 39

2 Serie temporal: Una serie temporal es una realización de un proceso estocástico en tiempo discreto, donde los elementos de I están ordenados y corresponden a instantes equidistantes del tiempo. Si I = {1,...,n}, la serie es y 1, y 2,...,y n ; Si I = N, la serie es y 0, y 1, y 2,...,; Si I = Z, entonces la serie es...,y 2, y 1, y 0, y 1, y Una serie temporal describe la evolución aleatoria de una variable en el tiempo. Ejemplo 15 Un ejemplo de un proceso con I no ordenado es un proceso espacial, en el que I R 2. Nota 8 Otra clasificación de los procesos es atendiendo a los valores que toman las variables Y t. Si éstas son discretas, el proceso se llama también discreto. Si son continuas, el proceso es continuo. En lo sucesivo, (Y t ) denotará un proceso en tiempo discreto con I = N ó I = Z. Distribución n-dimensional de un proceso: Es la función de distribución de un conjunto de n variables del proceso (Y 1,...,Y n ), es decir, F(y 1,...,y n ) = P(Y 1 y 1,...,Y n y n ), n N. La distribución de un proceso está caracterizada por el conjunto de todas las distribuciones finito-dimensionales. Ejemplo 16 Paseo aleatorio: Un paseo aleatorio está definido por Y t = t a j, donde a j iid N(0, σ 2 ). j=1 Hemos generado seis trayectorias de tamaño T = 300, y 1,...,y 300, de un paseo aleatorio (Y t ) con σ 2 = 1, y las hemos representado en la Figura 2.1. (izquierda). Podemos ver que el gráfico de las distintas trayectorias nos da información sobre la distribución de probabilidad del proceso. Ejemplo 17 Proceso químico: Medimos la concentración de una sustancia cada minuto durante 5 horas. Repetimos esto en distintos días bajo las mismas condiciones para obtener información sobre la distribución del 40

3 proceso: Tenemos varias series de la forma y 1,...,y 300 provenientes del mismo proceso, una para cada día. Sea Y t la distribución de la concentración en el minuto t-ésimo. Se supone que la distribución de Y t es la misma cada día. Entonces, al aumentar el número de días, la proporción con la que y t pertenece a un intervalo (a, b) converge a la probabilidad P(a < Y t < b). Es decir, obtenemos información sobre la distribución de Y t repitiendo el experimento. Paseo aleatorio Figura 2.1: Varias trayectorias de dos procesos Proceso químico concentration [%] time time Ejemplo 18 Temperatura en Düsseldorf: (serie núm. 23, 1/ /2003): Si consideramos que la distribución de la temperatura es la misma en cada uno de los 13 años observados, entonces tenemos 13 trayectorias del proceso con 12 variables aleatorias cada una (una por mes). Véase la Figura 2.3 izquierda. Podemos hacer lo mismo con la serie de las lluvias (serie núm. 24). Véase la Figura 2.3 derecha. Nota 9 Para obtener información sobre la distribución conjunta del proceso necesitamos observar muchas realizaciones del este proceso. Si no se 41

4 Temperatura Figura 2.2: Variables climáticas en Düsseldorf. lluvia month month dispone de varias realizaciones o trayectorias, es necesario realizar hipótesis adicionales que simplifiquen la distribución del proceso. Hipótesis habituales: Suponer que la distribución conjunta es normal multivariante. Entonces quedará determinada por las medias, varianzas y covarianzas. Restringirse a un análisis lineal: Especificar medias, varianzas y covariances también sería suficiente si solo estamos interesados en las relaciones lineales entre las variables del proceso. Proceso Normal: Un proceso (Y t ) t N es Normal si todas las distribuciones finito-dimensionales son normales. Función de medias: La función de medias de un proceso estocástico (Y t ) t I es una función de t que proporciona las esperanzas de las variables Y t µ t = E(Y t ), t I. Función de varianzas: La función de varianzas de un proceso estocástico (Y t ) t I es una función de t que proporciona las varianzas de las Y t σ 2 t = V ar(y t ), t I. Función de autocovarianzas: La función de autocovarianzas de un proceso estocástico (Y t ) t I es una función que describe las covarianzas entre 42

5 las variables del proceso en cada par de instantes γ t1,t 2 = Cov(Y t1, Y t2 ) = E[(Y t1 µ t1 )(Y t2 µ t2 )], t 1, t 2 I. Función de autocorrelación: La función de autocorrelación de un proceso estocástico (Y t ) t I es una función de dos instantes que describe las correlaciones entre las variables en un par de instantes t 1, t 2 I cualesquiera Nota 10 Se verifica: ρ t1,t 2 = Cor(Y t1, Y t2 ) = γ t 1,t 2 σ t1 σ t2, t 1, t 2 I. γ t,t = σ 2 t para cada t I. Las dimensiones de las autocovarianzas son los cuadrados de la serie. Las autocorrelaciones permiten comparar distintas series ya que son adimensionales Procesos estacionarios En muchas situaciones sólo se ha observado una realización del proceso; por ejemplo, en la serie núm. 2) de manchas solares o en la núm. 3) de la población en EE.UU. Entonces, para poder estimar las características del proceso (medias, varianzas o autocovarianzas) necesitamos suponer que son estables a lo largo del tiempo; es decir, que el proceso sea estacionario. Un proceso estocástico (Y t ) t Z es: estable en media si µ t = µ = cte. estable en varianza si σ 2 t = σ 2 y = cte. estable en autocovarianza si γ t1,t 1 +h = γ t2,t 2 +h = γ h para cualquier par de instantes t 1, t 2 Z y cualquier h Z. estacionario en sentido débil si es estable en media y en autocovarianza. estacionario en sentido estricto si las distribuciones marginales de todas las variables son idénticas, y además la distribución finitodimensional de cualquier conjunto de variables sólo depende de los retardos. Es decir, si F t1,...,t k (y 1,...,y k ) = F t1 +h,...,t k +h(y 1,...,y k ) 43

6 para cualquier k N, t 1,...,t k, h Z, y y 1,...,y k R, donde F t1,...,t k denota la distribución conjunta de Y t1,...,y tk. La estacionaridad en sentido estricto es una condición muy fuerte y difícil de comprobar en la práctica. La estacionaridad débil no implica la estricta, salvo para procesos normales. Ejemplo 19 La población de EE.UU. (serie núm. 3) no es estacionaria en la media. El crecimiento del alquiler (núm. 1) parece estable en la media, pero no en la varianza. La serie de pasajeros (núm. 19) no parece estable en la media ni en la varianza. Puede ocurrir que una serie sea estable en la varianza pero no en la media, aunque esto es dificil de distinguir en un gráfico. Propiedades de series estables en autocovarianza: γ 0 = σ 2 y γ h = γ h ρ h = ρ h, llamando ρ h = γ h /γ 0 al coeficiente de autocorrelación. Función de autocorrelación simple (fas): Es la función de autocorrelación entre variables separadas h instantes para series estables en autocovarianza. Se denota por ρ h. Proporciona las correlaciones en función del retardo h. Proceso de ruido blanco: Llamamos ruido blanco a un proceso (Y t ) si: E(Y t ) = 0 V ar(y t ) = σ 2 Cov(Y t, Y t+h ) = 0, h = ±1, ±2,... Si además Y t es un proceso Normal, entonces todas las variables del proceso son independientes. En este caso, (Y t ) se llama ruido blanco normal. Ejemplo 20 Sea (Y t ) t Z un ruido blanco y definimos el proceso Z t = Y t + θy t 1. Comprobar si (Z t ) t Z es estacionario en sentido débil. La función de medias viene dada por E(Z t ) =... 44

7 La función de autocovarianzas viene dada por Cov(Z t, Z t+h ) =... Tenemos que distinguir tres casos: Cov(Z t, Z t+h ) =... Ejemplo 21 Sea (Y t ) un proceso estacionario con E(Y t ) = µ y X t otro proceso definido por { Yt, si t es impar X t = Y t + 1 si t es par. Obsérverse que Cov(X t, X t+h ) = Cov(Y t, Y t+h ) = γ h es estable, pero la esperanza de (X t ) no lo es, ya que { µ, si t es impar E(X t ) = µ + 1 si t es par. Ejemplo 22 Compruébese que un paseo aleatorio (Y t ) definido por Y t = t j=1 a t tiene esperanza cero, pero no es estacionario. Efectivamente, la esperanza es E(Y t ) =... La covarianza entre dos instantes separados en h unidades es Cov(Y t+h, Y t ) =

8 Matrices de autocovarianzas y de autocorrelaciones de orden h: Para un proceso estacionario, las matrices de autocovarianzas y de autocorrelaciones de orden h son: γ 0 γ 1... γ h 1 ρ 0 ρ 1... ρ h 1 γ Γ h = 1 γ γ 1, R ρ h = 1 ρ ρ 1 γ h 1... γ 1 γ 0 ρ h 1... ρ 1 ρ 0 Estabilidad de procesos estacionarios ante combinaciónes lineales (i) Si multiplicamos un proceso estacionario por una constante, resulta un proceso estacionario. (ii) Si sumamos varios procesos que son conjuntamente estacionarios, la suma también lo es. Ejemplo 23 (Incrementos) Sea (Y t ) un proceso estacionario, y definimos el proceso de incrementos Z t = Y t Y t 1. Compruébese que (Z t ) es estacionario. Efectivamente, E(Z t ) =... V ar(z t ) =... Cov(Z t, Z t+h ) =... (iii) Un proceso que es combinación lineal de procesos estacionarios es estacionario: sea c = (c 1,...,c k ) un vector de constantes e Y t = (Y 1t,...,Y kt ) un vector de k procesos conjuntamente estacionarios; es decir, cada (Y it ) es estacionario y las covarianzas entre dos variables de distintas componentes i y j sólo dependen de i, j y del retardo. Sea Z t = c Y t : E(Z t ) =... V ar(z t ) =... Cov(Z t, Z t+h ) =... 46

9 2.3. Estimación Sea (Y t ) un proceso estacionario con media µ = E(Y t ), varianza σ 2 = V ar(y t ) y función de autocovarianzas γ h = Cov(Y t, Y t+h ). Si solo tenemos una realización y 1,...,y n del proceso, cómo estimamos sus características? Media muestral: La media muestral del proceso es ˆµ = Ȳ = 1 n Y n n t=1 Varianza muestral: La varianza muestral es S 2 = 1 n (Y t n Ȳ )2 y la desviación típica muestral es t=1 S = S 2 Autocovarianzas muestrales (función de autocovarianza empírica) c h = 1 n h (Y t n Ȳ )(Y t+h Ȳ ) t=1 Autocorrelación muestral (función de autocorrelación empírica) r h = c h c 0 Correlograma: gráfico de la función de autocorrelación empírica en función del retardo. Propiedades: La media muestral es un estimador insesgado de µ: E(Ȳ ) =... 47

10 Varianza de la media muestral: ( ) 1 n V ar Y t =... n t=1 Si γ h = 0, h > 0, entonces V ar(ȳ ) = γ 0/n. Si γ h 0 para algún h > 0, entonces V ar(ȳ ) γ 0/n. El segundo término no tiene por qué converger cuando n tiende a infinito; por tanto, la media muestral no tiene por qué ser consistente para la media poblacional µ. Proceso ergódico: Un proceso estacionario en sentido débil es ergódico para la estimación de la media µ si V ar(ȳ ) n µ. Ejemplos de procesos no ergódicos: Proceso constante: Un proceso en el que Y 1 = Y 2 =..., donde γ h = γ 0 para cualquier h N, no es ergódico. Efectivamente, la varianza de la media muestral es V ar(ȳ) =... Proceso periódico: El proceso Y t = A cos(ωt + θ) + a t 48

11 no es ergódico, puesto que las autocorrelaciones son periódicas y no tienden a cero. La serie 21 es una trayectoria de un proceso de este tipo con ω = 0,4, A = 1,5 y θ = 0,5. Nota 11 Para que un proceso sea ergódico, la observaciones nuevas tienen que aportar suficiente información para que la varianza converga a 0. Esto no occurre si la dependencia entre las variables es muy fuerte. Una condición necesaria pero no suficiente para que un proceso estacionario sea ergódico es lím h ρ h = 0, es decir, que la correlación entre las observaciones tienda a 0 al aumentar el retardo, de manera que las observaciones suficientemente alejadas sean prácticamente independientes. Figura 2.3: Autocorrelaciones y ergodicidad Correlograma de un proceso ergódico Correlograma de un proceso no ergódico Series AR1 Series CP ACF ACF Lag Lag 49

12 Propiedades de las autocovarianzas y las autocorrelaciones: La autocovarianza empírica es sesgada. Se recomienda estimar sólo autocovarianzas para retardos h n/4 para que haya al menos 4 datos para estimar. La autocorrelación estimada r k tiene distribución asintóticamente normal con media ρ k, es decir r k d N(ρk, V ar(r k )). Su varianza y la covarianza entre dos autocorrelaciones vienen dadas por las fórmulas de Bartlett: V ar(r k ) = 1 ( ρ 2 n i + ρ i k ρ i+k 4ρ k ρ i ρ i k + 2ρ 2 iρk) 2 Cov(r k, r k+h ) = 1 n i= i= +2ρ 2 iρ k ρ k+h ) (ρ i ρ i h + ρ i k ρ i+k+h 2ρ k+h ρ i ρ i k 2ρ k ρ i ρ i k h En un proceso con tendencia, el correlograma disminuye muy lentamente. En un proceso estacional, el correlograma muestra la misma periodicidad que el proceso. Nota 12 Si sólo las primeras q autocorrelaciones ρ 1,...,ρ q son distintas de cero, las varianzas de las estimaciones se aproximan por ( ) V ar(r k ) n k q ρ 2 j, k > q. n(n + 2) Contraste de ruido blanco: Bajo la hipótesis ρ h = 0, h N, podemos aproximar V ar(r k ) 1/n para n grande. En ese caso, como r k d N(ρ k, 1/n), entonces r k ρ k d N(0, 1). 1/n j=1 De esto, se obtiene el intervalo de confianza asintótico IC 95% (ρ k ) = r k 2 n. 50

13 Es decir, con el 95% de probabilidad, ρ h tiene que estar en el intervalo (r h 2/ n, r h + 2/ n). Por tanto, se espera que sólo uno de cada 20 coeficientes se salga de estas bandas. Ejemplo 24 Calculamos las primeras autocorrelaciones muestrales para las leguas recorridas por Colón en su primer viaje: y = = 31,83 s 2 = (9 31,83)2 + (45 31,83) (59 31,83) 2 + (49 31,83) 2 = 266,97 34 (9 31,83)(45 31,83) + (45 31,83)(60 31,83) (59 31,83)(49 31,83) c 1 = 34 r 1 = c 1 s 2 = 0,52 (9 31,83)(60 31,83) (31 31,83)(49 31,83) c 2 = = 5,3 34 r 2 = c 2 s 2 = 0,02 = 138,82 Figura 2.4: Leguas diarias recorridas por Colon (izq.) y su correlograma (der.) leguas ACF dia Lag 51

14 Figura 2.5: Ejemplo 2: Ruido blanco normal (izq.) y correlogramas (der.) ruido 100 observaciones Series ruido[1:100] 200 observaciones Series ruido ACF ACF time Lag Lag Figura 2.6: Lluvia en Düsseldorf, correlograma (izq.) y periodograma (der.) Series lluvia Series: Rainfall Raw Periodogram ACF spectrum Lag frequency bandwidth =

15 APÉNDICE A. NOTACIÓN DE OPERADORES Operador retardo: El operador retardo de una función del tiempo en un instante proporciona la función en el instante anterior: Bx t = x t 1. Propiedades del operador retardo: Si a, b son constantes que no dependen del tiempo y x t, y t son funciones del tiempo t, se verifica: Ba = a; B(ax t ) = abx t ; B(ax t + by t ) = abx t + bby t ; B k x t = x t k. B k se llama operador retardo de orden k. Operador diferencia: El operador diferencia proporciona la diferencia entre la función en un instante y la misma función en el instante anterior: x t = x t x t 1. Se verifica que = 1 B. Efectivamente, x t = x t x t 1 = x t Bx t = (1 B)x t. Este operador se puede aplicar sucesivamente de la forma 2 x t = ( x t ). Operador diferencia de orden s: Este operador proporciona la diferencia entre la función en un instante y la misma función en s instantes antes, x t = x t x t s. Operador inverso: Sea φ(b) una función polinómica del retardo B. Se define el operador inverso de φ(b) como el operador φ(b) 1 que verifica o equivalentemente, φ(b)φ(b) 1 x t = φ(b) 1 φ(b)x t = x t φ(b)φ(b) 1 = φ(b) 1 φ(b) = 1. Ejemplo 25 Para el operador retardo B, el operador inverso B 1 es el operador adelanto. Efectivamente, si tomamos B 1 x t = x t+1, entonces B 1 Bx t = B 1 x t 1 = x t y BB 1 x t = Bx t+1 = x t. 53

16 Ejemplo 26 Para el operador φ(b) = 1 φb, el operador inverso es el operador infinito dado por: φ(b) 1 = (1 φb) 1 = 1 + φb + φ 2 B 2 + φ 3 B 3 + Efectivamente, haciendo el producto obtenemos φ(b)φ(b) 1 = (1 φb)(1 + φb + φ 2 B 2 + φ 3 B 3 + ) = (1 + φb + φ 2 B 2 + φ 3 B 3 + ) (φb + φ 2 B 2 + φ 3 B 3 + ) = 1. 54

17 APÉNDICE B. ECUACIONES LINEALES EN DIFERENCIAS Ecuación lineal en diferencias de orden k: Sea x t una función del tiempo y c una constante. Una ecuación lineal en diferencias de orden k es x t φ 1 x t 1 φ 2 x t 2 φ k x t k = c. En esta ecuación, la función x t es la incógnita y los coeficientes φ 1,...,φ k son conocidos. Resolver la ecuación consiste en encontrar una función x t que sea solución de la ecuación. A menudo existen muchas soluciones para una ecuación lineal en diferencias. Para encontrar una solución se necesita tener k condiciones iniciales x 0,...,x k 1. Si c = 0, la ecuación en diferencias se llama homogénea. La ecuación en diferencias se puede escribir en función del operador retardo, (1 φ 1 B φ 2 B 2 φ k B k )x t = c Si llamamos φ(b) = 1 φ 1 B φ 2 B 2 φ k B k, podemos escribir la ecuación como φ(b)x t = c. El polinomio característico de la ecuación en diferencias es φ(b) = 1 φ 1 B φ 2 B 2 φ k B k. Se llama ecuación característica a la ecuación homogenea φ(b) = 0. Solución particular: Es una solución concreta de la ecuación. Por ejemplo, una constante es a menudo solución de la ecuación. Efectivamente, si reemplazamos x t = x en la ecuación, obtenemos x(1 φ 2 φ 2 φ k ) = c. 55

18 Despejando x, obtenemos x = c 1 φ 2 φ 2 φ k. Solución general: Es un conjunto de soluciones particulares. Si se tiene una solución G t de la ecuación homogénea φ(b)x t = 0 y una solución particular H t de la ecuación completa φ(b)x t = c, entonces x t = G t + H t es una solución general de la ecuación completa φ(b)x t = c. Efectivamente, si reemplazamos x t = G t + H t en la ecuación completa, como φ(b)g t = 0 y φ(b)h t = c, obtenemos φ(b)(g t + H t ) = φ(b)g t + φ(b)h t = φ(b)h t = c. Ecuaciones lineales en diferencias homogéneas: Consideramos una ecuación homogénea del tipo x t φ 1 x t 1 φ 2 x t 2 φ k x t k = 0 (1 φ 1 B φ 2 B 2 φ k B k )x t = 0 φ(b)x t = 0. Ejemplo 27 (Ecuación en diferencias homogénea de primer orden) x t φx t 1 = 0. La solución se puede encontrar de forma recursiva a partir de una condición inicial x 0. Aplicando la fórmula de la ecuación en diferencias para t = 1, 2, 3,..., se tiene x 1 = φx 0, x 2 = φx 1 = φ 2 x 0 x 3 = φx 2 = φ 3 x 0... x t = φ t x 0. Propiedades de las ecuaciones homogéneas: Si G t y H t son soluciones de la ecuación homogénea φ(b)x t = 0, A y B son constantes cualesquiera, entonces también son soluciones las siguientes: (i) AG t ; 56

19 (ii) G t + H t ; (iii) AG t + BH t. Prueba: (i) Reemplazando x t = AG t en la ecuación, como φ(b)g t = 0, entonces φ(b)ag t = Aφ(B)G t = 0. (ii) Reemplazando ahora x t = G t + H t en la ecuación, como φ(b)g t = 0 y φ(b)h t = 0, entonces φ(b)(g t + H t ) = φ(b)g t + φ(b)h t = 0. (iii) Por (i), AG t y BH t son soluciones de la ecuación. Por (ii), la suma de ambas también es solución. Resolución de una ecuación en diferencias homogénea: Si G es el inverso de una solución de la ecuación característica φ(b) = 0, entonces x t = AG t es solución de la ecuación homogénea, donde A 0 es una constante. Efectivamente, si reemplazamos x t = AG t en la ecuación homogénea, obtenemos A(G t φ 1 G t 1 φ 2 G t 2 φ k G t k ) = 0. Dividiendo la ecuación por A y por G t k, se llega a una ecuación de grado k, G k φ 1 G k 1 φ 2 G k 2 φ k = 0. que tiene k soluciones reales o complejas, y que pueden tener multiplicidad distinta de uno. Así, si tenemos una solución G de esta ecuación, entonces x t = G t verifica la ecuación homogénea. Si ahora dividimos la última ecuación por G k, se obtiene 1 1 φ 1 G φ 1 2 G φ 1 2 k G = 0. k Si hacemos el cambio de variable B = 1/G, la ecuación resultante es 1 φ 1 B φ 2 B 2 φ k B k = 0, que es exactamente la ecuación característica. Una solución B de esta ecuación está relacionada con una solución de la ecuación anterior G de la forma G = 1/B. Por tanto, si B es solución de la ecuación característica, entonces x t = AG t con G = 1/B es solución de la ecuación homogénea. 57

20 Ejemplo 28 (Ecuación en diferencias homogénea de orden 1) x t φx t 1 = 0. Comprobemos que la solución viene dada por x t = AG t, donde G 1 es la solución de la ecuación característica, y A viene determinada por las condiciones iniciales. Solución de la ecuación característica: 1 φb = 0 1 φb = 0 B = 1/φ. Por tanto, G = φ y la solución sería x t = Aφ t. Reemplazando ahora la solución inicial en la ecuación, obtenemos x 0 = Aφ 0 = A. Por tanto, la solución es x t = x 0 φ t. Solución general de una ecuación en diferencias homogénea de orden k: Sean G 1,...,G p las inversas de las soluciones reales distintas de la ecuación característica φ(b) = 0, con multiplicidades m 1,...,m p. Entonces la solución general de la ecuación en diferencias homogénea es x t = p (A i1 + A i2 t + + A imi t mi 1 )G t i. i=1 Obsérvese que si todas las raíces G 1,...,G k de la ecuación característica tienen multiplicidad m i = 1, i = 1,...,k, entonces la solución es x t = A 11 G t A k1 G t 1. Ejemplo 29 (Ecuación en diferencias homogénea de orden 2) x t φ 1 x t 1 φ 2 x t 2 = 0. La solución depende de las raíces de la ecuación que vienen dadas por G 2 φ 1 G φ 2 = 0, G = φ 1 φ φ 2. 2 (a) Si φ 2 > φ 2 1/4, hay dos soluciones reales distintas G 1 y G 2. Entonces la solución de la ecuación homogénea es x t = A 1 G t 1 + A 2 G t 2. 58

21 Las constantes A 1 y A 2 se obtienen a partir de dos condiciones iniciales x 0 y x 1. Tomando t = 0 y t = 1 en la solución x t, obtenemos: x 0 = A 1 + A 2 x 1 = A 1 G 1 + A 2 G 2. A 1 y A 2 se obtienen despejando de dicho sistema lineal. (b) Si φ 2 = φ 2 1/4, hay una solución G con multiplicidad 2. Entonces la solución de la ecuación homogénea es x t = (A 1 + A 2 t)g t. (c) Si φ 2 < φ 2 1/4, entonces tenemos dos soluciones complejas conjugadas G 1 = a + bi y G 2 = a bi. Entonces x t = A 1 (a + bi) t + A 2 (a bi) t. Las constantes A 1 y A 2 se determinan a partir de las condiciones iniciales x 0 y x 1. Tomando t = 0 y t = 1 en la solución x t se obtiene el sistema x 0 = A 1 + A 2 x 1 = A 1 (a + bi) + A 2 (a bi) Las soluciones son números complejos conjugados. Los escribimos de la forma Estos números verifican A 1 = 1 2 B Ci A 2 = 1 2 B 1 2 Ci A 1 + A 2 = B A 1 A 2 = Ci Ahora escribimos las soluciones de la ecuación en coordenadas polares: a = r cosw b = r sen w 59

22 donde r 2 = a 2 + b 2. Reemplazando esto en x t, obtenemos x t = A 1 (r cosw + ir sen w) t + A 2 (r cos w ir sen w) t = r [ t A 1 (cosw + i sen w) t + A 2 (cos w i sen w) t] = r t [A 1 (cos wt + i sen wt) + A 2 (coswt i sen wt)] = r t [(A 1 + A 2 ) coswt + i(a 1 A 2 ) senwt] = r t (B coswt C sen wt). Si ahora hacemos el cambio B = A senθ C = A cosθ Sustituyendo esto en la solución x t y aplicando la fórmula para el seno de una diferencia, obtenemos x t = r t [A cosθ cos wt A sen θ sen wt] = A r t sen(wt θ), que es una función sinusoidad con amplitud variable con el tiempo A r t y ángulo de desfase θ. Si r < 1, la amplitud decrece con el tiempo de forma exponencial. Condiciones de estabilidad de las soluciones de una ecuación homogénea: Consideremos una ecuación en diferencias homogénea de orden k, x t φ 1 x t 1 φ 2 x t 2 φ k x t k = 0. Se dice que la solución x t es estable si verifica: < lím t x t <. Asumimos por simplicidad que las raíces de la ecuación característica G 1 1,...,G 1 k tienen multiplicidad 1. La solución de la ecuación en diferencias es entonces: x t = A 1 G t A k G t k. De esta solución, se deduce que las condiciones de estabilidad son G i 1, i = 1,...,k. Es conveniente escribir estas condiciones en función de los coeficientes de la ecuación en diferencias. 60

23 Ejemplo 30 (Ecuación en diferencias homogénea de primer orden) La solución x t = x 0 φ t de una ecuación en diferencias homogénea de primer orden es estable si φ < 1. Ejemplo 31 (Ecuación en diferencias homogénea de orden 2) Tenemos que diferenciar los mismos tres casos que en el Ejemplo 29. (a) φ 2 > φ 2 1/4: Hay dos raíces reales distintas y x t = A 1 G t 1 + A 2 G t 2, donde G 1 y G 2 son soluciones de que vienen dadas por G 2 φ 1 G φ 2 = 0, G = φ 1 φ φ 2. 2 La solución x t es estable si G 1 < 1 y G 2 < 1. Esccribimos dichas condiciones en función de los coeficientes de la ecuación homogénea: Como φ φ 2 > 0, entonces la solución con el signo negativo es menor que la solución con el signo positivo. Por tanto, la solución mayor debe verificar φ 1 + φ φ 2 < 1 φ φ 2 < 2 φ 1 φ φ 2 < 4 4φ 1 + φ 2 1 φ 1 + φ 2 < 1. La solución menor debe cumplir φ 1 φ φ 2 > 1 φ φ 2 < 2 + φ 1 φ φ 2 < 4 + 4φ 1 + φ 2 1 φ 2 φ 1 < 1. Es decir, la solución es estable si φ 1 + φ 2 < 1 y φ 2 φ 1 < 1. (b) φ 2 = φ 2 1/4: Hay una solución real G con multiplicidad 2, y la solución es x t = (A 1 + A 2 t)g t. La solución viene dada por G = φ 1 /2, con lo cual x t = A 1 (φ 1 /2) t + A 2 t(φ 1 /2) t. El primer término es estable si φ 1 < 2. En ese caso, se cumple lím t(φ 1/2) t = 0, t 61

24 con lo que el segundo término también es estable. Como φ 2 = φ 2 1/4, donde φ 2 1 < 4, o equivalentemente, φ 2 1 > 4, entonces φ 2 = φ 2 1/4 > 1. Por tanto, las condiciones de estabilidad son 2 < φ 1 < 2 y 1 < φ 2 < 0. (c) φ 2 < φ 2 1/4: Las soluciones son complejas conjugadas G 1 = a + bi y G 2 = a bi, y x t se puede escribir como x t = A r t sen(wt θ). Esta solución es estable si la amplitud Ar t converge a cero, y esto ocurre cuando r < 1. Escribimos esta condición en función de los coeficientes de la ecuación homogénea. Las soluciones G 1 y G 2 se obtienen a partir de Es decir, G = φ 1 φ φ 2. 2 G 1 = a + bi = φ 1 + i φ φ 2 2 G 2 = a bi = φ 1 i φ φ 2 2 Por tanto, el módulo de ambas soluciones es r 2 = a 2 + b 2 = φ2 4 + φ φ 2 4 = φ2 4 φ φ 2 4 = φ 2. Por tanto, r = φ 2, y como φ 2 < φ 2 1/4 < 0, la solución es estable si 1 < φ 2 0. Como φ 1 < 2 φ 2, entonces también debe ser φ 1 < 2. Por tanto, la solución x t es estable si 2 < φ 1 < 2 y 1 < φ

25 Ecuación en diferencias con término de error: Es una ecuación del tipo x t = c + φ 1 x t 1 φ 2 x t 2 φ k x t k + ǫ t. Ejemplo 32 Considera la ecuación de primer orden x t = c + φx t 1 + ǫ t. A partir de las condiciones iniciales x 0 y x 1 y de forma recurrente, calculamos la solución de la ecuación: x 1 = c + φx 0 + ǫ 1 ; x 2 = c + φx 1 + ǫ 2 = c + φ(c + φx 0 + ǫ 1 ) + ǫ 2 = c(1 + φ) + φ 2 x 0 + (φǫ 1 + ǫ 2 ); x 3 = c + φx 2 + ǫ 3 x t = c + φ [ c(1 + φ) + φ 2 x 0 + (φǫ 1 + ǫ 2 ) ] + ǫ 3 = c(1 + φ + φ 2 ) + φ 3 x 0 + φ 2 ǫ 1 + φǫ 2 + ǫ 3... t 1 t 1 = c φ i + φ t x 0 + φ i ǫ t i t 1 = c φ i + φ t x 0 + [ t 1 ] (φb) i ǫ t. Suponiendo φ < 1 y utilizando la fórmula de una suma finita de potencias, c 1 φ + t 1 y sustituyendo esto en x t, obtenemos ( x t = x 0 φ i = 1 φt 1 φ, c 1 φ ) φ t + t 1 φ i ǫ t i. Obsérvese que esta solución es del tipo [ ] x t = AG t + b 0 + α i ǫ t i = Sol. general de la ec. homogénea+sol. particular. Esta es la clave del método de resolución de este tipo de ecuaciones en diferencias. 63

26 Resolución de ecuaciones en diferencias con término de error: El método consiste en: (a) Encontrar la solución general de la ecuación en diferencias homogénea, que omite la constante y el término de error; (b) Encontrar una solución particular de la ecuacíón completa. Habitualmente se prueba con una solución del tipo x t = b 0 + α i ǫ t i. Las constantes b 0 y α i se obtienen reemplazando esta solución en la ecuación completa, agrupando los términos con el mismo término de error y determinando los coeficientes de dichos términos de error de forma recursiva. (c) Sumar las dos soluciones. Ejemplo 33 Aplicamos este método a la ecuación del Ejemplo 32, x t = c + φx t 1 + ǫ t. (a) Solución general de la ecuación homogénea x t φx t 1 = 0 (1 φ 1 B)x t = 0. La solución de la ecuación característica es B = 1/φ. Por tanto, la solución es general es G t = Aφ t. (b) Solución particular de la ecuación completa. Probamos con la solución H t = b 0 + α i ǫ t i. Las constantes de la ecuación particular b 0, α i, i = 1, 2,..., se obtienen reemplazando esta solución en la ecuación completa ( ) b 0 + α i ǫ t i = c + φ b 0 + α i ǫ t i + ǫ t Desarrollando los sumatorios, la ecuación es b 0 +α 0 ǫ t +α 1 ǫ t 1 +α 2 ǫ t 2 + = c+φ (b 0 + α 0 ǫ t + α 1 ǫ t 1 + α 2 ǫ t 2 + )+ǫ t. 64

27 Igualando los términos independientes, los términos en ǫ t, los términos en ǫ t 1, etc., de cada lado de la igualdad, obtenemos b 0 = c + φb 0 b 0 = c/(1 φ); α 0 = 1; α 1 = φα 0 = φ; α 2 = φα 1 = φ 2 ;... α i = φ i. Por tanto, la solución particular es H t = (c) Finalmente, la solución general es x t = G t + H t = c 1 φ + φ i ǫ t i. c 1 φ + φ i ǫ t i + Aφ t. La constante A se determina a partir de una condición inicial x 0. Tomando t = 0 en la ecuación, obtenemos Despejando A, x 0 = c 1 φ + φ i ǫ i + A. A = x 0 c 1 φ + φ i ǫ i. 65