Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Ximo Beneyto Tema: Pàgina : 49

APLICACIONES LINEALES Definición : Sean (E(K), +, A) y (F(K), +, A), Espacios Vectoriales construídos sobre un mismo cuerpo K, una aplicación f:e 6 F, decimos que es una Aplicación Lineal u Homomorfismo entre Espacios Vectoriales si cumple: Aplicación Lineal En la práctica, emplearemos la definición de la derecha, que llamaremos LINEALIDAD de f. Al Espacio Vectorial E, le llamaremos Espacio Inicial de la aplicación y al Espacio F, le llamaremos Espacio Final. Veamos una serie de consecuencias que podemos deducir de esta definición: Tema: Pàgina : 50

i). Es decir, la imagen del vector del Espacio E, es el vector del Espacio F. Demostración: Como => Aplicando f = { Como f es lineal } = { Como f es lineal } c.q.d. ii) f (" 1 @ 1 + " 2 @ 2 + @@@ + " p @ p) = " 1 @ f( 1) + " 2 @ f( 2 ) +@@@+ " p @ f( p). Es decir, la imagen de una Combinación Lineal de vectores es igual a la Combinación Lineal de las imágenes de estos vectores. La demostración es muy sencilla, basta con extender la definición dada para dos vectores, a los n vectores. Antes de empezar a estudiar las propiedades y elementos de una aplicación lineal, vamos a entretenernos un poco, planteando algunas muy interesantes. Ejemplo. 1 1 E : E 6 E / 1 E ( ) = œ 0 E. Se le llama APLICACION IDENTIDAD, y cada vector de E tiene por imagen el mismo vector. Por ejemplo, tomando E = ú², la aplicación identidad sería: 1 E (x,y) = (x,y) œ (x,y) 0 ú². Ejemplo. 2 0 : E 6 F / 0( ) = œ 0 E. Se le llama APLICACION NULA, y cada vector de E tiene por imagen el vector de F. Por ejemplo, de ú² en ú 3, la aplicación nula sería: 0(x,y) = (0,0,0) œ (x,y) 0 ú². ELEMENTOS DE UNA APLICACION LINEAL Tema: Pàgina : 51

< NÚCLEO Dada una Aplicación Lineal entre dos Espacios Vectoriales f: E 6 F, definimos el Núcleo de la misma y notamos Ker(f)* a: Es decir, el núcleo de una aplicación lineal está formado por los vectores del Espacio Inicial cuya imagen es el vector del Espacio final. *La notación Ker(f) procede de la palabra inglesa kernel, que significa núcleo. < Propiedad El núcleo de una Aplicación Lineal tiene estructura de Subespacio Vectorial del Espacio inicial. Demostración: Sea f: E 6 F una Aplicación Lineal y Ker(f) = { 0 E / f( ) = }. Vamos a demostrar su estructura mediante el teorema de caracterización de subespacios. i) Obviamente Ker ( f ) i, puesto que al ser f( ) = Y 0 Ker( f ) ii) Como f( "@ + ß@ ) = {f es lineal} = "@ f( ) + ß@ f( ) = [ Si 0 Ker (f) Y f( ) = ; Si 0 Ker (f) Y f( )= ] = = " @ + ß @ = œ ", ß 0 K Y f( "@ + ß@ ) = Y " @ + ß @ 0 Ker ( f ). Por tanto, en virtud del Teorema de Caracterización de Subespacios Vectoriales, Ker(f) Tema: Pàgina : 52

tiene estructura de Subespacio Vectorial del Espacio E. Como consecuencia de esta propiedad, trataremos al núcleo de una Aplicación Lineal como cualquier Subespacio Vectorial, es decir, tendrá su propia Dimensión, Base y Ecuaciones (si las tiene). También notamos el núcleo de una aplicación lineal f con las notaciones: K(f), Ker(f), N(f), Núc(f). A lo largo de los temas seguiremos con la notación "Ker(f)" para representar el núcleo de la aplicación lineal f, al ser la más utilizada en los libros de álgebra. < IMAGEN o RECORRIDO Dada una Aplicación Lineal f: E 6 F, definimos la Imagen de f; y notamos Im(f) a : El conjunto Imagen de una Aplicación Lineal, está formado por los vectores del Espacio Final que son imagen mediante la aplicación f de algún vector del Espacio inicial. < Propiedad El conjunto Im(f) tiene estructura de Subespacio Vectorial de F. i) En primer lugar Im (f) i, pues al menos 0 Im (f), ya que f( ) =, como hemos demostrado. ii) Sean, 0 Im(f) Tema: Pàgina : 53

Y Como " @ + ß @ = " @ f ( ) + ß @ f( ) = { f es lineal } = f (" @ + ß @ ) Y "@ + ß@ es la imagen mediante f del vector "@ + ß@ 0 E y por lo tanto pertenece a Im (f),"@ + ß @ 0 Im(f) así pues, en virtud del Teorema de Caracterización de Subespacios Vectoriales, Im (f) tiene estructura de Subespacio Vectorial del Espacio F, lo cual nos permitirá determinar la Im(f) mediante su base, sus ecuaciones (si las tiene) y su dimensión. La notación más usual para el subespacio imagen es la de Im(f), aunque también se emplea Rec(f), Img(f). < TEOREMA DE LA DIMENSION Cualquier Aplicación Lineal f: E 6 F, cumple esta importante propiedad dim Ker(f) + dim Im(f) = dim E Permite relacionar ambas dimensiones con la del Espacio inicial, de forma que, conocida una de ellas ( Núcleo o Imagen) podemos obtener la otra. CLASIFICACION DE UNA APLICACION LINEAL Atendiendo a los tipos usuales de clasificación de aplicaciones ordinarias, vamos a indicar el nombre de los diferentes tipos de y su caracterización: f: E 6 F NOMBRE TIPO DEFINICION CARACTERIZACION Homomorfismo Lineal Simplemente Lineal Linealidad solamente Monomorfismo Inyectiva dim Ker(f)=0; Ker (f)={ } Epimorfismo Suprayectiva dim Im(f) = dim F ó Im(f) = F Isomorfismo Biyectiva Inyectiva + Suprayectiva dim Ker(f) = 0 ó Ker (f) = { } dim Im(f) = dim F ó Im(f) = F Tema: Pàgina : 54

f: E 6 E [ Ojo! de un Espacio en sí mismo ] NOMBRE TIPO DEFINICION CARACTERIZACION Endomorfismo Lineal Simplemente Lineal f:e 6 E y Linealidad solamente Automorfismo Biyectiva Inyectiva + Suprayectiva dim Ker(f) = 0 ó Ker (f) = { } dim Im(f) = dim E ó Im(f) = E Como se puede observar en el CUADRO anterior, podemos clasificar perfectamente una aplicación lineal a partir de las dimensiones del núcleo y de la imagen. Hay dos conjuntos de aplicaciones muy interesantes, que vamos a mencionar aunque sea de paso: End(E) = { f: E 6 E / f es lineal }, conjunto de los ENDOMORFISMOS sobre un Espacio E. Aut(E) = { f: E 6 E / f es lineal y BIYECTIVA }, conjunto de los AUTOMORFISMOS sobre un Espacio E. Resulta muy interesante demostrar que ambos conjuntos tienen estructura de Espacio Vectorial con las operaciones SUMA DE FUNCIONES y PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA FUNCION [ (f + g)(v) = f(v) + g(v), y ("@ f)(v) = "@ f(v) ] Imagina para encontrar una Base!. < Propiedad Una Aplicación lineal f: E 6 F queda perfectamente determinada, si conocemos las imágenes de los vectores de una Base del Espacio Inicial. < MATRIZ ASOCIADA [ Supondremos en este apartado, conocimientos elementales de la teoría de matrices ] Que una Aplicación Lineal transforma vectores del Espacio Inicial en vectores del Espacio Final resulta obvio a partir de la definición. Vamos a plantear en este apartado como podemos efectuar esta transformación mediante un simple producto matricial. Sean E, F sendos Espacios Vectoriales construidos sobre un mismo cuerpo K y f : E 6 F una Aplicación Lineal, sean B y B' bases respectivas de los Espacios E y F: Y La matriz asociada a f respecto de las bases B y B' viene dada (por columnas) por las componentes, en base B', de las imágenes mediante f de los vectores de la base B. Es decir, la matriz de la Aplicación Lineal refleja las bases que están " actuando " en ambos espacios. Naturalmente, si las bases de ambos espacios son las bases canónicas, bastará con Tema: Pàgina : 55

hallar las imágenes de los vectores de la base canónica del Espacio Inicial, puesto que, automáticamente, su expresión en la base canónica del Espacio Final es la que dan sus componentes Si llamamos M B,B' (f), a la matriz asociada a una Aplicación Lineal,f,respecto de las base B y B', su acción es : Donde M B,B' (f)a v matriz(vector) columna v. representa el producto matricial de la matriz M B,B' (f) por la Ejemplo 1: Sea f : ú 3 6 ú 2 / f(x,y,z) = ( x+y-z, x-y ), hallar su matriz asociada ( Respecto de las bases canónicas de ú 3 y ú 2 ). Ejemplo 2: En el problema anterior, hallar la matriz asociada, cuando se toman las bases B = { (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1) } de R 3 y B'= { (1,1), (1,0) } de R 2. Paso a paso: Esta matriz, es la matriz asociada a la aplicación f, cuando tomamos la Base B = { (1,1,0),(0,1,1), (1,0,1) } en el Espacio Inicial ( ú 3 ), y B'= { (1,1), (1,0) } en el Espacio Final (ú 2 ), obtenida según el procedimiento sugerido. Tema: Pàgina : 56

< DIAGRAMA. Aunque aún no disponemos de las herramientas que nos facilitan matrices y determinantes, vamos a efectuar este desarrollo suponiendo conocimientos que veremos más adelante. Sea f : E 6 F una Aplicación Lineal. Consideremos los siguientes elementos * B 1 y B 2 Bases del Espacio E. ** P, la matriz de paso de la Base B 1 a la Base B 2 (en E) *** B 1 ' y B 2 ' Bases del Espacio F. **** Q, la matriz de paso de la Base B 1 ' a la Base B 2 ' (en F) ***** A, la matriz asociada a f, cuando tomamos las bases B 1 en E y B 2 ' en F ****** M, la matriz asociada a f, cuando tomamos las bases B 2 en E y B 2 ' en F. La relación matricial entre A y M, es: ))))))))))))))))) M = Q -1 @ A @ P A = Q @ M @ P -1 ))))))))))))))))) En forma de diagrama: En particular, sobre un Endomorfismo ( E = F ), las relaciones anteriores, serían: ))))))))))))))))) Tema: Pàgina : 57

M = P -1 @ A @ P A = P @ M @ P -1 ))))))))))))))))) OPERACIONES CON APLICACIONES LINEALES Vamos a definir algunas de las operaciones básicas en el estudio de las aplicaciones lineales. SUMA DE APLICACIONES LINEALES Sean f, g: E 6 F, dos aplicaciones lineales entre los espacios E y F. Definimos la SUMA de aplicaciones, como una nueva aplicación que llamamos f+g : E 6 F, de manera que: Vamos a demostrar que si f y g son aplicaciones lineales, f + g también lo es. Aplicamos la definición: Por lo tanto, f + g es una aplicación lineal: f + g : E 6 F. Es también interesante comprobar que la matriz asociada a f + g respecto de las mismas bases en E y en F se obtiene mediante la suma de la matriz asociada a f y la matriz asociada a g respecto de dichas bases. Tema: Pàgina : 58

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA APLICACION Sea f: E 6 F, una aplicación lineal y " 0 K, definimos la aplicación "@f, Se comprueba fácilmente, que la aplicación "@ f : E 6 F, también es una aplicación lineal. (Demostrarlo) Ejemplo : Sean f: ú² 6 ú 3 y g: ú² 6 ú 3, sendas aplicaciones lineales / f(x, y) = ( x+y, x-y, 0 ) y g(a,b) = (2a+b, a+2b,a). Hallar las aplicaciones: i) (f + g) ii) 2@ f iii) 2@ f-g. i) f + g œ (x, y) 0 R² 6 (f + g)(x, y) = f(x, y) + g(x, y) = (x + y, x-y, 0) + (2x + y, x+2y, x) = = (3x + 2y, 2x + y, x) (f + g)(x, y)= (3x + 2y, 2x + y, x) ii) 2 @ f œ (x, y) 0 R² 6 (2@f)(x, y) = 2@ f(x, y) = 2@(x + y, x-y, 0) = (2x + 2y, 2x-2y, 0) (2@ f)(x, y)= (2x + 2y, 2x-2y, 0) iii) 2 @ f - g œ (x, y) 0 R² 6 (2@f-g)(x, y) = 2@f(x, y) - g(x, y) = (2x + 2y, 2x-2y, 0) - (2x + y, x + 2y, x) = ( y, x-4y, -x) Aplicaciones (2f-g)(x, y) = ( y, Lineales x-4y, -x) Es sencillo comprobar que, siendo E y F sendos Espacio Vectoriales sobre el mismo cuerpo K, el conjunto de todas las aplicaciones lineales f: E 6 F, con estas dos operaciones ( suma de funciones y producto por un escalar) tiene estructura de Espacio Vectorial sobre K APLICACION INVERSA Sea f : E 6 F una aplicación lineal, si f es una aplicación biyectiva, se define la aplicación inversa de f y notamos f -1 a la única aplicación que cumple : f -1 B f = 1 E ( Identidad sobre E ) y f B f -1 = 1 F ( Identidad sobre F ) Es sencillo demostrar que si M B,B' es la matriz asociada a f en las bases B de E y B' de F Y (M B,B' ) -1 es la matriz asociada a f -1 en las bases B' de F y B de E. Tema: Pàgina : 59

f -1 : F 6 E Definimos la antiimagen de un vector con la notación f -1 ( ) de forma que : obviamente, f -1 ( ) puede ser un conjunto vacío o bien, puede tener vectores. Ejemplo : Sea f : ú 3 6 ú 2 / f(x, y, z) = (x+y, y+z). Hallar la antiimagen de (1, 1), f -1 (1, 1). Definamos f -1 (1, 1) = { (x, y, z) 0 ú 3 / f(x, y, z) = (1, 1) } Y f -1 (1, 1) = { (1-y, y, 1-y) / y 0 ú } En este caso, la anti.imagen del vector (1, 1) está formada por infinitos vectores. COMPOSICION DE APLICACIONES Al igual que con aplicaciones ordinarias, vamos a definir la composición de aplicaciones lineales. Sean: (E(K), +, A), ( F(K), +, A), ( G(K), +, A) Espacios Vectoriales, y f: E 6 F y g: F 6 G, aplicaciones lineales, definimos la aplicación gbf : E 6 G, como: La aplicación gbf, se lee " f compuesta con g", y es un ejercicio sencillo demostrar que gbf también es una aplicación lineal. [ Ver la sección de cuestiones ] En particular, si E = F = G y f = g, definimos la aplicación f² : E 6 E / f² ( ) = f(f( )) œ 0 E. Definición que podemos extender a cualquier exponente aplicando las propiedades convenientes de las aplicaciones. Por ejemplo: Sean f: M 3x2 6 ú² / g: ú² 6 ú² / g(a, b) = ( 2a, 3a + b). Hallar gbf y g². Tema: Pàgina : 60

= (2x 1 + 2x 2 + 2x 3, 3x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 -x 5 ). g²(a, b) = (gbg)(a, b) = g(g(a, b)) = g(2a, 3a + b) = (2@ (2a), 3@ (2a) + (3a + b)) = ( 4a, 9a + b). También citar que si A es la matriz asociada a f (en canónicas) y B es la matriz asociada a g (en canónicas) Y B@ A es la matriz asociada a gbf (en canónicas). [ Una buena discusión sería la repercusión del cambio de base en alguno de los espacios sobre la matriz final ] DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA DE UNA APLICACIÓN LINEAL Sea f: E 6 F, una aplicación lineal, sean Ker(f) e Im(f) su núcleo e Imagen respectivamente. E / Ker(f) el Espacio Cociente originado por la relación binaria: R - 0 Ker(f). La aplicación f admite la siguiente descomposición canónica: f = i @ b @ p, siendo : p( ) = [ ] ( EPIMORFISMO ) [v] representa la clase del vector para la relación R. b([ ]) = f( ) ( ISOMORFISMO ) i(f( )) = f( ) ( MONOMORFISMO). Tema: Pàgina : 61