ELECTROTECNIA Circuitos de Corriente Continua

ELECTROTECNIA Circuitos de Corriente Continua Juan Guillermo Valenzuela Hernández (jgvalenzuela@utp.edu.co) Universidad Tecnológica de Pereira Primer Semestre de 2014 Juan Valenzuela 1

Leyes de Kirchhoff 2

Leyes de Kirchhoff Generalidades Las leyes de Kirchhoff, son herramientas eficaces para el análisis de circuitos eléctricos. Combinar estas leyes con las relaciones de voltaje y corriente en los elementos, permite formular conjuntos de ecuaciones algebraicas (circuitos resistivos) o integro-diferenciales (inductivos y capacitivos) que representan el comportamiento de un circuito eléctrico. N n1 i n 0 M m1 V m 0 Se les conoce como la ley de las corrientes de Kirchhoff y la ley de las corrientes de Kirchhoff. 3

Leyes de Kirchhoff Ley de las corrientes La primera ley de Kirchhoff (ley de corrientes o ley de nodos) se basa en el principio de conservación de la carga, dado que la carga permanece constante al interior del circuito. Esta ley física, establece que la suma de las corrientes que entran (o salen) de un nodo es siempre cero. N n1 i n 0 donde N es el número de ramas conectadas al nodo e i n es la corriente que circula por la n-ésima rama. 4

Leyes de Kirchhoff Ley de las corrientes Para el correcto uso de esta ley física en el análisis de los circuitos eléctricos, se define una convención que debe ser respetada, con el fin de que el modelo matemático resultante represente adecuadamente el fenómeno bajo estudio. Si se asume la corriente entrando al nodo, está tendrá un signo positivo. Si se asume la corriente saliendo del nodo, está tendrá un signo negativo. 5

Leyes de Kirchhoff Ejemplo - Ley de las corrientes Premisa: La suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen de él. Ejemplo: i 0 i i i i 0 N 1 1 2 3 4 i 0 i i i 0 N 2 4 5 6 6

Leyes de Kirchhoff Ejemplo 2 - Ley de las corrientes Premisa: La suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen de él. Ejemplo: i 0 i 5A 2 A ( 3A) 0 i 6A 7

Leyes de Kirchhoff Ejemplo 3 - Ley de las corrientes Premisa: La suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen de él. Ejemplo: i 0 i i i 0 N 1 1 4 6 i 0 i i i 0 N 2 2 4 5 i 0 i i i 0 N 3 3 5 6 8

Leyes de Kirchhoff Ejemplo 4 - Ley de las corrientes Ejemplo interesante: i 0 i i 0 N 1 i 0 i i i 0 N 2 3 1 1 2 3 i 0 i i i 0 N 3 2 Prueba de independencia lineal: Si sumamos las ecuaciones 1 y 2: ii 1 0 i i i 1 2 3 0 i i i 3 2 0 *Este sistema de ecuaciones es linealmente dependiente debido a que la ecuación 3 se puede obtener como una combinación lineal de las ecuaciones 1 y 2. 9

Leyes de Kirchhoff Ley de los voltajes La segunda ley de Kirchhoff (ley de voltajes o ley de mallas) se basa en el principio de conservación de la energía. Esta ley física, establece que la suma de los voltajes en una trayectoria cerrada es cero. M m1 V m 0 donde M es el número de elementos que conforman la trayectoria cerrada y V m es el voltaje en el m-ésimo elemento de la trayectoria. 10

Leyes de Kirchhoff Ley de los voltajes Para el correcto uso de esta ley física en el análisis de los circuitos eléctricos, se define una convención que debe ser respetada, con el fin de que el modelo matemático resultante represente adecuadamente el fenómeno bajo estudio. Si se pasa de + a -, esta tensión tendrá un signo positivo. Si se pasa de - a +, esta tensión tendrá un signo negativo. 11

Leyes de Kirchhoff Ejemplo - Ley de los voltajes Premisa: La suma de los voltajes en una trayectoria cerrada es cero. Ejemplo Se tiene una trayectoria cerrada (malla) que abarca el recorrido definido por los nodos 1-2-3-4-1. V m 0 V V V V 1 2 3 4 0 12

Leyes de Kirchhoff Ejemplo - Ley de los voltajes Ejemplo V M M 1 1 2 3 4 5 2 0 V V V V V V 0 V V V V V 1 5 4 2 3 0 0 *Se puede observar en el ejemplo, que las ecuaciones resultantes de ambas mallas son exactamente iguales. Esto, porque corresponden a la misma malla realizada en otro sentido. 13

Leyes de Kirchhoff Ejemplo - Ley de los voltajes Ejemplo Se aplicará la segunda ley de Kirchhoff a todas las mallas del circuito. 14

Leyes de Kirchhoff Ejemplo - Ley de los voltajes V M M 1 1 2 3 2 4 5 3 M 3 0 V V V V 0 V V V V 0 0 0 V V V V 5 1 2 1 0 (1) (2) (3) *Se puede demostrar que la ecuación 3, resulta de la combinación lineal de las ecuaciones 1 y 2; por lo tanto el sistema es linealmente dependiente: 15

Leyes de Kirchhoff Ejercicio 1 16

Introducción Calcular la corriente y la tensión resultante en cada uno de los elementos del siguiente circuito. Primera y segunda ley de Kirchhoff i n 0 V m 0 21

Introducción i 0 i i i 0 1 6 1 2 i 0 i i i 0 2 1 5 3 i 0 i i i 0 3 2 5 4 V 0 V V V 0 m1 x Rb Rc V 0 V V V 0 m2 Rc y Rd V 0 V V V 0 m3 Ra y Rb Qué hacer con todas estas ecuaciones? Existirá un método sistemático para resolver dicho problema? 22

Introducción Se busca describir completamente el comportamiento de un circuito eléctrico mediante un conjunto de ecuaciones algebraícas (o integro-diferenciales en el caso más general) linealmente independientes. Para facilitar la aplicación de las leyes de Kirchhoff, en adelante se asumirá que para los elementos pasivos, una vez definido el sentido de la corriente (polaridad del voltaje) quedará definida la polaridad del voltaje (sentido de la corriente) de la siguiente manera: 23

Generalidades 1. MÉTODO DE VOLTAJES DE NODO 24

Método de voltajes de nodo El método de voltajes de nodo busca determinar un conjunto de ecuaciones linealmente independientes, que modelen el comportamiento del circuito eléctrico en función de lo que se conoce como voltajes de nodo. Un voltaje de nodo es la diferencia de potencial (voltaje, tensión eléctrica) que existe entre un nodo del circuito y un nodo común que ha sido elegido como referencia. n n 25

Método de voltajes de nodo Primer cuestionamiento Es posible expresar el voltaje de un elemento mediante los voltajes de los nodos a los cuales está conectado y un nodo de referencia? 26

Método de voltajes de nodo De la aplicación de la ley de los voltajes de Kirchhoff (2da ley) a la trayectoria cerrada formada por un elemento y los voltajes de nodo de los nodos a los cuales se conecta, se tiene: i Vij j V m 0 Vin Vjn V V V in ij jn 0 n V V V ij in jn 27

Método de voltajes de nodo De la anterior ecuación, se concluye que SÍ es posible expresar el voltaje de cualquier elemento en función de los voltajes de los nodos a los que está conectado, pero Segundo cuestionamiento Es posible expresar la corriente que fluye por un elemento a partir de los voltajes de los nodos a los cuales está conectado? 28

Método de voltajes de nodo Conociendo la relación Voltaje-Corriente en el elemento que se está analizando, es posible expresar la corriente en términos del voltaje de la siguiente forma: i iij Vij R j i ij V ij R Vin n Vjn i ij V in V R jn 29

Método de voltajes de nodo De la anterior ecuación, se concluye que SÍ es posible expresar la corriente que fluye por un elemento a partir de los voltajes de los nodos a los que está conectado. Comentarios adicionales Si un circuito tiene n nodos, tendrá n-1 voltajes de nodo. Un conjunto de ecuaciones linealmente independiente se obtendrá de aplicar la ley de corrientes de Kirchhoff a n-1 nodos. Se tiene que no es necesario definir las direcciones de las corrientes a través de los elementos, se puede asumir -sin perdida de generalidad- que las corrientes salen del nodo al que se le aplica la ley de corrientes, dado que el voltaje se expresaría como la diferencia entre la tensión del nodo de estudio y el nodo contiguo al que se conecta el elemento. 30

Método de voltajes de nodo i4 0 i4 i i i 0 1 2 3 V1 n V4 n V2 n V4 n V4 n V3 n 0 R R R 1 2 3 (1) 0 i i i 0 1 2 3 V V V V V V R R R 4n 1n 4n 2n 4n 3n 1 2 3 (2) 0 31

Método de voltajes de nodo Metodología para la determinación de los voltajes de nodo 1. Asignar un nodo del circuito eléctrico como nodo de referencia. 2. Aplicar la ley de corrientes de Kirchhoff a los nodos que no sean el de referencia. 3. Expresar las corrientes en función de voltaje empleando sus relaciones de voltaje y corriente. 4. Expresar los voltajes en función de voltajes de nodo. 5. Resolver el sistema de ecuaciones resultante. 32

Método de voltajes de nodo Ejemplo: Describir el circuito utilizando el método de voltajes de nodo, siendo Vx y Vy voltajes conocidos. *El nodo de referencia es independiente y puede ser ubicado donde el analista desee y piense que pueda resultar conveniente. 33

Método de voltajes de nodo Paso 2: Aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff a los nodos que no sean el de referencia, se tiene: i 0 i i i 0 1 6 1 2 i 0 i i i 0 2 1 5 3 i 0 i i i 0 3 2 5 4 (1) (2) (3) 34

Método de voltajes de nodo Paso 3: Expresando las corrientes de los elementos en función de voltajes mediante la relación de voltaje-corriente (ley de Ohm), se obtiene: i V V 12 13 1 0 i6 0 Rb Ra i i V V 12 2n 2 0 i5 0 Rb Rc V V 0 i 0 13 3n 3 5 Ra Rd (1) (2) (3) 35

Método de voltajes de nodo Importante: Si existen fuentes de voltaje conectadas entre un par de nodos, es necesario tener en cuenta lo siguiente: 1. Si la fuente está conectada entre un nodo cualquiera y el nodo de referencia, se asume que el voltaje de ese nodo es el voltaje de la fuente y no será necesario aplicar la 1raLK a ese nodo. 2. Si la fuente está conectada a dos nodos diferentes al nodo de referencia, se recurre a un supernodo. El supernodo incluye la fuente de tensión conectada entre los dos nodos y los elementos conectados a esos dos nodos. Se obtiene así, una ecuación resultante de la fuente y una del supernodo. 36

Método de voltajes de nodo Teniendo en cuenta el supernodo resultante entre los nodos 2 y 3, se obtiene una ecuación resultante de la fuente (2) y una de las corrientes entrantes al supernodo (3). V 1n V x V V V 2n 3n y i i i i 1 3 2 4 0 (1) (2) (3) 37

Método de voltajes de nodo Paso 4: Expresando los voltajes de los elementos en función de voltajes de nodo, se tiene: V 1n V x V V V 2n 3n y V V V V V V R R R R 1n 2n 2n 1n 3n 3n 0 b c a d (1) (2) (3) 38

Método de voltajes de nodo Escribiendo de forma matricial, las ecuaciones que modelan el comportamiento del circuito eléctrico presentará la siguiente forma: 1 0 0 V V 1n x 0 1 1 V 2n V y V3 n 0 1 1 1 1 1 1 Rb Ra Rb Rc Ra R d 39

Método de voltajes de nodo Calcular el valor de V1n para el circuito anterior. V 1n Vx 0 0 det Vy 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 Vx Rb Rc Ra R d Ra Rd Rb Rc 1 1 1 1 1 0 0 1 Ra Rd Rb Rc det 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Rb Ra Rb Rc Ra R d V x 40

Método de voltajes de nodo Ejercicio Ω Ω 41

Método de voltajes de nodo Ejercicio Ω Ω 42

Generalidades 2. MÉTODO DE CORRIENTES DE MALLA 43

Método de corrientes de malla El método de corrientes de malla busca determinar un conjunto de ecuaciones que modelen el comportamiento del circuito en función de lo que se conoce como corrientes de malla. Este método no es general como el método de los voltajes de nodo, ya que solo puede aplicarse a circuitos planares (de disposición plana), es decir, a circuitos que pueden dibujarse en un plano sin que ninguna de sus ramas se crucen. Circuito Planar Circuito No Planar 44

Método de corrientes de malla Nota: Un circuito puede tener ramas cruzadas y ser de disposición plana (planar) siempre y cuando pueda ser re-dibujado de manera tal, que quede sin ramas cruzadas. Planar!!! 45

Método de corrientes de malla Como se definió previamente, una malla es una trayectoria cerrada compuesta por elementos del circuito, la cual, en su concepto más básico, no contiene elementos en su interior como se muestra: La corriente que fluye por la malla se conoce como corriente de malla. En este análisis interesa la aplicación de la ley de voltajes de Kirchhoff (2da ley). 46

Método de corrientes de malla Primer cuestionamiento Es posible expresar la corriente que fluye por un elemento mediante las corrientes de malla que pasan por él? 47

Método de corrientes de malla Cuando un elemento es común a dos mallas, su corriente se expresa como una combinación de las corrientes de las malla, así: i i i pq mx my i i i qp mx my i i i pq mx my i i i qp mx my i i i pq mx my i i i qp mx my i i i pq mx my i i i qp mx my 48

Método de corrientes de malla De la anteriores ecuaciones, se concluye que SI es posible expresar la corriente de un elemento en función de las corrientes de las mallas a las que pertenece, pero Segundo cuestionamiento Es posible expresar el voltaje del elemento a partir de las corrientes las mallas a las que pertenece? 49

Método de corrientes de malla Conociendo la relación Voltaje-Corriente del elemento que se está analizando, es posible expresar el voltaje en términos de las corrientes de mallas de la siguiente forma: V pq Ri pq V R i - i pq mx my 50

Método de corrientes de malla De la anterior ecuación, se concluye que SÍ es posible expresar el voltaje de un elemento a partir de las corrientes de las mallas de las cuales hace parte. Comentarios adicionales En un circuito de L mallas se puede obtener un conjunto de L ecuaciones linealmente independiente mediante la aplicación de la ley de voltajes de Kirchhoff a esas mallas. Cuando un elemento pertenece únicamente a una malla, la corriente que fluye a través de él será igual a la corriente de malla, siempre que ésta se haya asumido en el mismo sentido. 51

Método de corrientes de mallas Tercer cuestionamiento Existe una metodología para obtener el conjunto de ecuaciones linealmente independientes que modelen el circuito en función de las corrientes de malla? 52

Método de corrientes de malla Metodología para la determinación de las corrientes de malla 1. Asignar las direcciones de las corrientes de malla de las L mallas del circuito. 2. Aplicar la ley de voltajes de Kirchhoff a las L mallas del circuito. 3. Expresar los voltajes en función de corriente empleando sus relaciones de voltaje y corriente. 4. Expresar las corrientes de los elementos en función de las corrientes de malla. 5. Resolver el sistema de ecuaciones resultante. 53

Ejemplo - corrientes de malla Ejemplo 1: Describir el circuito utilizando el método de corrientes de malla, siendo Vx y Vy voltajes conocidos. 54

Ejemplo - corrientes de malla Pasos 1 y 2: Asignar las direcciones de las corrientes de malla y aplicar en ellas la ley de voltajes de Kirchhoff. V 0 V V V 0 m1 x 1 3 V 0 V V V 0 m2 3 y 4 V 0 V V V 0 m3 2 y 1 (1) (2) (3) 55

Ejemplo - corrientes de malla Paso 3: Expresar los voltajes en función de las corrientes de los elementos. V i R i R x 1 b 3 c i R V i R 3 c y 4 d i R V i R 2 a y 1 b1 0 0 0 (1) (2) (3) 56

Ejemplo - corrientes de malla Paso 4: Expresar las corrientes de los elementos en función de las corrientes de malla. 1 3 1 2 1 2 2 i R i i R V i i R i i R V m m b m m c x i i R i R V m m c m d y m3 a m1 m3 b y (1) (2) (3) 57

Ejemplo - corrientes de malla Paso 5: Resolver el sistema de ecuaciones resultante. Rb Rc Rc Rb im1 Vx R R R 0 i V R 0 R R i V c c d m2 y b a b m3 y 58

Ejemplo 2 - corrientes de malla Ejemplo 2: Describir el circuito utilizando el método de corrientes de malla, siendo ix y iy voltajes conocidos. 59

Ejemplo 2 - corrientes de malla Pasos 1 y 2: Asignar las direcciones de las corrientes de malla y aplicar en ellas la ley de voltajes de Kirchhoff. V 0 V V V 0 m1 ix 1 3 V 0 V V V 0 m2 3 iy 4 V 0 V V V 0 m3 2 iy 1 (1) (2) (3) 60

Ejemplo 2 - corrientes de malla Paso 3: Expresar los voltajes en función de las corrientes de los elementos. V 0 V i R i R 0 m1 ix 1 b 3 c V 0 i R V i R 0 m2 3 c iy 4 d V 0 i R V i R 0 m3 2 a iy 1 b1 Vix, Viy?? (1) (2) (3) 61

Método de corrientes de malla Importante: Si existen fuentes de corriente en una de las mallas que se debe analizar, es necesario tener en cuenta lo siguiente: 1. Si la fuente de corriente pertenece únicamente a una malla, entonces se toma la corriente de malla igual a la fuente de corriente (siempre y cuando estén definidas en la misma dirección). 2. Si la fuente de corriente pertenece a dos mallas, se recurre a una supermalla. La supermalla se obtiene de la combinación de las dos mallas adyacentes a la fuente, excluyendo a ésta y a sus elementos en serie. Así, resultan dos ecuaciones, una de la fuente y una de las supermalla. 62

Ejemplo 2 - corrientes de malla Replantando las ecuaciones, se obtiene que la fuente Ix corresponde a una corriente de malla (1), la fuente Iy es una combinación de dos corrientes de malla (2) y una ecuación que representa la supermalla (3), así: i m1 i x i i i m3 m2 y V 0 V V V V 0 sm 2 4 3 1 (a) (b) (c) 63

Ejemplo 2 - corrientes de malla Paso 3: Expresar los voltajes en función de las corrientes de los elementos. i m1 i x i i i m3 m2 y i R i R i R i R 2 a 4 d 3 c 1 b 0 (a) (b) (c) 64

Ejemplo 2 - corrientes de malla Paso 4: Expresar las corrientes de los elementos en función de las corrientes de malla. i m1 i x i i i m3 m2 y i R i R i i R i i R m3 a m2 d m1 m2 c m1 m3 b 0 (a) (b) (c) 65

Ejemplo 2 - corrientes de malla Paso 5: Resolver el sistema de ecuaciones resultante. 1 0 0 im1 ix 0 1 1 i i m2 y Rc Rb Rd Rc Ra R b i m3 0 66

Método de corrientes de mallas Ejercicio Ω Ω Ω Ω 67

Método de corrientes de mallas Ejercicio* Ω Ω Ω

Gracias 69