PROPUESTA A 1A. a) Enuncia el Teorema de Bolzano y el Teorema de Rolle. (1 punto) b) Demuestra, usando el Teorema de Bolzano, que existen al menos tres raíces reales distintas de la ecuación, x 5 5x + 3 = 0 (1 punto) c) Demuestra, usando el Teorema de Rolle, que la ecuación anterior no puede tener más de tres raíces reales distintas. (0 5 puntos) 2A. Calcula las siguientes integrales: 3A. Sabiendo que Calcula el valor de los determinantes Indicando las propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta. (1 25 puntos por determinante) 4A. Dado el plano y el punto P( 1, 0, 0 ): a) Calcula el punto Q de que hace mínima la distancia a P. (1,25 puntos) b) Calcula el punto simétrico P de P respecto del plano. (1,25 puntos) (sigue a la vuelta)
PROPUESTA B 1B. Dada la función calcula los parámetros a, b R sabiendo que: f(x) tiene una asíntota oblicua de pendiente 2 f(x) tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa x = 0. (2,5 puntos) 2B. Calcula el área encerrada entre las gráficas de las funciones f(x) = x 3 3x 2 + 2x + 1 y g(x) = 1 (2,5 puntos) 3B. a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a R. (1,5 puntos) b) Resuélvelo para el valor a = 1. (1 punto) 4B. Dado el punto P(1, 0, 0) y la recta a) Da unas ecuaciones paramétricas de la recta s que pasa por P y corta perpendicularmente a r. (1,25 puntos) b) Calcula la distancia de P a r. (1,25 puntos) 2
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA PROPUESTA A 1A. a) Enuncia el Teorema de Bolzano y el Teorema de Rolle. (1 punto) b) Demuestra, usando el Teorema de Bolzano, que existen al menos tres raíces reales distintas de la ecuación, x 5 5x + 3 = 0 (1 punto) c) Demuestra, usando el Teorema de Rolle, que la ecuación anterior no puede tener más de tres raíces reales distintas. (0 5 puntos) Solución. a) Enuncia el Teorema de Bolzano y el Teorema de Rolle. (1 punto) Teorema de Bolzano. Dados dos valores reales a, b R con a < b y sea una función real de variable real f :[ a, b] R continua sobre un intervalo cerrado y acotado con f(a) f(b) < 0 entonces existe al menos un valor c ( a, b ) con f(c) = 0. Teorema de Rolle. Dados dos valores reales a, b R con a < b y sea una función real de variable real f :[ a, b] R continua sobre un intervalo cerrado y acotado, derivable en (a,b) y tal que f(a) = f(b). Entonces existe al menos un valor real c ( a, b ) con f (c) = 0. b) Demuestra, usando el Teorema de Bolzano, que existen al menos tres raíces reales distintas de la ecuación, x 5 5x + 3 = 0 (1 punto) Solución. Sea la función f(x) = x 5 5x + 3 que es una función continua, al ser un polinomio, y consideramos los siguientes valores de abcisa, los cuales sustituimos en la función: f( 2) = ( 2) 5 5 ( 2) + 3 = 32 + 10 + 3 = 19 < 0 f( 1) = ( 1) 5 5 ( 1) + 3 = 1 + 5 + 3 = 7 > 0 f(1) = 1 5 5 1 + 3 = 1 5 + 3 = 1 < 0 f(2) = 2 5 5 2 + 3 = 32 10 + 3 = 25 > 0 Por tanto, aplicando el Teorema de Bolzano a los intervalos [ 2, 1], [ 1, 1] y [1, 2] obtenemos que al menos existe una raíz en cada intervalo abierto ( 2, 1), ( 1, 1) y (1, 2) para la ecuación x 5 5x + 3 = 0 y como son intervalos abiertos disjuntos serán raíces distintas. Concluimos por el Teorema de Bolzano que hay al menos tres raíces reales distintas de la ecuación x 3 5x + 3 = 0. Además, al menos una está en el intervalo ( 2, 1), hay al menos otra en el intervalo ( 1, 1) y hay al menos otra más en el intervalo (1, 2). 3
c) Demuestra, usando el Teorema de Rolle, que la ecuación anterior no puede tener más de tres raíces reales distintas. (0 5 puntos) Solución. Sea la función f(x) = x 5 5x + 3 que es una función continua y sea su función derivada f (x) = 3x 4 5 que es continua en R. La función f(x) está en las condiciones descritas por el Teorema de Rolle en cualquier intervalo cerrado y acotado que deseemos. Supongamos que f(x) tiene n raíces reales distintas con n > 3. Sean las raíces reales distintas, que llamamos ordenadas de menor a mayor, x 1, x 2, x 3,, x n R En tal caso, f(x 1 ) = f(x 2 ) = f(x 3 ) = f(x n ). Por el Teorema de Rolle existe al menos un valor en el intervalo (x 1, x 2 ) donde f (x) = 0; al menos un valor en el intervalo (x 2, x 3 ) donde f (x) = 0; al menos un valor en el intervalo (x n 1, x n ) donde f (x) = 0. Acabamos de demostrar de un modo correcto la existencia de al menos n 1 raíces de f (x) con n > 3. Es decir, existen al menos 3 raíces de la ecuación 3x 4 5 = 0. Por otra parte, sabemos resolver algebraicamente dicha ecuación que, resulta tener únicamente dos soluciones reales distintas: cosa absurda según lo que hemos encontrado anteriormente. Por tanto, el absurdo proviene de considerar que f(x) tiene más de tres raíces reales distintas. Concluimos que el número de raíces de f(x) no puede superar el número de tres. 2A. Calcula las siguientes integrales: Solución.. Se trata de una integral inmediata de tipo potencial 4
Se trata de una integral inmediata de tipo exponencial Observar que la derivada de g(x) = es: Por lo tanto, 3A. Sabiendo que Calcula el valor de los determinantes Indicando las propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta. (1 25 puntos por determinante) Solución. Comenzamos por el primero de los determinantes y vamos aplicando sucesivas propiedades que explicamos a continuación según la reseña: Las propiedades que hemos aplicado son las siguientes: (1) Todo determinante con una fila o columna formada por sumas/restas se puede descomponer en dos determinantes en que cada uno de ellos llevará uno de los dos sumandos/restandos de cada una de las sumas/restas. 5
(2) Cualquier determinante con dos filas o dos columnas iguales es nulo. (3) Al multiplicar un escalar cualquiera por un determinante se obtiene el mismo resultado que si multiplicamos cualquier fila o columna del determinante por dicho escalar y efectuamos el determinante resultante. (4) Al intercambiar dos filas o dos columnas de un determinante, el valor del determinante cambia de signo. Calculamos ahora el segundo de los determinantes aplicando de nuevo las sucesivas propiedades que volvemos a explicar a continuación según la reseña: Las propiedades que hemos aplicado son las siguientes: (1) y (3) Todo determinante con una fila o columna formada por sumas/restas se puede descomponer en dos determinantes en que cada uno de ellos llevará uno de los dos sumandos/restandos de cada una de las sumas/restas. (2) y (4) Cualquier determinante con dos filas o dos columnas iguales es nulo. 4A. Dado el plano y el punto P( 1, 0, 0 ): a) Calcula el punto Q de que hace mínima la distancia a P. (1,25 puntos) b) Calcula el punto simétrico P de P respecto del plano. (1,25 puntos) Solución. a) Calcula el punto Q de que hace mínima la distancia a P. (1,25 puntos) Calculamos la recta r perpendicular a que pasa por el punto P. El vector normal al plano es. Este vector es un vector director de la recta r. unas ecuaciones vectoriales de r serán: Para calcular las coordenadas del punto Q, calculamos la intersección de la recta r con el plano, sustituyendo las paramétricas de la recta r en el plano : ( 1 + t ) + ( 0 + t ) + 2 ( 0 + 2t ) = 7 1 + t + t + 4t = 7 6t = 6 t = 1 6
Por tanto, las coordenadas del punto Q del plano con menor distancia al punto P son: b) Calcula el punto simétrico P de P respecto del plano. (1,25 puntos) El punto simétrico P = (x, y, z) respecto del plano debe cumplir que En tal caso, 7
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA PROPUESTA B 1B. Dada la función calcula los parámetros a, b R sabiendo que: f(x) tiene una asíntota oblicua de pendiente 2 f(x) tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa x = 0. (2,5 puntos) Solución. La pendiente de la asíntota oblicua a la función f(x) se calcula mediante: Lo aplicamos al caso de la función f(x), Por lo tanto, si la pendiente de la asíntota oblicua es m = 2 entonces, Por otra parte, si f(x) tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa x = 0, entonces f (0) = 0. Calculamos f (x), Sustituyendo en x = 0 tendremos que, De donde, si f (0) = 0 entonces b = 0. Concluimos que para que se den las condiciones impuestas, a = 4 y b = 0. 8
2B. Calcula el área encerrada entre las gráficas de las funciones f(x) = x 3 3x 2 + 2x + 1 y g(x) = 1 (2,5 puntos) Solución. Calculamos las abcisas de los puntos de corte de las dos gráficas funcionales a través de la ecuación: Resolvemos la ecuación, f(x) = g(x) x 3 3x 2 + 2x + 1 = 1 x 3 3x 2 + 2x = 0 Resolvemos la ecuación Observamos que las funciones se cortan en tres puntos de abcisas x = 0, x = 1 y x = 2 de donde habrá dos regiones delimitadas. Una primera región cerrada y acotada estará entre 0 y 1 y la segunda entre 1 y 2. En la región entre 0 y 1, observamos que la función f(0 5) = 0 5 3 3 0 5 2 + 2 0 5 + 1 = 0 125 0 75 + 1 + 1 = 1 375 > 1 = g(0 5) y por cuestiones de continuidad entonces concluimos que f(x) > g(x) en (0,1) En la región entre 1 y 2 observamos que la función f(1 5) = 1 5 3 3 1 5 2 + 2 1 5 + 1 = 0 625 < 1 = g(1 5) y por cuestiones de continuidad entonces concluimos que f(x) < g(x) en (1,2) Por tanto, la suma de las áreas de las regiones que delimitan las funciones f(x) y g(x) vendrán definidas por la siguiente expresión integral: 9
Calculamos dicho área: Por tanto, el área de los dos recintos limitados por las funciones f(x) y g(x) suman un área de 0 5 u 2. 3B. a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro m R. (1,5 puntos) b) Resuélvelo para el valor a = 1. (1 punto) Solución. a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a R. (1,5 puntos) La matriz de coeficientes del sistema es: 10
Estudiamos su rango. Para ello calculamos su determinante: A =0 + 2a 2 6 0 + 3a + a = 2a 2 +4a 6 Igualamos a cero el determinante y resolvemos la ecuación para ver qué valores anulan al determinante. Para ello, aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: Por lo tanto, hacemos las siguientes consideraciones: Si a 1 y a 3 entonces A 0 y entonces Rg(A) = 3. Como Rg(A) Rg(A * ) = 3 entonces también ocurre que Rg(A * ) = 3 y por lo tanto, Rg(A) = Rg(A * ) = 3 = nº de incógnitas. Por el teorema de Rouché-Fröbenius el Sistema es Compatible Determinado y tiene una sola solución. Si a = 1, el sistema queda de la forma, donde se observa que, por lo dicho anteriormente Rg(A) < 3, y estudiando su matriz de coeficientes Tenemos al menos un menor de orden 2 con determinante no nulo, Mientras, en la matriz ampliada. Por tanto, Rg(A) = 2. Observamos que la matriz ampliada añade una columna pero se conserva la combinación lineal según la cual F 3 = F 1 + F 2 que ya se daba en la matriz de coeficientes. Por lo tanto, Rg(A * ) < 3. Como 2 = Rg(A) Rg(A * ) < 3 entonces también ocurre que Rg(A * ) = 2 y por lo tanto, Rg(A) = Rg(A * ) = 2 < nº de incógnitas. Por el teorema de Rouché-Fröbenius el Sistema es Compatible Indeterminado y tiene una sola solución. 11
Si a = 3, el sistema queda de la forma, donde se observa que, por lo dicho anteriormente Rg(A) < 3, y estudiando su matriz de coeficientes Tenemos al menos un menor de orden 2 con determinante no nulo, Mientras, en la matriz ampliada. Por tanto, Rg(A) = 2. Observamos que existe un menor de orden tres en la matriz ampliada cuyo determinante es no nulo: Por lo tanto, Rg(A * ) = 3. Como 2 = Rg(A) Rg(A * ) = 3 entonces, por el teorema de Rouché-Fröbenius, el Sistema es Incompatible y NO tiene soluciones. En resumen: Si a 1 y a 3 entonces el Sistema es Compatible Determinado y tiene una única solución. Si a = 1 el sistema es Compatible Indeterminado y tiene infinitas soluciones. Si a = 3 el sistema es Incompatible y no tiene soluciones. b) Resuélvelo para el valor a = 1. (1 punto) En el apartado anterior hemos concluido que para a = 1 el sistema es Compatible Indeterminado y, por tanto, tiene infinitas soluciones. El sistema para este caso es de la forma: 12
Donde un menor de orden dos que tiene determinante no nulo es. Como el determinante podemos eliminar la tercera ecuación y convertir en parámetro a la incógnita z de tal modo que el nuevo sistema lineal a resolver es de la forma: Por lo tanto, sustituyendo el valor de x de la segunda ecuación en la primera y despejando y en la primera ecuación en función del parámetro z tendremos unas paramétricas de las infinitas soluciones del sistema: Por tanto, las soluciones quedan determinadas por las paramétricas: x = 1 + 3z y = 1 5z z = z con z R 4B. Dado el punto P( 1, 0, 0 ) y la recta a) Da unas ecuaciones paramétricas de la recta s que pasa por P y corta perpendicularmente a r. (1,25 puntos) b) Calcula la distancia de P a r. (1,25 puntos) Solución. a) Da unas ecuaciones paramétricas de la recta s que pasa por P y corta perpendicularmente a r. (1,25 puntos) Calculamos el plano perpendicular a la recta r que contiene al punto P. Como el vector director de la recta r es tendremos que un vector normal al plano será igualmente Por lo que una ecuación general del plano vendrá dada por la expresión: 13
Como queremos que P entonces sus coordenadas deben verificar la ecuación del plano: 2 1 + 0 = d d = 2 Luego la ecuación general del plano es: que contiene al punto P y es perpendicular a la recta r El punto de corte de este plano con la recta r viene dado por la intersección de los lugares y se calcula sustituyendo las paramétricas de la recta en la ecuación del plano: Luego las coordenadas del punto Q en que se cortan la recta r y el plano es: La recta s que es perpendicular a la recta r y que pasa por el punto P viene descrita por ecuaciones paramétricas que definen dos de sus puntos, y en concreto, P y el punto Q y son: b) Calcula la distancia de P a r. (1,25 puntos) La distancia entre P y r viene definida por la distancia entre el punto P y el punto Q. Esta distancia se calcula mediante el módulo del vector Por lo tanto, la distancia entre P y r es de 14