32.- Dinámica de los fluidos ideales.

3.- Dinámica de los fluidos ideales. 3.. Fluidos ideales (967); 3.. La ecuación de Euler (967); 3.3. Otras ecuaciones de la dinámica de los fluidos (968); 3.4. Otra forma de la ecuación de Euler (970); 3.5. Flujo estacionario. Ecuación de Bernoulli (970); 3.6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli al flujo irrotacional (97); 3.7. Generalización de la ecuación de Bernoulli al flujo no estacionario (97); 3.8. Interpretación energética de la ecuación de Bernoulli (973); 3.9. Trabajo realizado por una corriente fluida (975); 3.0. Medida de la presión estática en un flujo (978); 3.. Medida de la presión dinámica (979); 3.. Efecto de Venturi (980); 3.3. Tubo de Pitot (98); 3.4. Efusión de un liquido. Teorema de Torricelli (983); 3.5. Efusión de gases. Ley de Bunsen (985); Problemas (986) En la lección anterior hemos descrito el movimiento de los fluidos por medio de magnitudes cinemáticas tales como la aceleración, la velocidad y la vorticidad; ahora relacionaremos esas magnitudes cinemáticas con las fuerzas que actúan sobre un fluido en movimiento. Así nos introduciremos en el estudio de la Dinámica de los fluidos, tema que proporciona las bases de la hidrodinámica, que se refiere al movimiento de los líquidos, como el agua, y de la aerodinámica, que concierne al movimiento de los gases, como el aire, y de cuerpos tales como aviones y cohetes en la atmósfera. 3.. Fluidos ideales.- La dinámica de los fluidos reales es un tema matemática y físicamente muy complejo; por ello resulta conveniente introducir ciertas hipótesis simplificativas. En esta lección vamos a ocuparnos de los llamados fluidos ideales, entendiendo por tales aquéllos en los que no existen esfuerzos cortantes, incluso cuando están en movimiento, de modo que las fuerzas superficiales (vide 8.3) sobre un elemento de fluido son debidas exclusivamente a la presión. Por definición, los fluidos no soportan esfuerzos cortantes cuando están en equilibrio; pero todos los fluidos poseen cierta viscosidad, que introduce esfuerzos cortantes entre las capas fluidas adyacentes en movimiento relativo. Los fluidos ideales no poseen viscosidad. Evidentemente, no encontraremos fluidos ideales en la Naturaleza; el fluido ideal no es más que una hipótesis de trabajo simplificadora. En muchos fluidos la viscosidad es muy pequeña (agua, aire,...), de modo que el análisis restringido de la dinámica de los fluidos a los fluidos ideales tendrá una amplia aplicación práctica; si acaso, tras introducir las correcciones empíricas apropiadas. 3.. La ecuación de Euler.- Supongamos un fluido ideal en movimiento, y consideremos un elemento infinitesimal del mismo (partícula fluida), de masa dm y volumen dv (Figura 3.). Sigamos a la partícula fluida en su movimiento. Naturalmente, supondremos que la masa (dm) de la partícula fluida permanece constante en Física Universitaria 967

968 Lec. 3.- Dinámica de los fluidos ideales. el transcurso de su movimiento, aunque su volumen (dv) podrá variar, a menos que el fluido sea incompresible. La segunda ley del movimiento de Newton nos relaciona la aceleración total que adquiere la partícula con la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre ella; i.e., df R (dm) dv dt [3.] Las fuerzas que actúan sobre la partícula fluida son de dos tipos ( 8.3): fuerzas superficiales y fuerzas másicas. Puesto que el fluido es ideal, la fuerza superficial neta que actúa sobre la partícula fluida es debida únicamente a la presión. De acuerdo con el estudio que hicimos en 8.4, podemos expresar dicha fuerza en la forma - pdv, ya que f p =- p representa la Figura 3. fuerza por unidad de volumen debida a la presión. Las fuerzas másicas son fuerzas exteriores que actúan sobre la partícula fluida y que acostumbramos a expresar referidas a la unidad de volumen del fluido (f m, densidad de fuerza másica) o a la unidad de masa del mismo (g, fuerza másica específica), de modo que la fuerza másica neta que actúa sobre la partícula fluida será f m dv=gdm. Entonces, la segunda ley del movimiento de Newton nos permite escribir en un referencial inercial p dv g dm dm dv dt [3.] o sea [3.3] p g dv dt donde la aceleración dv/dt es la aceleración total o sustancial (método de Lagrange). Utilizaremos la expresión [3.9] para expresar la relación [3.3] en función de las derivadas en un punto fijo del espacio (método de Euler); así obtendremos p g v t (v ) v [3.4] que es la ecuación de Euler del movimiento de un fluido. Obviamente, la ecuación de Euler comprende como caso particular a la ecuación fundamental de la estática de los fluidos [9.8] cuando v=0 ó v=cte, i.e., p=g. 3.3. Otras ecuaciones de la dinámica de los fluidos.- Existen seis variables básicas en la dinámica de los fluidos: las tres componentes de la velocidad, la presión, la densidad y la temperatura. Esto significa que necesitaremos seis ecuaciones independientes para resolver los problemas de la dinámica de los fluidos. Las tres componentes escalares de la ecuación de Euler nos suministra tres de esas ecuaciones; veamos cuáles son las otras tres.

3.3.- Otras ecuaciones de la dinámica de los fluidos. 969 (a) Ecuación de continuidad.- Esta ecuación, establecida en la lección precedente, expresa el principio de conservación de la masa. En ausencia de manantiales y de sumideros se escribe de la forma t (v) 0 [3.5] (b) Ecuación característica del fluido.- Esta ecuación expresa las propiedades fundamentales del fluido, relacionando las magnitudes p, y T. En general, se reduce a alguna de las formas siguientes: (T) 0 (T)[ βp] p R M T ; para un líquido incompresible. ; para un líquido poco compresible, siendo β el coeficiente de compresibilidad. ; para un gas perfecto. [3.6] (c) Ecuación complementaria.- Esta ecuación caracteriza el tipo de transformación termodinámica que experimenta la partícula fluida en el transcurso de su movimiento. Bajo el influjo de los cambios de presión, la partícula fluida se expande o se contrae, realizándose un trabajo por ella o sobre ella; parte de ese trabajo puede aparecer en forma de calor. Las transformaciones más usuales son las siguientes: (i) Transformación isotérmica.- Si los cambios de densidad experimentados por la partícula fluida son suficientemente lentos, la conducción calorífica mantendrá constante la temperatura en la partícula fluida. En estas condiciones, la relación existente entre la densidad y la presión estará dada por el módulo de compresibilidad isotérmico o por la ecuación de estado a temperatura constante (ley de Boyle); i.e., cte ; para un líquido incompresible. [3.7] 0 ( βp) ; para un líquido poco compresible. p/ cte ; para un gas perfecto. (ii) Transformación adiabática.- Cuando los cambios de densidad son muy rápidos no hay tiempo para que se produzca un flujo calorífico apreciable entre la partícula fluida y su entorno, de modo que la transformación termodinámica experimentada por ésta puede considerarse como si fuese adiabática. En estas condiciones, deberemos utilizar el coeficiente de compresibilidad adiabático o la relación adiabática entre la presión y la densidad; i.e., cte ; para un líquido incompresible. [3.8] 0 ( αp) ; para un líquido poco compresible. p γ cte ; para un gas perfecto. donde γ (coeficiente adiabático) es el cociente entre los calores molares a presión y a volumen constante (γ=c p /C V ).

970 Lec. 3.- Dinámica de los fluidos ideales. El campo de flujo de un fluido quedará completamente determinado una vez que expresemos el vector velocidad v, la presión p, la densidad y la temperatura T en función de las coordenadas espaciales y del tiempo. Las seis ecuaciones precedentes podrán tener o no, una o varias soluciones. En cualquier caso, esas soluciones, si existen, contendrán constantes de integración que deberán evaluarse en cada problema concreto a partir de las condiciones de contorno en la región en que se está moviendo el fluido y de las condiciones iniciales. 3.4. Otra forma de la ecuación de Euler.- De aquí en adelante, supondremos que la fuerza másica específica g es conservativa, de modo que puede expresarse como el gradiente (cambiado de signo) de una energía potencial específica (energía potencial por unidad de masa) que designaremos por ; i.e., g [3.9] Como es obvio, normalmente la fuerza másica será debida al propio peso del fluido, en un campo gravitatorio uniforme, de modo que g g k gz [3.0] midiéndose z verticalmente hacia arriba a partir de un cierto plano horizontal de referencia. En estas condiciones, reescribiremos la ecuación de Euler [3.4] en la forma p v t (v ) v [3.] en la que conviene sustituir el último término por su equivalencia (vide [A0]) para obtener finalmente (v )v ( v ) ( v) v [3.] p ( v ) ( v) v v t 0 [3.3] que es la forma en que nos serviremos de la ecuación de Euler en los epígrafes siguientes. 3.5. Flujo estacionario. Ecuación de Bernoulli.- Consideremos el flujo de un fluido ideal en régimen estacionario. Entonces será v/ t=0 y la ecuación de Euler se reduce a p ( v ) ( v) v 0 [3.4] Integraremos esta ecuación diferencial a lo largo de una línea de corriente. Para ello, multiplicaremos escalarmente todos sus términos por el desplazamiento elemental dr a lo largo de una línea de corriente (Figura 3.). Así obtenemos

3.5.- Flujo estacionario. Ecuación de Bernoulli. 97 v p dr dr ( ) dr [( v) v] dr 0 [3.5] El cuarto término de esta expresión es nulo, por tratarse de un producto mixto en el que dos de los vectores dr y v, son siempre paralelos. Los otros tres términos son de la forma general φ dr=dφ, donde el diferencial representa el cambio infinitesimal de la magnitud escalar φ en la dirección del desplazamiento elemental dr; i.e., en la dirección de una línea de corriente. Por consiguiente, la expresión [3.5] nos conduce a escribir dp d d( v [3.6] ) 0 que podemos integrar a lo largo de una línea de corriente para obtener dp v cte [3.7] Figura 3. conocida como ecuación de SAINT VENANT o ecuación compresible de BERNOULLI. Esta ecuación podrá integrarse si la densidad es expresable como función exclusiva de la presión p; i.e., =(p). Para un fluido incompresible (=cte) tendremos p v cte ( cte.) [3.8] Si, además, la fuerza másica conservativa es debida exclusivamente al propio peso del fluido (en un campo gravitatorio uniforme), podemos escribir la ecuación anterior en la forma p gz [3.9] v cte conocida como ecuación de Bernoulli para un flujo estacionario, no viscoso e incompresible. Fue presentada por primera vez por Daniel BERNOULLI en su Hydrodynamica en 738. 3.6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli al flujo irrotacional.- La ecuación de Bernoulli desarrollada en el epígrafe anterior es aplicable entre dos puntos de una línea de corriente cualquiera en un flujo estacionario, no viscoso e incompresible. Pero si, además, el flujo es irrotacional, podemos demostrar que la ecuación de Bernoulli es aplicable entre dos puntos cualesquiera del flujo. Daniel BERNOULLI (700-78); matemático y físico suizo, hijo de Johann Bernoulli. Realizó sus principales trabajos en el campo de la Hidrodinámica. Elaboró el primer estudio matemático de los líquidos y sugirió loas primeras ideas acerca de la teoría cinética de los gases.

97 Lec. 3.- Dinámica de los fluidos ideales. Consideremos un flujo ideal en régimen de flujo estacionario e irrotacional; entonces serán v/ t=0 y v=0, de modo que la ecuación de Euler [3.3] se reduce a p ( v ) 0 [3.0] Ahora, multiplicaremos escalarmente los tres términos de esta expresión por el vector desplazamiento elemental dr, dedirección arbitraria (Figura 3.3) v p dr dr ( ) dr 0 [3.] Los tres términos de esta expresión son de la forma general φ dr =dφ, donde la diferencial representa el cambio infinitesimal que experimenta la magnitud escalar φ en la dirección (arbitraria) del desplazamiento dr. Así pues, obtenemos dp d d( v ) cte [3.] expresión que es idéntica a la expr. [3.6], de modo Figura 3.3 que de ella se siguen las mismas expresiones [3.7]- [3.9]; pero como ahora la dirección del desplazamiento elemental dr es arbitraria, de modo que no existen restricciones direccionales en las diferenciales de la expresión [3.], tendremos que las fórmulas finitas [3.7]-[3.9] son aplicables a todos los puntos del flujo, sin estar restringidas a los puntos situados sobre una misma línea de corriente. 3.7. Generalización de la ecuación de Bernoulli al flujo no estacionario.- Consideremos un flujo ideal en régimen de flujo currentilíneo y no estacionario. Entendemos por régimen de flujo currentilíneo aquél en el que la dirección de la velocidad en cada punto del espacio permanece constante en el transcurso del tiempo, aun cuando su módulo pueda variar. En un flujo currentilíneo, incluso cuando no sea estacionario, podemos definir las líneas de corriente, que coincidirán con las trayectorias seguidas por las partículas fluidas. Multiplicaremos escalarmente todos los términos de la ecuación de Euler [3.3] por el vector desplazamiento elemental dr a lo largo de una línea de corriente (Figura 3.) para obtener v p dr dr ( ) dr [( v) ] dr v dr 0 t [3.3] Los tres primeros términos de esta expresión son de la forma general φ dr =dφ. El cuarto término es nulo por ser v dr; por la misma razón, el quinto término puede escribirse como ( v/ t)ds, donde ds= dr representa el elemento de longitud a lo largo de la línea de corriente. En definitiva, la expresión [3.3] nos conduce a

3.7.- Generalización de la ecuación de Bernoulli al flujo no estacionario. 973 dp d d( v ) v ds t [3.4] ecuación diferencial que podemos integrar a lo largo de una línea de corriente, entre los puntos y,para obtener dp ( ) (v v ) v ds t [3.5] ecuación válida para un régimen de flujo no estacionario y no viscoso y que constituye una generalización de la ecuación de Bernoulli. Ejemplo I.- Determinar el periodo de las oscilaciones de la columna líquida contenida en un tubo en de sección recta transversal constante y colocado verticalmente. Evidentemente, el régimen de flujo currentilíneo en el tubo es uniforme y no estacionario. Aplicaremos la ecuación de Bernoulli generalizada para el flujo no estacionario e incompresible entre los puntos ydeunalínea de corriente. (p p ) g(z z ) (v v ) v t ds con p =p =p atm ; z -z =x; v =v =v y v/ t=dv/dt=d x/dt, de modo que tenemos gx dv dt L d x dt g L x 0 que es la ecuación diferencial de un movimiento armónico simple, cuyo periodo es T π L g Figura 3.4 3.8. Interpretación energética de la ecuación de Bernoulli.- La ecuación de Bernoulli es esencialmente una formulación del principio de conservación de la energía aplicado al flujo estacionario e incompresible de un fluido ideal. Resulta fácil e instructivo reencontrar la ecuación de Bernoulli a partir de tal principio de conservación, evitando los cálculos formales que hemos llevado a cabo en los epígrafes precedentes. Consideremos un flujo en régimen estacionario de un fluido ideal a lo largo de un tubo de corriente, de sección recta infinitesimal y variable, como se muestra en la Figura 3.5. Puesto que el flujo es estacionario, la presión p, la densidad y la velocidad v del fluido tendrán un valor constante en el transcurso del tiempo en todos los puntos de una misma sección recta del tubo de corriente, aunque sus valores variarán de unas secciones a otras.

974 Lec. 3.- Dinámica de los fluidos ideales. Figura 3.5 Centraremos nuestra atención en la porción de fluido representada por las áreas sombreadas (oscuras) en la Figura 3.5; a esta porción de fluido la llamaremos el sistema o volumen de control. Transcurrido un intervalo de tiempo infinitesimal dt, el sistema se habrá movido desde la posición mostrada en la Figura 3.5 izq. ala mostrada en la Figura 3.5 dcha.. Como se comprenderá, el efecto neto desde un punto de vista energético es la elevación de la porción de fluido representada por el área sombreada oscura desde la cota z a la cota z ; designaremos por dm la masa de dicha porción del fluido. Comenzaremos calculando el trabajo neto realizado sobre el sistema por las fuerzas de presión p ds y p ds, ejercidas por el fluido inmediato y que actúan en la dirección del flujo, durante el intervalo de tiempo dt. Este trabajo es dw p ds dl p ds dl p dv p dv [3.6] siendo dv ydv los volúmenes de las porciones de fluido sombreadas de oscuro en la Figura 3.5. De acuerdo con el principio de conservación de la masa (ecuación de continuidad) tenemos dm dv dv [3.7] de modo que el trabajo dw puede expresarse por dw p p dm [3.8] Ahora igualaremos este trabajo con el cambio que experimenta la energía total del sistema durante ese mismo intervalo de tiempo dt. A dicho cambio contribuyen los cambios en (a) la energía potencial gravitatoria; de p dmg(z z ) (b) la energía cinética; de k dm (v v) Entonces, podemos escribir

3.8.- Interpretación energética de la ecuación de Bernoulli. 975 p p g (z z ) (v v ) [3.9] p o sea gz [3.30] v gz v y como los subíndices y se refieren a dos puntos cualesquiera a lo largo del tubo de corriente, podemos suprimirlos y escribir simplemente p e gz [3.3] v cte que es la ecuación de Bernoulli. Obsérvese que cada uno de los tres términos de la ecuación [3.3] tienen las dimensiones de una energía por unidad de masa (energía específica). Llamaremos energía mecánica total específica, y la designaremos por e, a la suma de la energía potencial específica asociada a la presión (p/), de la energía potencial gravitatoria específica (gz) y de la energía cinética específica (v /). Así, la ecuación de Bernoulli establece que la energía mecánica total específica permanece constante a lo largo de una línea de corriente. En el caso de que el flujo sea incompresible, podemos dividir por ambos miembros de la expr. [3.3] y la ecuación de Bernoulli puede reescribirse en la forma: p gz [3.3] v cte de modo que cada uno de los tres términos tenga dimensiones de presión o de energía por unidad de volumen (densidad de energía). La presión dinámica o total es la suma de la presión estática (p+gz) ydelapresión cinética (v /). La presión dinámica o total permanece constante a lo largo de una línea de corriente; cuando aumenta la velocidad en un estrechamiento, aumenta la presión cinética y disminuye la presión estática. También podemos enunciar que la densidad de energía mecánica total permanece constante a lo largo de una misma línea de corriente. La ecuación de Bernoulli también puede escribirse en la forma: p g z p v g cte [3.33] de modo que los tres términos tienen las dimensiones de una longitud, y se designan frecuentemente como alturas de presión, de cota o topográfica y de velocidad, respectivamente. 3.9. Trabajo realizado por una corriente fluida.- Como acabamos de ver en el epígrafe anterior, la ecuación de Bernoulli es esencialmente una formulación

976 Lec. 3.- Dinámica de los fluidos ideales. del principio de conservación de la energía aplicado a las corrientes fluidas, ya que la expr. [3.3] representa el flujo de energía mecánica específica a través de una sección determinada del tubo de corriente, que permanece constante conforme avanzamos en la dirección del flujo. Aplicaremos ahora este principio de conservación de la energía en su forma más general (Primer Principio de la Termodinámica) a un tubo de corriente para cualquier régimen flujo estacionario en el que se intercambie energía, en forma de calor o de trabajo, entre el fluido y su entorno. Entonces, la ecuación de Bernoulli deberá escribirse en la forma e u w q e u [3.34] donde: e representa la energía mecánica específica (i.e., por unidad de masa) en un punto de la corriente fluida, dada por e p u representa la energía interna específica que varía generalmente de un punto a otro del fluido, w es el trabajo específico realizado sobre el fluido (w<0) o por el fluido (w>0), en el interior del volumen de control (zonas oscuras en la Figura 3.6) durante el intervalo de tiempo empleado por aquél en avanzar desde la posición ala,como se ilustra en la Figura 3.6, q es el calor transferido desde el medio ambiente al volumen de control de fluido (q<0), o desde éste al medio ambiente (q>0), por unidad de masa de fluido. Ordenando los términos de la expresión anterior, escribiremos: v gz e e (u u ) w q [3.36] de modo que el segundo miembro de la expr. [3.36] es igual a la pérdida de energía mecánica específica durante el intervalo de tiempo empleado por el volumen de control en avanzar desde la sección ala. Si el flujo es viscoso, existirán Figura 3.6 fuerzas de fricción entre los tubos de corriente o las capas fluidas adyacentes en movimiento relativo, lo que implica una disipación de energía mecánica, de modo que parte del trabajo realizado por las Utilizamos el criterio termodinámico de signos, ilustrado en la Figura 3.6, según el cuál se consideran positivos el calor suministrado al sistema y el trabajo proporcionado por el sistema.

3.9.- Trabajo realizado por una corriente fluida. 977 fuerzas de presión y gravitatorias, que en el caso de un fluido no viscoso e incompresible se manifestaba como aumento de la energía cinética, ahora aparecerá como energía calorífica. Esto es, se produce una conversión irreversible de energía mecánica en energía interna del fluido y en calor que es transferido al exterior. En estas condiciones, la energía mecánica no permanecerá constante a lo largo del tubo de corriente, sino que irá disminuyendo, a menos que se suministre energía al flujo, conforme se evalúa en puntos más avanzados de la corriente. Así, en los problemas prácticos en los que no pueda ignorarse la viscosidad deberán introducirse las correcciones empíricas o semiempíricas apropiadas para tener en cuenta esta pérdida de carga conforme se avanza en el sentido de la corriente. Si el fluido es ideal e incompresible y no se aporta energía calorífica al mismo, la energía interna específica será constante a lo largo del tubo de corriente y podrá ser suprimida en la expresión anterior, de modo que podemos escribir: e e w [3.37] donde w será positivo o negativo según se extraiga (+) o se proporcione (-) energía, en forma de trabajo, de la corriente fluida. Podemos interpretar la expresión anterior de la siguiente forma: La pérdida de energía mecánica específica entre dos puntos del flujo es igual al trabajo específico realizado por el mismo. La potencia, i.e., el trabajo por unidad de tiempo, realizado sobre el flujo (-) o realizado por el mismo (+) será P Φ w w [3.38] como el lector comprobará fácilmente. Ejemplo II.- Calcular la potencia nominal que deberá tener una bomba que extraiga agua de un pozo abierto a la atmósfera, en el que la superficie libre del agua está a 0 m por debajo de la superficie del terreno, para que nos proporcione un caudal de 600 l/min a través de una tubería de.54 cm ( pulgada) de diámetro, suponiendo que el rendimiento de la bomba sea del 70%. Aplicamos la expresión [3.37], w e e p p g(z z ) v v con p p p atm z z h v 0 v v de modo que w gh v donde el signo negativo significa que se realiza sobre el flujo, y la potencia [3.38] será P w Figura 3.7 Sustituyendo los datos del problema:

978 Lec. 3.- Dinámica de los fluidos ideales. v 600 0.0 m 3 πd S π(5.4 0 3 ) min s 4 4 0.0 9.7 7.9 m/s w 9.8 0 S 5.07 0 4 5.07 0 4 m 39 J/kg P 000 0.0 ( 39) 3907 W 3.9kW La potencia nominal de la bomba será P nom P rend. 3.9 0.7 5.6 kw 3.0. Medida de la presión estática en un flujo.- Consideremos un flujo estacionario, no viscoso, incompresible e irrotacional en el interior de una tubería. Supongamos que la tubería sea rectilínea, cilíndrica o prismática, como ocurre en la práctica en la mayor parte de la longitud de las tuberías. Entonces, las líneas de corriente son líneas rectas paralelas entre sí y a las generatrices de la tubería. En estas condiciones, la velocidad tendrá el mismo valor en todos los puntos de una misma sección recta de la tubería y al aplicar la ecuación de Bernoulli entre dos puntos de una misma sección recta (Figura 3.8) tenemos Figura 3.8 p A gz A p B gz B [3.39] de modo que: la presión estática p+gz es la misma en todos los puntos de una misma sección recta de la tubería. La presión estática p+gz en una sección recta de la tubería puede medirse acoplando a ésta un tubo piezométrico; esto es, un tubo abierto por sus dos extremos y colocado, generalmente, en posición vertical. El extremo del tubo piezométrico acoplado a la tubería se llama toma de presión estática y puede estar situado sobre la pared de la tubería (Figura 3.9) o en el interior de ésta (Figura 3.0). En estas condiciones, parte del fluido penetra y sube por el tubo piezométrico hasta que alcanza en él un cierto nivel, que mediremos respecto a un plano horizontal de referencia; este nivel recibe el nombre de altura piezométrica (z ) y constituye una medida de la presión estática en la sección recta AB de la Figura 3.9 tubería (Figura 3.9). En efecto, puesto que la

3.0.- Medida de la presión estática en un flujo. 979 presión estática p+gz permanece constante a lo largo del trayecto -A-C-B-, podemos escribir (ecuación hidrostática): p atm gz p A gz A p gz p B gz B p atm gz [3.40] o sea z z p p atm g z [3.4] de modo que la altura piezométrica permanece constante cuando la toma de presión estática se desplaza en una misma sección recta de la tubería, bien sea sobre su contorno o en su interior. La expresión [3.4] nos permite determinar la presión p en los puntos del interior de la tubería (en función de la cota z) a partir de la medida de la altura piezométrica correspondiente: Figura 3.0 p p atm g(z z) La toma de presión estática puede situarse en el interior de la tubería; entonces, la toma de presión estática estará coronada por un disco plano, horadado (disco de Ser), cuyo plano será paralelo a las líneas de corriente, como se ilustra en la Figura 3.0. Naturalmente, este será el procedimiento a seguir cuando se trate de efectuar la medida de la presión estática en un flujo externo (no confinado en tuberías o canales). En cualquier caso, será necesario asegurarse de que la introducción del tubo piezométrico no altere significativamente las características del flujo. 3.. Medida de la presión dinámica.- Reconsideremos un flujo en el interior de una tubería en las mismas condiciones que en el epígrafe anterior. Acoplaremos un tubo piezométrico en A para medir la presión estática en esa sección recta del tubo (Figura 3.). Además, acoplaremos otro tubo piezométrico que desemboque en el interior de la tubería, en el punto C, de modo que esa obertura esté orientada perpendicularmente a las líneas de corriente; el fluido penetrará y ascenderá por este tubo hasta alcanzar un nivel z, como se muestra en la Figura 3.. Existe una línea de corriente BC que se detiene en el punto C; obviamente, esta línea de corriente es singular 3. El punto C recibe el nombre de punto de estancamiento, por ser nula en él la velocidad del flujo. Figura 3. 3 No representa la trayectoria de las partículas fluidas; de ser así, el fluido se acumularía indefinidamente en el punto de estancamiento o subiría indefinidamente por el tubo piezométrico.

980 Lec. 3.- Dinámica de los fluidos ideales. Podemos aplicar la ecuación de Bernoulli entre los puntos -A-B (como en el epígrafe anterior) y entre los puntos B-C-. Así obtenemos las ecuaciones siguientes p atm gz p A gz A p B gz B p B gz B v B p C gz C p atm gz La segunda de estas expresiones nos permite escribir [3.4] gz p B gz B v B p atm [3.43] de modo que la altura piezométrica z constituye una medida de la presión dinámica o total en el punto B. La toma de presión en C se llama toma de presión dinámica o total. Sumando miembro a miembro las expresiones [3.4], se deduce fácilmente que g(z z ) v B [3.44] resultando que la diferencia de alturas piezométricas en ambos tubos constituye una medida de la presión cinética (v B /) en el punto B. Naturalmente, será necesario asegurarse de que la introducción de los tubos piezométricos no altere significativamente las características del flujo, lo que se conseguirá mediante un diseño apropiado de las tomas de presión. 3.. Efecto de Venturi.- El efecto de Venturi se refiere a la disminución de presión estática asociada con el aumento de velocidad en un flujo ideal 4. El efecto de Venturi, así llamado en honor del físico suizo Giovani Battista VENTURI (746-8), es una consecuencia inmediata de la ecuación de Bernoulli. Puesto que la presión dinámica o total permanece constante en un flujo ideal, un aumento de la presión cinética v / (i.e., de la velocidad) implica una disminución de la presión estática p+gz, y viceversa. En un flujo ideal, la variación de la velocidad será puramente convectiva. Consideremos un flujo ideal en el interior de un tubería rectilínea cilíndrica o prismática, de sección recta S variable; para mayor simplicidad la consideraremos horizontal como se ilustra en la Figura 3.. La ecuación de continuidad (vs=cte) nos permite asegurar que la velocidad del flujo en el punto B será mayor que en A. Por consiguiente, al aplicar la ec. de Bernoulli entre los puntos A y B p A v A p B v B [3.45] 4 Llamamos flujo ideal a un flujo estacionario, no viscoso, incompresible e irrotacional.

3..- Efecto de Venturi. 98 o sea p [3.46] A p B (v B va)>0 Los tubos piezométricos acoplados en diferentes secciones rectas de la tubería indicarán diferentes alturas piezométricas; cuanto menor sea la sección recta de la tubería, menor Figura 3. será la altura piezométrica (i.e., la presión estática) correspondiente. La diferencia de presiones estáticas entre los puntos A y B viene dada por p A -p B = g(z -z ). Este gradiente de presión estática entre los puntos A y B proporciona la fuerza neta necesaria para acelerar al fluido (convectivamente) a lo largo de la convergencia de la tubería. El paso de un fluido por un estrechamiento puede dar lugar a importantes reducciones de la presión estática. En el caso de los líquidos, será necesario que la presión absoluta (p) mínima (en el estrechamiento) sea superior a la tensión de vapor saturante a la temperatura del flujo; en caso contrario, el líquido entra en ebullición y se forman burbujas de vapor en el seno del flujo. Este fenómeno recibe el nombre de cavitación; en estas condiciones, el flujo ya no es ideal y no se cumple la ec. de Bernoulli. El fenómeno de la cavitación es, en general, perjudicial y debe evitarse su aparición en el flujo. Las burbujas de vapor producen una acción físico-química intensa (corrosión) y su desaparición, en las regiones en las que la presión vuelve a subir, provoca acciones mecánicas violentas (vibraciones, ruidos, choques,...) que dañan los materiales de las conducciones. La reducción de presión estática en un estrechamiento tiene diversas aplicaciones técnicas. Así, en el pulverizador o atomizador (Figura 3.3), una corriente de aire alcanza suficiente velocidad en el estrechamiento del tubo por la que circula como para que se produzca una gran caída de presión (inferior a la p atm ) de modo que el líquido contenido en el recipiente pueda ascender por el tubo vertical y ser dispersado por la corriente de aire. Este es el principio de funcionamiento que permite la inyección de la mezcla de gasolina-aire en los cilindros de un motor de explosión. Figura 3.3 Figura 3.4 En la trompa de agua o de vacío (Figura 3.4), se produce una gran caída de presión en el estrechamiento A del tubo que conduce agua, y el aire circundante es arrastrado por el chorro de agua. Si la tubuladura B está unida a otro recipiente, los gases y vapores contenidos en éste serán succionados por la trompa; así se pueden conseguir vacíos hasta del orden de unas decenas de Torr.

98 Lec. 3.- Dinámica de los fluidos ideales. Ejemplo III.- Contador de Venturi.- El contador de Venturi (venturímetro) es un dispositivo que permite determinar el caudal que circula por una tubería. Consiste en un tubo convergentedivergente, diseñado de forma adecuada para evitar las turbulencias, que se intercala en la tubería (Figura 3.5). El tubo de Venturi lleva acoplado un manómetro diferencial que permite medir la diferencia de presiones p A -p B entre las secciones rectas de áreas S A y S B. Encontrar una expresión que nos permita determinar el caudal el función de la lectura del manómetro diferencial. Aplicando las ecuaciones de continuidad y de Bernoulli entre los puntos A y B tenemos v A S A v B S B p A v A p B v B [3.47] y eliminando v B entre esas dos ecuaciones y teniendo en cuenta que p A -p B =( m -)gh (vide Problema 3.3), siendo m la densidad del líquido manométrico, obtenemos v A S B ( m )gh (S A SB) [3.48] y el caudal que circula por la tubería es Figura 3.5 v A S A S A S B ( m )gh (S A SB) [3.49] 3.3. Tubo de Pitot.- El tubo de Pitot es un aparato que se utiliza para medir la velocidad de una corriente fluida, generalmente gaseosa y en régimen de flujo externo. El tubo de Pitot 5 consiste en una sonda, diseñada con un perfil apropiado para evitar perturbaciones significativas en el régimen de flujo, que posee una abertura (A) en su extremo, enfrentada directamente a la corriente fluida, y otras aberturas (B) laterales, colocadas lo suficientemente hacia atrás para que en ellas la velocidad y la presión correspondan a los valores de corriente libre. La abertura A constituye una toma de presión total (punto de estancamiento); las oberturas B son tomas de presión estática. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B tenemos p A p B v [3.50] Figura 3.6 La diferencia de presiones p A -p B estará medida por la diferencia de niveles (h) del líquido manométrico (de densidad m ) en las dos ramas de un manómetro diferencial acoplado a las tomas de presión; i.e., 5 En realidad, el esquema de la Figura 3.4 corresponde al llamado tubo de Prandtl, en honor del Ludwig PRANDTL (875-953), científico alemán, autor de numerosos trabajos en Mecánica de Fluidos.

3.3.- Tubo de Pitot. 983 p A p B v ( m ) gh de modo que podemos calibrar el manómetro para leer directamente velocidades (para un fluido determinado), ya que v (p A p B ) ( m )g h [3.5] Los tubos de Pitot se utilizan en los aviones para determinar la velocidad de éstos respecto al aire. En los anemómetros, el tubo de Pitot va montado solidariamente con una veleta que se encarga de enfrentarlo a la dirección del viento. 3.4. Efusión de un liquido. Teorema de Torricelli.- Consideremos un depósito cerrado, cilíndrico o prismático, de sección transversal de área S, que contiene un líquido de densidad hasta un cierto nivel z y aire a la presión p por encima de la superficie libre del líquido (Figura 3.7). El líquido fluye al aire libre (presión atmosférica) a través de un pequeño orificio, de área S, practicado en la pared del depósito. La experiencia nos dice que todo el líquido participa en el movimiento y que el flujo es de tipo convergente en el depósito. Supongamos que la relación entre las áreas S /S sea suficientemente grande, de modo que podamos despreciar la variación del nivel z durante un corto intervalo de tiempo Δt, durante el cual el flujo puede considerarse como si fuera estacionario 6. En estas condiciones, la ecuación de Bernoulli nos permite Figura 3.7 determinar la velocidad de efusión del líquido por el orificio. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos ytenemos p gz v p gz v [3.53] y puesto que z -z =h y p =p atm, resulta v v p p atm gh [3.54] Si consideramos el caso particular muy frecuente en el que la presión que actúa sobre la superficie libre del líquido sea también la presión atmosférica, entonces p =p atm y nos queda 6 Una situación equivalente se consigue reponiendo líquido en el depósito, al mismo ritmo con que sale de él, para mantener constante su nivel.

984 Lec. 3.- Dinámica de los fluidos ideales. v v gh [3.55] y si, además, es S S, de modo que será v v, entonces podemos considerar que v 0, con gran aproximación, de modo que tenemos v Esto es, el líquido sale por el orificio con la misma velocidad que adquiriría un móvil en caída libre desde una altura h. gh [3.56] Este es el enunciado del teorema de Torricelli. No puede sorprendernos este resultado, puesto que el líquido gana energía cinética en la salida a expensas de la energía potencial gravitatoria que pierde en el nivel de su superficie libre. Para calcular el gasto o caudal a través del orificio, hay que tener en cuenta que, a causa de la convergencia de las líneas de corriente en las proximidades del orificio, el área de la sección recta del chorro continua disminuyendo durante un corto recorrido fuera del depósito (del orden del radio, para un orificio circular), hasta que finalmente las líneas de corriente son paralelas entre sí. El chorro toma una forma característica (Figura 3.8); el área mínima de la sección transversal del chorro (S c ) recibe el nombre de sección contracta o vena contracta. La ley de Torricelli da la velocidad de salida una vez completada la contracción. El gasto vendrá dado por el producto v S c [3.57] pero como el valor de S c no resulta fácil de medir, es conveniente definir el llamado coeficiente de contracción C c C c área de la sección contracta área del orificio S c S [3.58] de modo que el gasto vendrá dado por C c v S [3.59] Figura 3.8 El coeficiente de contracción se determina experimentalmente; sus valores están tabulados, en obras especializadas, para diversas formas de los orificios y tubos de

3.4.- Efusión de un liquido. Teorema de Torricelli. 985 descarga. Así, para un orificio bien perfilado (Figura 3.8a), es C c =.0; para un orificio circular de bordes finos (Figura 3.8b), es C c =0.6; para un orificio reentrante o tubo de Borda (Figura 3.8c), es C c =0.5. 3.5. Efusión de gases. Ley de Bunsen.- Consideremos un depósito lleno con un gas de densidad y a una presión p A. El gas escapa a través de un orificio de pequeñas dimensiones en las paredes del depósito. Sea p B la presión existente en el exterior del depósito (por ejemplo p B =p atm ). Si la diferencia de presiones Δp=p A -p B es pequeña en comparación con p B, podemos considerar el gas como incompresible y aplicaremos la ec. de Bernoulli entre el punto A en el interior del depósito y alejado del orificio y un punto B situado en la sección contracta del chorro de gas a la salida. En el caso de los gases, podemos prescindir generalmente de los cambios de presión debidos al peso del gas, i.e., gh, ya que es muy pequeña y h no suele ser demasiado grande. Entonces Figura 3.9 podemos escribir p A v A p B v B [3.60] y como v A v B, la velocidad de efusión del gas será v B (p A p B ) [3.6] Así, para una diferencia de presión Δp=p A -p B dada, la velocidad de efusión de un gas por un orificio es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la densidad del mismo. Este es el enunciado de la ley de Bunsen. Si el gas puede considerarse como un gas perfecto, entonces es =(p/rt)m, de modo que la velocidad de efusión es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa molecular. Si tenemos una mezcla de gases, esta propiedad nos permite llevar a cabo la separación fraccionada de los distintos componentes de la mezcla (v.g., la separación isotópica para un elemento determinado).

986 Lec. 3.- Dinámica de los fluidos ideales. Problemas 3..- Supongamos un flujo bidimensional de un fluido incompresible y no viscoso, cuyo campo de velocidades venga dado por v = Axi - Ayj a) Determinar la ecuación general de las líneas de corriente. b) Dibujar un esquema del patrón de líneas de corriente. c) Encontrar la expresión del campo de presión p(x,y,z) tomando como referencia la presión p en el origen de coordenadas. (El eje z se supone vertical). 3..- Repetir los tres apartados del Problema 3. para el campo de velocidades v =-Ayj + Bxj. 3.3.- Reconsideremos el flujo bidimensional y estacionario de un fluido incompresible y no viscoso alrededor de un cilindro, tal como lo describimos en el Prob. 3.4. a) Encontrar el significado físico de la constante v que aparece en la expresión del campo de velocidades de dicho flujo. b) Encontrar la expresión del campo de presión p(r,θ) tomando como referencia la presión correspondiente a la corriente libre. c) Determinar la distribución de presión absoluta sobre la superficie del cilindro. d) Calcular la fuerza neta debida a la presión que actúa sobre la superficie del cilindro. 3.4.- Dado el campo de velocidades v =(t -6x)i +6yj +t k, para un flujo incompresible y no viscoso, encontrar la expresión del campo de presión p(x,y,z,t) tomando como referencia la presión p 0 (t) en el origen de coordenadas. 3.5.- Un grifo, de sección recta circular de radio r 0, deja salir un chorro de agua, verticalmente hacia abajo, con una velocidad inicial v 0. Puesto que v 0 es pequeña, el agua fluye en régimen laminar durante un cierto tramo de su caída vertical. Expresar el radio r del chorro de agua, en ese tramo, en función de la distancia h a la boca del grifo. 3.6.- Calcular la presión ejercida sobre el centro de la superficie frontal de un torpedo que se desplaza en el mar (=.0 g/cm 3 )a una profundidad de 0 metros y con una velocidad de 54 km/h. 3.7.- Para medir la velocidad del agua que circula por un arroyo, se dispone de un tubo en L, como se muestra en la figura adjunta. Cuál será la velocidad de la corriente si el agua asciende por el tubo vertical hasta una altura de 40 cm por encima de la superficie libre del agua? Prob. 3.8 Prob. 3.7 3.8.- Un fluido ideal, de densidad, circula en régimen estacionario por una tubería de sección uniforme S. Para determinar el caudal en la tubería acoplamos dos tubos piezométricos que nos permiten medir la diferencia entre las presiones estática y dinámica por medio de un manómetro diferencia en el que el líquido manométrico tiene una densidad m. Expresar el caudal en función de la lectura h del manómetro diferencial. 3.9.- Géiser. El géiser Old Faithful (Yellowstone Park) expulsa periódicamente un chorro de agua que alcanza una altura de hasta 40 metros. a) Determinar la velocidad del agua en la base del chorro. b) Calcular la presión manométrica que debe existir en el interior del géiser, a una profundidad de 00 m, para que pueda proyectar el chorro de agua hasta esa altura. 3.0.- Repostando en marcha. Para alimentar de agua, durante la marcha, el ténder de una locomotora de vapor, se dispone de una tubería, de 0 cm de diámetro interior, uno de cuyos extremos se sumerge en una alberca que

Problemas 987 hay entre los raíles, como se muestra en la figura, y el otro extremo desemboca al aire libre, en el interior del depósito de agua del Prob. 3.0 ténder, a una altura de.5 m sobre la superficie libre del agua de la alberca. a) A partir de qué velocidad de la locomotora se cargará agua en el ténder? b) Cuál será el caudal de agua que entra en el ténder cuando la locomotora marche a una velocidad constante de 7 km/h? Prob. 3. 3..- Para medir la velocidad del agua que circula por un canal de suministro, de sección transversal rectangular, disponemos de un tubo doblado en L, como se muestra en la figura. a) Cuál será la velocidad de la corriente cuando el agua asciende por el tubo una altura h=40 cm por encima de la superficie libre del agua. b) Calcular la velocidad de la corriente (v ) y el descenso de nivel (a) asociados a una elevación de la solera, b=7.5 cm, como se indica en la figura. 3..- Por un canal abierto, de sección transversal rectangular, circula agua con una profundidad de 3 m y una velocidad de m/s. En un cierto lugar, el fondo del canal presenta una elevación transversal. Se observa que el nivel del agua en el canal desciende 5 cm en la vertical del obstáculo. Determinar la altura del obstáculo transversal. 3.3.- Demostrar que la diferencia de presiones existente entre los puntos A y B de la Figura 3.5 viene medida por la diferencia de niveles del líquido manométrico en ambas ramas del manómetro diferencial, a través de la relación p A - p B =( m - )gh, donde y m son las densidades del fluido circulante y del líquido manométrico, respectivamente. 3.4.- Tubo de Venturi. Consideremos un tubo de Venturi con tres tomas de presión estática verticales, como en la Figura 3.. Los radios internos de la sección principal y del estrechamiento son 5 cm y 0 cm, respectivamente. Cuando circula un caudal de agua de 00 l/s, el nivel del agua en los tubos de la derecha y de la izquierda se encuentra a 3.00 m por encima del eje de la tubería. a) Cuál es la presión manométrica en los puntos A y B? b) Hasta donde subirá el agua por el tubo central? c) Para qué caudal de agua se succionará aire por el tubo central? (Hacer las hipótesis que se consideren apropiadas). 3.5.- Venturímetro. Para medir el caudal de agua que circula por una tubería, se intercala en ésta un venturímetro cuyos diámetros en el tramo principal y en el estrechamiento son 5 cm y cm, respectivamente. La diferencia de presión entre el tramo principal y el estrechamiento resulta ser de 0.35 atm. Cuál es el caudal? 3.6.- En un pulverizador de perfume (vide Figura 3.3, se sopla aire sobre el extremo superior de un tubito abierto por sus dos extremos, estando el extremo inferior sumergido en un recipiente que contiene perfume de densidad 0.9 g/cm 3. Cuál deberá ser la velocidad mínima del aire que pueda elevar el perfume 0 cm para ser dispersado? (Densidad del aire,.5 g/litro). 3.7.- Tubo de Pitot. Un tubo de Pitot está montado en el ala de una avioneta. Cuando la avioneta vuela a una altura en la que la densidad del aire es.0 g/litro, el manómetro diferencial acoplado al tubo de Pitot indica un desnivel entre sus dos ramas de 5 cm de alcohol (densidad, 0.80 g/cm 3 ). Cuál es la velocidad de la avioneta respecto al aire? 3.8.- Un depósito abierto, de grandes dimensiones y paredes verticales, contiene agua hasta una altura H por encima de su fondo. Se practica un orificio en la pared del depósito, a una profundidad h por debajo de la superficie libre del agua. Prob. 3.8 El chorro de

988 Lec. 3.- Dinámica de los fluidos ideales. agua sale horizontalmente y, tras describir una trayectoria parabólica, llega al suelo a una distancia x del pie del depósito, como se ilustra en la figura adjunta. a) Cuál será el alcance x del chorro sobre el plano horizontal? b) Será posible abrir un segundo orificio, a distinta profundidad, de modo que el chorro que salga de él tenga el mismo alcance que antes? En caso afirmativo, a qué profundidad? c) A qué profundidad se deberá perforar un tercer orificio para que el alcance del chorro sea máximo? Cuál será ese alcance máximo? 3.9.- Un depósito abierto, de grandes dimensiones, que desagua a través de una tubería de 0 cm de diámetro Prob. 3.9 interior, recibe un aporte de agua de 50 litros/s, como se muestra en la figura. El diámetro del depósito es mucho mayor que el de la tubería de desagüe. Algún tiempo después de abrir la llave de la tubería de desagüe, se alcanza un estado estacionario en el que el nivel del agua en el depósito permanece constante. Cuál es ese nivel? Nota: El coeficiente de descarga para una tubería larga puede tomarse igual a 0.5. Prob. 3.0 3.0.- Un depósito de grandes dimensiones contiene un líquido de densidad. A una profundidad h, acoplamos una tubería horizontal de sección transversal S que presenta un estrechamiento, de sección transversal S,enel que se ha conectado un tubo vertical abierto, como se ilustra en la figura. Determinar el valor mínimo de la sección S con tal de que no penetre aire en la corriente fluida a través del tubo vertical. Prob. 3. 3..- Dos depósitos de gran tamaño, A y B, como se ilustra en la figura, contienen un mismo líquido. El depósito A descarga por medio de una tubería horizontal que presenta un estrechamiento en el que se acopla un tubo cuyo extremo inferior se sumerge en el líquido del depósito B. La relación entre las áreas de las secciones rectas del tramo principal y del estrechamiento de la tubería es :. Supondremos que el régimen de flujo sea ideal. Expresar la altura de ascenso h del líquido por el tubo en función de la altura h del líquido en el depósito A. 3..- Un depósito abierto, cilíndrico, de eje vertical y sección recta S está lleno de agua hasta una altura H por encima de su fondo. a) Determinar el tiempo necesario para que se vacíe el depósito a través de un orificio bien perfilado, de área S, practicado en su fondo. b) Aplicación numérica: S = m, S =0 cm, H=3 m. 3.3.- Clepsidra (reloj de agua). Determinar la forma que debe darse a un recipiente con simetría de revolución alrededor de un eje vertical para que al vaciarse por un orificio situado en su fondo sea constante la velocidad de descenso del nivel del agua que contiene. 3.4.- Sifón (I). Un sifón es un dispositivo que se utiliza para extraer líquido de un depósito. Su forma de operar se muestra en la figura adjunta. El extremo (B) del tubo que está sumergido en el líquido puede estarlo a cualquier profundidad. Naturalmente, para que el sifón funcione deberá estar inicialmente lleno de agua; pero una vez que está lleno, el sifón succionará líquido del depósito hasta que el nivel en éste descienda por debajo del nivel del extremo del tubo abierto al aire libre. Supongamos que el líquido sea agua a 5.5 C (p s 3 Torr) y despreciemos totalmente la fricción. a) Determinar la velocidad de salida del líquido por el extremo D del tubo del sifón. b) Cuánto vale la presión absoluta en el punto C? Prob. 3.4 c) A qué altura máxima

Problemas 989 sobre el punto D puede estar el punto C sin que el sifón falle por cavitación? 3.5.- Sifón (II). Un sifón está constituido por un tubo de 6 cm de diámetro que se eleva a una altura de 3 m por encima del nivel de la superficie libre del agua (a 5.5 C) contenida en un depósito de grandes dimensiones. Cuál será el caudal máximo que podemos esperar obtener con este dispositivo sin que se produzca cavitación? 3.6.- Frasco de Mariotte. Un frasco de Mariotte es un dispositivo destinado a conseguir una velocidad de efusión constante para los líquidos. Consiste en un recipiente cerrado herméticamente, cuya tapa está atravesada por un tubo, abierto en sus dos extremos, que se sumerge en el líquido contenido en el recipiente, como se muestra en la figura adjunta. De este modo, la presión en el nivel HH es igual a la presión atmosférica, ya que el aire tiene acceso a ese nivel. A Prob. 3.6 medida que baja el nivel del líquido en el recipiente, el aire irá penetrando a través del tubo, burbujeará y ascenderá en el líquido. Supongamos que el líquido sea agua a 5.5 C (p s 3 Torr). a) Expresar la velocidad de efusión del agua en B en función de la longitud L del tubo de desagüe y de la altura H. b) Se sabe que la velocidad máxima del flujo se alcanza en el punto C y que vale.4v B. Entonces, cuál será la longitud máxima que puede tener el tubo de desagüe sin que se produzca cavitación? Expresar el resultado en función de H. Aplicación numérica: H=0.5 m; L= m. 3.7.- La efusión de un líquido o de un gas por un orificio practicado en la pared del recipiente que lo contiene produce una fuerza de reacción o empuje sobre el resto del sistema. Los fundamento mecánicos de este problema son los mismos que intervienen en la propulsión de los cohetes. Demostrar que la fuerza de empuje viene dada por F= (Δp)S, siendo S el área de la sección contracta del orificio y Δp la diferencia de presiones del fluido entre el interior y el exterior del recipiente. 3.8.- Una embarcación es impulsada a una velocidad constante de 36 km/h mediante propulsión por chorro de agua. La fuerza de empuje total es de 500 kg y el diámetro de la sección contracta del chorro es 0 cm. a) Calcular la velocidad del agua del chorro respecto a la embarcación. b) Calcular la presión manométrica del agua a la salida de la bomba de expulsión. 3.9.- Un depósito cerrado, cilíndrico y de eje vertical, de 400 cm de base, contiene agua y aire a la presión manométrica de 3 atm. Se abre un orificio, cuya área de sección contracta es cm, a una profundidad de.5 m por debajo de la superficie libre del agua. a) Calcular la velocidad de salida del agua. b) Calcular la fuerza de empuje que produce el chorro sobre el resto del sistema. 3.30.- Cohete de agua. En la figura adjunta se muestra el esquema de un juguete llamado "cohete de agua". El aire atrapado por encima de la superficie libre del agua se encuentra inicialmente a una presión absoluta de atm. El agua escapa a través de un orificio bien perfilado en la base del cohete, de 8 cm de diámetro. Si abandonamos el cohete partiendo del reposo: a) Calcular la velocidad de efusión del agua por el orificio en el instante inicial; b) calcular el empuje ejercido inicialmente sobre el cohete. c) La fuerza de empuje es la misma que actuaría si el cohete estuviese lleno solamente de aire a la misma presión; entonces, cuál Prob. 3.30 es la razón de la utilización del agua? 3.3.- Apertura de válvula. Un depósito de grandes dimensiones está lleno de agua y dispone de una tubería de desagüe, de sección constante de 6 cm de diámetro y 00 m de longitud, colocada horizontalmente y conectada 5 m por debajo del nivel del agua en el depósito. La tubería vierte directamente a la atmósfera. Determinar el flujo de agua a la salida de la tubería en función del tiempo, a partir del instante en que se abre repentinamente una válvula colocada en su extremo