.6 Reumen 45 Lo modelo matemático on fundamentale en lo itema de control porque no permiten hallar la repueta del itema para determinada entrada al mimo y de eta forma, predecir el comportamiento de dicho itema. Para vincular la teoría del control con lo itema de información la mayor dificultad e encuentra en la definición del modelo matemático..7 Problema reuelto ) Dado un itema de control que utiliza un potenciómetro para ajutar la entrada de tenión al itema, hallar la alida del potenciómetro i: K: enibilidad del potenciómetro, volt/radiane. Pp: preciión del potenciómetro 5 radiane. Solución: V (tenión de alida del potenciómetro) k Pp, x 5,5 volt. ) Si tuviera que dieñar un itema de control que requiera un motor para obtener una velocidad contante, qué tipo de motor emplearía? Por qué? Cómo etaría contituido? Solución: a. El motor debería er de corriente alterna, dado que la frecuencia e el factor determinante en la velocidad. b. Etaría contituido por un etator y un rotor. El etator e la parte externa que no gira, y que al er alimentado con corriente alterna genera un campo magnético en el que gira el rotor; debido a ee campo. ) Dado el circuito RC de la figura iguiente, hallar la tenión obre el capacitor aplicando la egunda ley de Kirchhoff. Vr Vv Rr I:, amp Vc V Vr + Vc da. ley de Kirchhoff Vc V Vr Vr I. R, amp v Vc v - v 8 volt 4) Dado el iguiente circuito, obtener la relación entre la alida y la entrada. R V B (t): tenión obre la bobina V(t) i(t) V r (t) V B (t) Aplicando la egunda ley de Kirchhoff Teoría de control para informático - Fuario, Crotti, Burztyn, Civale
46 - Componente báico de lo itema de control V (t) V r (t) + V B (t) i(t) V B (t). dt V(t) i(t). R + V B (t) R V(t) + V B (t) L V B (t) 5) Hallar la analogía eléctrica entre la ecuación -4 que decribe cómo varía la temperatura de la barra TM cuando e la umerge en el líquido, como podría er la glicerina caliente TL. Solución: d R C T M T T M d t + L (-4) Donde R: reitencia térmica de la glicerina C: Capacitancia térmica de la barra. TM: temperatura de la barra. TL: temperatura de la glicerina. La analogía eléctrica ería: interruptor V R C Vc Donde recordemo que para el circuito eléctrico de la figura tenemo la iguiente expreión: V R. C dvc + Vc dt Cerrar el interruptor equivale a introducir la barra en la glicerina; en ee intante la corriente y el calor empiezan a fluir. El aumento de la temperatura en la barra equivale al incremento de la tenión obre el capacitor en el circuito eléctrico..8 Problema propueto. Para un circuito RLC erie hallar la relación entre la alida, la diferencia de potencia VR y la entrada. L C. Se introduce una pieza de metal con capacitancia térmica C en un recipiente que etá a la temperatura TR. El itema térmico tiene una reitencia R y la pieza, una temperatura TP. Obtener la ecuación que decribe cómo varía la temperatura de la pieza de metal con el tiempo.. Explicitar el funcionamiento de lo cenore fotoeléctrico. 4. Detallar lo diferente tipo de motore de corriente continua y V R Vr u principio de funcionamiento. 5. Qué función cumplen lo itema incrónico? Cite ejemplo. Teoría de control para informático - Fuario, Crotti, Burztyn, Civale
6 - Análii de la etabilidad y del error en etado etable en lo itema de control De eta forma, podemo averiguar qué paa con la función f (t) cuando t tiende a infinito. En nuetro cao, la función e el error en etado etable, en conecuencia tenemo: e lim S E( ) (6-4) Para un itema de lazo abierto teniendo en cuenta la expreión (6-) el error erá: e lim S[ T( )] S ( ) { i } (6-5) Para un itema de lazo cerrado teniendo en cuenta la expreión (6-) el error erá: e lim{ S S ( ) i + T* } ( ) (6-6) Podemo concluir que el error en etado etable de un itema de control depende del valor que tome la expreión (6-4). En éta e puede obervar que E() depende del valor que tome la función tranferencia en la trayectoria directa, para un itema de lazo cerrado en el que la realimentación e unitaria. En reumen el error depende de la eñal de entrada al itema Si() y la función tranferencia en lazo abierto del itema en lazo cerrado T*(). E por ello que vamo a analizar el comportamiento de lo itema de acuerdo con el valor que tome la función T*(), también conocida como función tranferencia en lazo abierto del itema en lazo cerrado. Para efectuar ee análii, primero debemo claificar la funcione de tranferencia T*(), que, en general, e pueden repreentar con la iguiente expreión: m m k( + a +... + a + a ) m T * ( ) q n n ( + b +... + b + b ) n (6-7) Donde: a y b nunca pueden er cero; k e una contante, y m, n y q on entero. La clae o el tipo de itema quedan dado por el valor que tome q. Si q, el itema e tipo, i q, el itema e tipo y aí, uceivamente. El tipo de itema etará dado por la cantidad de término independiente exitente en el denominador de la expreión T*(). Como e explicará má adelante, el error en etado etable depende del tipo de itema. Ejemplo: determinar el tipo de itema correpondiente a la iguiente funcione tranferencia T*(). a. 5 c. ( + )( + ) ( + ) + + b. 4 d. 5 ( + + ) ( + + 4 ) Repueta: a. Dado que en el denominador no hay término independiente, el tipo de itema e cero. b. El itema e tipo, dado que etá elevado al cuadrado. c. El itema e tipo cero. d. El itema e tipo uno. En referencia al egundo factor que influye en el error en etado etable, e la eñal de entrada Si(). A modo de ejemplo, analizaremo el error para una función tranferencia T*() tipo cero y una tipo uno cuando la entrada e una eñal ecalón, y para una función tipo uno cuando la entrada e una rampa, repectivamente. Teoría de control para informático - Fuario, Crotti, Burztyn, Civale
4 6 - Análii de la etabilidad y del error en etado etable en lo itema de control 6.5 Cálculo del error cuando la eñal de entrada e rampa y la función tranferencia e tipo uno En ete cao, en la expreión (6-6) e debe reemplazar S i () por /, por tratare de una función rampa, en conecuencia quedará: e lim [ + T ] * ( ) De eta forma, cuando tiende a cero la ecuación 6- e convierte en: (6-) e lim T * ( ) Recordemo que T*() e la función tranferencia en lazo abierto de un itema en lazo cerrado con realimentación unitaria. Analicemo qué ucede para lo diferente tipo de itema: a. Si T*() e tipo cero, q e igual a cero, entonce: T * ( ) erá igual a: m m k( + a +... + a + a ) ( n + b m n n Y en conecuencia erá: lim T * ( ) De eto reulta que el error en etado etable e infinito. e (6-) b. Si T*() e tipo uno, q e igual a uno, entonce: T * ( ) erá igual a: En conecuencia el +... + b + b ) m m k( + a +... + a + a ) ( n m n n + b +... + b + b ) lim T k a * ( ) k b Y el error en etado etable e: v e k v (6-) En la figura 6-5, e detalla el error en etado etable cuando la entrada e una eñal rampa. c. Si T*() e de un tipo mayor que uno, el error en etado etable e igual a cero, dado que T*() tiende a infinito cuando tiende a cero. En la tabla 6-, e reumen lo errore etacionario para itema tipo,, y ometido a entrada ecalón, rampa y parábola. Teoría de control para informático - Fuario, Crotti, Burztyn, Civale
6 6 - Análii de la etabilidad y del error en etado etable en lo itema de control S i () S p () + + T () T + () S () Si S p () y S i () S i () + T () T () S () Si S p () y S i () e() S + T () T () i () (6-) S p () + + + T () S () (T ()+) e() T () + T () [T () + ] S p () (6-) el error total: e( t ) e( ) + e( ) (6-4) Fig. 6-6 6.7 Etabilidad de lo itema de control El requerimiento principal de lo itema de control e que ean etable, eto e, que e encuentren en etado de equilibrio, ya que de lo contrario e deberá etudiar la poibilidad de llevarlo a ee etado. Lo itema inetable, en lo que no e puede predecir u alida con exactitud, carecen de valor para u etudio, modelización e implantación práctica. Bajo condicione óptima de funcionamiento y materiale con comportamiento ideal, in falla ni perturbacione, e puede afirmar que un itema de lazo cerrado iempre e etable. Exiten divera claificacione de etabilidad, como etabilidad aboluta, marginal o relativa. En lo cao en lo que e define a un itema como etable o inetable, e hace referencia a la etabilidad aboluta. En cao de neceitar epecificar el grado de etabilidad, entonce e hace referencia a la etabilidad relativa. El itema de control e etable i al aplicarle una entrada de referencia de magnitud finita, a la alida e obtiene un valor también finito. Para itema lineale, el requerimiento de etabilidad e puede definir en término de lo polo de la función de tranferencia en lazo cerrado. Teoría de control para informático - Fuario, Crotti, Burztyn, Civale
8 6 - Análii de la etabilidad y del error en etado etable en lo itema de control Si recordamo que toda función tranferencia e puede ecribir en forma genérica como: T( ) m m k( + a +... + a + a ) n m n n + b +... + b + b (6-5) Y hallamo la raíce de lo polinomio del numerador y el denominador tendremo: k( + c )( + c )( + c )...( + c T ( ) m ( + p )( + p )( + p )...( + p n ) ) (6-6) Donde c, c, c, c m on lo cero del numerador, y p, p, p, pn on lo polo del denominador. Cabe aclarar que la raíce (polo o cero) pueden er número reale o complejo de la forma + jw, donde e la parte real y jw la imaginaria. Ejemplo: + a. T( ) ; tiene un cero en: C y do polo en P y P + ( + )( ) b. T( ) ; tiene do polo en: p + j(. 87) y p + + j(. 87) c. T( ) ; tiene un cero en: C y un polo en P + d. T( ) + 4 ; tiene un polo en P 4, no tiene cero Hata aquí hemo vito el análii de la función tranferencia, pero, cómo e vincula con la etabilidad del itema? Para ello debemo repreentar lo polo y lo cero en un diagrama denominado patrón de polo y cero, como e indica en la figura 6-8. Dada la función + T( ) ( + )( ), graficar polo y cero. +jω polo (+) -σ x x - - - +σ cero - - -jω polo (-) x: polo : cero Fig. 6-8 Para determinar la etabilidad del itema e puede introducir en él una eñal impulo. Si, como e indicó ante, al cabo de un tiempo la alida tiende a cero, etaremo en preencia de un itema etable; i la eñal crece, el itema erá inetable, y i ocila, erá críticamente etable. Ahora retornemo a nuetra función tranferencia. Si éta tiene polo con parte real poitiva, ignifica que incluye un término del tipo ( p), y como ya vimo, implica que en el dominio Teoría de control para informático - Fuario, Crotti, Burztyn, Civale
6 - Análii de la etabilidad y del error en etado etable en lo itema de control 6.8 Determinación de la etabilidad de un itema mediante el método de Routh-Hürwitz Edward Joan Routh. - - - - - El método de Routh Hürwitz e utiliza para comprobar de manera efectiva la etabilidad de lo itema dinámico de lazo cerrado, ademá de brindar información repecto de u comportamiento. Ete método permite hallar la raíce del denominador de la función de tranferencia del itema y poteriormente ubicarla en el emiplano izquierdo o derecho; y aí e determina la etabilidad del itema. Si luego de aplicar el criterio, todo lo polo etán en el emiplano izquierdo, el itema e etable. Mediante el método analizado hata aquí (polo y cero) e puede determinar con rapidez la etabilidad del itema con ólo evaluar la raíce del denominador; no obtante, eta tarea no reulta encilla i éte poee una ecuación compleja como cuando el grado e mayor que o 4, y entonce hallar la raíce reulta dificultoo. El polinomio del denominador e puede preentar de la forma: n n n a + a + a +... + a + a n n n (6-7) El método de Routh-Hürwitz involucra do pao: Pao N. : Adolf Hürwitz - - - - - Éte conite en analizar lo coeficiente del polinomio del denominador de la función tranferencia T(). a. Si todo on poitivo y ninguno e cero, el itema puede er etable. b. Si uno o má coeficiente on negativo, el itema e inetable. c. Si uno de lo coeficiente e cero, el itema puede er inetable o críticamente etable. Pao N. : Para lo cao "a" y c, cuando el itema puede er etable o críticamente etable, e realiza eta egunda prueba, que conite en el iguiente proceo: Dado un itema cuya función tranferencia e T() y tiene como denominador la expreión 6-7, e contruye la matriz iguiendo lo criterio que iguen: Lo coeficiente del denominador de la función tranferencia T() e ecriben egún el arreglo de Routh. Teoría de control para informático - Fuario, Crotti, Burztyn, Civale
6.8 Determinación de la etabilidad de un itema mediante el método de Routh-Hürwitz S n a n a n- a n-4... S n- a n- a n- a n-5... S n-... S n-... : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : S Lo primero do renglone o fila (S n y S n- ) e determinan directamente extrayendo lo coeficiente del denominador de la función de tranferencia, iguiendo el criterio expueto ante en la matriz. El tercer renglón (S n- ): El cuarto renglón (S n- ): β a n an α α - - Y aí uceivamente, el quinto y demá renglone o fila, hata obtener cero en toda la última fila. Del reultado de la matriz e concluye que: a. Si todo lo elemento de la primera columna reultante de aplicar el método de Routh- Hürwitz on poitivo, el itema e etable. b. Si alguno de ello e, entonce erá críticamente etable. c. Si alguno de ello e menor que (negativo), el itema e inetable. El número de cambio de igno en la primera columna reultante: a n, a n-,,,,, informa lo elemento que etán en el emiplano derecho, eto e, el número de raíce con parte reale poitiva. Ejemplo : T() 4 + K + + + 4 K K K K K Teoría de control para informático - Fuario, Crotti, Burztyn, Civale
6 - Análii de la etabilidad y del error en etado etable en lo itema de control Para etudiar la etabilidad: () K > K () > K K () K > A partir de () y () e concluye que K debe er mayor que. Para que e cumpla que K ea mayor a, oberve que el término () iempre e negativo ya que: K K K + K ( K ) K < Por lo tanto, no e poible cumplir con la tre condicione en forma imultánea. En concluión, no exite un valor de K que permita al itema er etable. Ejemplo : 4 + 8 + 6 + 6 + 4 6 8 6 4 6 76 4 Se puede obervar que en la primera columna no hay cambio de igno y on todo poitivo, con lo cual, el itema e etable, ya que tiene todo u polo en el emiplano izquierdo. Ejemplo : de denominador con una incógnita: G( ) K + H( ) + Lo cual implica que: K G( ) F( ) + K G( ) H( ) K( + ) + + ( K + ) Contruimo la matriz de Routh-Hürwitz: K + K + Reultado poible: Para que toda la raíce etén en el emiplano izquierdo, y, por lo tanto, el itema ea etable, (K+) debe er mayor que, entonce, K debe er mayor que -. Teoría de control para informático - Fuario, Crotti, Burztyn, Civale
6.8 Determinación de la etabilidad de un itema mediante el método de Routh-Hürwitz Se puede concluir que para cualquier valor de K uperior a - el itema erá etable, y para cualquier valor menor que - erá inetable. Para cuando K ea - el itema tendrá etabilidad marginal, o ea que erá críticamente etable. Ejemplo 4: + + 5 + K 5 K 5 K K Para que el itema ea etable: 5 K > y K > De la deigualdade anteriore, e obtiene que el itema erá etable i: < K < 5. En lo cao que K 5 o K, el itema erá críticamente etable. 6.8. Cao epeciale del método de Routh-Hürwitz Hay do cao epeciale en el análii del método Routh-Hürwitz: Cao: Cuando e finaliza en forma anticipada con la conformación del arreglo, e decir, que exite una fila completa de, iendo éta una fila intermedia, e decir, no la última. En ete cao, e indica que exite un polinomio divior cuya raíce on imaginaria, y e debe aplicar la derivada de a la fila inmediata anterior a la fila de, para luego realizar el análii correpondiente de cambio de igno de la primera columna. Ejemplo Cao: Determinar i el iguiente polinomio correponde a un itema etable. + + 4 + 4 Aplicamo el método de Routh-Hürwitz y obtenemo: 4 4 renglón El renglón correpondiente a cero etá indicando la exitencia de raíce en el campo complejo. Para poder continuar aplicando el criterio de Routh-Hürwitz hay que generar un polinomio a partir de lo coeficiente del renglón anterior: P() + 4 y hallando la derivada, e obtiene: P (). S Por último, e reemplazan lo coeficiente del polinomio en el renglón de cero. Teoría de control para informático - Fuario, Crotti, Burztyn, Civale
4 6 - Análii de la etabilidad y del error en etado etable en lo itema de control 4 4 4 Todo lo componente de la primera columna on mayore a cero, por lo tanto, el itema e etable. Cao: Cuando en la primera columna reultante de la aplicación del método exite al meno un. En dicho cao e debe utituir el definiendo un número, que e cai cero (infiniteimalmente poitivo), y poteriormente e continúa con el arreglo. Luego e calcula el límite para tendiendo a cero i el reultado e negativo etamo en preencia de un itema inetable. Ejemplo Cao: 4 + + 5 + 5 + 8 4 5 8 5 8 Reemplazamo el de la primera columna por, donde, poitivo. De eta manera: 4 5 8 5 ƒ 5ƒ 8 ƒ 8 8 y e calcula Lím ƒ 5ƒ 8 8 ƒ Con repecto a la primera columna, en ete cao, preenta do cambio de igno, pue quedaría,,,, 8. 6.9 Reumen Hemo analizado la etabilidad de lo itema de control, eto ignifica que i e aplica al itema una entrada finita, entonce la alida también e una eñal de magnitud finita. En ee contexto e analizará la dipoición de lo polo en la función de tranferencia en lazo cerrado y el método de Routh-Hürwitz. Por otro lado, una vez que en el itema e devanecen lo efecto tranitorio originado durante el etablecimiento de la eñal de entrada e paa al etado etable. E en ee etado en el que e analizó el error que preenta el itema. Ete error epecifica la medida de la exactitud del itema de control para eguir la variacione de la eñal de entrada. Para ete análii, e claificaron lo ditinto tipo de itema y e halló el error en etado etable cuando la eñal de entrada e un ecalón o una rampa. Teoría de control para informático - Fuario, Crotti, Burztyn, Civale
6 7 - Controladore lógico programable 7. Introducción El controlador e un elemento que en un itema de lazo cerrado e encuentra ubicado en el trayecto directo y tiene como entrada la eñal de error. Su alida e convierte en la entrada al elemento corrector, como e indica en la figura 7-. Señal de error Señal de alida del controlador Señal de referencia + Controlador Corrector Proceo Salida Medidor o enor Fig. 7-7. Diferente tipo de controladore La relación entre la entrada y la alida del controlador e denomina ley de control y, de acuerdo con ella, éte puede er: Proporcional Integral Derivativo Proporcional integral Proporcional derivativo - A continuación, analizaremo cada uno de lo cao: 7.. Controlador proporcional En ete cao, el controlador proporcional puede er un amplificador que tiene ganancia contante Gp, cuya alida etá graficada en la figura 7-. Salida del controlador Zona proporcional E E Señal de entrada (eñal de error) Rango de la eñal de entrada donde la alida e proporcional Fig. 7- Teoría de control para informático - Fuario, Crotti, Burztyn, Civale
7. Diferente tipo de controladore 7 Cabe aclarar que la ganancia contante o lineal e mantiene para un rango determinado de la eñal de entrada, que, recordemo, e la eñal de error en el itema de control. En el gráfico de la figura 7-, ee rango e extiende dede E a E; fuera de él deja de er proporcional. En la práctica, el amplificador puede er un circuito electrónico o un itema mecánico. La deventaja principal de eto controladore e que no introducen un término integrador (de la forma /) en la trayectoria directa. De acuerdo con lo concepto vito en relación al error en etado etable de lo itema, i el itema e tipo, con el controlador proporcional no cambia y igue iendo tipo ; aí, lo errore en etado etable continúan. En la figura 7-, e puede apreciar un ejemplo de controlador proporcional. S i () G p S (S + ) Controlador Planta S () G p Función tranferencia trayecto directo S (S + ) Control proporcional: G p Fig. 7- Gp T () ( + ) función tranferencia El itema e tipo, i la entrada S i () e un ecalón el error erá: [ ] E( ) lim.. S i ( ) S + T( ) donde S () T i ( Gp ) ; S ( + ) E( ) lim. S G p + ( + ). En general, i la entrada al controlador e una eñal en forma de ecalón, entonce la alida también lo e. El error e cero i el itema e tipo uno y la entrada e un ecalón. error tiempo Salida del controlador tiempo Fig. 7-4 Teoría de control para informático - Fuario, Crotti, Burztyn, Civale
8 7 - Controladore lógico programable 7.. Controlador integral En lo controladore integrale la alida del controlador e proporcional a la integral de la eñal de error, como e indica en la figura 7-5. error e(t) tiempo Salida del controlador S c(t) Debido a la acción integral Debido a la acción integral tiempo t Fig. 7-5 S c (t) G i e(t) dt donde e(t) e la entrada al controlador y S c (t) e la alida del controlador integral S c () Gi La Gi e la ganancia integral. La ventaja de ete tipo de controlador e que introduce un término S en el denominador, por lo que incrementa el tipo de itema en uno. Por ejemplo, i e tiene una entrada ecalón y el itema e tipo, el error en etado etable deaparecerá cuando e preente el controlador integral. Recordemo que eto no ocurre cuando el controlador e proporcional. No obtante, la deventaja radica en que al introducir un polo en el origen e reduce la etabilidad relativa. En la figura 7-6, e detalla un ejemplo de controlador integral. T () S i() G i ( + ) Gi Controlador S c() Planta Fig. 7-6 Función tranferencia S (+) S () El itema e tipo, i la entrada Si() e un ecalón el error erá: E( ) lim.. S S i () [ + T () ] Teoría de control para informático - Fuario, Crotti, Burztyn, Civale
7. Diferente tipo de controladore 9 donde S () G i ; T i () ( + ) E( ) lim. S + G p ( + ). Para una entrada ecalón unitario el itema tipo tiene un error cero. 7.. Controlador derivativo En ete tipo de controlador, la alida e proporcional a la derivada en función del tiempo de la eñal del error que entra al controlador; i la ganancia derivativa e Gd, tiene unidade. En la figura 7-7, e puede obervar que la alida del controlador e proporcional a la derivada de la eñal de error. error e(t) tiempo Salida del controlador S d (t) tiempo S G. c (t) d de(t) dt Fig. 7-7 Salida del controlador derivativo - donde e(t) eñal de error de entrada al controlador. Si aplicamo la Tranformada de Laplace a la función de tranferencia de un controlador derivativo, no queda como reultado: S d () G d E la alida del controlador derivativo. Y i la aplicamo a un itema de lazo cerrado, como el indicado en la figura 7-8, obtenemo la iguiente expreión: S i () S d() + G d S T () S () Fig. 7-8 Teoría de control para informático - Fuario, Crotti, Burztyn, Civale
4 7 - Controladore lógico programable T () G d S T () + G d. S. T () En la figura anterior, e puede obervar que cuando el error e contante y el controlador e derivativo no hay ninguna acción correctiva, lo cual no e conveniente; por otro lado, cuando el error reponde a la función rampa (o ea que e incrementa u efecto en el tiempo), ete controlador e eficaz porque produce una alida mucho mayor hacia el elemento corrector para compenar el incremento de la eñal de error. Si la función tranferencia de la planta T() e tipo o mayor, la aplicación de un controlador derivativo e contraproducente, porque reduce el orden en. No obtante, en la práctica éto no e emplean en forma pura ino que e combinan con otro controladore. De eta forma, al uarlo combinado, e logra que la repueta ea má rápida y eficiente. 7..4 Controlador proporcional integral En la figura 7-9, e detalla un controlador proporcional integral. En ella e oberva que e puede reolver el problema de la reducción de la etabilidad relativa originada por la introducción del controlador integral. - S i () Δ i(t) + error error e(t) G p + G i S + Planta T () tiempo Salida Δ (t) S () Salida del controlador proporcional-integral S c (t) Debido a la acción del controlador integrador Debido a la acción del controlador proporcional tiempo Fig. 7-9 Salida del circuito paando a la eñal de alida Gp. Gp [ + (/ )] S () Gi S donde Gp Gi e denomina contante de tiempo integral Teoría de control para informático - Fuario, Crotti, Burztyn, Civale
8. Introducción a la Tranformada Z 8 X(k) entrada + Y(k) alida C A B Retardo de tiempo unitario A, B y C on Amplificadore Retardo de tiempo unitario Retardo de tiempo unitario Fig. 8-4 - - Solución: Y(k) X(k) A. B. y (k ) C y (k ) 8. Introducción a la Tranformada Z Hemo vito que la ecuación de diferencia proporciona la relación entre la alida y la entrada para un itema en tiempo dicreto, pero analicemo a continuación la función que decribe una ecuencia de impulo (t), eparado en tiempo T, la cuale la podemo coniderar muetra reultante del proceo de muetreo de un ecalón unitario. f *(t) f () (t) + f () (t-t) + f () (t T) +... + f (k) (t kt) (8-) donde: f *(t) e la función que decribe la ecuencia de impulo (función muetreada) k e el valor de la muetra de la función para el intante k. (t) e el impulo unitario para el intante T. Si ahora hallamo la Tranformada de Laplace de f *(t), tenemo: L[f *(t)] F*() f (). + f (). e TS + f (). e TS +... + f (k). e KTS (8-) Recordar que L[ (t T) ]. e TS L[f *(t)] F*() f (k). e KTS Si realizamo un cambio de variable: Z e TS,que equivale a S e puede ecribir como: T. lnz, la ecuación 8. Z [f (k)] F(z) f () + f (). z + f (). z + f (). z +... + f (k). z K (8-) F(z) e denomina la Tranformada Z de la ecuencia de impulo, donde cada período de retardo da como reultado un impluo multiplicado por Z -. 8.4 Propiedade báica de la Tranformada Z Enunciaremo a continuación aquella propiedade y teorema báico de la Tranformada Z que no ayuden a poder modelizar adecuadamente lo itema de control etudiado. Para ello, uponemo en todo lo cao que: La función x (t) tiene Tranformada Z, la cual e repreenta como x (z). x (t) e igual a cero para valore negativo de t. Teoría de control para informático - Fuario, Crotti, Burztyn, Civale