Control Automático I - Certamen 2 Pauta de Correción 7 de Septiembre 215 1. 1.1. Un sistema electro-mecánico tiene el modelo nominal G (s) = 1 (s+2), cuya salida es la velocidad angular de un eje. Los siguientes controladores realimentados logran estabilidad del lazo cerrado con dicha planta. La referencia es un escalón. Para cada caso, marque el fenómeno que necesariamente se observará en la salida producto de la estructura del lazo. Justifique su respuesta en cada caso (por sí o por no): (15 pts.) a) C(s) =,2(s+,5) s b) C(s) = 1 Overshoot Undershoot Error estacionario Overshoot Undershoot c) C(s) =,4(s2 +9s+25) s 2 Error estacionario Overshoot Undershoot Error estacionario 1
a) C(s) =,2(s+,5) s b) C(s) = 1 Overshoot: Por Lema 8.1, no necesariamente hay overshoot ya que existe un solo integrador. Por lema 8.3, no necesariamente hay overshoot ya que no hay ceros en la planta. Undershoot: Por Lema 8.3, no necesariamente hay undershoot ya que no hay ceros de fase no mínima. Error estacionario : el error estacionario es cero porque el lazo cerrado es estable y el controlador tiene integración. Overshoot: Por Lema 8.1, no necesariamente hay overshoot ya que existe un solo integrador. Por lema 8.3, no necesariamente hay overshoot ya que no hay ceros en la planta. Undershoot: Por Lema 8.3, no necesariamente hay undershoot ya que no hay ceros de fase no mínima. Error estacionario : no hay integrador en la planta, por lo que si la referencia es un escalón, el error estacionario será distinto de cero. c) C(s) =,4(s2 +9s+25) s 2 Overshoot: Por lema 8.1, hay overshoot porque hay doble integración con referencia constante, lo que implica que e(t)dt = Undershoot: Por Lema 8.3, no necesariamente hay undershoot ya que no hay ceros de fase no mínima. Error estacionario : el error estacionario es cero porque el lazo cerrado es estable y el controlador tiene doble integración. 1.2. Si en vez de la velocidad se quisiera controlar la posición del eje del sistema electro-mecánico, el modelo nominal de la planta sería G (s) = 1 s(s+2). Un ingeniero afirma que ahora, para controlar posición, es suficiente el controlador a), sin modificaciones, para seguir una referencia de tipo escalón. Además, afirma que sería factible seguir una referencia de tipo rampa. Son correctas las afirmaciones del ingeniero? Justifique su respuesta. (1 pts.) Con la nueva planta y el controlador a), el polinomio característico del lazo cerrado es A cl (s) = (s + 1)(s 2 + s + 1) 2
de donde se concluye que el lazo es estable con esta elección de controlador. Dado que el controlador tiene integración, se pueden seguir referencias constantes. Por Lema 8.1, se pueden seguir referencias de tipo rampa porque se tiene doble integración entre la planta y el controlador. Por lo tanto, las afirmaciones del ingeniero son correctas. 2. Se desea controlar en lazo cerrado una planta con modelo nominal: G 1 (s) = 2 s+3, G 2(s) = 1 s, la cual posee una perturbación interna d g (t), según el modelo interno de perturbación visto en clases. Se propone para esto el controlador realimentado C(s) = 6 s+3 s+1. 2.1. Es suficiente este controlador para seguir una referencia constante? (1 pts.) Lo primero es ver si el controlador estabiliza el lazo. Para eso notamos que no existen cancelaciones inestables. Por otra parte, la sensibilidad complementaria es T (s) = G 1(s)G 2 (s)c(s) 1 + G 1 (s)g 2 (s)c(s) = 12 s 2 + 1s + 12 la cual es estable, lo que implica que el lazo cerrado es internamente estable. Además, observamos que T () = 1, lo que implica que y(t) = r(t) en estado estacionario si r(t) es un escalón. Por lo tanto, el controlador es suficiente para seguir referencias constantes. Podemos llegar a la misma conclusión si se aplica el Lema 8.1. (1) 2.2. Si la perturbación d g (t) es constante y se desea que el controlador la compense, sigue siendo suficiente el controlador propuesto? (15 pts.) Debemos observar la transferencia entre D g (s) e Y (s). Para esto, recordemos que con el modelo interno de perturnación: de donde se obtiene Y (s) = G 2 (s) (G 1 (s)u(s) + D g (s)) = G 2 (s) (G 1 (s)c(s)(r(s) Y (s)) + D g (s)) Y (s) D g (s) = S g(s) = G 2 1 + G 1 G 2 C(s) = s + 1 s 2 + 1s + 12 (2) 3
de donde se observa que S g () = 1/12. Por lo tanto, el controlador C(s) no es suficiente para compensar la perturbación d g (t) si esta es constante. 3. Se desea controlar mediante realimentación de estado observado el sistema con la representación de estados [ [ 2 5,5 A =, B =, C = [,5 4 Se desea lograr seguimiento de una referencia constante cuya energía es significativa en la banda [, 5[rad/s. Para esto se usa el esquema de la Figura 1. Figura 1: Sistema de control por realimentación de estado observado con integración. Donde las ganancias del controlador, integrador y observador son, respectivamente, K 1 = [ 48 67,5 [ 578, k I = 35, J = 176 Son estos valores de K 1, k I y J elecciones apropiadas para los objetivos del problema? (25 pts.) 4
Lo primero a verificar es que el lazo cerrado sea estable. Para esto, se obtiene el polinomio característico del lazo cerrado: donde, Por lo tanto, A cl (s) = det(si A + BK)det(sI A + JC) A = [ A C [ B = = 2 5 4 5,5 B = K = [ [ K 1 k I = 48 67,5 35 A cl (s) = (s + 5)(s + 7)(s + 1)(s + 9,6)(s 99,6) polinomio con una raíz en el semi-plano derecho. En particular, la elección de J hace que exista un polo en s = 99,6. Por lo tanto, la elección de J no es apropiada puesto que hace que el lazo cerrado sea inestable. 4. Una planta tiene la representación de estados A = 1, B = 1, C = 1 Se ha diseñado un controlador realimentado clásico C(s), con el cual el lazo cerrado resulta tener la sensibilidad complementaria T (s) = 1 s + 1 Diseñe un controlador por realimentación de estados tal que el comportamiento dinámico del lazo cerrado sea el mismo que se logra con el controlador clásico. (25 pts.) Para que el lazo implementado con realimentación de estado tenga comportamiento dinámico equivalente al lazo de control clásico, se debe diseñar la ganancia de realimentación de estado de tal forma que los polos del lazo cerrado resulten iguales a los del lazo clásico. 5
Se deben obtener entonces los polos del lazo cerrado con el controlador clásico. Para esto, no basta con examinar los polos de T (s), puesto que pueden haber cancelaciones de polos y/o ceros. Necesitamos obtener la función de transferencia de la planta, para luego despejar el controlador C(s) desde T (s). Tenemos que con lo cual podemos obtener el controlador: G (s) = C(sI A) 1 B = 1 (s + 1) 1 1 = 1 s + 1 C(s) = T (s) G (s)(1 T (s)) = s + 1 s nótese que efectivamente teníamos una cancelación de un polo. Por lo tanto, el polinomio característico del lazo cerrado es A cl (s) = (s + 1)s + 1 (s + 1) = (s + 1) 2 El lazo cerrado clásico tiene dos polos en s = 1. Además, se debe notar que el controlador tiene integración, por lo que se debe utilizar el esquema con realimentación de estado con integración. Con esta información se puede diseñar el lazo de realimentación de estado, obteniendo K 1 y k I tal que donde, A cl (s) = det(si A + BK) = (s + 1) 2 (3) [ [ A 1 A = = C 1 [ [ B 1 B = = K = [ K 1 k I Al desarrollar ambos lados de (3), se llega a de donde se obtiene A cl (s) = s 2 + (1 + K 1 )s k I = s 2 + 2s + 1 K 1 = 1, k I = 1 Con estos valores se logra el mismo comportamiento dinámico que con el lazo de control clásico, puesto que K 1 y k I logran los mismos polos de lazo cerrado que C(s). JMO 215 6