Universidad de Managua. UdeM

Universidad de Managua. UdeM Simulación de Sistemas Guía #3 Tema: Generar números aleatorios para un modelo de simulación y determinar si los números pseudoaleatorios generados, cumplen con las pruebas estadísticas de uniformidad e independencia; para ser considerados números aleatorios. Docente: MSc. Julio Rito Vargas Avilés. Nombre: xxxxxxxxxxxxxxxxxx Facultad: Ingeniería Grupo: xxxxxxxxxxxxx

I. Generar 200 números aleatorios entre 0 y 1 con una precisión de 4 dígitos utilizando Excel, utilice el modulo Stat::fit para analizar los números aleatorios generados por Excel y realice el test de uniformidad e independencia. Para generar los números aleatorios utilizaremos la formula = ALEATORIO() en el rango A1:A200 Imagen 1 y posteriormente combinaremos la función REDONDEAR junto con la función ALEATORIO para generar números aleatorios con 4 decimales. imagen 2 Imagen 1 Imagen 2 0.5990 0.8493 0.5929 0.0167 0.0879 0.5677 0.1911 0.2147 0.8571 0.7186 0.3192 0.4953 0.0171 0.4851 0.2679 0.6530 0.5868 0.5020 0.5237 0.4933 0.4462 0.4034 0.5741 0.3128 0.1844 0.4690 0.2446 0.5506 0.5504 0.4928 0.6792 0.6729 0.0503 0.9769 0.8332 0.517 0.3055 0.1981 0.7593 0.8085 0.8133 0.2304 0.6795 0.0207 0.9670 0.9390 0.8852 0.1390 0.8504 0.1576 0.6277 0.6956 0.3576 0.6894 0.5787 0.9495 0.6481 0.0771 0.9706 0.4056 0.4921 0.6937 0.5852 0.1433 0.2101 0.4321 0.4352 0.9957 0.4264 0.6489 0.6003 0.4128 0.2712 0.7387 0.9415 0.4398 0.0156 0.4290 0.1738 0.0432 0.8768 0.7078 0.7476 0.1018 0.5106 0.2556 0.5541 0.9731 0.1171 0.2525 0.1812 0.8002 0.2861 0.0585 0.1872 0.5045 0.0135 0.6578 0.9773 0.7804 0.5235 0.9598 0.7319 0.1983 0.8111 0.2158 0.1795 0.4875 0.7118 0.5782 0.3802 0.5528 0.7152 0.4685 0.8877 0.0176 0.9928 0.539 0.8836 0.7459 0.8976 0.2362 0.9130 0.9486 0.3376 0.3243 0.6948 0.4102 0.5894 0.9484 0.6279 0.6135 0.6773 0.0421 0.5016 0.7163 0.4655 0.4657 0.4088 0.9389 0.1347 0.1240 0.2422 0.9720 0.8053 0.9323 0.0519 0.5877 0.4713 0.0577 0.6097 0.9001 0.1402 0.5132 0.0033 0.0356 0.1088 0.3809 0.0419 0.3662 0.1764 0.5869 0.3818 0.0536 0.6005 0.1084 0.3487 0.3101 0.2358 0.7322 0.4073 0.0755 0.4761 0.8730 0.5685 0.5411 0.4651 0.4050 0.2395 0.0499 0.8679 0.1433 0.2365 0.2098 0.6108 0.8143 0.3329 0.8004 0.3291 0.2705 0.3672 0.2918 0.7752 0.4964 0.3063 0.3395 0.9388 0.1391 0.7406 0.2856

II. Posteriormente introduciremos al Stat::fit los números aleatorios generados por Excel a como se muestra en la imagen 3, después de haber ingresado los datos, desplegamos el menú Statistics y seleccionamos el comando Descriptive para que nos aparezca una ventana llamada descriptive statistic, en donde nos mostrara el resumen estadístico de la variable. Imagen 3 Estadística descriptiva: Número de datos (puntos) 200 Valor mínimo 0.0033 Valor máximo 0.9957 Media 0.485853 Mediana 0.49245 Moda 0.5096 Desviación estándar 0.282915 Varianza 0.0800411 Coeficiente de variación 582306 Asimetría 0.0628168 Curtosis -1.07011

III. Haremos el contraste de hipótesis para determinar si estos se distribuyen uniformemente, para el cual se usara la prueba Kolmogororv-Smirnov. Ho: Los ri se distribuyen Uniformemente U (0,1) H 1: los ri no se distribuyen Uniformemente U (0,1) Para esto se selecciona el menú Fit y luego Setup y se mostrara una pantalla en la que elegiremos la distribución que queremos contrastar, en este caso elegiremos Uniforme (Uniform) y damos clic en el botón aceptar. Imagen 4 Imagen 4 Luego hacemos clic nuevamente en el menú Fit y seleccionamos la opción Goodness of Fit (prueba de bondad de ajuste) y se mostraran los resultados que se observaran en la imagen 5.

Imagen 5 El resultado del test de Kolmogororv-Smirnov: determino que no se rechaza la hipótesis (do not reject) esto quiere decir que los datos se distribuyen conforme a una distribución uniforme. Ahora lo verificaremos manualmente mediante la prueba Chi-cuadrada, para lo cual se dividirán en diez intervalos los números y registraremos los números que correspondan en cada intervalo como se indica en la siguiente tabla. Ho: los datos ri son Uniformes H 1: los datos r i no son Uniformes

Intervalos (O I ) E i (O i - E i ) (O i - E i )2 (O i - E i ) 2 /Ei 0.0000-0.0999 20 20 0 0 0.00 0.1000-0.1999 21 20 1 1 0.05 0.2000-0.2999 19 20-1 1 0.05 0.3000-0.3999 17 20-3 9 0.45 0.4000-0.4999 27 20-7 49 2.45 0.5000-0.5999 26 20 6 36 1.80 0.6000-0.6999 19 20-1 1 0.05 0.7000-0.7999 14 20-6 36 1.80 0.8000-0.8999 18 20-2 4 0.20 0.9000-0.9999 19 20-1 1 0.05 Total 200 200 6.90 La prueba X 2 = ( ) =6.90 La Chi-cuadrada teórica o valor critico para un 95% de confianza con n-1 grados de libertad es: X2 0.95,9=16.9 Conclusión; X 2 < X 2 0.95,9, por lo tanto el conjunto de números analizados según la prueba estadística Chi-cuadrada evidencia que no se puede rechazar la hipótesis de que la distribución de los datos obedece a una distribución uniforme a un nivel del 95% de confianza. IV. Para determinar si el conjunto de números son independientes se realizaran las pruebas de corrida (arriba y debajo de la mediana) y la prueba de corrida de punto s de inflexión. Ho: Los r i (0,1) son independientes Ha: Los r i (0,1) no son independientes

Para esto se selecciona el menú Statistic y luego elegimos la opción Independence y después la opción Runs Test. La cual desplegar una ventana con el resultado que se verá en la imagen 6. Imagen 6 Como puede verse en las dos pruebas no se rechaza la hipótesis de que el conjunto de números son independientes. Ahora se procede a verificar el contraste de hipótesis para determinar si el conjunto de números son independientes para la cual realizaremos la prueba de corridas en la que utilizaremos los números originales generados por Excel. 0.5990 0.8493 0.5929 0.0167 0.0879 0.5677 0.1911 0.2147 0.8571 0.7186 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0.3192 0.4953 0.0171 0.4851 0.2679 0.6530 0.5868 0.5020 0.5237 0.4933 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0

0.4462 0.4034 0.5741 0.3128 0.1844 0.4690 0.2446 0.5506 0.5504 0.4928 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0.6792 0.6729 0.0503 0.9769 0.8332 0.517 0.3055 0.1981 0.7593 0.8085 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0.8133 0.2304 0.6795 0.0207 0.9670 0.9390 0.8852 0.1390 0.8504 0.1576 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0.6277 0.6956 0.3576 0.6894 0.5787 0.9495 0.6481 0.0771 0.9706 0.4056 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0.4921 0.6937 0.5852 0.1433 0.2101 0.4321 0.4352 0.9957 0.4264 0.6489 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0.6003 0.4128 0.2712 0.7387 0.9415 0.4398 0.0156 0.4290 0.1738 0.0432 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0.8768 0.7078 0.7476 0.1018 0.5106 0.2556 0.5541 0.9731 0.1171 0.2525 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0.1812 0.8002 0.2861 0.0585 0.1872 0.5045 0.0135 0.6578 0.9773 0.7804 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0.5235 0.9598 0.7319 0.1983 0.8111 0.2158 0.1795 0.4875 0.7118 0.5782 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0.3802 0.5528 0.7152 0.4685 0.8877 0.0176 0.9928 0.539 0.8836 0.7459 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0.8976 0.2362 0.9130 0.9486 0.3376 0.3243 0.6948 0.4102 0.5894 0.9484 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0.6279 0.6135 0.6773 0.0421 0.5016 0.7163 0.4655 0.4657 0.4088 0.9389 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0.1347 0.1240 0.2422 0.9720 0.8053 0.9323 0.0519 0.5877 0.4713 0.0577 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0.6097 0.9001 0.1402 0.5132 0.0033 0.0356 0.1088 0.3809 0.0419 0.3662 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0.1764 0.5869 0.3818 0.0536 0.6005 0.1084 0.3487 0.3101 0.2358 0.7322 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0.4073 0.0755 0.4761 0.8730 0.5685 0.5411 0.4651 0.4050 0.2395 0.0499 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0.8679 0.1433 0.2365 0.2098 0.6108 0.8143 0.3329 0.8004 0.3291 0.2705 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0.3672 0.2918 0.7752 0.4964 0.3063 0.3395 0.9388 0.1391 0.7406 0.2856 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0

n=200 La cantidad de datos analizados C 0= 136 Numero de corridas Valor Esperado: Co ( ) =133 Varianza del número de corridas: σ 2 Co ( ) σ Co= = =5.9355 Estadístico de prueba: [ ] [ ] Como el estadístico Z 0 es menor que el valor de la tabla Z 0.025= 1.96 por lo tanto no se puede rechazar que el conjunto de números son independientes. Se llego a la conclusión que el conjunto de números aleatorios generados por Excel una vez realizadas las pruebas estadísticas se determino que estos cumplen con las propiedades básicas de uniformidad e independencia, por lo tanto estos puedes ser usados para un modelo de simulación. V. Prueba de Póker para independencia Prueba Póker para cuatro decimales Categorías Probabilidad Ei Todos diferentes(td) 0.5040 0.5040*n Exactamente un par(1p) 0.4320 0.4320*n Dos pares (2P) 0.0270 0.0270*n Tercia (T) 0.0360 0.0360*n Póker (P) 0.0010 1 0.0010*n n

Categorizando la serie de números 0.5990 2 0.8493 1 0.5929 2 0.0167 1 0.3192 1 0.4953 1 0.0171 2 0.4851 1 0.4462 2 0.4034 2 0.5741 1 0.3128 1 0.6792 1 0.6729 1 0.0503 2 0.9769 2 0.8133 2 0.2304 1 0.6795 1 0.0207 2 0.6277 2 0.6956 2 0.3576 1 0.6894 1 0.4921 1 0.6937 1 0.5852 2 0.1433 2 0.6003 2 0.4128 1 0.2712 2 0.7387 2 0.8768 2 0.7078 2 0.7476 2 0.1018 2 0.1812 2 0.8002 2 0.2861 1 0.0585 2 0.5235 2 0.9598 2 0.7319 1 0.1983 1 0.3802 1 0.5528 2 0.7152 1 0.4685 1 0.8976 1 0.2362 2 0.9130 1 0.9486 1 0.6279 1 0.6135 1 0.6773 2 0.0421 1 0.1347 1 0.1240 1 0.2422 4 0.9720 1 0.6097 1 0.9001 2 0.1402 1 0.5132 1 0.1764 1 0.5869 1 0.3818 2 0.0536 1 0.4073 1 0.0755 2 0.4761 1 0.8730 1 0.8679 1 0.1433 2 0.2365 1 0.2098 1 0.3672 1 0.2918 1 0.7752 2 0.4964 2

0.0879 1 0.5677 2 0.1911 4 0.2147 1 0.2679 1 0.6530 1 0.5868 2 0.5020 2 0.1844 2 0.4690 1 0.2446 2 0.5506 2 0.8332 2 0.5170 1 0.3055 2 0.1981 2 0.9670 1 0.9390 2 0.8852 2 0.1390 1 0.5787 2 0.9495 2 0.6481 1 0.0771 2 0.2101 2 0.4321 1 0.4352 1 0.9957 2 0.9415 1 0.4398 1 0.0156 1 0.4290 1 0.5106 1 0.2556 2 0.5541 2 0.9731 1 0.1872 1 0.5045 2 0.0135 1 0.6578 1 0.8111 4 0.2158 1 0.1795 1 0.4875 1 0.8877 3 0.0176 1 0.9928 2 0.5390 1 0.3376 2 0.3243 2 0.6948 1 0.4102 1 0.5016 1 0.7163 1 0.4655 2 0.4657 1 0.8053 1 0.9323 2 0.0519 1 0.5877 2 0.0033 3 0.0356 1 0.1088 2 0.3809 1 0.6005 2 0.1084 1 0.3487 1 0.3101 2 0.5685 2 0.5411 2 0.4651 1 0.4050 2 0.6108 1 0.8143 1 0.3329 2 0.8004 2 0.3063 2 0.3395 2 0.9388 2 0.1391 2

0.8571 1 0.7406 1 0.5237 1 0.7186 1 0.5504 2 0.4933 2 0.7593 1 0.4928 1 0.8504 1 0.8085 2 0.9706 1 0.1576 1 0.4264 1 0.4056 1 0.1738 1 0.6489 1 0.1171 4 0.0432 1 0.9773 2 0.2525 3 0.7118 2 0.7804 1 0.8836 2 0.5782 1 0.5894 1 0.7459 1 0.4088 2 0.9484 2 0.4713 1 0.9389 2 0.0419 1 0.0577 2 0.2358 1 0.3662 2 0.2395 1 0.7322 2 0.3291 1 0.0499 2 0.2705 1 Categorías O i E i ( ) Todos diferentes(td) 109 0.5040*200= 100.8 0.6671 Exactamente un par (1P) 84 0.4320*200=86.4 0.0667 Dos pares (2P) 3 0.0270*200= 5.4 1.0667 Una tercia (T) 4 0.0360*100= 7.2 1.4222 Póker (P) 0 0.0010*200= 0.2 0.2 200 1 3.4227

Contraste de Hipótesis Ho: El conjunto r i(0,1) son independientes Ha: El conjunto r i(0,1) son dependientes. El valor crítico de Chi-cuadrada para un 95% de confianza con n-1 grados de libertad es: =9.49 Como X 2 =3.4 < =9.49 ; NO SE RECHAZA Ho. Esto es los r i son independientes.