Matem 1 Nombre del estudiante: Sistemas de Ecuaciones Lineales Definición: Un conjunto de m ecuaciones lineales y n incógnitas recibe el nombre de sistema de ecuaciones lineales. La solución, de dicho sistema, son los valores de las incógnitas que cumplen simultáneamente que todas las ecuaciones, que lo forman, son verdaderas. En nuestro caso sólo se estudiaran sistemas con dos variables y dos ecuaciones ( 2x 2), los cuales son de la forma a1x b1 y c1 a x b y c 2 2 2 como por ejemplo 2x3y7 3x y 1,2 El sistema anterior determina dos rectas en el plano xy, por lo tanto, la solución de un sistema de ecuaciones es el punto de intersección de las rectas que lo forman. Sea (x,y) la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales, entonces una posible representación gráfica de ese sistema y su solución es Tipos de Sistemas de Ecuaciones Sistemas Consistentes e Independientes: Si las rectas de un sistema de ecuaciones lineales se intersecan en un punto, es decir, tienen una única solución, las ecuaciones de estas rectas forman un sistema consistente y son independientes. a1 b1 Este tipo de sistemas cumplen que a b 2 2 xy8 2x y1 Ejemplo: S (3, 5) Se tienen que 1 1 2 1
Matem 2 Sistemas Inconsistentes: Si las rectas de un sistema de ecuaciones lineales son paralelas y distintas, entonces no hay punto de intersección, ie, no tienen solución, en este caso se dice que las ecuaciones forman un sistema inconsistente y la solución del sistema es vacía. a1 b1 c1 Este tipo de sistemas cumplen que. a b c 2 2 2 4x3y 5 Ejemplo: S 8x6 y2 Se tienen que 4 3 8 6 Sistemas Consistentes y Dependientes: Si las rectas de un sistema de ecuaciones lineales coinciden en su representación gráfica, ie, cada punto de una de las rectas pertenece también a la otra, entonces el sistema es consistente y las ecuaciones son dependientes y tiene un infinito número de soluciones. Este tipo de sistemas cumplen que a1 b1 c1. a b c 2 2 2 Ejemplo: 4x8y12 S 2x4y6 2 Se tienen que 4 8 12 2 4 6 Ejemplo: Clasifique los siguientes sistemas de ecuaciones. 1) 4x4y5 x 5y 3 2) 2x y5 4x2y7 3) 2y3x1 51x34 y17 4) y 1x 3x2y3 Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se estudiaran cuatro: el gráfico, sustitución, igualación y reducción (suma y resta)
Matem 3 Método Gráfico: Este método consiste en trazar las gráficas de las ecuaciones que forman el sistema, en un mismo plano cartesiano, para localizar las coordenadas del punto de intersección de ellas, si existe, ese punto será la solución del sistema. Ejemplo: Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. 1) 2x y5 x y 1 2) 2x 4y 6 2x y 1 3) x y3 x 5y 5 4) x 2y 3 2x 4y 5
Matem 4 Método de Sustitución: Este método consiste en despejar en una de las ecuaciones, una de las variables en función de la otra, luego se sustituye la variable que se despejó en la otra ecuación, seguidamente se resuelve la ecuación para obtener el valor de la variable y finalmente se determina el valor de la otra variable, dichos valores nos dan la solución del sistema. Ejemplo: Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. 1) 4x4y28 9x18y45 2) 19a 13b 31 3a 4b 17 En el ejemplo #1, se pueden simplificar primero las ecuaciones, antes de resolver el sistema Método de Igualación: Consiste en despejar en cada una de las ecuaciones la misma variable, e igualar las expresiones resultantes, de esta forma se obtienen una ecuación lineal con una sola incógnita, al encontrar el valor de la ecuación resultante, sustituimos el valor en alguna de las ecuaciones que se despejaron originalmente, para determinar el valor faltante, para así determinar la solución del sistema. Ejemplo: Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. 1) 5t14b17 10t 7 19b 2) 21x7a49 13x6a22
Método de Reducción o Eliminación (Suma o Resta) Matem 5 Este método consiste en eliminar una de las variables, sumando o restando las ecuaciones que forman el sistema. En el caso de que no se puedan eliminar ninguna de las variables, podemos multiplicar las ecuaciones por alguna cantidad necesaria para eliminarla, luego se suman o restan las ecuaciones para formar una ecuación lineal de una incógnita y la resolvemos, por último se sustituye el valor encontrado en una de las ecuaciones originales, para determinar el valor de la solución del sistema. Ejemplo: Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. x4y3 1. a) 5 x 6 y 9 (eliminar x ) x4y3 1.b) 5 x 6 y 9 (eliminar y ) 9a5b30 2. a) 18 a 30 4 b (eliminar a ) 9a5b30 2.b) 18 a 30 4 b (eliminar b ) En este tipo de método, se debe, ordenar el sistema de tal manera que cada variable y número coincida en posición en ambas ecuaciones que forman el sistema, es decir, debe estar acomodado de la forma a1x b1 y c1 a x b y c 2 2 2
Práctica Matem 6 A) Marque con equis 1) Sean l1 l2 rectas cuyos criterios, respectivamente, están dadas por x 4y 53x 12y 3v. Si v y el sistema de ecuaciones resultantes es incompatible, entonces v pertenece al conjunto a) b) c) d) {3} {5} {5} 2) De acuerdo con los datos de la gráfica adjunta y sabiendo que (500,0) pertenece al gráfico de l 1. Considere las siguientes proposiciones: I. Las gráficas de l l NO se intersecan en un punto. 1 2 II. El sistema de ecuaciones resultante es independiente. De ellas, cuáles son verdaderas? a) Ambas b) Ninguna c) Sólo la I d) Sólo la II 3) Si las rectas 4x 3y 210x ay 5, forman un sistema de ecuaciones inconsistente entonces: 6 a) a 5 b) a 6 c) a 5 6 d) a 5 8x6 y10 B) Cuál debe ser el valor de k en el sistema, para que éste sea consistente y 12 x 9y 4k dependiente?
C) Trace la región dada por cada uno de los siguientes conjuntos. x y x 1) (, ) / 1 2) y ( x, y) / y 2 1 3) ( x, y) / y 2 y y Matem 7 x x x D) Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones. 2x3y 12 5x7 y 1 1) 2) 4x21 2y x 4y 3 2x3y 12 5x7 y 1 3) 4) 4x21 2y x 4y 3
Matem 8 5) y x 3 3 5x4 y 6) 3x 3y 24 0 2x34 4y 9y6 6x 12 x15y1 7) 8) 7x14,6 y 3x0,6y 7 E) Determine el punto de intersección de las siguientes rectas. 1) x 4y 2 0 2x y 3 0 2) 4x 3y 4 0 x y 1 0
F) Determine el valor de a, en la solución del sistema a(3 b) b( a 1) 4 b( a 2) a( b 2) 1 Matem 9 G) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones. x y 1 1 8 5 10 1) 2) x y 19 1 5 4 40 2x y 3 3 4 x y 0 4 y 2( x 3) 2 2 3) 4) x y 1 3 2 x1 y3 x 1 y 1 2 x y 1 x1 1 y
Matem 10 5) a( b 2) b( a 3) 4 2 0 b 3 a 1 6) x y1 3 x y 1 17 x y 1 15 x y1 H) En cada uno de los siguientes sistemas, determine el valor numérico de m 1) n, si (2 mn, 3) es la solución del sistema 7x4y 13 5x2y 19 2x y 1 2) m, si ( 2, 2m 1) es la solución del sistema 3x4y14
Matem 11 I) De acuerdo con la figura adjunta, si CD AB, m A 80 E D C B, determine el valor de J) Calcule dos números cuya suma sea 191 y su diferencia 67. 2 kx (1 k) y 4 K) Si (-1,5) es la solución del sistema, determine el valor de k. (4 3 k) x 2ky 5 1 L) Compruebe si x 2 y, es solución de los siguientes sistemas de ecuaciones 2 7x 4y 12 x 2y 3 1) 2) 3x 2y 7 2x6y1
Matem 12 M) Si ab son constantes, determine el conjunto solución de los siguientes sistemas. 2x y a 2b x 1) 2y 4b 3) x y a b b 2) x y a 4b a x y a b ax by a b 2 2 N) Coloree la región del plano que es encuentre entre las siguientes ecuaciones 1 a) y 2x 1, 4x 3y 5 0 y 2 b) x y 0, 2x 5y 1 x 2
Problemas que Involucran Sistemas de Ecuaciones Lineales Matem 13 Los sistemas de ecuaciones lineales ya fueron resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área o volumen, sin que tuviera relación con problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos (cidead): En nuestra notación el sistema es: 1/4 anchura + longitud = 7 manos longitud + anchura = 10 manos anchura: x, longitud: y manos: t Cálculo de la superficie de un terreno Tabilla Babilónica Universidad de Columbia (USA) x 4y 28t x y 10t 3y 18t y 6t x 4t Ejemplo: Plantee el sistema que soluciona los siguientes problemas y determine su solución. 1) Una cuerda mide 12m, se corta en dos partes de tal manera que una de ellas mide dos metros más que la otra Cuánto mide cada pedazo? R / 57
Matem 14 2) Si a los términos de una fracción se añade tres, el valor de la fracción es un medio, y si a los términos se le resta uno, el valor de la fracción es un tercio. Hallar la fracción original. 5 R / 13 3) La diferencia de dos números es 14 y un cuarto de su suma es 13. hallar los números. R / 3319 4) En una granja hay 236 animales entre cerdos y gallinas, si el total de sus patas entre ambos animales es 600, cuántos cerdos y gallinas hay en la granja? R / c 64 g 172
Práctica Matem 15 Instrucciones: Resuelva los siguientes problemas. Debe aparecer planteo, operación y respuesta larga. 1) Dos números están en la razón 3 es a 4, si el menor se aumenta en dos y el mayor se disminuye en nueve, la relación es de 4 a 3. Hallar los números. 2) A Sara y Emma les gusta mucho las matemáticas, por lo que usualmente juegan a adivinar números, por lo que Sara le dice a Emma que halle dos números que cumplan que: si el mayor de esos dos números se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo es 4, además, si cinco veces el menor se divide por el mayor, el cociente es dos y el residuo es 17. Si Emma encontró los números correctamente, cuál es la respuesta que Emma le dio a Sara?
Matem 16 3) En un teatro hay 500 butacas entre vip y platea. En un día de función a sala llena, se recaudaron 2 200 000. Si los precios de cada butaca en vip y platea son respectivamente 5000 3000 cuántas butacas de cada clase hay en ese teatro? 4) Berta compra dos libros para obsequiar a sus hijas, cuando llega a su casa se da cuenta que la diferencia entre el precio de dos libros que compró es de 1250 y además, uno cuesta las tres quintas partes de lo que cuesta el otro. Cuánto pagó Berta por cada libro?
Matem 17 5) La distancia entre Cartago y Pérez Zeledón es de 165 km. Una estudiante del TEC, oriunda de P.Z., quiere ver a su mamá, pero por su itinerario en la universidad no puede ir hasta P.Z. a visitarla, por lo que le pide a su mamá, un domingo, que salgan las dos al mismo tiempo de sus casas y se topen de camino, si el coche de la estudiante va a una velocidad de 60 km/h y la mamá viaja a una velocidad de 50 km/h. Suponiendo que la velocidad de ambas es constante, cuánto tiempo tardan en encontrarse, y cuánta distancia ha recorrido cada una de ellas hasta el momento del encuentro. 6) Juan está estudiando para ser chef, por lo que le gusta estar inventando comidas y mezclando frutas para hacer nuevos sabores de refrescos, que luego los venden entre sus familiares, para ayudarse con sus estudios. Si Juan ha mezclado dos tipos de pulpa de fruta diferente; donde el primero cuesta 625 el litro, y el segundo, de 565 el litro, obteniendo 40 litros de mezcla a 586 el litro. Cuántos litros ha puesto Juan de cada clase, para obtener los 40 litros a ese precio?
Matem 18 7) Se tienen 4500 en monedas de veinticinco y diez colones. Si las moneda de 10 son cinco veces las monedas de 25, cuánta cantidad de monedas de 10 y 25 hay?