Ecuaciones de Fresnel para la reflexión y refracción

Ecuaciones de Fresnel para la reflexión y refracción Rayos incidente, transmitido, y reflejado en la interface Coeficientes de reflexión y transmisión Ecuaciones de Fresnel Angulo de Brewster Reflexión total interna

Plano de incidencia y la interface con el medio Definición Perpendicular ( S ) la polarización apunta hacia afuera del plano de incidencia. Plano de incidencia (x-y plano) es el plano que contiene los vectores k de los rayos incedente y reflejado. Paralelo ( P ) La polarización sigue paralelo al plano de incidencia. i Interface E i θ i θ r E r Plane of the interface (here the yz plane) (perpendicular to page) y θ t z Medio de incidencia x E t Medio de transmisión t r n t

Notación simplificada para los estados de polarización Perpendicular ( S ) Esta polarización se encuentra apuntando hacia afuera del plano de incidencia. Paralelo ( P ) Esta polarización está paralela al plano de incidencia

Ecuaciones de Fresnel Podemos calcular la fracción de la luz de la onda refejada y transmitida por la interface entre los dos medios con distinto índice de refracción. Fresnel fué el primero que hizo éste cálculo. Empecemos por considerar las condiciones de contorno en la interface para el campo eléctrico y magnético de la ondas i,r,t para el caso S primero. Interface i E i El caso considerado corresponde a luz con el campo perpendicular al plano de incidencia E r B i θ i θ B r r θ t E t r z y x n t B t t

Condiciones de contorno para el campo Eléctrico en la interface La componente tangential del campo eléctrico es continua En otras palabras, el campo total E en el plano de la interface es continuo. Surge que, todos los campos E están en la dirección z, que es e plano (xz) de la interface, Así: i Interface E i E r B i θ i θ r B r θ t B t E t t r z y n t x E i (x, y = 0, z, t) + E r (x, y = 0, z, t) = E t (x, y = 0, z, t)

Condiciones de contorno para el campo magnético en la interface La componente tangencial del campo magnético es continua z y x En otras palabras, el campo total B en el plano de la interface es continuo. Todos los campos B están en el plano x-y, de las que tomamos la componente x: θ i Interface i E i θ i E r B θ i θ i r B r θ t E t B t t r n t B i (x, y = 0, z, t) ) + B r (x, y = 0, z, t) cos(θ r ) = B t (x, y = 0, z, t) )

Reflexión y Transmisión de luz polarizada perpendicularmente (S) Ignoring the rapidly varying parts of the light wave and keeping only the complex amplitudes: E 0i + E 0r = E 0t B 0i ) + B 0r cos(θ r ) = B 0t ) But Si B = E / (c 0 / n) = ne / c 0 and y θ i = θ r : ( E 0r E 0i ) ) = n t E 0t ) Sustituyendo por Substituting for E 0t using E 0i + E 0r = E 0t : ( E 0r E 0i ) ) = n t ( E 0r + E 0i ) )

Coficientes de Reflexión y Transmisión para luz polarizada perpendicularmente reacomodando Rearranging ( E 0 r E 0i ) ) = n t ( E 0 r + E 0i ) ) obtenemos: yields: E 0r ) + n t ) = E 0i ) n t ) Resolviendo Solving for E 0r / E 0i obtenemos yields the el reflection coeficiente coefficient de reflexión: : r = E 0r / E 0i = ) n t ) / ) + n t ) En Analogously, forma análogathe el coeficiente transm ission de transmisión coefficient, E / E, es: is 0t 0i t = E 0t / E 0 i = 2 ) / ) + n t ) Estas son la llamadas ecuaciones de Fresnel para luz polarizada perpendicularmente

Ecuaciones de Fresnel Campo eléctrico paralelo Interface i B i Geometría de los Rayor para luz polarizada con el campo eléctrico fi paralelo al plano de incidencia E i θ i θ r θ t B t B r t r E r E t Campo B- entrante en la página. n t z y x Notar que el campo magnético debe hacia la pantalla para lograr que E r B r k r.

Coeficiente de Reflexión y Transmisión para E paralelo (P) al plano de incidencia para For parallel luz polarizada polarized paralela light, al PI B 0i - B 0r = B 0t and y E 0i ) + E 0r cos(θ r ) = E 0t ) calculamos Solving for E 0r / E 0i y yields obtenemos the reflection el coef de coefficient reflexión r = E 0r / E 0i = ) n t ) / ) + n t ) En forma análoga el coeficiente de transmisión t = E 0t / E 0i, es: t = E 0t / E 0i = 2 ) / ) + n t ) Estas son las llamadas ecuaciones de Fresnel para luz polarizada paralelamente.

Coeficiente de Reflexión y Transmisión para una interface Aire-Vidrio n aire 1 < n vidrio 1.5 1.0 Note que: Hay reflexión total para θ = 90 para ambas polarizaciones Reflexión cero para polarización paralela en el ángulo de Brewster (56.3 para los valores de y n t ). Coeficiente de Reflexion, r.5 0 -.5 ángulo de Brewster r =0! r r (Para valores difrerentes de los índices de refracción, el ángulo de Brewster será diferente.) -1.0 0 30 60 90 ángulo de Incidencia, θ i

Coeficiente de Reflexión para la interface Vidrio-Aire n vidrio 1.5 > n aire 1 Note que : Ocurre refexión total interna por encima del ángulo crítico " θ crítico arcsin(n t / ) (el seno en la ley de Snell no puede ser > 1!) Coeficiente de Reflecxión, r 1.0.5 0 -.5-1.0 Ángulo Crítico Ángulo de Brewster Ángulo crítico r r Reflexión Total interna 0 30 60 90 Angulo de incidencia, θ i

Transmitancia (T) T Potencia transmitida / Potencia Incidente Si el rayo tiene un ancho w i : T = I t A t I i A i = n t ε 0 c 0 2 ε 0 c 0 2 E 0t E 0i T = 2 2 wi w t w i n t θ i θ t ( n t cos( θ ) t ( cos( θ ) i t 2 E 0t w t 2 wt = n t 2 E wi 0i = I t A t I i A i = n t w t w i t 2 I = n ε c 0 0 2 E 0 A = Area A t A i = w t w i = ) ) Ya que E 0t La Transmitancia se llama también Transmisividad. 2 2 E 0i 2 = t 2

Reflectancia (R) R Potencia reflectada/ Potencia incidente = I r A r I i A i I = n ε c 0 0 2 E 0 A = Area 2 w i θ i θ r wi ni n t Dado que el ángulo de incidencia = ángulo de reflexión, el área del rayo no cambia en la reflexión. También, n es el mismo para ambos rayos ya que están en el mismo medio. Así: R = r 2 La Reflectancia se llama también Reflectividad.

Reflectancia y Transmitancia para una interface Aire-Vidrio 1.0 Polarización Perpendicular T 1.0 Polarización Paralela T.5.5 0 R 0 30 60 90 0 R 0 30 60 90 Ángulo de Incidencia, θ i Ángulo de Incidencia, θ i Note que R + T = 1

Reflectancia y Transmitancia para una interface Vidrio-Aire Polarización Perpendicular Polarización Paralela 1.0 R 1.0 R.5.5 0 T 0 30 60 90 0 T 0 30 60 90 Ángulo de Incidencia, θ i Ángulo de Incidencia, θ i Note que R + T = 1

Reflexión concidencia normal Cuando θ i = 0, R = n t n t + 2 y T = 4 n t ( n t + n ) 2 i Para una interfaz aire-vidrio ( = 1 y n t = 1.5), R = 4% and T = 96% Los valores son los mismos,independientemente de la dirección en que viaje la luz, del aire al vidrio o viceversa. R= 4% tiene implicaciones para los lentes fotográficos.

Cambio de fase para la Reflexión de luz polarizada perpendicularmente r = E 0r / E 0i = ) n t ) ) + n t ) i E i E r B i θ i θ r B r r Cuando When θ i = 0, r = n t + n t ( Aire-vidrio), r < 0 Si If < n t air to glass Interface θ t B t E t t n t Entonces habrá interferencia destructiva entre el rayo incidente y el reflejado. De la misma forma, si > n t (vidrio - aire), r > 0, la interferencia será constructiva.

Cambio de fase para la Reflexión de luz polarizada perpendicularmente r = E 0r / E 0i = ) n t ) ) + n t ) i B i E i θ i θ r B r r E r Cuando Si When θ i = 0, r = n t + n t If < n t (air to glass), r < 0 Aire-vidrio Interface θ t B t E t t n t Esto significa que habrá interferencia destructiva con el rayo incidente. De la misma forma, si > n t (vidrio - aire), r > 0, habrá interferencia constructiva.

Gráficas del cambio de fase para la reflexión reflection (aire( - vidrio) < n t π 180 para todos los ángulos 0 π 0 0 30 60 90 Áng de incidencia 0 30 60 90 Áng de incidencia 180 para ángulos menores al ángulo de Brewster'; 0 para ángulos mayores

Gráficas del cambio de fase para la reflexión reflection (vidrio - aire) n t < π Cambia la fase por encima del ángulo crítico 0 π 0 0 30 60 90 Áng de incidencia 0 30 60 90 Áng de incidencia 180 para ángulos por debajo de ang de Brewster; 0 para valores mayores

Reflexión Total Interna (RIT) ocurre cuando sin(θ t ) > 1, y no hay haz transmitido Note que la irradiancia del haz transmitido tiende a cero ( occurre RIT) as it grazes the surface. Ángulo de Brewster Reflexión Total interrna RIT tiene 100% de eficiencia, esto es, toda la luz es refejada.

Fibras Opticas Las Fibras Opticas usan la RIT para transmitir luz a largas distancias. Cada vez juegan un rol mas importante en nuestras vidas

Estructura de las fibras ópticas Core: Vidrio fino que senecuentra en el centro de la fibra por el que se conduce la luz Cladding: rodea el core y refleja la luz nuevamente hacia el core Buffer coating: Film protector plástico n core > n clad

Propagación de la luz en una fibra óptica La luz viaja a través del core rebotando entre las paredes reflectantes. Esto le permite viajar a la luz grandes distancias sin pérdidas en la señal. Alguna señales se degradan debido a imperfecciones en el vidrio utilizado en la contrucción de la fibra. Las mejores fibras ópticas mustran muy poca pérdida menos de 10%/km en 1,550 nm.

Reflexión Total Interna Frustrada (RITF) Colocando una superfice en contacto con la superfice en la que ocurre RIT, la reflection total interna puede ser frustrada. Reflexión total interna Reflexión total interna frustada n=1 n=1 n n n n Cuán cerca deben estar las superficies para que ocurra RITF? Este efecto provee evidencia acerca de los campos evanescentes

El vector de onda k de la onda evanescente El vector de onda k de la onda evanescente tiene componentes x e y : Paralelo a la superficie: k tx = k sin(θ t ) Perpendicular a ésta: k ty = k ) i y x θ i θ t r t n t Usando la ley de Snell, sin(θ t ) = ( /n t ) sin(θ i ), así k tx tiene sentido. y nuevamente: ) = [1 sin 2 (θ t )] 1/2 = [1 ( /n t ) 2 sin 2 (θ i )] 1/2 = ± iβ Despreciando la solución sin sentido físico -iβ, obtenemos: E t (x,y,t) = E 0 exp[ kβ y] exp i [ k ( /n t ) sin(θ i ) x ω t ] La onda evanescente decae exponencialmente en la dirección transversal.