RESUMEN Valuación de opciones americanas con múltiples ejercicios Víctor Hugo Ibarra Mercado (Responsable y expositor) Patricia Saavedra Barrera El objetivo del trabajo es adaptar el método de Longstaff y Schwartz [1] en la valuación de opciones americanas con múltiples ejercicios, cuando el proceso de precios es un browniano geométrico. En este trabajo se discretiza el proceso, para posteriormente aplicar simulaciones de las trayectorias mediante el método Monte Carlo. Posteriormente se adapta el método de Longstaf y Scwartz, en el que se analiza la información transversal de las trayectorias de los precios, a fin de estimar, mediante regresión lineal, los valores de la función de pago en cada instante. Con esto y aplicando un proceso regresivo se comparan los valores de ejercicio anticipado con el de continuación. Los resultados se contrastan con los que aparecen en la literatura, Ibañez [2] y Carmona y Touzi [3]. Se finaliza presentando las conclusiones y análisis de los resultados. [1] Longstaff, F. y Schwartz, E. (2001) Valuing American Options by Simulation: A Simple Least-Square Approach. The Review of Financial Studies. Vol. 14, núm. 1, pp. 113-147. [2] Carmona, R. y Touzi, N. (2004) Optimal multiple stopping and valuation of swing options.(paper work) [3] Ibañez, A. (2004) Valuation by simulation of contingente claims with multiple early exercise opportunities. Mathematical Finance. Vol. 14, núm. 2, pp. 223-248 1
POLINOMIOS DE GRADO n APLICADOS A LA MEDICIÓN DE LA RENTABILIDAD DE UN PORTAFOLIO DE INVERSIÓN Juan Segovia* Resumen El presente trabajo desarrolla una metodología que enlaza el estudio de los polinomios de grado n con la medición del desempeño financiero o rentabilidad de un portafolio de inversión; asimismo, se presenta un resumen de los conceptos utilizados para resolver el problema relacionado con la determinación de la rentabilidad del portafolio. La metodología propuesta arroja resultados en dos direcciones: por un lado, el rendimiento monetario del portafolio, generalmente registrado en la contabilidad y; por el otro lado, la rentabilidad en términos porcentuales obtenida en el período de valuación, la cual puede ser comparada con tasas de referencia de mercado. En este trabajo se presenta la demostración que comprueba que los resultados obtenidos son congruentes entre s ı, lo que respalda que la metodología propuesta es una alternativa para la medición de la rentabilidad, tanto porcentual como monetaria, que además concuerda con los registros contables. Por ultimo, se presenta la aplicación de la metodología propuesta. Abstract This work develops a methodology that connects the study of degree n polynomials with the measure of the financial performance or profitability of an investment portfolio; also, a summary of the concepts used to solve the problem related to the assessment of a portfolio profitability measure is presented. The methodology shows results in two ways: in the first hand, the monetary yield of the portfolio, generally registered in the accounting of the companies and; in the other hand, the profitability in percentage obtained during the appraisal period, which can be compared with market reference rates. In this work, the demonstration that proves that the obtained results are mutually congruent is presented, this supports that the proposed methodology is an alternative for the profitability measure as percentage as monetary, that besides agree with the accountant records. Finally, the application of the proposed methodology is presented. *Correspondencia: Plan de Agua Prieta No 66, Col. Col. Plutarco Elías Calles, Del. Miguel Hidalgo, C.P. 11340, México, D.F., E-mail: juansegoviamx@gmail.com, Tel.: + 52 (55) 5249 9546. 2
Una visión general sobre el tratamiento del problema de Selección de Portafolios con objetivos múltiples Antonin Ponsich Resumen El problema de selección de portafolios se vuelto muy popular ya que involucra individuos con recursos limitados y, por tanto, portafolios involucrando pocos títulos de bolsa, bonos del tesoro, etc.; y también agencias de inversiones importantes (mutual funds) que manejan portafolios contando con muchas acciones, obligaciones, etc. El trabajo propuesto trata de la formulación y resolución del problema de Selección de Portafolios como un modelo de optimización contando, generalmente, con varios objetivos. Desde el trabajo innovador de H.M. Markowitz (1952), el problema de selección de portafolios se ha formalizado como la optimización simultánea de dos objetivos generales, cuya justificación se basa en el comportamiento de los inversionistas: desean maximizar el retorno y minimizar el riesgo relacionado con la inversión (risk-averse behavior). El modelo desarrollado por Markowitz para representar este problema implica dos objetivos: Max. Retorno y Min. Riesgo. Estos objetivos se calculan, en base a la variable representando la fracción del presupuesto invertido en cada clase de obligaciones, gracias al valor promedio y a la matriz de varianza-covarianza de los retornos asociados a cada obligación. El problema resultante es cuadrático y se puede resolver de forma óptima gracias a herramientas matemáticas específicas (critical line algorithm). Sin embargo, las hipótesis simplificadoras asumidas por Markowitz hacen que el modelo, y la solución resultante, no sean completamente realistas. Por tanto, un número muy importante de publicaciones se dedican a integrar conceptos más realistas en el modelo, particularmente con restricciones y objetivos alternativos. El efecto de estas nuevas formulaciones es volver más complejo el modelo, que ya no tiene las características matemáticas (continuidad, convexidad) necesarias para resolverlo mediante técnicas de Programación Cuadrática. La emergencia (más o menos contemporánea) de técnicas heurísticas de resolución de problemas de optimización compleja, y particularmente los Algoritmos Evolutivos, ha sugerido un interés mutuo de las comunidades de finanzas y de Cómputo Evolutivo: los primeros buscando métodos para resolver las instancias más difíciles del problema de selección de portafolios, los últimos tratando de aplicar a situaciones reales sus nuevos algoritmos. Así pues, en el trabajo presentado, se analizan, por un lado, las nuevas formulaciones propuestas en los últimos años para modelar el problema de selección de portafolios según dos ejes (nuevas restricciones y nuevos objetivos); y por otro lado, se describen las técnicas de resolución, i.e. Algoritmos Evolutivos Multi-Objetivo (MOEAs), usados para resolver los problemas resultantes. 3
Estudio estadístico del empleo de índices bursátiles como cartera óptima en condiciones de equilibrio en México y España. MIEF Oscar Valdemar De la Torre Torres Dra. María Isabel Martínez Torre Enciso Resumen: De las propuestas de Sharpe (1964) y Lintner (1965) para definir una cartera de mercado como aquella óptima para todos los participantes en el mercado, suponiendo condiciones de equilibrio y expectativas homogéneas para los inversionistas (Samuelson, 1965), se emplean los índices bursátiles como aproximación de este portafolio por parte de académicos y profesionales en los mercados de capitales. El objetivo del presente trabajo es realizar una revisión teórica y no el refutar de manera tajante la oportunidad de esta práctica o aproximación, al hacer notar la ineficiencia estadística y financiera que implica el adquirir una cartera que siga el comportamiento y conformación de un índice de valor de mercado (como el IPC o el IBEX35); respecto a la elección de otro portafolio óptimo compuesto de los mismos activos financieros y derivado con la frontera eficiente (Markowitz H., 1952) y los principios del Teorema de la separación de James Tobin (1958) a través del modelo conocido como Cartera Mixtas (Suárez, 2008, págs. 502 512). Para realizar la presente revisión se emplearon las conformaciones históricas mensuales del Índice de Precios y Cotizaciones y del IBEX35 de febrero de 2001 a Mayo de 2010, así como los históricos mensuales de los rendimientos de las emisoras miembro en cada caso. Estos datos fueron procesados a través de una simulación discreta por eventos en la que se calcularon los parámetros de riesgo y rendimiento de cartera, de los cuales se obtuvieron series de tiempo del índice de Sharpe (1966) tanto para la cartera de cada indicador bursátil como de la óptima derivada con el modelo de carteras mixtas. Las dos series fueron comparadas de manera visual contra un registro histórico de las fronteras eficientes y, posteriormente, fueron estudiadas con una prueba de Análisis de Varianza unidireccional y diagramas de caja. Los resultados confirmaron la postura de que los índices bursátiles de valor de mercado como el IPC mexicano y el IBEX35 español son aproximaciones ineficientes (sin embargo útiles) si se comparan con una cartera óptima derivada en el mismo periodo y con los mismos activos, al aplicar los criterios de elección racional limitada en un contexto de dos variables: riesgo y rendimiento. Con los resultados de la revisión se deja abierta la invitación para futuras investigaciones con la finalidad de buscar dos posibles alternativas: La primera es determinar otro tipo de índices con parámetros de cálculo diferentes a los niveles 4
de operatividad y valor de capitalización para aproximar la cartera de mercado o (la segunda) emplear funciones de utilidad y modelos de valuación de carteras que puedan aproximar la toma de decisiones que no se basen en un plano únicamente racional en la definición económica del concepto. Bibliografía citada en el resumen: [I] Lintner, J. (1965). The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets. Review of Economics and Statistics, XLVII (1, febrero), 13 37. [II] Markowitz, H. (1952). Portfolio selection. The Journal of Finance, 7 (1), 77 91. [III] Samuelson, P. (1965). Proof that properly anticipated prices fluctuate randomly. Industrial management review, 6 (1), 41 90. [IV] Sharpe, W. F. (1964). Capital Asset Prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk. The journal of finance, 29 (3, septiembre), 425 442. [V] Sharpe, W. (1966). Mutual fund Performance. Journal of bussiness, 39, 49 58. [VI] Suárez, A. (2008). Decisiones óptimas de inversión y financiación en la empresa (21a. ed.). Madrid, MA, España: Ediciones Pirámide (Grupo Anaya S.A.). [VII] Tobin, J. (1958). Liquidity Preference as Behavior towards Risk. The Review of Economic Studies, XXV (Febrero), 65 86. 5
EVIDENCIA DE NO LINEALIDAD Y REVERSIBILIDAD EN EL TIPO DE CAMBIO PESO MEXICANO/DÓLAR US. Dr. Francisco Venegas Martínez Dr. Semei L. Coronado Ramírez Dr. Leonardo A. Gatica Arreola Desde el momento en que Engel (1982) propuso su metodología y desarrollo el modelo Autorregresivo con Heterocedasticidad Condicional (ARCH) bajo los supuestos de media cero y varianza no constante sobre el pasado y posteriormente a partir del modelo de Bollerslve (1986), quien propone el modelo Autorregresivo Generalizado con Heterocedasticidad Condicional (GARCH) en el cual la varianza no solo depende de los errores al cuadrado sino también de períodos anteriores, este tipo de modelos han sido aplicados para analizar series financieras o económicas, en particular su volatilidad. Sin embargo, estos métodos de análisis no logran modelar el comportamiento asimétrico que por lo general presentan estas series. Este comportamiento asimétrico es resultado de la no linealidad de la serie. En este trabajo analizamos, bajo un modelo alternativo, el comportamiento no lineal y de reversibilidad del tipo de cambio mexicano. OBJETIVO En este trabajo presentamos un modelo alternativo que aborda el problema de la nolinealidad y la asimetría que puede presentar una serie financiera o económica aplicado al tipo de cambio interbancario peso mexicano-dólar US. a cierre de venta diario, para el periodo 02/01/95-31/12/08. Buscamos identificar los periodos de no linealidad y analizamos las características de reversibilidad de la serie. METODOLOGÍA Para ellos utilizamos el modelo Hinich Portmanteau el cual detecta episodios transcendentes de dependencia no lineal en la serie. Este modelo separa las observaciones en pequeñas ventanas no traslapadas de igual longitud, para analizar en cada una de ellas la autocorrelación y la bicorrelación bajo la hipótesis nula de que las observaciones son ruido blanco. Nuestras concluciones arrojan que la serie es no lineal y por lo tanto tiene un comportamiento asimétrico. Para corroborar esto se aplica la prueba REVERSE basado en el Biespectro de la serie. Este método explota las propiedades de los espectros de tercer orden para procesos por medio de la doble transformada de Fourier. Se parte de la hipótesis nula de que la serie es un proceso estacionario aleatorio irreversible con momentos finitos, lo cual implica que la función de bicovarianzas debe ser simétrica, y que a su vez implica que la parte imaginaria del biespectrum es cero. En otras palabras, si la hipótesis se cumple, la serie es un proceso estacionario aleatorio con momentos finitos, es reversible y elimina cualquier evidencia de que exista raíces unitarias. Esta prueba de reversibilidad la llevamos a un siguiente nivel del Poliespectrum y además de analizar el Biespectro, utilizamos también el Triespectrum. Este último es la base del desarrollo de momentos de cuarto orden, por lo tanto el Triespectrum es la triple Tranformada de Fourier de una función acumulada de cuarto orden con una hipótesis nula de que la serie es tiempo 6
reversible, la parte imaginaria del Triespectrum es cero para todas las trifrecuencias. CONCLUSIONES Los resultados refieren que en la serie se encuentra 4 ventas significativas que muestran no linealidad, lo cual no podría analizarse por medio de cualquier modelo de la familia ARCH/ GARCH. Igualmente se rechaza la hipótesis nula del Biespectrum y del Triespectrum para la reversibilidad. Esto indica que la serie no sigue un proceso aleatorio, en otras palabras la serie no cumple el supuesto de i.i.d. que es el punto de partida para los modelos ARCH/ GARCH. 7
Econofísica, modelos periódicos y crisis financieras. Act. Carlos Vladimir Rodríguez Caballero. La econofísica es la disciplina que aplica las leyes de la física estadística a los procesos económicos y financieros. Una de las líneas más aplicables de dicha nueva área es aquella que estudia las fluctuaciones de diversas magnitudes en sistemas complejos, que al igual que en sistemas físicos, se presentan en el mundo de la economía. Existe una marcada analogía entre las transiciones de fases entre estados físicos y las crisis financieras. En ambos casos las fluctuaciones rigen dichos cambios. Sobre este increíble hecho empírico se ha trabajado en los últimos años, apareciendo ya numerosos artículos en revistas arbitradas, primordialmente, de física teórica. Siendo hoy en día, las diversas crisis financieras, tema de riguroso y constante estudio en la administración de riesgos, este trabajo explica el origen y la evolución de la econofísica haciendo hincapié en el uso de técnicas físicas para explicar las crisis financieras mediante un modelo, con el que se ha venido trabajando poco a poco, denominado modelo periódico. El trabajo abarca los orígenes del modelo, donde se trataba de explicar las denominadas burbujas y anti burbujas financieras que se han encontrado empíricamente en diversos índices accionarios, hasta los últimos avances en donde con la incorporación de un término estocástico poseyendo una estructura autorregresiva y de heteroscedasticidad condicional ha alcanzado un nivel estadístico riguroso capaz de impulsarlo como un modelo econométrico serio, cuyas generalizaciones y extensiones se irán viendo paulatinamente. En este trabajo se utiliza la crisis bursátil de 1994 de México como evidencia para estimar y hacer inferencia en el modelo periódico y se analiza la extensión del modelo log-periodic AR(1)-GARCH(1,1). Palabras clave: Econofísica, burbujas financieras, estimación extrema, algoritmo de recocido simulado y algoritmos de media escala. JEL classification: C13, C15, C51, C52, G01 8
Riesgo macroeconómico y la capacidad de endeudamiento: dinámica de los spreads de crédito en México César Gurrola Ríos. Francisco López Herrera. Resumen Esta investigación presenta evidencia empírica sobre la relación entre el comportamiento de variables económicas locales y la dinámica de los spreads o primas sobre la tasa libre de riesgo, que paga una muestra de empresas que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores. El análisis ofrecido se basa en la evidencia que se obtuvo mediante la comparación de los resultados de dos especificaciones econométricas: una estática y la del modelo dinámico presentado en Gurrola y López (2009). En términos generales, se documenta la existencia de una relación estadísticamente significativa entre el comportamiento de las variables económicas seleccionadas como representantes del riesgo sistemático en México, y la dinámica del spread de crédito en dicho mercado. Palabras clave: spread de crédito, prima por riesgo, riesgo sistemático. 9
Maximización de la Utilidad con Opciones Mtro en CC. EE. Julio Herrera Gatica UAMA Resumen Los agentes racionales maximizan su utilidad a través de la ecuación diferencial parcial estocástica que caracteriza el valor de una opción cuando la volatilidad es estocástica y además se conduce bajo un movimiento geométrico browniano, las preferencias son convexas y ahora se conducen por el movimiento browniano, se consideran tres instrumentos: acciones, las opciones sobre las acciones y un bono soberano., no existen impuestos y tampoco costos de transacción. 10
CAOS Y RECURRENCIA EN SERIES FINANCIERAS García Ruiz Reyna Susana El objetivo de esta investigación es brindar una explicación alternativa del comportamiento irregular de los mercados financieros a partir de teoría del caos, de tal forma que se pueda encontrar mayor eficiencia en la administración de portafolios. El análisis de series económicas con la teoría del caos se inicio con variables macroeconómicas en los años 80 s, y posteriormente se recurrió a series financieras, comprobándose la existencia de caos en estas últimas por medio del exponente de Lyapunov. Éste muestra cuando un sistema es disipativo, conservativo o dinámico, siendo el último caso mayor a cero (condición para poder aplicar la modelación de teoría del caos), e indicando el grado de separación de dos trayectorias infinitesimalmente cercanas, y la sensibilidad ante condiciones iniciales en el sistema. Así mismo se utiliza el espectro de Lyapunov para determinar el radio de producción de entropía de Shannon, elemento que ayudará a encontrar una medida de la falta de información en el sistema, siendo de interpretación económica una medida de la eficiencia del mercado. También se recurre a la teoría de información mutua, midiendo la dimensión de correlación en el comportamiento de dichas series, así como en cuánto el conocimiento de una variable, reduce la incertidumbre sobre la otra. Por último se utiliza el análisis de recurrencia, el cual es un proceso cualitativo para diferenciarla variabilidad caótica de estocástica, así como también ayuda a detectar cambios en la evolución del sistema, una aportación interesante de éste, es que si se ajusta una recta de mínimos cuadrados al porcentaje de recurrencia de la función, indicará estacionaridad cuando la pendiente es un valor próximo a cero. 11