LA METODOLOGÍA DE VECTORES AUTORREGRESIVOS (VAR)

LA METODOLOGÍA DE VECTORES AUTORREGRESIVOS (VAR)

ESPECIFICACION La meodología VAR es, en ciera forma, una respuesa a la imposición de resricciones a priori que caraceriza a los modelos economéricos keynesianos: en un sisema de ecuaciones simuláneas se requiere imponer resricciones sobre los parámeros de las mismas para garanizar la idenificación, y posible esimación, de las ecuaciones que lo conforman. Para ello, además, es indispensable diferenciar enre las variables endógenas y las predeerminadas, es decir, aquéllas cuyos valores no son deerminados por el modelo en el período acual. Esas úlimas pueden ser exógenas o endógenas rezagadas.

El VAR presena alernaivamene, un sisema de ecuaciones simuláneas en el que cada una de las variables son explicadas por sus propios rezagos y los del reso de variables del sisema. Es decir, no se admien resricciones a priori y odas las variables son consideradas endógenas. La única información a priori que se incluye esá referida al número de rezagos de las variables explicaivas, que se incorporan en cada ecuación a parir del análisis de la daa. No obsane, en érminos operaivos, una correca especificación del sisema requiere que la deerminación de las variables a ser incluidas en él se base en el conocimieno de un modelo eórico relevane.

Un VAR iene, en general, la siguiene especificación: p y = Π y + µ i= 1 i i donde y é y -i son vecores de orden m (m es el número de variables del sisema) y Π i es la mariz (cuadrada de orden m) de coeficienes del rezago i de las variables explicaivas de las m ecuaciones. De esa forma, se puede observar que deberán esimarse anas marices Π i como rezagos se incluyan en el sisema. Maricialmene, y uilizando una especificación de operadores de rezago: (1)

y y M y 1 2 m a a L a a L O a = M a 1 L a En ese sisema: 11( L ) 12( L ) 1m( L ) 21( ) 2m( L ) m ( L ) mm( L ) (3) E M [ µ µ ] - j y y M y 1 2 m + µ µ M µ ' = 0 j 0 1 2 m (2) (4) [ ] E µ µ ' =

es decir, no se iene auocorrelación enre los errores de una misma ecuación pero se observa correlación conemporánea enre los errores de las diferenes ecuaciones. Veamos, por ejemplo, el caso de un VAR(1) con dos variables, de la forma: z y = = β γ z + β y + β z + ε 20 10 21 12 11 β γ y + β y + β z + ε 21-1 -1 12 22-1 -1 y z (5)

donde y y z son variables endógenas esacionarias, ε y y ε z son ruidos blancos y no esán correlacionados enre sí. La ecuación (5) sería enonces la forma esrucural del sisema ya que se ienen endógenas como explicaivas. Si se quiere obener la forma reducida, es decir, expresar la endógenas en función sólo de predeerminadas (rezagos de las endógenas), se debe resolver:

1 γ 21 γ 12 1 y z = β β 10 20 + β β 11 21 β β 12 22 y z -1-1 + ε ε y z (6) lo que se puede rescribir en érminos vecoriales como: ΓX = B0 + B1X -1 + ε siendo X un vecor que coniene a y y z X = Γ 1 B 0 + Γ 1 B 1 X -1 + Γ 1 ε

X es decir: y z = = 10 A 0 11 + A -1 1 X -1 12 + -1 e a + a y + a z + e = a + a y + a z + e 20 21-1 La ecuación 8 es la forma reducida del VAR(1) de la ecuación 5. En ella los errores sí esán correlacionados debido a que recogen la presencia de y y z como explicaivas del VAR original. Así: 22-1 1 2 (7) (8)

donde Γ 1 1 γ Γ 12 1 = γ 21 1 = 1 γ 12γ 21 y, ε = e ε = - ε y y γ γ 21 12 ε + ε z z (10) (9) ya que ε = ε ε y z

Ε ( e e ) y z = ε E 2 y γ 21 + ε y ε z + γ 21 2 γ 12 ε y ε z γ 12 ε 2 z (11) Ε ( ) 21 y 12 z e e = 0 y z γ σ 2 γ 2 σ 2 (12) La ecuación anerior no va a ser cero siempre que: γ 21 0, γ 12 es decir, mienras que y y z esén presenes en la forma esrucural del VAR. 0

ESTIMACION X Trabajando en general con un VAR(p) de la forma: = A + A X + A X + K+ 0 1-1 2-2 se puede observar que: 1º Se iene un problema de sobreparamerización: hay que esimar m 2 p + m parámeros, lo que produce un grave problema de pérdida de grados de liberad. No obsane, el objeivo de un VAR es enconrar la inerrelación enre las variables y no realizar predicciones de coro plazo, lo que reduce la imporancia del problema. A p X -p + e (13)

2º Dado que se rabaja con la forma reducida, los errores de cada ecuación no esán auocorrelacionados y ienen varianza consane, el mejor méodo de esimación es aplicar MCO ecuación por ecuación. No obsane, para que sea un esimador eficiene odas las ecuaciones deben ener igual número de rezagos de cada explicaiva.

En érminos prácicos se recomienda uilizar la siguiene recea: 1º Limpiar cada una de las series de cualquier ipo de no esacionariedad. Es decir: aplicar el ploeo, correlograma (AC y PAC), DFA y el Tes de Zivo y Andrews (Tes de quiebre esrucural). El Tes de Zivo y Andrews deermina en que periodo se debe agregar una variable dummy para corregir el quiebre que puede ser en: inercepo, endencia o ambos.

Ese Tes considera res modelos: MODELO A: Quiebre con inercepo. MODELO B: Y = 0 1 β + β Du + ε Quiebre en endencia. Y = β + β + β * Du + 0 1 2 ε MODELO C: Quiebre en ambos. Y = β + β Du + β + β * Du + 0 1 2 3 ε

2º Esimar por MCO cada ecuación, individualmene. 3º Deerminar el número de rezagos de las variables explicaivas que deben permanecer en cada ecuación. Para ello se sugieren dos ipos de es: * El es F por bloques, para probar la hipóesis nula de que un número i de rezagos deben incluirse como explicaivas en cada ecuación, versus la alernaiva de que dicho número es i+r>i. Ese es iene el problema de que debe ser aplicado individualmene a cada ecuación, pudiendo llegarse a la conclusión de que el número de rezagos a incluirse en ellas es diferene en cada caso. Eso le resaría eficiencia al esimador de MCO.

El Tes de Máxima Verosimiliud (Likelihood Raio Saisic - LR) para el conjuno de ecuaciones. Nos sirve para deerminar el número de rezagos ópimo de un VAR, SIMS (1980). La hipóesis nula de ese es es que el sisema iene un número i de rezagos versus la alernaiva de que ese número es i+r. El esadísico sería: [ ] 2 log logσ χ ( T c)* Σ q (14) i i+ r

donde: log Σ a = logarimo naural del deerminane de la mariz de varianzas y covarianzas para el modelo con a rezagos. T = número de observaciones. c = número de parámeros esimados en cada ecuación del sisema no resringido. Es decir: c = m(r+i). q = grados de liberad, número de resricciones en odo el modelo. Es decir: q = m 2 r.

Ese es se disribuye χ2 con grados de liberad igual al número de resricciones en el sisema (q=m 2 r). Ese es iene poco poder para rechazar es sucesivos de resricción de rezagos; por ello el rezago referencial debe ser el de mayor valor en el sisema, es decir, cualquier hipóesis nula debe ser conrasada conra el rezago (i+r). Si se acepa la hipóesis nula (H 0 ), procedemos a verificar con un rezago menor.

4º No se debe uilizar el es ni dar imporancia a los signos de los coeficienes, ya que exise una gran mulicolinealidad enre las variables de cada ecuación. La magniud de los coeficienes es un indicador relaivo de la significancia de la variable (un coeficiene pequeño generalmene acompaña a una variable poco significaiva).

Función Impulso-respuesa Esa función es simplemene la represenación de medias móviles asociada con el modelo esimado y explica la respuesa del sisema a shocks en los componenes del vecor de perurbaciones. La función impulso-respuesa raza la respuesa de las variables endógenas en el sisema ane un shock en los errores. Un cambio en e 1 cambiaría inmediaamene el valor de Y. Ello además cambiaría odos los valores fuuros de las demás variables endógenas del sisema, debido a la esrucura dinámica del sisema.

En una función impulso-respuesa, separa los deerminanes de las variables endógenas denro de los shocks o idenifica innovaciones con variables específicas. Enonces, raza el efeco corriene y valores fuuros de las variables endógenas ane un shock de una desviación esándar a las innovaciones (variables esocásicas). Si odos los componenes esocásicos de nuesro sisema VAR son incorrelaivos, la inerpreación es direca, e 1 es la innovación Y, e 2 es la innovación X, y así sucesivamene. Una función impulso-respuesa para e 2 mide el efeco de una desviación esándar ane un shock en X acual y fuuro para las variables endógenas.

Por desgracia, ese no es casi nunca el caso pues los errores son oalmene incorrelaivos. Cuando los errores se correlacionan, ellos ienen un componene común el cual no puede ser idenificado con cualquier variable específica. Un méodo algo arbirario de negociación con ese problema es aribuir odo el efeco a cualquier componene común a la variable, aquel que venga primero en el sisema VAR. En nuesro sisema, el componene común de e 1 y e 2 es oalmene aribuido a e 1, porque e 1 precede a e 2 ; e 1 es la innovación Y y e 2 es la innovación X ransformado o removido el componene común.

Más écnicamene los errores son orogonalizados por una descomposición Choleski, así la mariz de covarianza resulane es riangular inferior (los elemenos por encima de la diagonal principal son cero). La descomposición Choleski es exensamene usada, es un méodo un poco arbirario de aribución de efecos comunes. Cambiando el orden de las ecuaciones, se puede cambiar dramáicamene las funciones impulso-respuesa, hay que ener cuidado con las inerpreaciones de esas funciones.

Descomposición de la Varianza del error de predicción. La descomposición de la varianza de un VAR brinda información acerca de la poencia relaiva de innovaciones aleaorias para cada variable endógena. Ese ejercicio consise en descomponer la varianza de las variables endógenas en componenes que permian aislar el porcenaje de variabilidad de una endógena explicado por una de las innovaciones para disinos horizones predicivos. Tal descomposición se obiene luego de orogonalizar el vecor de perurbaciones, que consise en disribuir la responsabilidad de las correlaciones reflejadas en la mariz de covarianza enre los disinos componenes del vecor de perurbaciones.

La inensión al hacer explícia esa conexión enre el modelo originalmene esimado y el obenido, es clarificar que el modelo obenido una vez realizada la orogonalización, no es una forma reducida, sino una forma esrucural; y que por ano, el proceso de orogonalización es de hecho una forma de idenificación. De esa manera se pueden calcular las conribuciones de las innovaciones sobre el error de predicción del período siguiene. Es de esperar que en el coro plazo la propia innovación explique la mayor proporción de ese error.